FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

Transkrypt

1 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel jedowskaźkowy staow uproszczee klasyczej teor portela przedstawoej a poprzedch zajęcach. Opera sę o a założeu, że kształtowae sę stóp zwrotu akcj jest zdetermowae czykem, który odzwercedla zmay a ryku kaptałowym. Na welu gełdach zaobserwowao, że stopy zwrotu z kokretej akcj są powązae ze stopą zwrotu deksu gełdy, zwaego wskaźkem ryku odzwercedlającego ogólą sytuację a gełdze. I. La charakterystycza paperu wartoścowego (Securty Characterstc Le). Zależość stopy zwrotu akcj od stopy zwrotu deksu gełdy (będącej tu odpowedkem portela rykowego) określa astępujące rówae regresj lowej: R = α + β R + e () gdze: R stopa zwrotu -tej akcj; R stopa zwrotu deksu ryku; α,β współczyk rówaa; e składk losowy rówaa. W powyższym rówau regresj zmeą objaśaą jest stopa zwrotu akcj, a zmeą objaśającą stopa zwrotu wskaźka ryku. Rówae regresj po jego oszacowau jest azywae lą charakterystyczą paperu wartoścowego (securty characterstc le). Najważejszy w m jest współczyk β zway współczykem beta. Wskazuje o, o le procet w przyblżeu wzrośe stopa zwrotu akcj, gdy stopa zwrotu deksu gełdy wzrośe o procet. Zazaczając a wykrese pukty ozaczające stopę zwrotu z daej akcj w daym okrese stopę zwrotu z deksu ryku w tym samym okrese możemy wyzaczyć hpotetyczą prostą, będącą lą regresj, która będze lą charakterystyczą akcj (rys. ). R Rys. r. La charakterystycza akcj. R

2 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO Do oszacowaa l charakterystyczej akcj stosuje sę metodę ajmejszych kwadratów (NK), która polega a mmalzacj astępującego wyrażea: t= ( Rt α β Rt ) () gdze: R t stopa zwrotu -tej akcj w t-tym okrese; R t stopa zwrotu wskaźka ryku w t-tym okrese. Wyrażee powyższe ozacza sumę kwadratów różc mędzy wartoścam stóp zwrotu akcj, a hpotetyczym wartoścam oblczoym a podstawe l regresj. Po rozwązau powyższego zadaa mmalzacj otrzymujemy astępujące wzory: ( Rt R ) ( Rt R ) t= β = (3) ( R R ) t= t α = R β R (4) gdze: - lczba okresów z których pochodzą ormacje; R - średa arytmetycza stóp zwrotu z -tej akcj; R - średa arytmetycza stóp zwrotu wskaźka ryku; Na podstawe oszacowaej l charakterystyczej akcj moża wyzaczyć róweż warację wskaźka ryku składka losowego: ( Rt R ) t= s = (5) se = t= ( R t α β R ) (6) gdze: s - waracja stopy zwrotu deksu ryku; se - waracja składka losowego. odel jedowskaźkowy jest uproszczeem klasyczej teor portela. Uproszczee to spowodowae jest aktem, że do zastosowaa teor portela ezbęda jest zajomość współczyków korelacj stóp zwrotu wszystkch par akcj, co może być pracochłoe. W modelu jedowskaźkowym zachodzą astępujące zależośc: R = α + β R (7)

3 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO s se s = β + (8) j β β j s ρ j = (9) s s usmy jedak pamętać, że wzór wyzaczający s jest tylko wzorem przyblżoym wyzaczającym ryzyko całkowte akcj, które dokłade zostae omówoe a kolejych stroach. Zazaczmy jeszcze, że współczyk beta wąże ryzyko całkowte akcj z ryzykem portela rykowego w astępujący sposób: β s ρ = (0) s gdze: ρ m współczyk korelacj stopy zwrotu akcj stopy zwrotu portela rykowego. II. Współczyk beta (beta coecet). Współczyk beta akcj wskazuje, w jakm stopu stopa zwrotu akcj reaguje a zmay stopy zwrotu wskaźka ryku, czyl a zmay zachodzące a ryku. oże o przyjmować róże wartośc: β = 0 stopa zwrotu -tej akcj e reaguje a zmay a ryku; wobec tego paper wartoścowy woly jest od ryzyka ryku. 0 < β < stopa zwrotu -tej akcj w małym stopu reaguje a zmay zachodzące a ryku; akcja taka jest azywaa deesywą. β = stopa zwrotu -tego paperu wartoścowego zmea sę w takm samym stopu jak stopa zwrotu ryku; w szczególośc, portel rykowy ma współczyk beta rówy. β > stopa zwrotu -tej akcj w wększym stopu reaguje a zmay zachodzące a ryku; taka akcja jest azywaa agresywą. β < 0 ozacza, że stopa zwrotu reaguje a zmay odwrote ż ryek; jest to stosukowo rzadk przypadek, choć bardzo pożąday, jeśl spodzeway jest spadek stóp zwrotu wększośc akcj a ryku. III. Ryzyko rykowe, a ryzyko specycze akcj. Ryzyko całkowte akcj (s ) jest sumą dwóch składków. Perwszy składk jest to ryzyko systematycze, aczej zwae rykowym. Zależy od ryzyka wskaźka ryku oraz od współczyka beta, który róweż śwadczy o ryzyku ryku, gdyż odzwercedla powązae stopy zwrotu akcj ze stopą zwrotu portela rykowego. Z kole drug składk, będący waracją składka losowego, odzwercedla ryzyko specycze zwązae z daą akcją. Duży udzał ryzyka systematyczego w ogólym ryzyku akcj wskazuje, że ogóle ryzyko zwązae z sytuacją a ryku ma duży wpływ a ryzyko akcj. 3

4 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO Pojęce ryzyka systematyczego ryzyka specyczego ma bezpośred zwązek z dywersykacją portela. Jak wadomo, dywersykacja portela może prowadzć do zaczej redukcj ryzyka tego portela. Jedak ryzyko to e może być w całośc wyelmowae. Umejęta dywersykacja portela prowadz do wyelmowaa ryzyka specyczego akcj wchodzących w skład portela. Jedak pozostaje jeszcze ryzyko ryku, które występuje w mejszym lub wększym stopu we wszystkch akcjach którego e moża wyelmować. Wraz ze zwększaem lczby akcj w portelu zmejszamy udzał ryzyka specyczego w ryzyku całkowtym, co lustruje rysuek. Ryzyko specycze (esystematycze) σ Ryzyko systematycze (rykowe) -lczba losowo wybraych akcj w portelu Rys. r. Ryzyko całkowte, a rozmar portela. Współczyk beta może być odesoy e tylko do pojedyczej akcj, ale róweż do portela akcj, gdze stosuje sę astępujący wzór: β = β () p w = odel ryku kaptałowego- CAP (Captal Asset Prcg odel). Najpopularejszym modelem ryku kaptałowego jest CAP. Twórcam tego modelu byl: Wllam Sharpe, Joh Lter Ja oss. Podstawą tego modelu są dwe zależośc: la ryku kaptałowego (Captal arket Le) R R R p = R + ( ) s p () s la ryku paperów wartoścowych (Securty arket Le) R = R + β ( R R ) (3) gdze: R R - prema za ryzyko. Podstawową różcą pomędzy obu lam jest to, że CL dotyczy tylko portel eektywych, a SL dotyczy wszystkch portel, w tym róweż pojedyczych paperów wartoścowych, a ryku będącym w rówowadze. 4

5 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO I. Założea modelu CAP. odel CAP oparty jest a astępujących założeach: decyzje zakupu portela podejmowae przez westorów dotyczą jedego okresu. użyteczość westora jest całkowce zdetermowaa oczekwaą stopą zwrotu ryzykem posadaego portela. steje paper wartoścowy woly od ryzyka, który może być abyway przez westorów. Jego stopa zwrotu jest to stopa zwrotu wola od ryzyka. Isteje eograczoa możlwość udzelaa bądź zacągaa kredytu przy stope wolej od ryzyka cey rówowag steją tylko wtedy, gdy e ma trasakcj spekulacyjych. Jest to możlwe wtedy, gdy wszyscy uczestcy ryku dyspoują tym samym ormacjam mają o te same oczekwaa co do przyszłych wartośc stóp zwrotu ryzyka paperów wartoścowych. występuje krótka sprzedaż akcj koszty trasakcj są zerowe. e są płacoe podatk z tytułu posadaa paperów wartoścowych. papery wartoścowe mogą być dzeloe w dowoly sposób. trasakcje pojedyczego westora e mają wpływu a ceę paperu wartoścowego. II. Charakterystyka modelu. W modelu CAP kluczowe zaczee posada portel rykowy. Jest to portel, który składa sę z wszystkch akcj ych paperów wartoścowych o dodatm ryzyku występujących a ryku, przy czym udzały poszczególych akcj w tym portelu są rówe udzałom tych akcj w ryku. Perwszą zależoścą w CAP jest CL, dotycząca wyłącze portel eektywych. Z wzoru a CL wyka, że stopa zwrotu portela eektywego jest sumą dwóch składków: Stopy zwrotu wolej od ryzyka, którą moża terpretować jako ceę czasu, gdyż jest to wymagaa przez westora stopa zwrotu rekompesująca rezygację z beżącej kosumpcj. R R R R Iloczyu ( ) s p, gdze ( ) jest to prema za ryzyko, czyl s s dodatkowy procet stopy zwrotu, jak moża uzyskać za zwększee ryzyka o jedostkę. Jest to zatem cea jedostk ryzyka. Z kole S p jest to ryzyko portela eektywego. Wyka z tego, że la ryku kaptałowego może być zterpretowaa astępująco: Stopa zwrotu portela eektywego = cea czasu + cea jedostk ryzyka welkość ryzyka portela eektywego Z kole la ryku paperów wartoścowych (SL) dotyczy dowolych portel, a zatem róweż pojedyczych paperów wartoścowych. Oczekwaa stopa zwrotu takego portela jest także sumą dwóch składków: Stopy zwrotu wolej od ryzyka, a węc cey czasu, Drug składk jest to cea ryzyka. Jest to bowem loczy welkośc ryzyka systematyczego daego portela, merzoego współczykem beta, oraz prem 5

6 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO za ryzyko, będącej różcą mędzy stopą zwrotu portela rykowego stopą zwrotu wolą od ryzyka. Spójrzmy a klka wersj SL w zależośc od daej wartośc współczyka beta: β =, wówczas R=R (czyl a SL leży róweż portel rykowy); β=0, wówczas R = R (czyl a SL leży portel zawerający strumety wole od ryzyka); β > (portel agresywy), wówczas R > R ; 0 < β < (portel deesywy), wówczas R < R < R ; β < 0, wówczas R < R ; Na podstawe SL moża wyzaczyć współczyk ala (e ależy go mylć z współczykem ala l charakterystyczej akcj). Jest o określoy astępująco: α = R R + β ( R R )) (4) ( gdze: R oczekwaa stopa zwrotu portela ( p. oszacowaa za pomocą aalzy udametalej). Współczyk ala jest adwyżką oczekwaej stopy zwrotu ad oczekwaą stopa zwrotu a ryku zajdującym sę w rówowadze. Jeśl akcja leży a SL to współczyk ala rówy jest zero. ożemy go także wyzaczyć dla portel akcj: α = α (5) p w = Iterpretację graczą SL przedstawam a poższym rysuku (rys. 3). R F A B B C C D 0 β Rysuek r 3. La ryku paperów wartoścowych. Na rysuku a os odcętych zazaczoe są współczyk beta portel, a a os rzędych oczekwae stopy zwrotu portel. Zazaczoe tam są róże portele la SL. Na SL zajduje sę sześć portel. Portel F zawera tylko strumety wole od ryzyka. Portel jest to portel rykowy. Portel A jest to portel deesywy, a portel D jest to portel agresywy. Oba portele leżą a SL, z czego wyka że ryk dla tych portel są w rówowadze, a same portele są dobrze wyceoe. Pojęce dobrze wyceoy odos sę 6

7 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO do SL (czyl do CAP) ozacza, że oczekwaa stopa zwrotu tych portel jest taka sama jak wększośc portel o tym samym współczyku beta. Na rysuku zazaczoe są róweż dwa portele, które e leżą a SL. Portel B leży powyżej SL. Współczyk ala tego portela jest dodat. Ozacza to, że odpowada mu wyższa oczekwaa stopa zwrotu ż portelow B, który ma te sam współczyk beta, ale leży a SL (czyl jest dobrze wyceoy). Portel B jest edoszacoway, lub aczej edowartoścoway. Staje sę o dla westorów atrakcyjy, co powoduje wzrost popytu a portel B wzrost jego cey, a w zwązku z tym spadek jego oczekwaej stopy zwrotu. Te dzałaa doprowadzą do rówowag portel B stae sę portelem B, czyl zajdze sę a l SL. Z kole portel C leży pożej SL. Współczyk ala tego portela jest ujemy. Ozacza to, że odpowada mu ższa oczekwaa stopa zwrotu ż portelow C, który ma te sam współczyk beta, ale leży a SL (czyl jest dobrze wyceoy). Portel C jest przeszacoway, lub aczej przewartoścoway. Staje sę o dla westora eatrakcyjy, węc będze o sę starał dokoać jego sprzedaży (róweż krótkej). Spowoduje to zwększoą podaż portela C, spadek jego cey, a w zwązku z tym wzrost jego oczekwaej stopy zwrotu. Te dzałaa doprowadzą do rówowag portel C stae sę portelem C, czyl zajdze sę a l SL. W rzeczywstośc oczywśce gdy e jest tak, że wszystke portele leżą a SL. Rówowaga jest procesem dyamczym wększość portel jest edoszacowaa lub przeszacowaa. Zobaczmy a koec astępującą zależość. Po podstaweu do l SL wzoru s ρ β =, otrzymujemy w odeseu do portela leżącego a SL: s R R R = R + s ρ (6) s Wdzmy, że jeśl ρ m =, to powyższe rówae staje sę rówaem CL. Ozacza to, że portel eektywy w rówowadze portel rykowy mają współczyk korelacj stóp zwrotu rówy. Dla tych dwóch portel zmay stóp zwrotu są proporcjoale. odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). I. Prawo jedej cey. Teora arbtrażu ceowego opera sę a prawe jedej cey, które mów, że dwa detycze dobra są wyceae po tej samej cee. Jeżel są sprzedawae po różych ceach, wtedy ktokolwek możemy dokoać arbtrażu, kupując jedo dobro po cee ższej sprzedając to dobro po cee wyższej osągając w te sposób dochód bez ryzyka. Arbtraż dotyczy główe ryków asowych jest tam dokoyway emal eustae. Wosek z ukcjoowaa prawa jedej cey jest astępujący: dwa strumety asowe o rówym ryzyku muszą meć te same stopy zwrotu. II. odel APT Oprócz założea prawa jedej cey APT zakłada róweż jedorodość oczekwań. Zalczay jest do tzw. model czykowych, w których zakłada sę, że stopy zwrotu akcj geerowae są według wzoru: 7

8 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO R = a + b F + b F b m F m + e, (7) gdze: F j j-ty czyk; a wyraz woly; b j współczyk wrażlwośc -tej akcj względem j-tego czyka; e składk losowy rówaa. Z powyższego rówaa wyka, że stopa zwrotu akcj zależy od m różego rodzaju czyków. W rówau tym ważą rolę odgrywają współczyk wrażlwośc. Ich terpretacja jest podoba do terpretacj współczyka beta. Otóż współczyk wrażlwośc wskazuje, jak zareaguje stopa zwrotu akcj a jedostkową zmaę czyka, gdy pozostałe czyk e zmeą sę. Współczyk wrażlwośc wyzacza sę róweż dla portela: b pj = = w b (8) gdze : b pj współczyk wrażlwośc portela względem j-tego czyka. Na ryku kaptałowym jest wele akcj portel. Isteje możlwość utworzea portel o dowolej wrażlwośc a poszczególe rodzaje czyków. Jest wele możlwych sposobów skostruowaa portela o jedostkowej wrażlwośc a day czyk, jak róweż portela ewrażlwego a żade z czyków. Portel, którego wrażlwość a j-ty czyk jest jedostkowa który jest ewrażlwy a pozostałe czyk, wyzacza sę rozwązując rówaa: = = j w b j = (9) w b k = 0, k =,...,m k j (0) Natomast portel, który jest ewrażlwy a wszystke czyk wyzacza sę rozwązując rówae: = w b j = 0, j =,...,m () Portele, które są wrażlwe a jede czyk, przy czym współczyk wrażlwośc jest jedostkowy, mają tę samą oczekwaą stopę zwrotu (prawo jedej cey stee arbtrażu ceowego). Podobe portele, które są ewrażlwe a żade czyk, powy meć oczekwaą stopę zwrotu rówą stope wolej od ryzyka. odel APT zakłada, że a ryku jest wele akcj ych paperów wartoścowych. Podstawą tego modelu jest tzw. portel arbtrażowy, który speła astępujące rówaa: = x = = 0 () x b j = 0, j =,...,m (3) = x e = 0 (4) Rówae perwsze ozacza, że przy tworzeu portela arbtrażowego e poos sę żadych akładów. Rówae środkowe ozacza, że portel jest ewrażlwy a czyk 8

9 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO ryzyka (wyrażee x b j jest to zmaa dochodu częśc portela zawestowaej w -tą akcję, która to zmaa jest wywołaa zmaą j-tego czyka). Rówae ostate jest to zależość przyblżoa, która ozacza, że portel e ma ryzyka specyczego (odzwercedlaego przez składk losowy). Na podstawe powyższych rówań dochodzmy do właścwego modelu APT, określającego stopę zwrotu portela: R = λ 0 + λb + λb λmb m (5) gdze: b,...,b m - współczyk wrażlwośc portela względem czyków ryzyka, λ,..., λ m współczyk rówaa. oża róweż doweść, że współczyk λ modelu są rówe: λ 0 = R, λ j = R pj - R (j=,...,m) (5) gdze: R stopa zwrotu wola od ryzyka; R pj oczekwaa stopa zwrotu portela, który jest ewrażlwy a wszystke czyk oprócz j-tego, a którego wrażlwość a j-ty czyk jest jedostkowa. Zobaczmy jeszcze terpretację graczą (rys. 4) modelu jedoczykowego APT, daego wzorem: R = R + bλ (6) R O P R b Rysuek r 4. La arbtrażu ceowego. Na rys. tym przedstawoa jest tzw. la arbtrażu ceowego. Jest to zależość oczekwaej stopy zwrotu portela od współczyka wrażlwośc a czyk ryzyka. Wyraz woly tej l odpowada stope wolej od ryzyka.. Z kole współczyk kerukowy, czyl wartość λ, jest to prema za ryzyko, Iaczej jest to adwyżka oczekwaej stopy zwrotu portela ad stopą wolą od ryzyka, przy czym portel te ma jedostkową wrażlwość a czyk ryzyka. Jeśl ryek jest w rówowadze, portele są dobrze wyceoe zajdują sę a l arbtrażu ceowego. Na rys. 4 przedstawoe są róweż przykłady portel edoszacowaych (O) przeszacowaych (P). Ich terpretacja proces dochodzea do rówowag jest detyczy jak w modelu CAP. Ostatą kwestą przy modelu APT jest odpowedź a pytae jake mogą być czyk ryzyka w m występujące. ogą to być p.: zmay PKB, zmay stopy bezroboca, zmay w różcy stóp procetowych pomędzy krajam, zmay stopy lacj, zmay deksu produkcj przemysłowej tp. 9

10 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO Zadaa do ćwczeń r 5 Zadae r. Stopy zwrotu Jarvs Corporato rykowe są astępujące: Rok Stopa zwrotu Jarvs Stopa zwrotu rykowa 99-5% -6% Oblcz współczyk beta dla rmy Jarvs. Jak procet ryzyka całkowtego staow ryzyko systematycze? Zadae r. Załóżmy, że R = 8%, R = 4% beta =.5 dla -tego paperu wartoścowego. Oblcz oczekwaą stopę zwrotu dla paperu wartoścowego. Jak zme sę oczekwaa stopa zwrotu, jeśl R wzrośe do 6%? Jak zme sę ta stopa jeśl współczyk beta zmejszy sę do 0.75? Zadae r 3. Dywdeda a akcję dla BC Corporato wzrastała 6% w cągu roku przez ostate 6 lat. Wyzacz wartość akcj BC, jeśl sytuacja ta będze trwała w przyszłośc. Zakładamy, że D 0 = 3.5, R =9%, R = 6% β BC =.3. Zadae r 4. Jeerso Ivestmet Compay zarządza uduszem złożoym z pęcu akcj o astępującej wartośc rykowej współczykach beta rówych. Akcje Wartość rykowa Współczyk beta Zell $ Car Arms Dole Ord Suma: Oblcz współczyk beta portela. Zadae r 5. Zakładamy, że R = 9%, R = 5%. Oczekwae stopy zwrotu współczyk beta są dae pożej: Akcje Oczekwaa stopa zwrotu Współczyk beta Hall 4%. Izzo 5% 0.75 Je 0%.5 Które akcje są przewartoścowae, a które edowartoścowae? Zadae r 6. Proszę wyzaczyć lę APT dla dwóch poższych portel zajdujących sę w rówowadze: Portel Oczekwaa stopa zwrotu Współczyk wrażlwośc b A 5%.5 B 0% 0.5 Zadae r 7. Portel Isteją trzy portele będące w rówowadze: Oczekwaa stopa b b zwrotu 0

11 ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO X Y Z Wyzaczyć lę APT. Na ryku dostępy jest paper U e będący w rówowadze, którego R=7%, b U = 0.8, b U = Jak zysk możemy osągąć przez stworzee strateg arbtrażowej z akcj X Y? Proszę opsać poszczególe trasakcje.