Testy zgodności 9 113
|
|
- Gabriel Komorowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Testy zgodności TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy statystyczne oraz weryfikace hipotezy statystyczne, które powinny być oparte na niezależnych obserwacach. Oznacza to, że po sformułowaniu hipotezy należy zebrać nowe obserwace dla e sprawdzenia. Prawda obiektywna nie może opierać się tylko na ednym materiale statystycznym. Często w praktyce podświadomie hipotezę statystyczną, którą sformułowaliśmy, traktuemy ako własną, edynie słuszną, traktuąc odrzucenie hipotezy ak osobistą porażkę. Emoconalny stosunek do hipotezy zerowe nie est właściwym podeściem do testowania hipotez statystycznych, bowiem grozi statystycznym oszustwem. Niestety, często nawet w nauce zdarzaą się takie sytuace, w których celem est obrona własne, edynie słuszne hipotezy. W takich sytuacach powstae manipulaca statystyczna udaąca naukowe podeście do problemu. Dlatego też raporty z badań statystycznych powinny być przeźroczyste pozwalaące na łatwą kontrolę obliczeń statystycznych. I stąd bierze się wymóg weryfikaci każde hipotezy na niezależnym materiale. W dalszym ciągu przytacza się trochę zmieniony podrozdział 5.3 książki Plucińskich (990). Mówiąc o zagadnieniach estymaci, ak również weryfikaci hipotezy parametryczne, często zakładaliśmy, że znamy postać rozkładu interesuące nas cechy elementów populaci generalne, a w przypadku nieznaomości postaci rozkładu, korzystaliśmy z twierdzeń granicznych. Obecnie omówione zostaną testy pozwalaące na weryfikacę hipotezy dotyczące postaci nieznanego rozkładu. Niech dana będzie populaca, w które rozkład cechy X elementów est nieznany. Pobieramy n-elementową próbkę. Zaobserwowane w próbce wartości zawieraą oczywiście informace o nieznanym rozkładzie cechy X. Naprostszą metodą prowadzącą do uzyskania wstępnych informaci o postaci rozkładu interesuące nas cechy elementów populaci est narysowanie histogramu rozkładu
2 4 Testy zgodności 9 zaobserwowanego w próbce. Uzyskane z rysunku informace są ednak niepełne i oczywiście tylko wzrokowe. Niepełne przede wszystkim ze względu na to, że nie uwzględnia się losowego składu próbki. Jednakże te wzrokowe informace zawarte w histogramie pozwalaą na zorientowanie się, akie ewentualnie rozkłady mogą być brane pod uwagę. Popatrzmy na histogramy podane na rysunkach 9.. O ile na prawym histogramie skłonni byliśmy dopuścić możliwość występowania rozkładu Erlanga rzędu lub więce, o tyle taka ewentualność dla lewego histogramu nie powinna być brana pod uwagę. Rys. 9.. Przykładowe histogramy z badań statystycznych Oczywiście, spostrzeżenia oparte na kształcie histogramu nie mogą służyć za podstawę do akichś ogólnieszych rozważań. Niezbędna est bardzie precyzyna miara zgodności między rozkładem w próbce a hipotetycznym rozkładem cechy elementów populaci. Pierwszym krokiem, podobnie ak to miało miesce w przypadku hipotez parametrycznych, powinno być ustalenie zbioru możliwych w danym zagadnieniu hipotez, tzn. zbioru możliwych rozkładów, które mogą być brane pod uwagę. Następnie wyróżnienie z tego zbioru hipotezy zerowe. Kolenym krokiem est przyęcie odpowiednie statystyki, która może służyć za test do weryfikaci hipotezy zerowe. Rozważmy szczegółowo kilka testów nieparametrycznych. 9..Test χ Pearsona Niech cecha x elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F. Podzielmy całą oś rzeczywistą na r + rozłącznych przedziałów I, I,..., I r + za pomocą liczb = α < α <... < α r < α r =. Oznaczmy przez p prawdopodobieństwo, że zmienna 0 + losowa X przymie wartość z przedziału I, tzn.
3 Testy zgodności 9 5 ( ) ( ) p = F α F α, =,,..., r + (9.) i niech p > 0 dla każdego. Liczba np est oczekiwaną liczbą obserwaci n-elementowe próbki, które powinny się znaleźć w przedziale I. Niech N oznacza zmienną losową o wartościach n będących liczbą obserwaci, które znalazły się w przedziale I. Suma kwadratów różnic n np tzn. r+ = ( n np ) (9.) może służyć za miarę zgodności rozkładu zaobserwowanego w próbce z rozkładem hipotetycznym. Wartość sumy (9.) zmienia się od próbki do próbki, a statystyka, które wartościami są te sumy ma bardzo złożony rozkład. Okazue się ednak, że odpowiednie wyważenie kwadratów ( n np ) K Pearson udowodnił mianowicie, że statystyka pozwala na uzyskanie znanego rozkładu granicznego. χ = ( np ) r+ N = np (9.3) ma, gdy n, rozkład chi-kwadrat o r stopniach swobody. Statystyka (9.3) znana est w literaturze pod nazwą testu χ Pearsona. Zauważmy, że statystyka χ nie zależy od tego, aka est postać dystrybuanty cechy X elementów populaci. Istotną rolę odgrywaą tu prawdopodobieństwa p P( X I ) =, przy czym podział na przedziały I został dokonany w sposób zupełnie dowolny. Ten sam układ prawdopodobieństw p, p,..., p r + może odpowiadać wielu różnym rozkładom zarówno typu ciągłego, ak i skokowego. Oznacza to, że w gruncie rzeczy za pomocą testu χ możemy zweryfikować hipotezę dotyczącą układu prawdopodobieństw p, p,..., p r +, a nie postaci rozkładu cechy X elementów populaci. Dlatego też za hipotezę zerową będziemy tu uważać
4 6 Testy zgodności 9 klasę wszystkich rozkładów, dla których P( X I ) = p ( = r + ),,...,. Hipotezą alternatywną est klasa rozkładów, dla których co namnie dla ednego est ( ) P X I p. Oczywiście, obydwie wymienione klasy rozkładów są dość szerokie. Możne e na ogół bardzo zawęzić korzystaąc z informaci dotyczących przebiegu badanego zawiska czy istoty zagadnienia, np. że cecha X elementów populaci est zmienną losową typu ciągłego lub że przymue wartości całkowite, czy też że przymue wartości z pewnego niewielkiego przedziału. Jednakże mimo zawężenia hipoteza zerowa, ak i alternatywna będą nadal bardzo licznymi klasami rozkładów. Oznacza to, że przy dane próbce statystyka χ będzie mieć tę samą wartość dla wielu rozkładów. Te rozkłady, dla których prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowe est takie samo i hipotezę odrzucamy, nie będą nas interesowały. Przyęcie hipotezy zerowe est równoważne stwierdzeniu, że każdy rozkład należący do nie może służyć do opisu danego zawiska, czy doświadczenia. Wystarczy zatem wybrać eden z rozkładów należących do hipotezy zerowe. Dlatego też w dalszych rozważaniach, dla uproszczenia, hipotezę zerową formułować będziemy ako przypuszczenie, że cecha X elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F. Maąc sprecyzowaną hipotezę zerową i wybrany test do weryfikaci te hipotezy postępuemy w sposób analogiczny ak w przypadku hipotez parametrycznych. Za pomocą testu χ hipotezę zerową weryfikuemy w sposób następuący. Przymuemy poziom istotności testu α. Zbiorem krytycznym est zbiór {(,,..., ):. } W = x x x n χ zaobs χ α, gdzie χ α est liczbą odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat o r stopniach swobody spełniaącą warunek ( ) ( ) P χ > χα = k r x dx = α, χ α przy czym k ( x) r est gęstością prawdopodobieństwa zmienne losowe o rozkładzie chikwadrat z r stopniami swobody.
5 Testy zgodności 9 7 Zatem hipotezę H 0 odrzucamy, gdy χ zaobs. χ α > (9.4) i przymuemy, gdy χ zaobs. χ α, (9.5) gdzie χ zaobs. oznacza wartość statystyki (9.3) zaobserwowaną w próbce. Przedstawiona metoda weryfikaci hipotezy o postaci rozkładu est oparta na granicznym rozkładzie statystyki (9.3), a zatem n musi być dostatecznie duże. Przymue się, że test χ można stosować, gdy np 0 dla =, 3,..., r oraz np, np r + 5. W przypadku takiego podziału osi OX na przedziały, w którym ( ) p = r + =,,..., r + można stosować graniczny rozkład testu χ o r stopniach swobody na poziomie istotności α = lub α = 0. 0 uż dla niewielkich n (5-0) i n =. drogowych na PRZYKŁAD 9. (Plucińscy, 990) przeprowadzono obserwace dotyczące wypadków określonym terenie spowodowanych w ciągu roku przez kierowców będących w stanie nietrzeźwym. Otrzymany rozkład wypadków w poszczególne dni tygodnia podae następuąca tabelka: Pn Wt Śr Czw Pt So N Przymuąc poziom istotności α = zweryfikować hipotezę, że prawdopodobieństwo zdarzenia się na tym terenie wypadku spowodowanego przez kierowcę w stanie nietrzeźwym est ednakowe dla wszystkich dni tygodnia. Mamy tu siedem przedziałów I, I,..., I 7 oraz p = p =... = p7 = 7, a liczności n podane są w tabelce. Z danych liczbowych wynika, że n =, np = = 6, 7
6 8 Testy zgodności 9 χ zaobs. ( ) = = = Z tablicy rozkładu chi-kwadrat dla 6 stopni swobody i poziomu istotności α = znaduemy χ α =. 59. Ponieważ χ < χ więc hipotezę H 0 o równości zaobs. prawdopodobieństw przymuemy. Omówiona metoda weryfikaci hipotez nieparametrycznych odnosi się wyłącznie do tych przypadków, gdy dystrybuanta F ednoznacznie określa hipotetyczny rozkład, bowiem tylko wtedy w sposób ednoznaczny można określić prawdopodobieństwa p. Nie można na przykład przedstawionym testem χ zweryfikować hipotezy, że cecha X elementów populaci ma rozkład normalny, eśli parametry tego rozkładu nie są znane. Można ednak ulepszyć, a dokładnie poszerzyć metodę zaproponowaną przez Pearsona. Fisher udowodnił, że przy spełnieniu pewnych warunków odnośnie do nieznanych parametrów dystrybuanty F test χ może być zastosowany również w tych przypadkach, gdy dystrybuanta F precyzue edynie pewną klasę rozkładów, a ściśle mówiąc, zależy od nieznanych parametrów. Przedstawimy teraz zmodyfikowany przzez Fishera test χ. Sformułuemy napierw twierdzenie udowodnione przez Fishera. cząstkowe TWIERDZENIE 9.. Niech p = p ( λ λ λ ),,..., i niech istnieą ciągłe pochodne m δp δ p,, =,,..., r + ; i, l =,,..., m. δλ δλ δλ i l Jeżeli macierz [ δp δλ ] ( r i m) i =,,..., + ; =,,..., est rzędu m, a parametry λ, λ,..., λm zostały wyznaczone metodą nawiększe wiarygodności, to rozkład statystyki χ Pearsona zmierza, gdy n, do rozkładu chi-kwadrat o r-m stopniach swobody. Z twierdzenia 9. wynika, że eżeli chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F zależne od m parametrów, to do weryfikaci takie hipotezy można użyć testu χ Pearsona. Zbiorem krytycznym w tym przypadku będzie zbiór
7 Testy zgodności 9 9 {(,,..., ):. } W = x x x n χ zaobs > χ α, gdzie χ α est liczbą odczytaną z tablicy rozkładu chi-kwadrat spełniaącą warunek ( ) ( ) P χ > χα = k r m x dx = α, χ α przy czym k ( x) r m est gęstością prawdopodobieństwa zmienne losowe o rozkładzie chikwadrat z r-m stopniami swobody. PRZYKŁAD 9. (Plucińscy, 990). W dziale kontroli techniczne pewne fabryki konfekci badanie akości partii płaszczy damskich przeprowadza się wyrywkowo. W celu zbadania akości partii płaszczy damskich pobrano próbkę o liczności 80 sztuk i zbadano liczby usterek otrzymuąc następuące dane liczbowe: Liczba usterek Liczba płaszczy Przymuąc poziom istotności α = 0. 05, zweryfikować hipotezę H 0, że rozkład liczby usterek w płaszczach produkowanych w te fabryce est rozkładem Poissona. Mamy tu eden nieznany parametr λ. Jak wiemy estymatorem NW parametru λ est X n, a więc ako oszacowania parametru λ przymuemy x n = 5.. I I I 3 I 4 I 5
8 0 Testy zgodności 9 Rys. 9.. Podział na przedziały zmienności Przymimy podziały na przedziały I ak na Rys. 9.. Dwie ostatnie kolumny danych z tabelki połączyliśmy ze względu na małe liczności w tych kolumnach. Z tablicy rozkładu Poissona dla λ = 5. odczytuemy prawdopodobieństwa p. Następnie obliczamy wartość statystyki χ Pearsona zapisuąc kolene obliczenia w następuące tabelce: n p np n np ( n np) ( n np) np χ zaobs. =.3464 Mamy więc tu 5 przedziałów i eden parametr wyznaczony na podstawie próbki, zatem liczba stopni swobody est równa 3. Z tablic rozkładu chi-kwadrat dla α = i trzech stopni swobody odczytuemy χ zaobs. = < χ α = 7. 85, więc przymuemy hipotezę H 0, że rozkład liczby usterek w płaszczach est rozkładem Poissona. 9.3.Test λ Kołmogorowa
9 Testy zgodności 9 Test nieparametryczny można również skonstruować na podstawie twierdzenia Kołmogorowa. Przypuśćmy, że interesuąca nas cecha X elementów populaci est zmienną losową typu ciągłego. Na podstawie n elementowe próbki (n co namnie rzędu kilku dziesiątków) chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X ma dystrybuantę F. Jako test do weryfikaci hipotezy H 0 możemy przyąć statystykę nd = n sup F ( x) F( x), (9.6) n < x< n gdzie F n est dystrybuantą empiryczną. Rozkład graniczny statystyki nd n precyzue twierdzenie Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990). Przymimy poziom istotności α. Zbiorem krytycznym est tu zbiór {( n ) n } W = x, x,..., x : nd > λ, (9.7) gdzie λ est liczbą spełniaącą warunek ( ) ( ) P nd > λ = n Q λ = α, (9.8) przy czym ( ) Q λ est wartością dystrybuanty rozkładu określone w twierdzeniu Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990). Dla danego α znamy Q( λ ), a z odpowiednie tablicy odczytamy wartość λ. Hipotezę H 0, że cecha X ma dystrybuantę F odrzucamy, gdy nd n > λ (9.9) i przymuemy, gdy nd n λ. (9.0)
10 Testy zgodności 9 Należy podkreślić, że przy stosowaniu testu λ Kołmogorowa trzeba mieć na uwadze pewne ograniczenia. Po pierwsze dystrybuanta F musi ednoznacznie określać hipotetyczny rozkład w tym sensie, że nie może zależeć od parametrów szacowanych na podstawie próbki. W przypadku zależności F od nieznanych parametrów twierdzenie Kołmogorowa nie est prawdziwe. Po drugie w związku z założeniem ciągłości dystrybuanty F wyników obserwaci nie można grupować. 9.4.Test Kołmogorowa- Smirnowa Przymimy, że dane są dwie populace. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X elementów obydwu populaci ma taką samą ciągłą dystrybuantę F. Test dla zweryfikowania takie hipotezy oparty est na następuącym twierdzeniu Smirnowa: TWIERDZENIE 9.. Niech: a) X, X,..., X i Y, Y,..., Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o ednakowym n n rozkładzie z ciągłą dystrybuantą F, b) F i F n n będą dystrybuantami empirycznymi określonymi wzorami F F n n n Card i : X x i n i,,,..., (9.) ( x) = { < = } n Card i : Y x i n i,,,..., (9.) ( x) = { < = } c) ( ) ( ) δ n Wówczas nn = sup Fn x Fn x, n = < x< n + n. ( n < ) = ( ) lim P nδ x Q x (9.3) n n gdzie
11 Testy zgodności 9 3 ( ) Q x k k x ( ) e x > 0 = k = (9.4) 0 x 0 Wygodnym testem do weryfikowania sformułowane hipotezy est statystyka ( ) ( ) nδ n = n sup Fn x Fn x < x<. (9.5) Opiszemy teraz metodę postępowania przy weryfikaci. Mamy dwie populace. Pobieramy z nich próbki odpowiednio o liczebnościach n i n. Przypuśćmy, że zaobserwowaliśmy wartości x, x,..., x n oraz y, y,..., y n. Na podstawie tych danych znaduemy dystrybuanty empiryczne F ( x) n i F ( x), a następnie kres n górny bezwzględne wartości różnicy tych dystrybuant i wartość statystyki nδ n. Ustalamy poziom istotności α, a następnie zbiór krytyczny {( n n ) n } W = x, x,..., x, y, y,..., y : n δ > λ, (9.6) gdzie λ est liczbą spełniaącą warunek P ( n n ) δ > λ = α. (9.7) Liczba ( ) Q λ est wartością dystrybuanty (9.4). Wartości dystrybuanty są stablicowane (patrz np. Plucińscy, 990). Dla danego α, a tym samym ( ) Q λ z tablicy odczytuemy wartość λ. gdy Hipotezę H 0 o równości dystrybuant cechy X elementów obu populaci odrzucamy, nδ n > λ (9.8) i przymuemy, gdy nδ n λ. (9.9)
12 4 Testy zgodności 9 Pamiętać należy, że test Kołmogorowa-Smirnowa oparty est na granicznym rozkładzie statystyki nδ n, a więc być stosowany tylko wtedy, gdy liczebności są dostatecznie duże (co namnie rzędu kilku dziesiątek). PRZYKŁAD 9.3 (Plucińscy, 990). W celu zbadania trwałości opon samochodowych produkowanych przez fabryki A i B pobrano próbki z bieżące produkci obu fabryk i otrzymano następuące dane dotyczące maksymalnego przebiegu samochodów na badanych oponach (wyrażone w tysiącach km): Maksymalny przebieg Liczba opon z fabryki A z fabryki B Razem Przymuąc poziom istotności α = 0. 0 zweryfikować hipotezę H 0, że rozkłady przebiegów dla opon produkowanych przez obie fabryki maą tę samą ciągłą dystrybuantę F. Zastosuemy tu test Kołmogorowa-Smirnowa, a obliczenia zapiszemy w postaci następuące tabelki: x n n n sk n sk F ( x) n F ( x) n F ( x) F ( x) n n
13 Testy zgodności , W tabelce te przez n sk i n sk oznaczyliśmy tzw. Częstości skumulowane, tzn. n i. Z ostatnie kolumny tabelki odczytuemy, że n x x Ponieważ ( ) ( ) = sup F x F x = (9.0) δ n n n nn n = n + n = = 84. 7, n = 9., (9.) więc δ = = (9.) n n Przyęliśmy α = 0. 0, tzn. Q( λ ) = Dla te wartości Q( λ ) z tablicy rozkładu Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990) odczytuemy λ = 5.. Zatem otrzymaliśmy, że nδ n = > λ = 5., (9.3)
14 6 Testy zgodności 9 czyli spełniona est nierówność (9.8). Oznacza to, że hipotezę H 0 o równości dystrybuant dla maksymalnych przebiegów opon pochodzących z fabryk A i B należy odrzucić. Na zakończenie należy podkreślić, że w założeniach twierdzenia Smirnowa występue warunek ciągłości dystrybuanty F, co est równoważne temu, że prawdopodobieństwo wystąpienia w próbce dwóch ednakowych wartości est równe zeru. Grupowanie wyników w przedziałach może doprowadzić do błędnych wniosków (patrz np. Plucińscy, 990). Niemnie ednak w praktyce wielkości badane obserwue się tylko z pewną dokładnością związaną z przyętym układem ednostek, co siłą rzeczy prowadzi do grupowania wyników. Przedziały grupowania nie powinny być większe niż ednostka przyęte dla danego zagadnienia skali.
15 Testy zgodności 9 7 Problemy rozdziału 9. Histogramy statystyczne ako źródła hipotez statystycznych o rozkładach prawdopodobieństwa w pierwszym etapie badań statystycznych.. Weryfikaca hipotezy o rozkładzie prawdopodobieństwa. 3. Test chi-kwadrat Pearsona. 4. Rozkład chi-kwadrat. 5. Klasy obserwaci a liczba obserwaci. 6. Zbiór krytyczny w teście chi-kwadrat. 7. Modyfikaca Fishera testu chi-kwadrat. 8. Liczba stopni swobody testu chi-kwadrat. 9. Test Kołmogorowa. 0. Zbiór krytyczny testu Kołmogorowa.. Test Kołmogorowa-Smirnowa.. Zbiór krytyczny testu Kołmogorowa-Smirnowa. 3. Porównanie akości testu chi-kwadrat a Kołmogorowa.
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoTesty zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11
Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka
Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności
Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na
Bardziej szczegółowoWykład 10 Testy jednorodności rozkładów
Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WARSZAWSKA
POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech
TATYTYKA wykład 8 Wnioskowanie Weryfikacja hipotez Wanda Olech Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych etc
Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 5-6
TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy
Bardziej szczegółowoDr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407
Statystyka i analiza danych - W: Podstawy wnioskowania statystycznego Zmienne losowe, rozkład prawdopodobieństwa. Parametry rozkładu. Estymatory punktowe i przedziałowe. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Bardziej szczegółowoKorzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych cd.
Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:
Bardziej szczegółowoODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoBadanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa
Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa Test serii (test Walda-Wolfowitza) Założenie. Rozpatrywane rozkłady są ciągłe. Mamy dwa uporządkowane
Bardziej szczegółowoSpis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych
1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja
Bardziej szczegółowoPrzykład 1. (A. Łomnicki)
Plan wykładu: 1. Wariancje wewnątrz grup i między grupami do czego prowadzi ich ocena 2. Rozkład F 3. Analiza wariancji jako metoda badań założenia, etapy postępowania 4. Dwie klasyfikacje a dwa modele
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby. Statystyka
Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoTest niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia związku pomiędzy dwiema zmiennymi nominalnymi (lub porządkowymi)
Test niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia związku pomiędzy dwiema zmiennymi nominalnymi (lub porządkowymi) Czy miejsce zamieszkania różnicuje uprawianie sportu? Mieszkańcy
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTesty nieparametryczne
Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów
Bardziej szczegółowoWykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
Bardziej szczegółowoVIII WYKŁAD STATYSTYKA. 7/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VIII WYKŁAD STATYSTYKA 7/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 8 WERFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI TEST ZGODNOŚCI χ 2 Problem: Populacja generalna ma dowolny rozkład
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Analiza Analiza rozkładu
Zadanie 1 data lab.zad 1; input czas; datalines; 85 3060 631 819 805 835 955 595 690 73 815 914 ; run; Analiza Analiza rozkładu Ponieważ jesteśmy zainteresowani wyznaczeniem przedziału ufności oraz weryfikacja
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Bardziej szczegółowo