Neprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Neprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R"

Natalia Lewicka
5 lat temu
Przeglądów:

1 4 Neprekidnost i es Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija f : I {c} R ima es u točki c jednak L R ako za svaki niz ( n ) u I {c} vrijedi n = c = n + f( n) = L. n + Može se pokazati da je, u slučaju da postoji, es funkcije jedinstven pa pišemo Vrijedi: Teorem. Cauchyeva definicija esa) f() = L. Neka je I R otvoreni interval. Funkcija f : I {c} R ima es L R u točki c I ako i samo ako vrijedi ( ε > 0)( δ > 0) td. I 0 < c < δ = f() L < ε. Primjer 4. Dokažimo po Cauchyevoj definiciji esa da je = 4. Neka je ε > 0. Tada za δ = min{ ε } i R takav da je < δ vrijedi < δ = 5 pa je 4 = + < 5δ ε. 39

2 40 4 NEPREKIDNOST I LIMES = ( 4)( + 4) = ( + 4) = = 8. 4 Napomena. Ako funkcije f : I {c} R i g {c}: I R imaju ese u točki c I i ako su λ µ R, onda funkcija λf + µg ima es u točki c i vrijedi (λf() + µg()) = λ funkcija f g ima es u točki c i vrijedi f() + µ g(); f()g() = f() g(); u slučaju da je g() = 0 i funkcija f g ima es u točki c i vrijedi f() g() = f() g(). Definicija. Neka je I R otvoreni interval. Funkcija f : I R je neprekidna u c I ako za svaki niz ( n ) u I vrijedi n + n = c = Teorem. Cauchyeva definicija neprekidnosti) = f. f(n) Neka je I R otvoreni interval. Funkcija f : I R je neprekidna u točki c I ako i samo ako vrijedi ( ε > 0)( δ > 0) td. I c < δ = f() f < ε. Napomena. Na predavanjima ste pokazali da su sve elementarne funkcije neprekidne na njihovim prirodnim domenama. Zadatak 4. Izračunajte ese funkcija: (d) (g) 4 5. n n 3 (e) 9 9 h 0 (f) (a + h) 3 a 3 a R h m n m n

3 4 NEPREKIDNOST I LIMES 4 Definicija. Kažemo da f : I {c} R ima es u točki c I jednak + ako ( M > 0)( δ > 0) td. I 0 < c < δ = f() > M. Pišemo f() = +. Analogno definiramo es jednak. Primjer 4. Dokažimo po definiciji da je = +. Neka je M > 0 proizvoljan. Za δ = M vrijedi 0 < < δ = M = > M = M. Definicija. Kažemo da f : a R ima es u jednak L R ako ( ε > 0)( M > 0) td. < M = f() L < ε. Pišemo Analogno definiramo es u +. f() = L. Primjer 4.3 arctg = π i arctg = π Dokažimo po definiciji da je = 0. Neka je ε > 0. Tada za M = vrijedi ε > M = 0 = < = ε. M Zadatak 4. Izračunajte ese funkcija: (d) (g) ( 3)(3 + 5)(4 5) (e) (h) ( + ) ( ). (f)

4 4 4 NEPREKIDNOST I LIMES Napomena. Vrijedi analogon teorema o sendviču: ako je f() g() h() I {c} i ako je onda i g ima es u c i vrijedi f() = h() f() = g() = h(). B C 0 D A Primjer 4.4 Vrijedi Izračunajmo arctg. π arctg π pa je po teoremu o sendviču arctg = 0. Dokažimo da je sin =. Neka je 0 < < π. Tada iz slike vidimo da se za O = (0 0) A = ( 0) B = (cos sin ) C = (0 tg ) D = (cos 0)

5 4 NEPREKIDNOST I LIMES 43 površina kružnog isječka OAB nalazi izmedu površina trokuta OAB i OAC: sin tg odakle je sin cos 0 < < π. Tada tvrdnja slijedi po teoremu o sendviču. cos (cos = sin ) sin = = sin =. Dakle, sin cos = =. Zadatak 4.3 Izračunajte ese funkcija: sin(3) sin() arcsin (d) cos( cos ) (g) sin Zadatak 4.4 Izračunajte sin π sin 3 cos (e) π 3 cos sin (h). 3 sin(π) sin(3π) (f) sin(π ) sin(π) Napomena. Sljedeći oblici su neodredeni: cos cos cos n. (± ) 0 ± ± 0 0 (± ) (± ) (± ) + ( ). Napomena. Odredeni i neodredeni oblici:

6 44 4 NEPREKIDNOST I LIMES DEFINIRANO NIJE DEFINIRANO + (± ) = ± R (± ) + (± ) = ± (± ) + ( ) (+ ) = ( ) = + (+ ) = ( ) = + > 0 < 0 > 0 + < 0 0 (+ ) 0 ( ) ± = 0 R ± ± ± = = 0 0 < < + > + 0 < < 0 > + Na predavanju je dokazano Napomena. Vrijedi + = e. + = = Stoga je i = + + = + = e = e. ( + ) = e. Napomena. Ako su f i g funkcije takve da je f() = i g() = +

7 4 NEPREKIDNOST I LIMES 45 onda je f()g() = ( + (f() )) g() (f() )g() = ( + (f() )) f) = e (f() )g(). Zadatak 4.5 Izračunajte ese funkcija: (d) sin a a R (e) (cos ) + (f) (cos ). Primjer 4.5 ln( + ) = ln( + ) = ln ( + ) = ln e = ; e t = e = = ln(t + ) t = 0 t 0 t 0 ln(t + ) =. Dakle, Zadatak 4.6 Izračunajte ese funkcija: e ln( + ) = =. a sh a > ln( + 5 ) (d) (e) 6 5 ln( + 3 ) Zadatak 4.7 Izračunajte ese funkcija: ch cos()e 3 (f). th(4) sin sin a a R a a (d) tg sin 3 π arccos (e) (ln( + ) ln( + )) + Zadatak 4.8 Izračunajte ese funkcija: cos π (π) (d) ln cos 3 cos (e) (sin + sin ). ( ) tg π + (f) ln. e cos3 3 ctg

8 46 4 NEPREKIDNOST I LIMES Zadaci za vježbu 4.9 Izračunajte ese: 4 + ( + ) Izračunajte ese: ( + ) 3 ( + + ) Izračunajte ese: ( ) Izračunajte ese: m m n n 4.3 Izračunajte ese: Izračunajte ese: 4.5 Izračunajte ese: sin a cos 3 sin( ) a b R π sin b 3 sin( + ) Izračunajte ese: sin 4 sin Odredite parametar a takav da funkcija < 0 f() = a = 0 + > 0 bude neprekidna. tg tg a a R a a sin π tg π cos

9 4 NEPREKIDNOST I LIMES Izračunajte ese: sin Izračunajte ese: sin sin π 3 + sin cos π 3 cos m cos α n cos β m α β R (cos ) +ctg 4.0 Izračunajte ese: (cos ) +sin (cos ) sin ( + sin ) ln( sin ) tg 4. Izračunajte ese: log( + π) 4. Izračunajte ese: ln( + ) ln sin( + π ) π 3 cos( + π ) Je li moguće proširiti funkciju do neprekidne funkcije na R? 4.4 Izračunajte ese: f() = arctg cos 3 ch (tg sin ) tg( ) sin( ) cos e ln( + ) ln( + arcsin ) 4.5 Izračunajte ese: e arctg e arcsin cos 3 + e cos sin π tg π sin ctg(π sin ) Izračunajte ese: ln( ) ln( + + 3) 4.7 Izračunajte ese: ln tg(a + ) tg(a ) tg a π a R + kπ : k Z + tg sin + sin + tg sin 3 + sin ln(a + ) + ln(a ) ln a

10 48 4 NEPREKIDNOST I LIMES 4.8 Izračunajte ese: (e ) + ln( + 5 ) cos ln( + 3 ) 4.9 Može li se funkcija f() = proširiti do neprekidne funkcije na [ +? 4.30 Neka je f : a a {0} R. Koje su od sljedećih tvrdnji istinite: f() = l f(sin ) = l; f() = l f( ) = l? Dokažite. 4.3 Dokažite da za f : a a {0} 0 + takvu da je f() + = f() vrijedi f() =. 4.3 Izračunajte ese: 4.33 Dokažite da je sin cos + sin sin(π) + cos 3e + e + = 3 3 = 0 sin + sin = 0

11 4 NEPREKIDNOST I LIMES Neka je f : [0 ] [0 ] neprekidna funkcija. Dokažite da f ima fiksnu točku, tj. da postoji 0 [0 ] takav da je f( 0 ) = 0.(Uputa: Bolzano-Weierstrassov teorem) 4.35 Dokažite da svaki polinom neparnog stupnja ima barem jednu realnu nultočku Dokažite da jednadžba 5 3 = 0 ima barem jedno realno rješenje na segmentu [ ] Neka su f g : [0 ] [0 ] funkcije takve da je f g = g f. Dokažite da postoji 0 [0 ] takav da je f( 0 ) = g( 0 ) Neka je f : R R neprekidna i periodična s periodom τ > 0. Dokažite da postoji 0 R takav da je f( 0 + τ ) = f( 0) Neka je f : [0 ] R neprekidna funkcija. Dokažite da postoje y [0 ] takvi da je f() f(0) y = f(y) f() = Nadite sve neprekidne funkcije f : R R koje zadovoljavaju Cauchyevu funkcionalnu jednadžbu: f( + y) = f() + f(y) za sve y R. 4.4 Nadite sve neprekidne funkcije f : R R takve da je f() > 0 i f( + y) = f() f(y) za sve y R.

Podobne dokumenty

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej