Testy zgodności 9 113

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Testy zgodności 9 113"

Transkrypt

1 Testy zgodności TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy statystyczne oraz weryfikace hipotezy statystyczne, które powinny być oparte na niezależnych obserwacach. Oznacza to, że po sformułowaniu hipotezy należy zebrać nowe obserwace dla e sprawdzenia. Prawda obiektywna nie może opierać się tylko na ednym materiale statystycznym. Często w praktyce podświadomie hipotezę statystyczną, którą sformułowaliśmy, traktuemy ako własną, edynie słuszną, traktuąc odrzucenie hipotezy ak osobistą porażkę. Emoconalny stosunek do hipotezy zerowe nie est właściwym podeściem do testowania hipotez statystycznych, bowiem grozi statystycznym oszustwem. Niestety, często nawet w nauce zdarzaą się takie sytuace, w których celem est obrona własne, edynie słuszne hipotezy. W takich sytuacach powstae manipulaca statystyczna udaąca naukowe podeście do problemu. Dlatego też raporty z badań statystycznych powinny być przeźroczyste pozwalaące na łatwą kontrolę obliczeń statystycznych. I stąd bierze się wymóg weryfikaci każde hipotezy na niezależnym materiale. W dalszym ciągu przytacza się trochę zmieniony podrozdział 5.3 książki Plucińskich (990). Mówiąc o zagadnieniach estymaci, ak również weryfikaci hipotezy parametryczne, często zakładaliśmy, że znamy postać rozkładu interesuące nas cechy elementów populaci generalne, a w przypadku nieznaomości postaci rozkładu, korzystaliśmy z twierdzeń granicznych. Obecnie omówione zostaną testy pozwalaące na weryfikacę hipotezy dotyczące postaci nieznanego rozkładu. Niech dana będzie populaca, w które rozkład cechy X elementów est nieznany. Pobieramy n-elementową próbkę. Zaobserwowane w próbce wartości zawieraą oczywiście informace o nieznanym rozkładzie cechy X. Naprostszą metodą prowadzącą do uzyskania wstępnych informaci o postaci rozkładu interesuące nas cechy elementów populaci est narysowanie histogramu rozkładu

2 4 Testy zgodności 9 zaobserwowanego w próbce. Uzyskane z rysunku informace są ednak niepełne i oczywiście tylko wzrokowe. Niepełne przede wszystkim ze względu na to, że nie uwzględnia się losowego składu próbki. Jednakże te wzrokowe informace zawarte w histogramie pozwalaą na zorientowanie się, akie ewentualnie rozkłady mogą być brane pod uwagę. Popatrzmy na histogramy podane na rysunkach 9.. O ile na prawym histogramie skłonni byliśmy dopuścić możliwość występowania rozkładu Erlanga rzędu lub więce, o tyle taka ewentualność dla lewego histogramu nie powinna być brana pod uwagę. Rys. 9.. Przykładowe histogramy z badań statystycznych Oczywiście, spostrzeżenia oparte na kształcie histogramu nie mogą służyć za podstawę do akichś ogólnieszych rozważań. Niezbędna est bardzie precyzyna miara zgodności między rozkładem w próbce a hipotetycznym rozkładem cechy elementów populaci. Pierwszym krokiem, podobnie ak to miało miesce w przypadku hipotez parametrycznych, powinno być ustalenie zbioru możliwych w danym zagadnieniu hipotez, tzn. zbioru możliwych rozkładów, które mogą być brane pod uwagę. Następnie wyróżnienie z tego zbioru hipotezy zerowe. Kolenym krokiem est przyęcie odpowiednie statystyki, która może służyć za test do weryfikaci hipotezy zerowe. Rozważmy szczegółowo kilka testów nieparametrycznych. 9..Test χ Pearsona Niech cecha x elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F. Podzielmy całą oś rzeczywistą na r + rozłącznych przedziałów I, I,..., I r + za pomocą liczb = α < α <... < α r < α r =. Oznaczmy przez p prawdopodobieństwo, że zmienna 0 + losowa X przymie wartość z przedziału I, tzn.

3 Testy zgodności 9 5 ( ) ( ) p = F α F α, =,,..., r + (9.) i niech p > 0 dla każdego. Liczba np est oczekiwaną liczbą obserwaci n-elementowe próbki, które powinny się znaleźć w przedziale I. Niech N oznacza zmienną losową o wartościach n będących liczbą obserwaci, które znalazły się w przedziale I. Suma kwadratów różnic n np tzn. r+ = ( n np ) (9.) może służyć za miarę zgodności rozkładu zaobserwowanego w próbce z rozkładem hipotetycznym. Wartość sumy (9.) zmienia się od próbki do próbki, a statystyka, które wartościami są te sumy ma bardzo złożony rozkład. Okazue się ednak, że odpowiednie wyważenie kwadratów ( n np ) K Pearson udowodnił mianowicie, że statystyka pozwala na uzyskanie znanego rozkładu granicznego. χ = ( np ) r+ N = np (9.3) ma, gdy n, rozkład chi-kwadrat o r stopniach swobody. Statystyka (9.3) znana est w literaturze pod nazwą testu χ Pearsona. Zauważmy, że statystyka χ nie zależy od tego, aka est postać dystrybuanty cechy X elementów populaci. Istotną rolę odgrywaą tu prawdopodobieństwa p P( X I ) =, przy czym podział na przedziały I został dokonany w sposób zupełnie dowolny. Ten sam układ prawdopodobieństw p, p,..., p r + może odpowiadać wielu różnym rozkładom zarówno typu ciągłego, ak i skokowego. Oznacza to, że w gruncie rzeczy za pomocą testu χ możemy zweryfikować hipotezę dotyczącą układu prawdopodobieństw p, p,..., p r +, a nie postaci rozkładu cechy X elementów populaci. Dlatego też za hipotezę zerową będziemy tu uważać

4 6 Testy zgodności 9 klasę wszystkich rozkładów, dla których P( X I ) = p ( = r + ),,...,. Hipotezą alternatywną est klasa rozkładów, dla których co namnie dla ednego est ( ) P X I p. Oczywiście, obydwie wymienione klasy rozkładów są dość szerokie. Możne e na ogół bardzo zawęzić korzystaąc z informaci dotyczących przebiegu badanego zawiska czy istoty zagadnienia, np. że cecha X elementów populaci est zmienną losową typu ciągłego lub że przymue wartości całkowite, czy też że przymue wartości z pewnego niewielkiego przedziału. Jednakże mimo zawężenia hipoteza zerowa, ak i alternatywna będą nadal bardzo licznymi klasami rozkładów. Oznacza to, że przy dane próbce statystyka χ będzie mieć tę samą wartość dla wielu rozkładów. Te rozkłady, dla których prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowe est takie samo i hipotezę odrzucamy, nie będą nas interesowały. Przyęcie hipotezy zerowe est równoważne stwierdzeniu, że każdy rozkład należący do nie może służyć do opisu danego zawiska, czy doświadczenia. Wystarczy zatem wybrać eden z rozkładów należących do hipotezy zerowe. Dlatego też w dalszych rozważaniach, dla uproszczenia, hipotezę zerową formułować będziemy ako przypuszczenie, że cecha X elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F. Maąc sprecyzowaną hipotezę zerową i wybrany test do weryfikaci te hipotezy postępuemy w sposób analogiczny ak w przypadku hipotez parametrycznych. Za pomocą testu χ hipotezę zerową weryfikuemy w sposób następuący. Przymuemy poziom istotności testu α. Zbiorem krytycznym est zbiór {(,,..., ):. } W = x x x n χ zaobs χ α, gdzie χ α est liczbą odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat o r stopniach swobody spełniaącą warunek ( ) ( ) P χ > χα = k r x dx = α, χ α przy czym k ( x) r est gęstością prawdopodobieństwa zmienne losowe o rozkładzie chikwadrat z r stopniami swobody.

5 Testy zgodności 9 7 Zatem hipotezę H 0 odrzucamy, gdy χ zaobs. χ α > (9.4) i przymuemy, gdy χ zaobs. χ α, (9.5) gdzie χ zaobs. oznacza wartość statystyki (9.3) zaobserwowaną w próbce. Przedstawiona metoda weryfikaci hipotezy o postaci rozkładu est oparta na granicznym rozkładzie statystyki (9.3), a zatem n musi być dostatecznie duże. Przymue się, że test χ można stosować, gdy np 0 dla =, 3,..., r oraz np, np r + 5. W przypadku takiego podziału osi OX na przedziały, w którym ( ) p = r + =,,..., r + można stosować graniczny rozkład testu χ o r stopniach swobody na poziomie istotności α = lub α = 0. 0 uż dla niewielkich n (5-0) i n =. drogowych na PRZYKŁAD 9. (Plucińscy, 990) przeprowadzono obserwace dotyczące wypadków określonym terenie spowodowanych w ciągu roku przez kierowców będących w stanie nietrzeźwym. Otrzymany rozkład wypadków w poszczególne dni tygodnia podae następuąca tabelka: Pn Wt Śr Czw Pt So N Przymuąc poziom istotności α = zweryfikować hipotezę, że prawdopodobieństwo zdarzenia się na tym terenie wypadku spowodowanego przez kierowcę w stanie nietrzeźwym est ednakowe dla wszystkich dni tygodnia. Mamy tu siedem przedziałów I, I,..., I 7 oraz p = p =... = p7 = 7, a liczności n podane są w tabelce. Z danych liczbowych wynika, że n =, np = = 6, 7

6 8 Testy zgodności 9 χ zaobs. ( ) = = = Z tablicy rozkładu chi-kwadrat dla 6 stopni swobody i poziomu istotności α = znaduemy χ α =. 59. Ponieważ χ < χ więc hipotezę H 0 o równości zaobs. prawdopodobieństw przymuemy. Omówiona metoda weryfikaci hipotez nieparametrycznych odnosi się wyłącznie do tych przypadków, gdy dystrybuanta F ednoznacznie określa hipotetyczny rozkład, bowiem tylko wtedy w sposób ednoznaczny można określić prawdopodobieństwa p. Nie można na przykład przedstawionym testem χ zweryfikować hipotezy, że cecha X elementów populaci ma rozkład normalny, eśli parametry tego rozkładu nie są znane. Można ednak ulepszyć, a dokładnie poszerzyć metodę zaproponowaną przez Pearsona. Fisher udowodnił, że przy spełnieniu pewnych warunków odnośnie do nieznanych parametrów dystrybuanty F test χ może być zastosowany również w tych przypadkach, gdy dystrybuanta F precyzue edynie pewną klasę rozkładów, a ściśle mówiąc, zależy od nieznanych parametrów. Przedstawimy teraz zmodyfikowany przzez Fishera test χ. Sformułuemy napierw twierdzenie udowodnione przez Fishera. cząstkowe TWIERDZENIE 9.. Niech p = p ( λ λ λ ),,..., i niech istnieą ciągłe pochodne m δp δ p,, =,,..., r + ; i, l =,,..., m. δλ δλ δλ i l Jeżeli macierz [ δp δλ ] ( r i m) i =,,..., + ; =,,..., est rzędu m, a parametry λ, λ,..., λm zostały wyznaczone metodą nawiększe wiarygodności, to rozkład statystyki χ Pearsona zmierza, gdy n, do rozkładu chi-kwadrat o r-m stopniach swobody. Z twierdzenia 9. wynika, że eżeli chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F zależne od m parametrów, to do weryfikaci takie hipotezy można użyć testu χ Pearsona. Zbiorem krytycznym w tym przypadku będzie zbiór

7 Testy zgodności 9 9 {(,,..., ):. } W = x x x n χ zaobs > χ α, gdzie χ α est liczbą odczytaną z tablicy rozkładu chi-kwadrat spełniaącą warunek ( ) ( ) P χ > χα = k r m x dx = α, χ α przy czym k ( x) r m est gęstością prawdopodobieństwa zmienne losowe o rozkładzie chikwadrat z r-m stopniami swobody. PRZYKŁAD 9. (Plucińscy, 990). W dziale kontroli techniczne pewne fabryki konfekci badanie akości partii płaszczy damskich przeprowadza się wyrywkowo. W celu zbadania akości partii płaszczy damskich pobrano próbkę o liczności 80 sztuk i zbadano liczby usterek otrzymuąc następuące dane liczbowe: Liczba usterek Liczba płaszczy Przymuąc poziom istotności α = 0. 05, zweryfikować hipotezę H 0, że rozkład liczby usterek w płaszczach produkowanych w te fabryce est rozkładem Poissona. Mamy tu eden nieznany parametr λ. Jak wiemy estymatorem NW parametru λ est X n, a więc ako oszacowania parametru λ przymuemy x n = 5.. I I I 3 I 4 I 5

8 0 Testy zgodności 9 Rys. 9.. Podział na przedziały zmienności Przymimy podziały na przedziały I ak na Rys. 9.. Dwie ostatnie kolumny danych z tabelki połączyliśmy ze względu na małe liczności w tych kolumnach. Z tablicy rozkładu Poissona dla λ = 5. odczytuemy prawdopodobieństwa p. Następnie obliczamy wartość statystyki χ Pearsona zapisuąc kolene obliczenia w następuące tabelce: n p np n np ( n np) ( n np) np χ zaobs. =.3464 Mamy więc tu 5 przedziałów i eden parametr wyznaczony na podstawie próbki, zatem liczba stopni swobody est równa 3. Z tablic rozkładu chi-kwadrat dla α = i trzech stopni swobody odczytuemy χ zaobs. = < χ α = 7. 85, więc przymuemy hipotezę H 0, że rozkład liczby usterek w płaszczach est rozkładem Poissona. 9.3.Test λ Kołmogorowa

9 Testy zgodności 9 Test nieparametryczny można również skonstruować na podstawie twierdzenia Kołmogorowa. Przypuśćmy, że interesuąca nas cecha X elementów populaci est zmienną losową typu ciągłego. Na podstawie n elementowe próbki (n co namnie rzędu kilku dziesiątków) chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X ma dystrybuantę F. Jako test do weryfikaci hipotezy H 0 możemy przyąć statystykę nd = n sup F ( x) F( x), (9.6) n < x< n gdzie F n est dystrybuantą empiryczną. Rozkład graniczny statystyki nd n precyzue twierdzenie Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990). Przymimy poziom istotności α. Zbiorem krytycznym est tu zbiór {( n ) n } W = x, x,..., x : nd > λ, (9.7) gdzie λ est liczbą spełniaącą warunek ( ) ( ) P nd > λ = n Q λ = α, (9.8) przy czym ( ) Q λ est wartością dystrybuanty rozkładu określone w twierdzeniu Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990). Dla danego α znamy Q( λ ), a z odpowiednie tablicy odczytamy wartość λ. Hipotezę H 0, że cecha X ma dystrybuantę F odrzucamy, gdy nd n > λ (9.9) i przymuemy, gdy nd n λ. (9.0)

10 Testy zgodności 9 Należy podkreślić, że przy stosowaniu testu λ Kołmogorowa trzeba mieć na uwadze pewne ograniczenia. Po pierwsze dystrybuanta F musi ednoznacznie określać hipotetyczny rozkład w tym sensie, że nie może zależeć od parametrów szacowanych na podstawie próbki. W przypadku zależności F od nieznanych parametrów twierdzenie Kołmogorowa nie est prawdziwe. Po drugie w związku z założeniem ciągłości dystrybuanty F wyników obserwaci nie można grupować. 9.4.Test Kołmogorowa- Smirnowa Przymimy, że dane są dwie populace. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X elementów obydwu populaci ma taką samą ciągłą dystrybuantę F. Test dla zweryfikowania takie hipotezy oparty est na następuącym twierdzeniu Smirnowa: TWIERDZENIE 9.. Niech: a) X, X,..., X i Y, Y,..., Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o ednakowym n n rozkładzie z ciągłą dystrybuantą F, b) F i F n n będą dystrybuantami empirycznymi określonymi wzorami F F n n n Card i : X x i n i,,,..., (9.) ( x) = { < = } n Card i : Y x i n i,,,..., (9.) ( x) = { < = } c) ( ) ( ) δ n Wówczas nn = sup Fn x Fn x, n = < x< n + n. ( n < ) = ( ) lim P nδ x Q x (9.3) n n gdzie

11 Testy zgodności 9 3 ( ) Q x k k x ( ) e x > 0 = k = (9.4) 0 x 0 Wygodnym testem do weryfikowania sformułowane hipotezy est statystyka ( ) ( ) nδ n = n sup Fn x Fn x < x<. (9.5) Opiszemy teraz metodę postępowania przy weryfikaci. Mamy dwie populace. Pobieramy z nich próbki odpowiednio o liczebnościach n i n. Przypuśćmy, że zaobserwowaliśmy wartości x, x,..., x n oraz y, y,..., y n. Na podstawie tych danych znaduemy dystrybuanty empiryczne F ( x) n i F ( x), a następnie kres n górny bezwzględne wartości różnicy tych dystrybuant i wartość statystyki nδ n. Ustalamy poziom istotności α, a następnie zbiór krytyczny {( n n ) n } W = x, x,..., x, y, y,..., y : n δ > λ, (9.6) gdzie λ est liczbą spełniaącą warunek P ( n n ) δ > λ = α. (9.7) Liczba ( ) Q λ est wartością dystrybuanty (9.4). Wartości dystrybuanty są stablicowane (patrz np. Plucińscy, 990). Dla danego α, a tym samym ( ) Q λ z tablicy odczytuemy wartość λ. gdy Hipotezę H 0 o równości dystrybuant cechy X elementów obu populaci odrzucamy, nδ n > λ (9.8) i przymuemy, gdy nδ n λ. (9.9)

12 4 Testy zgodności 9 Pamiętać należy, że test Kołmogorowa-Smirnowa oparty est na granicznym rozkładzie statystyki nδ n, a więc być stosowany tylko wtedy, gdy liczebności są dostatecznie duże (co namnie rzędu kilku dziesiątek). PRZYKŁAD 9.3 (Plucińscy, 990). W celu zbadania trwałości opon samochodowych produkowanych przez fabryki A i B pobrano próbki z bieżące produkci obu fabryk i otrzymano następuące dane dotyczące maksymalnego przebiegu samochodów na badanych oponach (wyrażone w tysiącach km): Maksymalny przebieg Liczba opon z fabryki A z fabryki B Razem Przymuąc poziom istotności α = 0. 0 zweryfikować hipotezę H 0, że rozkłady przebiegów dla opon produkowanych przez obie fabryki maą tę samą ciągłą dystrybuantę F. Zastosuemy tu test Kołmogorowa-Smirnowa, a obliczenia zapiszemy w postaci następuące tabelki: x n n n sk n sk F ( x) n F ( x) n F ( x) F ( x) n n

13 Testy zgodności , W tabelce te przez n sk i n sk oznaczyliśmy tzw. Częstości skumulowane, tzn. n i. Z ostatnie kolumny tabelki odczytuemy, że n x x Ponieważ ( ) ( ) = sup F x F x = (9.0) δ n n n nn n = n + n = = 84. 7, n = 9., (9.) więc δ = = (9.) n n Przyęliśmy α = 0. 0, tzn. Q( λ ) = Dla te wartości Q( λ ) z tablicy rozkładu Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990) odczytuemy λ = 5.. Zatem otrzymaliśmy, że nδ n = > λ = 5., (9.3)

14 6 Testy zgodności 9 czyli spełniona est nierówność (9.8). Oznacza to, że hipotezę H 0 o równości dystrybuant dla maksymalnych przebiegów opon pochodzących z fabryk A i B należy odrzucić. Na zakończenie należy podkreślić, że w założeniach twierdzenia Smirnowa występue warunek ciągłości dystrybuanty F, co est równoważne temu, że prawdopodobieństwo wystąpienia w próbce dwóch ednakowych wartości est równe zeru. Grupowanie wyników w przedziałach może doprowadzić do błędnych wniosków (patrz np. Plucińscy, 990). Niemnie ednak w praktyce wielkości badane obserwue się tylko z pewną dokładnością związaną z przyętym układem ednostek, co siłą rzeczy prowadzi do grupowania wyników. Przedziały grupowania nie powinny być większe niż ednostka przyęte dla danego zagadnienia skali.

15 Testy zgodności 9 7 Problemy rozdziału 9. Histogramy statystyczne ako źródła hipotez statystycznych o rozkładach prawdopodobieństwa w pierwszym etapie badań statystycznych.. Weryfikaca hipotezy o rozkładzie prawdopodobieństwa. 3. Test chi-kwadrat Pearsona. 4. Rozkład chi-kwadrat. 5. Klasy obserwaci a liczba obserwaci. 6. Zbiór krytyczny w teście chi-kwadrat. 7. Modyfikaca Fishera testu chi-kwadrat. 8. Liczba stopni swobody testu chi-kwadrat. 9. Test Kołmogorowa. 0. Zbiór krytyczny testu Kołmogorowa.. Test Kołmogorowa-Smirnowa.. Zbiór krytyczny testu Kołmogorowa-Smirnowa. 3. Porównanie akości testu chi-kwadrat a Kołmogorowa.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11 Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( ) Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech

STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech TATYTYKA wykład 8 Wnioskowanie Weryfikacja hipotez Wanda Olech Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5 Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających

Bardziej szczegółowo

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych etc

Testowanie hipotez statystycznych etc Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 Statystyka i analiza danych - W: Podstawy wnioskowania statystycznego Zmienne losowe, rozkład prawdopodobieństwa. Parametry rozkładu. Estymatory punktowe i przedziałowe. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa

Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa Test serii (test Walda-Wolfowitza) Założenie. Rozpatrywane rozkłady są ciągłe. Mamy dwa uporządkowane

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Przykład 1. (A. Łomnicki)

Przykład 1. (A. Łomnicki) Plan wykładu: 1. Wariancje wewnątrz grup i między grupami do czego prowadzi ich ocena 2. Rozkład F 3. Analiza wariancji jako metoda badań założenia, etapy postępowania 4. Dwie klasyfikacje a dwa modele

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby. Statystyka

Rozkłady statystyk z próby. Statystyka Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Test niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia związku pomiędzy dwiema zmiennymi nominalnymi (lub porządkowymi)

Test niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia związku pomiędzy dwiema zmiennymi nominalnymi (lub porządkowymi) Test niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia związku pomiędzy dwiema zmiennymi nominalnymi (lub porządkowymi) Czy miejsce zamieszkania różnicuje uprawianie sportu? Mieszkańcy

Bardziej szczegółowo

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym. Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

VIII WYKŁAD STATYSTYKA. 7/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VIII WYKŁAD STATYSTYKA. 7/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VIII WYKŁAD STATYSTYKA 7/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 8 WERFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI TEST ZGODNOŚCI χ 2 Problem: Populacja generalna ma dowolny rozkład

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Analiza Analiza rozkładu

Zadanie 1. Analiza Analiza rozkładu Zadanie 1 data lab.zad 1; input czas; datalines; 85 3060 631 819 805 835 955 595 690 73 815 914 ; run; Analiza Analiza rozkładu Ponieważ jesteśmy zainteresowani wyznaczeniem przedziału ufności oraz weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo