Optymalizacja struktury produkcji na przykładzie kopalni

Transkrypt

1 1) Dr hab inż.; Wydział Górnictwa i Geoinżynierii, AGH University of Science and Technology, Kraków, Mickiewicza 30, , Poland; tel.: , t-zak@agh.edu.pl 2) Dr inż.; Wydział Górnictwa i Geoinżynierii, AGH University of Science and Technology, Kraków, Mickiewicza 30, , Poland 3) Dr hab; Wydział Górnictwa i Geoinżynierii, AGH University of Science and Technology, Kraków, Mickiewicza 30, , Poland 4) Mgr inż.; Absolwent Wydziału Górnictwa i Geoinżynierii, AGH University of Science and Technology, Kraków, Mickiewicza 30, , Poland Optymalizaca struktury produkci na przykładzie kopalni Beata TRZASKUŚ-ŻAK 1), Dorota ŁOCHAŃSKA 1), Andrze ŻAK 1), Tomasz STARZYKIEWICZ 2) Streszczenie W artykule poruszono problem optymalizaci struktury produkci na przykładzie kopalni odkrywkowe surowców skalnych. Opracowano dwa modele optymalizacyne, które uwzględniały koszt ednostkowy produkci w poszczególnych miesiącach, ednostkowy koszt magazynowania, popyt oraz zdolności produkcyne kopalni i uzyskano rozwiązania za pomocą metody programowania liniowego i programu LP-Solve. Otrzymane rozwiązania w czytelny sposób ilustruą aki rodza asortymentu i w akie ilości powinna kopalnia produkować i magazynować w poszczególnych miesiącach, przy ednoczesnym pokryciu zapotrzebowania, aby zminimalizować całkowity koszt produkci i magazynowania. W modelach programowania liniowego można uwzględnić również inne, dodatkowe uwarunkowania, niż przyęte i na te podstawie zmodyfikować uż opracowane i przedstawione w ninieszym artykule modele. Słowa kluczowe: optymalizaca, programowanie liniowe, struktura produkci Wprowadzenie Podemowanie decyzi ekonomicznych est przede wszystkim procesem wyboru, uwarunkowanym możliwością wyznaczenia ednego z wielu możliwych rozwiązań. Podemowanie raconalnych decyzi ekonomicznych wymaga przeprowadzenia rachunków optymalizacynych. Rachunki te umożliwiaą rozstrzygnięcie, która z możliwych decyzi est nalepsza. Należy się przy tym posłużyć odpowiednim kryterium, uwzględnienie którego pozwoli ocenić i porównać skutki podęcia poszczególnych decyzi. Metodami umożliwiaących wyznaczenie optymalnych decyzi ekonomicznych są metody programowania optymalnego [2]. Istota metod programowania optymalnego Istotą programowania optymalnego est wykorzystanie metod matematycznych do wyznaczania optymalnych rozwiązań różnorodnych problemów decyzynych występuących w przedsiębiorstwie. Zastosowanie metod programowania optymalnego umożliwia obiektywne odzwierciedlenie w postaci modeli matematycznych, zawisk i procesów gospodarczych występuących w przedsiębiorstwie (kopalni odkrywkowe surowców skalnych w analizowanym przypadku). Metody te stwarzaą obiektywne przesłanki do podęcia raconalnych decyzi, zaś modele programowania optymalnego mogą być wykorzystane do opisu różnych sytuaci decyzynych. Do metod programowania optymalnego służących rozwiązywaniu problemów optymalizacynych można zaliczyć metody programowania marginalnego lub programowania liniowego. W ninieszym artykule zastosowano metodę programowania liniowego do rozwiązania problemu optymalizaci struktury produkci kopalni odkrywkowe surowców skalnych [1 6]. Ogólna postać liniowego modelu optymalizaci struktury produkci analizowane kopalni Liniowy model optymalizacyny, nazywany również zagadnieniem programowania liniowego charakteryzue analizowane zawisko za pomocą funkci oraz równań i nierówności liniowych. Przedsiębiorstwa produkcyne (kopalnie) muszą podemować decyze akie wyroby wytwarzać i sprzedawać oraz aka powinna być wielkość produkci poszczególnych wyrobów. Każda decyza dotycząca struktury asortymentowe i wielkości produkci znadue odzwierciedlenie w ponoszonych kosztach i osiąganych przychodach, a w konsekwenci w zrealizowanych zyskach. Przedsiębiorstwa (kopalnie) zainteresowane są produkcą takiego asortymentu wyrobów i sprzedażą w takich ilościach, aby osiągnięty zysk ze sprzedaży był ak nawiększy. Określaąc strukturę asortymentową i wielkość produkci kopalnia musi również uwzględnić różnego typu Inżynieria Mineralna LIPIEC GRUDZIEŃ <2016> JULY DECEMBER Journal of the Polish Mineral Engineering Society 3

2 uwarunkowania prowadzone działalności w analizowanym przypadku m.in. koszty produkci, sezonowość produkci i sprzedaży, koszty magazynowania, popyt, zdolność produkcyną kopalni. Analizowane przedsiębiorstwo to kopalnia produkuąca surowce skalne t. grysy, klińce i mieszanki. Analizowane kopalni zależy na wytwarzaniu i sprzedaży wyrobów w takich ilościach, aby całkowity koszt produkci był ak naniższy, w związku z czym w konsekwenci wzrośnie również zysk przedsiębiorstwa. Celem przeprowadzonych obliczeń est stworzenie modelu matematycznego minimalizuącego łączny koszt produkci i magazynowania produkowanych asortymentów, przy ednoczesnym pokryciu zapotrzebowania w każdym miesiącu na kruszywo, oraz uwzględnieniu zdolności produkcyne kopalni. W tym celu wykorzystany został model programowania liniowego. W artykule przyęto następuące oznaczenia dla analizowanego roku X: g ilość produkci grysów w poszczególnych miesiącach roku Y, = 1,, 12, k ilość produkci klińców w poszczególnych miesiącach roku Y, = 1,, 12, m ilość produkci mieszanek w poszczególnych miesiącach roku Y, = 1,, 12. Asortyment 1 (grysy): a g, : ednostkowy koszt produkci grysu w miesiącu z g, : ilość magazynowanego grysu b g, : ednostkowy koszt magazynowania grysu p g, : zapotrzebowanie (popyt) na grysy w miesiącu Asortyment 2 (klińce): a k, : ednostkowy koszt produkci klińca w miesiącu z k, : ilość magazynowanego klińca b k, : ednostkowy koszt magazynowania kamienia p k, : zapotrzebowanie (popyt) na kliniec w miesiącu p m, : zapotrzebowanie (popyt) na mieszanki oraz w : maksymalna (minimalna), produkca asortymentów (grysów, klińców i mieszanek). W analizowanym przypadku problem programowania liniowegoprzymue następuącą postać: K = a g a g... c g,1 1 g,2 2 a g b z b z... g,12 12 g,1 g,1 g,2 g,2 b z a k a k... g,12 g,12 k,1 1 k,2 2 a k b z b z... k,12 12 k,1 k,1 k,2 k,2 b z a m a m. k,12 k,12 m,1 1 m,2 2 a m b z b z. m,12 12 m,1 m,1 m,2 m,2 bm,12 zm,12 min Przyęte ograniczenia: z g p = z... g,0 1 g,1 g,1 z g p = z g,1 2 g,2 g,2 z g p = z g,11 12 g,12 g,12 z k p = z k,0 1 k,1 k,1 z k p = z k,1 2 k,2 k,2... z k p = z k,11 12 k,12 k,12 z m p = z m,0 1 m,1 m,1 z m p = z m,1 2 m,2 m,2... z m p = z g k m,11 12 m,12 m,12 m 1,..., 12 1,..., 12 1,...,12 w w w g max k max m max (1) (2) (3) (4) (5) Asortyment 3 (mieszanki): a m, : ednostkowy koszt produkci mieszanek z m, : ilość magazynowanych mieszanek w miesiącu b m, : ednostkowy koszt magazynowania mieszanek g k m w min g k m w min g k m w min (6) 4 Inżynieria Mineralna LIPIEC GRUDZIEŃ <2016> JULY DECEMBER Journal of the Polish Mineral Engineering Society

3 Tab. 1. Wyniki rozwiązania opracowanego modelu I programowania liniowego optymalizaci struktury produkci kopalni odkrywkowe surowców skalnych, Mg [źródło: opracowanie własne] Tab. 1. The results of the developed model I of linear programming of the production structure optimization in the opencast mine of rock and raw materials, Mg g,..., g, k,..., k, m,..., m, z, g,1..., z, z,..., z, z,..., z 0 g,12 k,1 k,12 m,1 m,12 (7) Funkca celu (1) przedstawia łączny koszt produkci i magazynowania asortymentów analizowane kopalni. Ograniczenia (2a), (2b) i (2c) obrazuą sposób w aki zmieniaą się ilości produkowanego, sprzedawanego i magazynowanego asortymentu w danym miesiącu (m.in. zapewniaą, że est pokryte zapotrzebowanie odpowiednio na grysy (2a), klińce (2b) i mieszanki (2c) w każdym miesiącu analizowanego roku Y. Biorąc pod uwagę ograniczenie z g,1 g2 - p g,2 = z g,2, kolene składniki oznaczaą: z g,1 ilość grysu aką kopalnia magazynue po 1 miesiącu, g2 ilość wyprodukowanego grysu w 2 miesiącu (lutym) analizowanego roku Y, p g,2 popyt (sprzedaż) na grysy w 2 miesiącu (lutym) analizowanego roku Y, z g,2 ilość grysu aka zostae zmagazynowana w 2 miesiącu analizowanego roku Y. Tak więc ilość grysu aką dysponuemy w 2 miesiącu to z g,1 g2. Po sprzedaży części pokrywaące zapotrzebowanie p g,2 w magazynie pozostae z g,2 Mg grysu. Z kolei ograniczenia (3) określaą maksymalną i minimalną (4) i (5) miesięczną zdolność produkcyną sumy trzech produkowanych przez kopalnię asortymentów. Na podstawie danych analizowane kopalni, czyli ilości wytworzone produkci, ilości sprzedaży oraz ednostkowego kosztu wytworzenia każdego z trzech rodzaów asortymentów, dla poszczególnych miesięcy w analizowanym roku Y, przy założeniu, że koszt magazynowania 1 Mg zapasu dla każdego asortymentu wynosi 1,5 zł/ Mg, utworzono funkcę celu, zamieszczoną poniże. Funkca ta posłużyła do rozwiązania analizowanego problemu, czyli optymalizaci struktury produkci w poszczególnych miesiącach w celu obniżenia kosztów produkci i magazynowania, co przełoży się również na wzrost zysku kopalni. I model optymalizaci struktury produkci analizowane kopalni W pierwszym opracowanym modelu ako zapotrzebowanie na dany asortyment w określonym miesiącu uwzględniono wielkość ego sprzedaży w tymże miesiącu. Natomiast za ograniczenie na łączną wielkość produkci w każdym miesiącu przyęto nawiększą miesięczną wielkość produkci, dla każdego z trzech analizowanych asortymentów w badanych 12 miesiącach. W opracowanym modelu I przyęto następuący maksymalny miesięczny poziom produkci dla poszczególnych asortymentów: grysy Mg/m-c, klińce Mg/m-c, mieszanki Mg/m-c. Inżynieria Mineralna LIPIEC GRUDZIEŃ <2016> JULY DECEMBER Journal of the Polish Mineral Engineering Society 5

4 Przy przyętych założeniach opracowany model matematyczny (przygotowany do rozwiązania w programie LP-Solve) ma postać: min :16, 52g1 13, 03g2 14, 44g3 14, 96g4 11, 03g5 11, 04g6 12,83g7 11, 94g8 12, 41g9 11, 71g g g12 1, 5zg,1 1, 5zg,2 1, 5zg,3 1, 5zg,4 1, 5zg,5 1, 5zg,6 1, 5zg,7 1, 5zg,8 1, 5zg,9 1, 5zg,10 1, 5zg,11 1, 5zg,12 10,24k1 9,93k2 10,53k3 11,36k4 9,00k5 10,06k6 9,3k7 8,63k8 11,83k9 8,59k10 9,32k11 14, 24k12 1, 5zk,1 1, 5zk,2 1, 5zk,3 1, 5zk,4 1, 5zk,5 1, 5zk,6 1, 5zk,7 1, 5zk,8 1, 5zk,9 1, 5zk,10 1, 5zk,11 1, 5zk,12 14,13m1 13, 45m2 13, 59m3 14, 01m4 12, 31m5 6,80m6 6, 22m7 17,19m8 10, 35m9 11, 61m10 13, 75m11 21, 26m12 1, 5zm,1 1, 5zm,2 1, 5zm,3 1, 5zm,4 1, 5zm,5 1, 5zm,6 1, 5z 1, 5z 1, 5z 1, 5z 1, 5z 1, 5 z ; Przyęte ograniczenia: grysy: g1 zg,1 = 15740; zg,1 g2 zg,2 = 26810; zg,2 g3 zg,3 = 28868; zg3 g4 zg4 = 24883; zg4 g5 zg5 = 51962; zg5 g6 zg6 = 49656; zg6 g7 zg7 = 51196; zg7 g8 zg8 = 73662; zg8 g9 zg9 = 67530; zg9 g10 zg10 = 59226; zg10 g11 zg11 = 43152; zg11 g1 2 zg 12 = 35467; z = 0; g 0 klińce: k1 zk,1 = 42157; zk1 k2 zk2 = 41197; zk2 k3 zk3 = 47392; zk3 k4 zk4 = 41760; zk4 k5 zk5 = 45958; zk5 k6 zk6 = 44499; zk6 k7 zk7 = 50423; zk7 k8 zk8 = 54973; zk8 k9 zk9 = 50360; zk9 k10 zk10 = 51170; zk10 k11 zk11 = 49454; zk11 k12 zk 12 = 34674; = 0; z k 0 m,7 m,8 m,9 m,10 m,11 m,12 mieszanki: m1 zm 1 = 137; zm 1 m2 zm2 = 930; zm2 m3 zm3 = 237; zm3 m4 zm4 = 5018; zm4 m5 zm5 = 9359; zm5 m6 zm6 = 10265; zm6 m7 zm7 = 7813; zm7 m8 zm8 = 20162; zm8 m9 zm9 = 24669; zm9 m10 zm 10 = 14439; zm 10 m11 zm 11 = 7408; zm 11 m12 zm 12 = 2214; z 0 = 0; m, Poziomy zdolności produkcynych dla trzech analizowanych asortymentów zostały przyęte na następuących poziomach: grysy: g 1,2,..., 12 <=60000; klińce: k 1,2,..., 12 <=90000; mieszanki: m 1,2,..., 12 <= Wyniki uzyskane po rozwiązaniu modelu w programie LP_Solve zostały zamieszczone w tabeli 1. Całkowity koszt produkci i magazynowania w modelu I, wyznaczony przez program LP-Solve w analizowanym roku Y wyniósł ,43 tys. zł. Jak widać w niektórych miesiącach (w tych, w których koszt produkci est niższy) opłaca się wyprodukować więce asortymentu niż zapotrzebowanie, mimo że kopalnia ponosi koszty późnieszego ego magazynowania. Dla porównania przy miesięczne produkci wynoszące dokładnie tyle ile zapotrzebowanie na asortymenty analizowana kopalnia poniosłaby koszt ,85 tys. zł. Na uwagę zwraca fakt, że w opracowanym modelu w grudniu nalepie byłoby wyprodukować tylko Mg grysów, a produkca mieszanek i klińców powinna zostać zawieszona. Model sugerue aby, w listopadzie wyprodukować odpowiednio większą ilość asortymentów, tak aby zgromadzone zapasy pokryły zapotrzebowanie grudniowe. Taki paradoks wynika prawdopodobnie ze specyfiki księgowania kosztów, która powodue sztuczne ich podwyższenie w miesiącu grudniu. II model optymalizaci struktury produkci analizowane kopalni 6 Inżynieria Mineralna LIPIEC GRUDZIEŃ <2016> JULY DECEMBER Journal of the Polish Mineral Engineering Society

5 Tab. 2. Wyniki rozwiązania opracowanego modelu II programowania liniowego optymalizaci struktury produkci kopalni odkrywkowe surowców skalnych, Mg [źródło: opracowanie własne] Tab. 2. The results of the developed model II of linear programming of the production structure optimization in the opencast mine of rock and raw materials, Mg Z uwagi na fakt że, utrzymanie produkci na wyższym poziomie w miesiącu grudniu może być zalecane, ze względu na prawidłowe funkconowanie kopalni, tak ak i w każdym z pozostałych miesięcy analizowanego roku, w opracowanym modelu II założono minimalny, sumaryczny poziom produkci dla analizowanych trzech asortymentów w wysokości Mg w każdym miesiącu. Założenia przyęte w modelu II, w poszczególnych miesiącach analizy: a) maksymalny poziom produkci w każdym miesiącu analizowanego roku Y; grysy Mg, klińce Mg, mieszanki Mg, b) minimalny poziom produkci w każdym miesiącu analizowanego roku Y dla sumy produkci trzech asortymentów Mg, czyli (g 1,, 12 k 1,, 12 m 1,, 12 ) Mg. Po zastosowaniu programu LP_Solve, otrzymano następuące wyniki dla opracowanego modelu II, zamieszczone w tabeli 2. Na podstawie wyników otrzymanych po rozwiązaniu modelu II otrzymano, że całkowity koszt produkci i magazynowania, wyniósł 13345,69 tys. zł i okazał się wyższy o 97251,84 zł w porównaniu z modelem I, w którym nie założono minimalnych poziomów produkci analizowanych asortymentów. Podsumowanie W artykule przedstawiono kilka aspektów, na podstawie których można wykorzystać metodę programowania optymalnego do optymalizaci struktury produkci w przedsiębiorstwie. W analizowanym przykładzie kopalni odkrywkowe surowców skalnych, w naprostszym podeściu do tego problemu, miesięczna produkca byłaby równa dokładnie miesięcznemu popytowi na produkowane asortymenty (grysy, klińce i mieszanki), czyli bez ponoszenia kosztów magazynowania. W takim przypadku, całkowity koszt produkci wyniósłby 13582,85 tys. zł. Okazue się, że w opracowanych dwóch modelach pomimo ponoszenia dodatkowych miesięcznych kosztów magazynowania w wysokości 1,5 zł/mg, całkowity koszt produkci i magazynowania est niższy o ,74 zł w modelu I i o ,90 zł w modelu II. Paradoks ten wynika z faktu, że w niektórych miesiącach ednostkowy koszt produkci est niższy. Opłaca się zatem zwiększyć produkcę w tych właśnie miesiącach i częściowo ą magazynować. Zawisko to wykryły i wykorzystały opracowane modele optymalizaci struktury produkci. W modelach programowania liniowego można uwzględnić również inne, dodatkowe uwarunkowania, niż przyęte i na te podstawie zmodyfikować uż opracowane i przedstawione w ninieszym artykule modele. Publikacę wykonano w AGH w Krakowie w 2016 roku w ramach badań statutowych, umowa nr: , zadanie 5. Inżynieria Mineralna LIPIEC GRUDZIEŃ <2016> JULY DECEMBER Journal of the Polish Mineral Engineering Society 7

6 Literatura References 1. Gass S. I., Programowanie liniowe: metody i zastosowania, PWN, Warszawa Nowak E., Zaawansowana rachunkowość zarządcza, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa Trzaskuś-Żak B., Żak A., Binarne programowanie liniowe w zarządzaniu należnościami kopalni, Archiwum Górnictwa vol. 58 no. 3, s , Wydawnictwo Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, Kraków Trzaskuś-Żak B., Czopek K, Optymalizaca zarządzania należnościami w kopalni z wykorzystaniem programowania liniowego, Archiwum Górnictwa, vol. 58 no. 2, s , Wyd. Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, Kraków Radzikowski W., Programowanie liniowe i nieliniowe w organizaci i zarządzaniu, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego Wagner H. M., Badania operacyne. Zastosowania w zarządzaniu, PWE, Warszawa 1980 Optimizing of Production Structure on an Example of Mine This article presents the problem of production structure optimizing based on an example of the opencast mine of the raw and rock materials. There is developed two models of optimization, which take into account the unit cost of production in individual months, the unit cost of storage, demand and production capacity of the mine and the results were found using linear programming method and the LP-Solve. The obtained results clearly illustrate what kind of assortment and in what amount should be produce and storage in individual months, while demand coverage, to minimize the total cost of production and storage. Keywords: optimization, linear programming, the structure of production 8 Inżynieria Mineralna LIPIEC GRUDZIEŃ <2016> JULY DECEMBER Journal of the Polish Mineral Engineering Society