Elementy badań operacyjnych programowanie liniowe

Transkrypt

1 Elementy badań operacynych programowanie liniowe. Wprowadzenie. Formalny standardowy model liniowy maksymalizaci (minimalizaci) ako przykład realizaci dwóch klasycznych zasad sprawnego działania (A. osiągnąć maksymalny efekt przy danych nakładach, albo B. zminimalizować koszty osiągnięcia danego efektu). Przykładowe klasy zagadnień programowania liniowego.. Zagadnienie wyboru asortymentu produkci (określić, które wyroby w akie ilości produkować, aby osiągnąć ak nawiększe przychody z ich sprzedaży a ednocześnie nie przekroczyć limitów zużycia środków produkci).. Zagadnienie diety (mieszanek) (określić, które produkty żywnościowe, i w akich ilościach zakupić, aby dostarczyć zawartych w nich, a niezbędnych organizmowi, składników odżywczych przy ak namnieszych kosztach żywienia).. Zagadnienie wyboru procesu produkcynego (określić, które procesy technologiczne i z aką intensywnością należy zastosować, aby osiągnąć pożądany rozmiar produkci przy ak namnieszym odpadzie, koszcie).. Zagadnienia transportowe... Zamknięte i otwarte zagadnienia transportowe... Klasy zagadnień (transportowo-produkcyne, transportowo-produkcyno-magazynowe, lokalizaci produkci, minimalizaci pustych przebiegów). Program dualny.. Program dualny do zagadnienia standardowego.. iesymetryczne zagadnienie dualne.. Związki między rozwiązaniem zagadnienia pierwotnego i dualnego (podstawowe twierdzenia o dualizmie) Przeście od programu pierwotnego do dualnego; rozwiązanie zadania dualnego (metodą graficzną stosowną do rozwiązywania prostych zagadnień programowania liniowego) i powrót do programu pierwotnego (rozwiązanie z wykorzystaniem twierdzenia o różnicach sum dopełniaących.. Interpretaca zmiennych dualnych Literatura: Badania operacyne w przykładach i zadaniach, praca zbior. pod red. K. Kukuły, wydanie V, poprawione i rozszerzone, PW, Warszawa 007 Badania operacyne, praca zbior. pod red. W. Sikory, PWE, Warszawa 008 Guzik B., Wstęp do badań operacynych, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań 009 Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

2 . WPROWADZEIE Sprawność zarządzania przedsięwzięciami i firmami est ednym z głównych postulatów gospodarki rynkowe. Przy ego realizaci potrzebne są efektywne systemy wspomagania decyzi. Pomocne są tu badania operacyne, które dostarczaą modeli i metod poszukiwania rozwiązań optymalnych w danych warunkach ekonomicznych. Badania operacyne są stosunkowo młodą dziedziną rozwinęły się w czasie drugie wony światowe. Jak sama nazwa wskazue, rozwinęły się w związku z problematyką woskową. apierw w Wielkie Brytanii, potem w Stanach Zednoczonych przy dowództwach większych ednostek powołano grupy ekspertów składaące się z przedstawicieli różnych dyscyplin naukowych, których zadaniem była analiza niektórych zamierzonych operaci. Dziś z perspektywy czasu ocenia się, że nawiększą zasługą tych grup est to, iż potrafiły wypracować pewne ogólne metody. Metody te umożliwiły analizę wielu wariantów planu pewne operaci i wybranie wariantu nakorzystnieszego. Okazało się, że metody badań operacynych maą znacznie szersze zastosowanie niż do zagadnień woskowych, a w szczególności, że mogą być z powodzeniem stosowane do rozwiązywania problemów techniczno-ekonomicznych. Trzeba ednak zwrócić uwagę, iż historia badań operacynych sięga okresu przed II woną. Wymienić trzeba przede wszystkim nazwisko L.W. Kantorowicza, który w 99 r. opublikował pracę zawieraącą przegląd metod matematycznych do planowania przedsiębiorstwa oraz zawieraącą metody rozwiązywania modeli liniowych. Tym samym Kantorowicza uznae się za twórcę programowania liniowego, które kilka lat późnie rozwinęło się niezależnie w kraach zachodnich. Każda działalność (w tym także działalność gospodarcza) odbywa się w określonych warunkach, opiera się na pewnych zasobach (finansowych czy materialnych) oraz zasilaniu informacynym i podporządkowana est określonemu celowi (celom). Warunki działania wyznaczaą zakres możliwych planów realizaci określonego przedsięwzięcia. Plany zgodne z wymaganiami narzuconymi przez warunki działania nazywane są planami (decyzami) dopuszczalnymi. atomiast nie każdy plan dopuszczalny est ednakowo dobry w świetle celów aki stawiaą sobie podmioty gospodarcze. Stąd powstae problem wyboru planu nalepszego optymalnego, zgodnie ze sformułowanym kryterium optymalności. Badania operacyne (zaliczane do nauk o zarządzaniu) dostarczaą metod wspomagaących podemowanie decyzi. Można powiedzieć, że badania operacyne zamuą się analizą celowych działalności (operaci), generowaniem i oceną ilościową różnych decyzi kierowniczych (taktycznych lub strategicznych). W analizie różnych decyzi wykorzystywane są metody matematyczne (szczególnie optymalizacyne), heurystyczne oraz symulaca komputerowa. W badaniach operacynych wyróżnia się cztery następuące etapy:. Sformułowanie problemu i budowa modelu. ależy tu początkowo opisowo określić: o czym mamy decydować, co est celem działania, akie są warunki w których działamy, akie środki wchodzą w grę i co stanowi kryterium umożliwiaące ocenę wyników działania, a następnie zapisać to w postaci modelu matematycznego. Model odzwierciedla interesuący nas fragment rzeczywistości z pominięciem mnie istotnych elementów te rzeczywistości. Buduąc model matematyczny należy zawsze pamiętać o tym, aby uwzględniał on wszystkie istotne elementy, mogące mieć wpływ na podemowaną decyzę.. Rozwiązanie modelu, czyli wyznaczenie decyzi optymalne.. Weryfikaca modelu i uzyskanego rozwiązania. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

3 Jest to konieczne, zanim rozwiązanie zostanie zastosowane w praktyce. Chodzi o konfrontacę uzyskanego rozwiązania z rzeczywistością w takim zakresie w akim to est możliwe. Jeżeli okaże się, że model czy ego rozwiązanie nie est adekwatne do rzeczywistości, że przeoczono czynniki istotne - powinna nastąpić korekta modelu i poszczególne kroki procedury powinny być powtórzone.. Wdrożenie rozwiązania i opracowanie systemu kontroli. Rozwiązany model stanowi wskazówkę do podęcia decyzi. Równocześnie trzeba pamiętać, że rzeczywistość nie est statyczna, że podlega nieustannym zmianom (mogą zmienić się warunki działania co wyraża się zmianami wartości parametrów, może się także zmienić charakter relaci występuących w modelu) w związku z tym rozwiązanie które kiedyś uznano za optymalne po pewnym czasie może przestać być optymalnym. System kontroli powinien zapewniać szybką informacę o zmianie warunków a także umożliwiać szybką zmianę rozwiązania, by było ono optymalne w nowych warunkach. Bardzo często algorytmy rozwiązywania modeli badań operacynych uzupełnione są o dodatkowe moduły (metody) umożliwiaące analizę wrażliwości uzyskanego rozwiązania na zmiany parametrów modelu. Do analizy decyzi niezbędna est informaca, dana ako parametry modelu. W zależności od charakteru posiadanych informaci wyróżnia się kilka typów modeli badań operacynych. Z typami wiążą się z kolei metody ich rozwiązywania. Jeżeli wszystkie parametry modelu są wielkościami znanymi i stałymi to mamy do czynienia z modelami deterministycznymi. W tych modelach każda możliwa decyza prowadzi do ednoznacznie określonych wyników. Metody stosowane przy rozwiązywaniu modeli deterministycznych to: rachunek różniczkowy który umożliwia wyznaczenie ekstremum funkci wielu zmiennych; stosowany est ednak tylko do rozwiązywania bardzo prostych problemów, programowanie liniowe modele w których wszystkie relace maą charakter liniowy; metoda ta odgrywa w badaniach operacynych szczególną rolę, bowiem w praktyce często spotykamy się z zagadnieniami, które daą się uąć w postaci modelu liniowego, lub za pomocą odpowiednich przekształceń można e sprowadzić do modelu liniowego, programowanie nieliniowe pod tą nazwą występue szereg różnych metod, stosowanych do rozwiązywania problemów, których nie da się opisać bez specalnego zniekształcania rzeczywistości modelem liniowym. Jeżeli parametry modelu są nieznane, ale znane są ich rozkłady prawdopodobieństwa, to mamy do czynienia z modelami w warunkach ryzyka (modele statystyczne lub probabilistyczne). Wreszcie modele, w których nie są znane nawet rozkłady parametrów, a znany est z reguły tylko zbiór wartości akie parametry mogą przymować nazywane są modelami podemowania decyzi w warunkach niepewności (modelami strategicznymi), ich typowym przykładem są modele teorii gier. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

4 . PROGRAM LIIOWY Programem liniowym (PL) nazywamy zadanie o następuące postaci: lub c c c ma funkca celu (funkca kryterium) a a a b a a a b warunki ograniczaące... a M am am bm,,, 0 warunki brzegowe c c min funkca celu (funkca kryterium) a a a b a a a b warunki ograniczaące... a M am am M bm,,, 0 warunki brzegowe c Program liniowy () nazywamy standardowym zadaniem maksymalizaci a program () standardowym zadaniem minimalizaci. W programie tym występuą pewne wielkości dane parametry: a i, b i, c (i =,,...,M; =,,...,) oraz wielkości, które należy ustalić zmienne decyzyne: ( =,,...,). Elementami każdego programu liniowego są: warunki ograniczaące, warunki brzegowe i funkca celu. Warunki ograniczaące to układ równań lub nierówności opisuących warunki działania. W konkretnych sytuacach decyzynych nierówności w warunkach ograniczaących mogą oczywiście mieć przeciwny zwrot, mogą to także być równości. W warunkach brzegowych zakłada się, że zmienne decyzyne, które są pewnymi wielkościami ekonomicznymi będą liczbami nieuemnymi. Funkca celu umożliwia wybór optymalnego przy istnieących ograniczeniach wariantu planu; może być maksymalizowana lub minimalizowana. Zbiór wartości zmiennych decyzynych spełniaący warunki ograniczaące i warunki brzegowe nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym PL. Rozwiązań dopuszczalnych est zwykle wiele. Spośród nich wybiera się takie, dla którego (których) funkca celu przymue wartość ekstremalną (w zależności od sytuaci maksymalną lub minimalną). Jest to rozwiązanie optymalne. Standardowy program liniowy może być odpowiednio także zapisany w notaci macierzowe: c T ma c T min A b A b () 0 0 gdzie: A est macierzą współczynników stoących po lewe stronie układu warunków ograniczaących (o wymiarach M), b est wektorem (kolumnowym, o wymiarach M) wyrazów wolnych układu warunków ograniczaących, c T est wektorem wierszowym (o wymiarach ) współczynników funkci celu i est wektorem zmiennych decyzynych (o wymiarach ). () () Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

5 Zatem, rozwiązanie programu liniowego polega na wyznaczeniu optymalnych wartości zmiennych decyzynych. Uniwersalną, numeryczną metodą rozwiązywania programów liniowych est tzw. algorytm simpleks. Jest to procedura iteracyna (etapowa), która polega na tym, że wyznacza się dowolne początkowe rozwiązanie dopuszczalne, tzw. rozwiązanie bazowe i to rozwiązanie poprawia się w kolenych iteracach, aż do momentu stwierdzenia, że dalsza poprawa est niemożliwa. Odpowiednie procedury zapewniaą, że każde kolene rozwiązanie bazowe est lepsze (a przynamnie nie gorsze) od poprzedniego. Poprawa rozwiązań w kolenych iteracach polega na osiąganiu coraz wyższe wartości funkci celu, która est maksymalizowana (lub coraz niższe wartości funkci celu, która est minimalizowana). Jest to procedura pracochłonna i zwykle realizuą ą wyspecalizowane pakiety komputerowe, ak np. CMMS, QSB, Lindo. Można ą także zrealizować w arkuszu kalkulacynym Ecel, wykorzystuąc moduł (narzędzie) akim est Solver, pamiętaąc ednakże, aby w opcach zaznaczyć, iż interesue nas optymalizaca liniowa, gdyż Solver potrafi także szukać ekstremum (zarówno warunkowego, ak i bezwarunkowego) modeli nieliniowych, ale uruchamia w tym celu podmoduły różniczkowania numerycznego, zupełnie zbędne w optymalizaci liniowe. W szczególnym przypadku, gdy w modelu występuą dwie zmienne decyzyne można program liniowy rozwiązać metodą geometryczną. Innym szczególnym przypadkiem są modele w których występuą więce niż dwie zmienne decyzyne ale tylko dwa warunki ograniczaące. Do rozwiązania takiego modelu można wykorzystać zależności pomiędzy programem pierwotnym i dualnym, tzn. rozwiązać program dualny (w którym będą tylko dwie zmienne decyzyne), a następnie prześć do rozwiązania programu pierwotnego wykorzystuąc odpowiednie twierdzenie.. PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADIEŃ PROGRAMOWAIA LIIOWEGO Za pomocą modeli programowania liniowego można opisać bardzo wiele sytuaci decyzynych, w których zależności pomiędzy zmiennymi są typu liniowego. aczęście omawiane są trzy problemy mikroekonomiczne: wybór wielkości i struktury produkci w zakładzie produkcynym, wybór procesu technologicznego oraz problem diety (mieszanki). Znaomość tych typowych problemów stanowi zwykle podstawę umożliwiaącą rozwiązanie także innych problemów poawiaących się w praktyce... Wybór asortymentu produkci w zakładzie przemysłowym. Zakład (firma) może produkować wyrobów. Do ich produkci zużywane są różne środki produkci, z których część est dostępna w ograniczonych ilościach, załóżmy że est do dyspozyci M limitowanych środków produkci. Dane są normy zużycia środków produkci na ednostkę każdego wyrobu, zasoby środków produkci, ceny lub zyski ednostkowe ze sprzedaży wyrobów, mogą być także dodatkowe informace o popycie na produkowane wyroby (maksymalne ilości aką będzie można sprzedać lub minimalne ilości aką trzeba wyprodukować aby zrealizować zamówienia odbiorców). Zatem parametrami w modelu matematycznym zagadnienia są: a i zużycie i-tego limitowanego środka produkci na wytworzenie ednostki -tego wyrobu (i =,..., M; =,..., ), b i posiadany zasób i-tego limitowanego środka produkci, c cena lub zysk ednostkowy ze sprzedaży -tego wyrobu, Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 5

6 u minimalna ilość -tego wyrobu aką trzeba wyprodukować, v maksymalna ilość -tego wyrobu aką można sprzedać. ależy określić wielkość produkci poszczególnych wyrobów, tak aby nie przekraczaąc posiadanych zasobów środków produkci i ewentualnie spełniaąc pewne dodatkowe ograniczenia dotyczące struktury produkci zmaksymalizować przychód (lub zysk) z ich sprzedaży. Zmiennymi decyzynymi w tym zagadnieniu są zatem wielkości produkci wyrobów: - wielkość produkci -tego wyrobu, a ogólny model zagadnienia można zapisać następuąco: c c c ma a a a b am am am bm u v dla niektórych,, n 0 lub nadal skalarnie, ednakże w sposób bardzie zwarty: c ma ai bi, i,..., M u v dla niektórych 0,,..., gdzie pierwsze M warunków dotyczy ograniczonych zasobów środków produkci, pozostałe zaś warunki, które nie zawsze występuą związane są z ograniczeniami ze strony popytu. Przykład. Przedsiębiorstwo produkue dwa wyroby: W i W. Ograniczeniem w procesie produkci est czas pracy trzech maszyn: M, M i M. W tablicy podano zużycie czasu pracy każde z tych maszyn na produkcę ednostki poszczególnych wyrobów, dopuszczalne czasy pracy maszyn oraz ceny wyrobów. Tablica Maszyny Zużycie czasu pracy maszyny (w godz.) ma ednostkę wyrobu Dopuszczalny czas pracy maszyny W W (w godz.) M 000 M 00 M,5 600 Ceny (zł) 0 0 a) ależy określić w akich ilościach produkować poszczególne wyroby, aby przy istnieących ograniczeniach przychód z ich sprzedaży był możliwie nawiększy. b) Czy optymalna struktura produkci ulegnie zmianie, eżeli cena wyrobu W wzrośnie do 0 zł. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 6

7 R o z w i ą z a n i e: Ad a) ależy ustalić wielkość produkci dwóch wyrobów, zatem zmiennymi decyzynymi będą: wielkość produkci wyrobu W i wielkość produkci wyrobu W. W warunkach ograniczaących należy zapisać, iż wielkości produkci tych wyrobów powinny być takie, aby nie zostały przekroczone dopuszczalne czasy pracy maszyn. Dla maszyny M warunek będzie miał postać: (gdzie to zużycie czasu pracy M na produkcę wyrobu W a to zużycie czasu pracy te maszyny na produkcę wyrobu W ). Analogiczne warunki dla maszyn M i M przymuą postać: + 00 i, Ponieważ nie ma tu żadnych dodatkowych ograniczeń dotyczących wielkości produkci poszczególnych wyrobów, wystarczy dodać warunki brzegowe i funkcę celu maksymalizuącą przychód ze sprzedaży: 0 +0 ma (gdzie 0 to przychód ze sprzedaży wyrobu W, a 0 to przychód ze sprzedaży wyrobu W ). Zatem w całości PL dla powyższe sytuaci decyzyne ma postać: F(, ) ),5 ), ) ) ma. Ponieważ w programie występuą tylko dwie zmienne decyzyne można go rozwiązać metodą geometryczną (na układzie współrzędnych). Aby narysować równania poszczególnych prostych należy dla każde z nich znaleźć dwa punkty przez które e wykres przechodzi. ałatwie est znaleźć punkty przecięcia prostych z osiami układu współrzędnych. I tak np. dla warunku (), eżeli przymiemy, że = 0 wówczas = 500; ten punkt zaznaczamy na osi. Jeżeli z kolei przymiemy = 0 wówczas = 000; ten punkt zaznaczamy na osi. Te dwa punkty łączymy prostą a ponieważ warunek () ma postać nierówności ego geometrycznym obrazem est półpłaszczyzna leżąca poniże (na lewo) wraz z punktami należącymi do proste, co na rysunku zaznaczono za pomocą strzałki skierowane w dół. Analogicznie zaznaczono na rys.. pozostałe dwa warunki: prosta () przecina oś w punkcie 800 i oś w punkcie 800 a warunek spełniaą punkty leżące na proste i poniże; graficznym obrazem warunku () est półpłaszczyzna poniże proste (łącznie z tą prostą) równoległe do osi o równaniu = 00. Obszar spełniaący wszystkie warunki to pięciobok ABCDE; punkty (o współrzędnych i ) leżące na ego krawędziach (brzegach) i wewnątrz są rozwiązaniem dopuszczalnym PL. W tym wieloboku należy znaleźć punkt lub punkty stanowiące rozwiązanie optymalne, przy czym kryterium optymalności est maksymalizaca przychodu ze sprzedaży, danego funkcą F(, ). Rozwiązanie optymalne, eśli istniee, znadue się zawsze w wierzchołku (lub wierzchołkach, ale wtedy cała krawędź, łącząca te wierzchołki est rozwiązaniem optymalnym) zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Można e zatem znaleźć obliczaąc wartości funkci celu we wszystkich ego wierzchołkach. Współrzędne wierzchołków znaduemy rozwiązuąc odpowiednie układy równań dla par przecinaących się w nich warunków (prostych). I tak, w naszym przykładzie, mamy: A(0; 0) F(A) = = 0, B(00; 0) F(B) = = 000, C(00; 00) F(C) = = 6 000, Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 7

8 D(00; 600) F(D) = = 8000, E(0; 800) F(E) = = awyższą wartość funkca celu przymue w punkcie D; zatem współrzędne tego punktu stanowią rozwiązanie optymalne problemu. Rozwiązanie optymalne można znaleźć także znacznie szybcie. Przymue się mianowicie dowolną wartość funkci celu (taką aby można było ą nanieść na rysunek) i rysue e wykres, dla odróżnienia od warunków ograniczaących na rys.. zaznaczono ą linią przerywaną. Przymimy np. wartość początkową Mamy zatem F(, ) = = 6000; funkca przecina oś w punkcie 00 i oś w punkcie 00. Zauważmy, że gdybyśmy przyęli wartość wyższą np., 000 to otrzymalibyśmy prostą o równaniu F(, ) = = 000. Prosta ta byłaby równoległa do pierwsze proste, ale bardzie oddalona od początku układu współrzędnych. Gdybyśmy natomiast wzięli pewną wartość niższą np. 000, to prosta F(, ) = = 000 byłaby też równoległa do proste pierwsze, ale leżałaby bliże początku układu współrzędnych. Widzimy zatem, iż gdybyśmy na rysunek nanieśli proste dla różnych wartości F(, ), wszystkie one byłyby równoległe do siebie i do pierwsze wyznaczone proste. Znalezienie punktu optymalnego sprowadza się do tego, aby w wieloboku rozwiązań dopuszczalnych znaleźć punkt leżący na proste o nawyższe wartości funkci celu. Praktycznie ednak wystarczy wykreślić edną prostą i ą przesuwać równolegle, w zależności od potrzeb w górę lub w dół, tak aby w przypadku maksymalizaci funkci celu znaleźć punkt zbioru rozwiązań dopuszczalnych położony możliwie nadale od początku układu współrzędnych (eżeli funkca celu est minimalizowana będziemy szukać punktu położo- Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 8

9 nego możliwie nabliże początku układu współrzędnych). Jak widać F(, ) = = 6000 można przesunąć równolegle tak, że będzie ona styczna do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w punkcie D o współrzędnych: = 00; = 600; F(, ) = = Zatem należy produkować 00 sztuk wyrobu W i 600 sztuk wyroby W, co da przychód ze sprzedaży (maksymalny przy istnieących ograniczeniach) w wysokości 8000 zł. Ad b) Jeżeli cena wyrobu W zostanie podwyższona do 0 zł, zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie ulegnie zmianie, może natomiast zmienić się rozwiązanie optymalne, bo zmienia się kąt nachylenia (współczynnik kierunkowy) funkci celu. owa funkca kryterium przymue postać: F (, ) = 0 + 0, a po przyęciu e początkowe wartości np wykres funkci F (, ) = = 8000 zaznaczono także na rys... Przesuwamy ą następnie w górę szukaąc punktu należącego do wieloboku ABCDE położonego możliwie nadale od początku układu. Jak widać nawyższe e położenie pokrywa się z odcinkiem CD zbioru rozwiązań dopuszczalnych [nietrudno zauważyć, iż funkca F (, ) est równoległa do proste (), do które należy odcinek DE, tzn. ich współczynniki są odpowiednio proporconalne], zatem cały odcinek CD będzie obecnie zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. Jak łatwo sprawdzić, wartość funkci celu w obu punktach est taka sama: F (C)= = 0000 i F (D) = = Taką samą wartość przymie funkca celu w dowolnym innym punkcie odcinka CD. W tym przypadku mamy nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych, dwa przykładowe to: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 9

10 00, 600, lub 00, 00. Przy takich strukturach produkci przychód ze sprzedaży wyrobów wyniesie zł. Przykład. Przedsiębiorstwo produkue trzy wyroby: A, B, C do produkci których zużywa m. in. dwa limitowane surowce. W ciągu miesiąca można zużyć nie więce niż 000 kg surowca S i nie więce niż 500 kg surowca S. Inne niezbędne dane zawiera tabl.. Surowce Tablica Zużycie surowca (w kg) na ednostkę wyrobu A B C S 6 8 S 6 Cena wyrobu (zł) a) Ustalić miesięczną wielkość produkci tych wyrobów, tak aby zmaksymalizować przychód z ich sprzedaży. b) Załóżmy, że będzie można dokupić miesięcznie dodatkowe 0 kg surowca S. Jak wpłynie to na przychód ze sprzedaży? R o z w i ą z a n i e: Ad a) ależy ustalić dzienną wielkość produkci trzech wyrobów, zatem w modelu zagadnienia wystąpią trzy zmienne decyzyne: wielkość produkci wyrobu A, wielkość produkci wyrobu B, wielkość produkci wyrobu C. Ograniczeniem w procesie produkci są tylko zasoby dwóch surowców. Warunek ograniczaący zużycie surowca S ma postać: Analogiczny warunek dla surowca ma postać: Po dodaniu warunków brzegowych i funkci celu model przymue postać: F(, 6, 6,, 8 0 ) Ponieważ w modelu występuą trzy zmienne decyzyne, trudno byłoby go rozwiązać metodą geometryczną, natomiast ze względu na tylko dwa warunki ograniczaące łatwo można go rozwiązać wykorzystuąc zależności pomiędzy programem pierwotnym i dualnym, bowiem w programie dualnym (PD) wystąpią tylko dwie zmienne decyzyne, powiedzmy y i y, odpowiadaące warunkom ograniczaącym programu pierwotnego (PP). atomiast kolene warunki PD konstruuemy ze współczynników stoących przy odpowiednich zmiennych PP. Zgodnie z omówionymi dale pozostałymi zasadami konstrukci PD przymue on postać: F( y, y ) ) ) ) y 6y 8y y, y ) 000y 6y y y y Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 0 ma min

11 Jak łatwo sprawdzić, posługuąc się np. metodą geometryczną, rozwiązanie optymalne programu dualnego oraz optymalna wartość funkci celu kształtuą się: y =,8; y = 0,8; F(y, y ) = 000, ,8 = 600. Znaąc rozwiązanie programu dualnego (PD) można prześć do rozwiązania programu pierwotnego (PP) korzystaąc z przytoczonych dale twierdzeń. Sprawdzimy zatem ak (ostro czy słabo), dla rozwiązania optymalnego (y, y ) spełnione są poszczególne warunki PD. Otrzymuemy: ) ) ),8 60,8 70, 6 6,8 0, ,8 0,8 6 6 A więc ostro spełniony est warunek (), z czego wynika że odpowiadaąca mu optymalna wartość zmienne w PP ( ) przymue wartość 0, natomiast y i y są dodatnie, więc odpowiadaące im warunki ) i ) PP są dla rozwiązań optymalnych i spełnione słabo (lewa i prawa strona są sobie równe zachodzą z równością). Wstawiaąc więc 0 do PP otrzymuemy układ równań: którego rozwiązanie to: = 00, = 50. Zatem optymalne rozwiązanie zagadnienia (PP), to: 0; 00; 50, F (,, ) F ( y, y ). 0 Jak więc widać, zgodnie z podstawowym twierdzeniem o dualizmie: wartości funkci celu dla rozwiązań optymalnych obu programów są sobie równe. ależy zatem produkować 00 sztuk wyrobu B i 50 sztuk wyrobu C, natomiast wyrobu A nie produkować. Miesięczny przychód ze sprzedaży tych wyrobów wyniesie 600 zł. Ad b) W odpowiedzi na pytanie ak wzrośnie przychód ze sprzedaży wyrobów, eżeli zasób surowca S wzrośnie o 0 kg wykorzystamy interpretacę zmiennych dualnych. Załóżmy na wstępie, że można dokupić kg surowca S i wyznaczmy rozwiązanie układu (przy założeniu, że ten dodatkowy zasób nie wpłynie na zmianę rozwiązania optymalnego): Jest nim = 99,9; = 50, ( = 0), a F(,, ) = , , = 60,8. Wzrost zasobu surowca S o kg dał przyrost przychodu ze sprzedaży (wartości funkci celu) o F = 60,8 600 =,8 = y. Można także sprawdzić, iż gdyby o kg wzrósł zasób surowca S, to rozwiązaniem układu równań: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

12 są wartości = 00,; = 9,7, a F(,, ) = , + 69,7 = 60,8. Zatem wartość przychodu ze sprzedaży wzrosła o F = 60,8 600 = 0,8 = y. Można także sprawdzić, iż eżeli zasób surowca S wzrośnie o 0 kg, to przychód ze sprzedaży wyrobów wzrośnie o 8 zł (0,8) podkreślmy raz eszcze, że zakłada się iż taka zmiana zasobu środka nie powodue zmiany rozwiązania optymalnego. Zgodnie z neoklasyczną teorią ekonomii, zmienna dualna y i określa więc krańcową produktywność ednostki i-tego środka. a zakończenie warto zwrócić uwagę na ciekawą interpretacę ekonomiczną programu dualnego do zagadnienia wyboru asortymentu produkci. Przede wszystkim zauważmy, iż zmienne dualne interpretowane są także ako ceny dualne. W tym przypadku to ceny środków produkci, wyrażone w zł na ednostkę środka produkci. Załóżmy, że konkurent chce odkupić od producenta środki produkci. Buduąc a następnie rozwiązuąc program dualny konkurent oblicza akie ceny powinien producentowi zaoferować. Z edne strony chciałby odkupić środki ak natanie, proponue więc aby b i y i, czyli wartość funkci celu programu dualnego była ak naniższa. Z drugie ednak strony konkurent musi liczyć się z faktem, że eżeli zaoferue producentowi zbyt niską cenę, to ten posiadanych środków nie sprzeda. Cena za niska, to taka, przy które przychód ze sprzedaży tych środków byłby niższy od przychodu aki producent mógłby uzyskać produkuąc ze środków wyroby i sprzedaąc te wyroby. Gdyby producent sprzedał środki niezbędne do produkci ednostki -tego wyrobu po cenach y i (i =,..., M), to dostałby sumę a i y i, a więc opłaci mu się sprzedać, eżeli ta suma będzie nie mniesza od ceny lub zysku ze sprzedaży tego wyrobu, czyli: a i y i c ( =,,..., ), a warunki te stanowią ograniczenia programu dualnego. Zatem pogram dualny do zagadnienia wyboru asortymentu produkci to program, który powinien rozwiązać konkurent pragnący nabyć środki produkci od producenta, eżeli chciałby działać raconalnie i liczy na raconalne zachowanie producenta... Wybór procesu technologicznego Zakład ma wyprodukować M wyrobów w ilościach b, b,...,b M. Do wytwarzania tych wyrobów można stosować procesów technologicznych. Stosuąc ty proces z ednostkową intensywnością (w skali ednostkowe eden raz) uzyskue się poszczególne produkty w ilościach a i ponosząc koszty c. ależy tak dobrać procesy technologiczne by wytworzyć potrzebne ilości wyrobów przy namnieszych kosztach. Zatem zmienne decyzyne oznaczaą tu intensywność z aką powinny być stosowane poszczególne procesy technologiczne (skalę ich zastosowania). Zadanie to sprowadza się do rozwiązania następuącego modelu: c c a a... a M, a a a c M,, a a 0 a M min b b b Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

13 gdzie, powtórzmy raz eszcze, poszczególne parametry oznaczaą: a i ilość i tego wyrobu uzyskana przy zastosowaniu tego procesu technologicznego z ednostkową intensywnością (i =,,..., M; =,,..., ), b i planowana wielkość produkci i tego wyrobu, c koszt zastosowania tego procesu technologicznego z ednostkową intensywnością. Zagadnienie wyboru procesu technologicznego ma wiele różnych wariantów. Jednym z nich est problem znany w literaturze ako problem rozkrou. Z pewnego surowca (np. kłody drewna, arkusze blachy, bele papieru) należy wykroić określone elementy (belki o pewne długości, detale o określonym kształcie. Istnieą na ogół różne sposoby rozkrou surowca daące pożądane elementy w różnych ilościach. Sposoby rozkrou to procesy technologiczne. Przez intensywność danego procesu (sposobu rozkrou) rozumie się liczbę ednostek surowca rozkroonych danym sposobem. atomiast kosztem ednostkowym est odpad aki powstae po wykroeniu z surowca tych elementów (lub koszt odpadu). Tę sytuacę ilustrue koleny przykład. Przykład. Klient dostarczył do tartaku kłody o długości, m, zlecaąc pocięcie ich tak, aby otrzymać 00 kompletów belek. a komplet składaą się: belka o długości 0,8 m i belki o długości, m. ależy podać optymalny sposób rozkrou surowca, aby zrealizować zamówienie minimalizuąc koszt odpadów, eżeli wiadomo, że m odpadów kosztue 0 zł. R o z w i ą z a n i e: Mamy tu do czynienia z bardzo prostymi sposobami rozkrou kłody drewna należy pociąć na krótsze belki, sposoby te łatwo można znaleźć. Przykładowo z kłody można otrzymać 5 belek o długości 0,8 m; zużye się na to 50,8 = m, zatem odpad wyniesie 0, m (, = 0,). Inny sposób rozkrou może dać np. belki o długości 0,8 m i belkę o długości, m, wykorzysta się przy tym, sposobie 0,8 +, =, m, zatem odpad wyniesie 0, m. Wszystkie sposoby rozkrou zestawiono w poniższe tablicy uwzględniono w nie tylko sposoby efektywne, czyli takie które daą odpad mnieszy niż 0,8 m (czyli mnieszy niż długość krótsze belki). W ostatnim wierszu tablicy podany est odpad wyrażony w zł (odpad w metrach pomnożony przez 0 zł czyli koszt m odpadu). Belki o długości Sposoby rozkrou kłody I II III IV V Zamówiona ilość 0,8 m , m 0 00 Odpad (m) 0, 0, 0,6 0, 0 Odpad (zł) W ostatnie kolumnie te tablicy podano ilości belek akie należy klientowi dostarczyć (ilości belek w komplecie pomnożone przez liczbę zamówionych kompletów 00). Jak widać istniee 5 możliwych sposobów rozkrou kłody, zatem w modelu zagadnienia wystąpi 5 zmiennych decyzynych:,..., 5 które będą oznaczać intensywność zastosowania poszczególnych sposobów rozkrou, czyli inacze ilość kłód (o dł., m) pociętych sposobami 5. Model matematyczny zagadnienia ma postać: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

14 F(,..., 5, 5,..., ) min W modelu występue 5 zmiennych decyzynych, ale tylko dwa warunki ograniczaące można zatem go rozwiązać wykorzystuąc zależności pomiędzy programem pierwotnym i dualnym. Program dualny dla powyższego modelu ma postać: F( y, y ) ) ) ) 5) 6) 5y y y, y y ) 00y y y y y y y 6 0 a ego rozwiązaniem optymalnym, znalezionym metodą geometryczną, ak łatwo sprawdzić [zbiór rozwiązań dopuszczalnych redukue się do odcinka OA, gdzie O(0; 0) oraz A(0,5; 0)] bez wątpienia est współrzędne punktu A, t.: y Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona ma 0, 5; y 0; F ( y, y ) 000, Aby wrócić do rozwiązania PP sprawdzamy, ak (ostro czy słabo) w rozwiązaniu optymalnym PD spełnione są ego poszczególne warunki. Podstawiaąc optymalne wartości zmiennych dualnych mamy: ) 5 0,5,5 8 ) ) ) 5) 0,5 0 0,5 0 0, Wiedząc, że można łatwo znaleźć rozwiązanie programu pierwotnego: Zauważmy, że ponieważ y 0; zgodnie z twierdzeniem o dualności odpowiadaący te zmienne warunek w PP (warunek ) est spełniony ostro; stąd: ; Zadanie ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych: 00, 5 75; F(,..., 5 ) zł F( y, y ależy zatem 00 kłód pociąć sposobem drugim i co namnie 75 kłód sposobem piątym. Łączny koszt odpadów wyniesie 00 zł. Warto eszcze zwrócić uwagę na interpretacę zmiennych dualnych. Również w tym przypadku są to ceny dualne ceny dodatkowego wyrobu. Przypomnimy raz eszcze, że w myśl twierdzenia o dualizmie wartość zmienne dualne y i informue o ile wzrośnie wartość 5 ).

15 funkci celu PP, eżeli wyraz wolny w i tym ograniczeniu wzrośnie o. Zatem gdyby klient zażyczył sobie dodatkową belkę o długości 0,8 m, to koszt odpadów wzrósłby o y 0,5zł, gdyby zaś klient zażyczył sobie dodatkową belkę o długości, m, to koszt odpadów nie uległby zmianie ( y 0 )... Problem diety Z matematycznego punktu widzenia problem ten est bardzo podobny do poprzednich; stawiany est tak w odniesieniu do ludzi (poedynczego człowieka, lub określone grupy ludzi, np. dzieci w przedszkolu), ak i zwierząt domowych. Dla zaspokoenia potrzeb organizmu trzeba mu dostarczyć w różnych ilościach rozmaitych składników odżywczych (np. białka, tłuszcze, sole mineralne, witaminy, kalorie itd.). Składniki te zawarte są w różnych produktach żywnościowych. Załóżmy że mamy do dyspozyci produktów żywnościowych, w których powinno być zawarte M składników odżywczych. Parametrami (danymi) w tym zagadnieniu są: a i zawartość i tego składnika odżywczego w ednostce tego produktu (i =,,..., M; =,,..., ), b i tzw. norma żywienia, czyli minimalna (a czasami maksymalna) ilość i tego składnika aką organizmowi należy (można) dostarczyć c cena tego produktu żywnościowego. W konkretnych sytuacach decyzynych mogą być także wymagania np. aby dieta nie była zbyt monotonna, tzn. podane mogą być: u minimalna ilość tego produktu aką powinno się spożywać v maksymalna ilość tego produktu aką organizm może otrzymać. ależy określić takie wielkości zakupu poszczególnych produktów żywnościowych, które zapewnią organizmowi niezbędne składniki odżywcze i spełnią ewentualnie pewne dodatkowe ograniczenia, a równocześnie koszt ich zakupu będzie możliwie naniższy. Zatem zmiennymi decyzynymi:,..., n są ilości produktów, akie należy zakupić ( wielkość zakupu tego produktu żywnościowego), a problem diety sprowadza się do rozwiązania następuącego zadania: c c c min a a u M a a M v dla a a M b niektórych,, 0 Przykład Farmer musi ekstra wzbogacić dietę hodowlanych zwierząt o dwa składniki odżywcze (A i B), zwykle obecne, ale w rożnych ilościach, w większości gotowych mieszanek paszowych. W ciągu miesiąca zwierzęta powinny otrzymać co namnie 90 ednostek składnika A i dokładnie 50 ednostek składnika B. Dostępne w sprzedaży mieszanki: M i M zawieraą te składniki, ale est w nich obecna także pewna ilości składnika C, którego zwierzęta nie powinny otrzymać więce niż 96 ednostek. W tabl. podano zawartość składników odżywczych w mieszankach i ceny ich zakupu: b M Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 5

16 Mieszanka Zawartość składnika w kg mieszanki A B C Tablica Cena kg mieszanki (zł) M 6 5,5 M 5 0 Wiedząc ponadto, że mieszanki M nie należy podawać więce niż M i nie więce niż kg w ciągu miesiąca należy odpowiedzieć na następuące pytania: a) w akie ilości zakupić mieszanki M i M, aby zwierzęta otrzymały potrzebne składniki odżywcze przy możliwie naniższych kosztach zakupu mieszanek. b) czy optymalna dieta ulegnie zmianie, eżeli mieszanka M podrożee do zł. R o z w i ą z a n i e: Ad a) ależy ustalić optymalną wielkość zakupu dwóch mieszanek, zatem w modelu występuą dwie zmienne decyzyne: - wielkość zakupu mieszanki M i - wielkość zakupu mieszanki M, a model opisuący powyższy problem ma postać: F(, ) ) ) ) 5) 6) 6 5, ), min Zauważmy, że geometrycznym obrazem warunku () est prosta = i punkty leżące na lewo od nie. Zbiorem rozwiązań dopuszczalnych est odcinek proste () (warunek () est spełniony wyłącznie przez punkty leżące na proste) pomiędzy punktami A(0; 5) i B(;). Odcinek ten est równocześnie rozwiązaniem optymalnym zadania, bowiem wartość funkci celu w obydwu punktach est taka sama: F(A) =, = 5 = F(B) =,5 + = 5. Przykład 5. Odlewnia powinna wyprodukować w ramach zamówienia 600 ton żeliwa zawieraącego 6,5% Si i 8,75% Mn. W celu realizaci zamówienia odlewnia może kupić czterech rodzaów stopów żeliwnych, ale o inne proporci wyże wymienionych pierwiastków. Zawartości pierwiastków i ceny zakupu stopów, podanych w tablicy 5. a) Ile należy zakupić poszczególnych stopów, aby wyprodukować żeliwo o pożądanym składzie ponosząc możliwie naniższe koszty zakupu stopów. b) Jak wzrosną koszty zakupu stopów, eżeli wymagania dotyczące zawartości Si w żeliwie wzrosną o 0 ton. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 6

17 R o z w i ą z a n i e: Stop % zawartość pierwiastka w stopie Si Mn Tablica 5 Cena tony stopu (zł) S S S 70 - S Ad a) Przykład ten dotyczy zagadnienia mieszanki, będącego uogólnieniem zagadnienia diety. Zagadnienie mieszanki dotyczy ustalenia ilości podstawowych surowców akie należy zmieszać (zakupić) aby otrzymać produkt o pożądanym składzie chemicznym przy możliwie naniższych kosztach zakupu surowców. W tym przypadku surowcami są cztery rodzae stopów, zatem zmienne decyzyne,,, to odpowiednio ilości ton stopów S,... S. Wytworzone (w ilości 600 ton) żeliwo powinno zawierać 6,5% (czyli 6,5%600 = 000 ton) Si oraz 8,75% (czyli 8,75%600 = 00 ton) Mn. Program liniowy dla powyższego problemu przymue postać: F(,..., 0, 0,, 0,6 0,,, ) 5 0, ,8 0, ałatwie można go rozwiązać wykorzystuąc zależności pomiędzy PP i PD. Program dualny przedstawiono poniże: F( y, y 0,y 0,6 y 0,7 y 0,8 y y, y ) 000y 0,y 0, y 0, y y Rozwiązaniem optymalnym PD są współrzędne punktu P, w którym przecinaą się proste () i (). Rozwiązuąc układ tych dwu równań otrzymuemy: y 8, y 08, a wobec tego ma min F ( y, y ) Łatwo też sprawdzić, że te rozwiązania optymalne słabo (ako równości) spełniaą warunki () i (), natomiast ostro spełniaą warunki () i (). Stąd wiadomo, że 0. Pozostae zatem rozwiązanie układu równań: które est następuące: 0,6 0, 0,8 0, , 00 a wobec tego: F (,..., ) Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 7

18 Do produkci żeliwa należy zatem użyć 00 ton stopu S i 00 ton stopu S, łączne koszty zakupu surowców wyniosą zł. Ad b) Aby odpowiedzieć na pytanie: ak wzrosną koszty zakupu stopów, eżeli wymagania dotyczące zawartości Si w żeliwie wzrosną o 0 ton, t. do 00 ton, można wykorzystać interpretacę zmiennych dualnych lub rozwiązać układ równań: 0,6 0, 0,8 0, i porównać wartości funkci celu Otrzymuemy: 90, 0. F (,..., ) Zatem koszty zakupu surowców wzrosły o F = = 80 zł. Analogiczny wynik dae: y Zagadnienia transportowe Modele zagadnień transportowych ułatwiaą opracowywanie planów przewozu ednorodnych towarów z różnych źródeł zaopatrzenia do odbiorców zgłaszaących zapotrzebowanie na te towary. Kryterium optymalizaci planu przewozów est naczęście minimalizaca łącznych kosztów transportu (rzadzie minimalizaca odległości lub czasu transportu)... Zamknięte i otwarte zagadnienia transportowe Ogólny model zagadnienia est następuący. Danych est M dostawców, z których każdy dysponue A i ednostkami towaru. Zapotrzebowanie na towar zgłasza odbiorców, każdy w ilości B ednostek. Każdy z dostawców może zaopatrywać dowolnego odbiorcę i odwrotnie, każdy odbiorca może otrzymać towar od dowolnego dostawcy. Dane są ponadto c i ednostkowe koszty transportu towaru od i-tego dostawcy do -tego odbiorcy (i =,,..., M; =,,..., ). Zakłada się, że całkowity koszt transportu est sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach. ależy opracować plan przewozu towaru pomiędzy dostawcami i odbiorcami, tak aby łączne koszty transportu były możliwie naniższe. Plan taki ma określić ile towaru powinien dostarczyć i-ty dostawca -temu odbiorcy i te wielkości są zmiennymi decyzynymi i w modelach zagadnień transportowych. Zauważmy eszcze, że aby model taki miał rozwiązanie musi być spełniony warunek: R A i i B, (podaż dostawców powinna być nie mniesza niż łączne zapotrzebowanie odbiorców). R i i Jeżeli warunek est spełniony z równością, tzn. A B, mamy do czynienia z zamkniętym zagadnieniem transportowym (ZZT), eżeli natomiast warunek est spełniony z R nierównością (ostro) A B, est to tzw. otwarte zagadnienie transportowe (OZT). i i Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 8

19 Model zagadnienia transportowego zamkniętego ma postać: M i i c min funkca celu M i i i 0 i i A B i (minimalizaca łącznych kosztów transportu - od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców). (i =,,..., M) warunki dla dostawców (i-ty dostawca ma dostarczyć wszystkim odbiorcom tyle towaru ile posiada; warunków tych est tyle ilu dostawców, czyli R) ( =,,..., ) warunki dla odbiorców (-ty odbiorca ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru, ile potrzebue; warunków tego typu est ) (i =,..., M; =,..., ) warunki brzegowe Modele zagadnień transportowych są szczególnym przypadkiem modeli liniowych, można zatem e rozwiązywać za pomocą algorytmu simpleks. Jednak specyficzna struktura warunków ograniczaących w tych modelach sprawia, że mogą one być rozwiązywane za pomocą algorytmów bardzie efektywnych. Uniwersalną metodą rozwiązywania zagadnień transportowych est algorytm transportowy (racze są, bo istniee wiele alternatywnych algorytmów transportowych). Jest to procedura iteracyna. W pierwszym kroku stosuąc edną z wielu znanych metod, wyznacza się początkowe rozwiązanie dopuszczalne, które następnie poprawia się w kolenych iteracach, aż do momentu stwierdzenia, że dalsza poprawa (obniżka wartości funkci celu) est niemożliwa. Podobnie ak nie omawialiśmy algorytmu simpleks, tak nie będziemy też omawiać algorytmów transportowych, bo są procedury pracochłonną i dzisia realizowane bez większych problemów za pomocą gotowych pakietów komputerowych. Pokazuemy edynie ak można wyznaczyć początkowe rozwiązanie dopuszczalne. Algorytm transportowy zakłada, że zadanie est zbilansowane (zamknięte). Zagadnienie otwarte (OZT) można sprowadzić do zamkniętego (ZZT) przez wprowadzenie fikcynego + szego odbiorcy, którego zapotrzebowanie B + est równe nadwyżce podaży nad popy- R i i tem, tzn. B A B. W rzeczywistości fikcynym odbiorcą est naczęście magazyn znaduący się u dostawców, tzn. zakłada się że nadwyżka towaru pozostanie w magazynach dostawców. Mogą być podane dodatkowo ednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (c i,+ ) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomialnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. c i,+ = 0). W funkci celu minimalizue się łączne koszty transportu i magazynowania. Poniże po lewe stronie przedstawiono ogólny model zagadnienia otwartego, po stronie prawe zagadnienie otwarte est sprowadzone do zamkniętego. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 9

20 Funkca celu: M i Model OZT OZT sprowadzone do ZZT c min c min i i warunki dla dostawców: A ( i,..., M ), i i warunki dla odbiorców: B (,..., ), M i i M i M i i i i i A i B ( i,..., M ), (,..., ), warunki brzegowe i i =,..., M; i i =,..., M; =,..., ) =,..., + ).. Klasy zagadnień transportowych Przykład 6. Trzy magazyny zaopatruą w cukier cztery zakłady cukiernicze. Magazyny posiadaą odpowiednio: 70, 50 i 80 ton cukru natomiast zapotrzebowanie poszczególnych zakładów cukierniczych wynosi: 0, 60, 50 i 50 ton. Koszty transportu tony cukru z magazynów do zakładów cukierniczych (w zł) podano w tablicy 6. Tablica 6 Odbiorcy Z Z Z Z Dostawcy M M M ależy opracować plan przewozu cukru z magazynów do zakładów cukierniczych tak, aby łączne koszty transportu były możliwie naniższe. R o z w i ą z a n i e: Przepiszmy tablicę 6 uzupełniaąc ą o dodatkowy wiersz i kolumnę do których wpiszemy odpowiednio podaż i popyt: Tablica 6a Odbiorcy Z Z Z Z A i Dostawcy M M M B i i Ponieważ A ; B ; est to zatem zagadnienie transportowe zamknięte. Zmienne decyzyne i to ilość ton cukru, aką należy przewieźć z i-tego magazynu (i =,, ) do -tego zakładu cukierniczego ( =,..., ); zmiennych decyzynych będzie =. Model zagadnienia est następuący: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 0