Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Transkrypt

1 Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/ Obsah kurzu: Exponenciální a logaritmické funkce. Goniometrické a cyklometrické funkce. Limita funkce. Derivace funkce, l Hospitalovo pravidlo. Průběh funkce. Literatura: učebnice pro Gymnázia např. Diferenciální a integrální počet, nakl. Prometheus Klůfa, Coufal: Matematika, učebnice VŠE Kaňka,Henzler:Matematika,učebniceVŠE Samková: Sbírka příkladů z matematiky, nakl. ČVUT Nutnou podmínkou k účasti na zkoušce je odevzdání domácí prácevypracování zadaných úloh. Z každé kapitoly učebních textů je nutno vypracovat 3 příklady. Zkouškaseskládázústníapísemnéčásti.

2 Exponenciální a logaritmické funkce Řešte rovnice a nerovnice: x =0 x 3 x =44 x x x+3 x =4 4 x = x 7 > x 6 > x 7 e x < e x+3 8 >8 3x 5 9 e x < 0 e x 0 Řešte rovnice a nerovnice: log = x 8 log 64=x 3 log x+ 3 4 logx+ 3 5 lnx < 6 ln x < 7 lne 4 =x 8 ln e=x 9 lnx 0 0 ln x 0 log log 3 log x=0 log 3 x++log 3 x+3= Výsledky: x=; x=; 3 x { 7 ; 3}; 4 x= 3 ; 5 x 4 3, ; 6 x,0; 7 x 3,; 8 x, ; 9 x,0; 0 x R; x= 3; x=; 3 x 6, ; 4 x, 5 8 ; 5 x 0, e ; 6 x e,0 0, e ; 7 x=4; 8 x= ; 9 x, ; 0 x,, ; x= 8 ; x=0.

3 Typ: a x pro a 0,, a > a < Pravidla pro počítání: a r a s = a r+s a r s = a r s ab r = a r b r r a s = a s r s= a s= a s b s a r a s a as= b b s= ar s a as= Typ: log a x pro a 0,, a > a < Definováno: y=log a xprávětehdy,když a y = x Speciálně:lnx log e x,log x log 0 x Pravidla pro počítání: log a A+log a B=log a A B log a A k =k log a A log a a k =k A log a A log a B=log a log B a = log A a A log a x= log bx log b a

4 Goniometrické funkce Určete hodnoty: sin π 3 sin π 6 5 sin π 3 cos π 3 4 cos π 4 6 cos π 6 7 sin0 8 cos0 9 tg π 4 0 tg π 3 sin π cos π 3 Výsledky: ; ; 3 ; 4 ; 5 3 ; 6 3 ; 7 0; 8 ; 9 ; 0 3; 3;. Řešte rovnice a nerovnice: sin x= cos x π = 3 3 cotgx= 4 cotgx= 5 sinx 3 +cos x=0 6 cos x sinxcos x= 7 cos x <0 8 sin x >0 9 cos x 0 tgx 3 sinx cosx < Výsledky: 7π π +kπ, 6 6 +kπ; 7π 6 +4kπ, π 6 +4kπ; 3 π 4 +kπ; 4 π 4 +kπ; 5 π 3 + kπ; 6 π 8 + k π ; 7 x π +kπ,3π +kπ; 8 x kπ, π+kπ; 9 x 4π 3 +kπ,8π 3 +kπ ; 0 x π 3 +kπ, π +kπ; x π 6 +kπ,5π 6 +kπ; x π 4 +kπ,7π 4 +kπ.

5 sin x cos x π 0 π π 0 π tgx cotg x 0 0 sin a cos jsou funkce π-periodické, tg a cotg jsou π-periodické; Dcos=Dsin=R Dtg= k Z π + kπ, π + kπ Dcotg= k Zkπ, π+kπ sinx=sinπ x= sinπ+ x= sinπ x= sin x=sinπ+ x cosx= cosπ x= cosπ+ x=cosπ x=cos x=cosπ+ x tgx= sinx cosx = cotgx cotgx= cosx sinx = tgx cos x+sin x=

6 Cyklometrické funkce Řešte rovnice: arcsin x= π 4 arccos x= π 6 3 arcsin x=0 4 arccos x=0 5 arcsin x= π 3 6 arccos x= π 3 7 arcsin x= π 3 8 arccos x= π 3 9 arcsin x= 0 arcsin x= π 4 3 arctgx= π 3 arccos x= π 3 4 arccotg x= π 3 arcsin x= 3π 4 5 arctg x=0 6 arccotgx=0 7 arctg x= π 3 8 arctg x= π 4 9 arccotgx= π 4 0 arccotg x= π 4 arctg x= π 4 Výsledky: ; 3 ; 3 0; 4 ; 5 3 ; 6 ; 7 3 ; 8 nemářešení; 9 sin; 0 ; ; nemá řešení; 3 3; 4 3; 5 0; 3 6 nemářešení; 7 3; 8 ; 9 ; 0 nemářešení;. arcsinx=ypokud y π ; π a siny=x arccosx=ypokud y 0; π a cosy=x arctgx=ypokud y π ; π atgy=x arccotgx=ypokud y 0; πacotgy=x arcsin x = arcsinx arccos x = π arccosx arctg x= arctgx arccotg x=π arccotgx arccotgx=arctg/xpro x >0

7 Limita funkce Určete následující limity: lim x x+ x+ x+3 3lim x x 5lim 3x4 x 3 x 7lim 9 lim x lim 3 lim x 3 5 lim 7 lim 9 lim lim 3 lim 5 lim 7 lim x +x 3 x x+ x+ x 4 +x 3x x+5x+ x 3 3 x 4 xx 3 x 3 + x x++ x x+ +3x x 3 lim x 3 x x+3 x 7x+9 4lim x x +7x 9 6 lim x x3 + x 7 8 lim x 0 lim lim x 4 lim x 6 lim 8lim x 0lim 3x 3 x 3 + lim x 4 x 3 x x x+4 3 x x+3 x sin x 9 lim cos x cos x 3 lim 33 lim x x+sin x x+4 3x 7 4x+3 3x 4 +x + 4x 4 3x 3 x+ x x +x+ x 4 x 4 x 7 x + x x+ x+7 x 4x++ x x+ x+5 x + x x 3 x3 + 4 lim x x +x 3 6 lim x 4 x 8 lim x lim + e x lnx 5 x 5 3 lim x sin x x 34 lim sin x Výsledky:neexistuje pro x, pro x +; ; 3neexistuje pro x, pro x +;4 9 ;5 ; 6 ;7; 8 ;90;0 3 4 ; 6 5 ; ;3 3 ;4 4 ;50;6 ;7;8 ; 9 3;0 3 ; ; ;30;4;50;6 4 ;7 ;8 ; 3 9 ;30 ;30;3 ;33;340.

8 Neurčité problémové výrazy:, +,0,, 0 0, 0,,, 0,0 0. Bezproblémové výrazy: + =, =, =0, 0+ =, 0 =, =,0 =, =, =0,0+ =0,0+ =, 0+ = 0+ =, 0 = 0 =,5 =, 5 =, =, 3 =, 3 =,... lim fx+gx lim fx gx fx gx lim =lim fx+lim gx =lim fx lim gx =lim fx lim gx fx lim gx =lim fx lim gx lim α fx = α lim fx lim efx = e lim fx lim sin fx =sin lim fx podobněprofunkce cos,arcsin, a x,... lim fx= lim fx { pokud a > pro a >0platí: lim ax = 0 pokud a < Větaopolicajtech: Pokudjesplněno g f ha lim gx= lim hx=a, tak lim fx=a.

9 Derivace funkce Určete derivaci následujících funkcívčetně podmínek: x 6 x 9 5 x 3 x 6 3 x 5 3 x 3 x x x 3 4 x 8 x lnx x 3 3x+ 9 x cos x 0x+4 3 x x arctgx x 3 sin x+cos x x 3 x x sin x cos x x+ lnx 7 ln5x+3 8 ln x 9 e 3x+5 0 e x e sin x cotgx π 3x x+ 57 x x+4 x 8 3x 9 sinx 3 30 cos x 3tg x 3 cos 4 3x π x+ 33 ln 34 ln 35 x e x 36arctg x x x Výsledky: 6x 5 9, x R; 3 3, x 0;3 5 x x, x 0;4 6 4x 4 x, x > 0;5 4 3 x, x R;6 x 3 x, x R;7, x 0;8lnx+, x > 0; 3 5 x 4 9 xcosx x sin x, x R; 0 4x+ 3 3 x x, x 0; arctg x+, x R; +x 3x+, x 3 ; 3 x x 3 x, x ±; 4 sin x cos x, x π 4 + kπ; x 5 xln x 5, x >0;6, x 0,, ;7 xx+ ln x 5x+3, x > 3 5 ;8 x, x <;93e 3x+5, x R;0 e x, x R;cos x e sin x, x R; sin x π, x k π ;30x+54, x R;463x+, x R;5 37 x, x R; 6 3 3x+4, x 4 3 ;7 3 x, x ;8 3, x > 3x 3 ;93x cosx 3, x R;30 cos xsinx, x R;3 sin x cos 3 x, x π+kπ; 3 cos 3 3x π sin3x π, x R;33 x 34 x, x >0;35 x xe x, x R;36 x+x, x >0., x,, ;

10 = f+ g f + g = f g f g = f g f g+ f g f = f g f g g α f = α f, α R g f gx = f gx g x e x = e x a x = a x lna lnx = x x = x α = αx α číslo =0 sin x =cos x tgx = cos x arcsin x = x cos x = sin x cotgx = sin x arccos x = x arctgx = +x arccotgx = +x l Hospitalovo pravidlo využití derivací při počítání limit. Je-lilimitatypu 0 0 nebo,potom lim pokud limita vpravo existuje. fx gx =lim f x g x,

11 l Hospitalovo pravidlo Určete limity: sin x lim x ln x 4 lim x arctgx 7 lim 0 lim x e x x x 3 lim x lnx sin5x 6 lim sinx 9 lim e x e x x+tgx x +4x 5 lim x x 3x+ x 7x+9 5 lim x x +7x 9 lim cos x x e x 5 lim x arcsin x 8 lim ln+x 3 lim x tgx 6 lim x e x 9 lim x x lnx lnx lim lim x x 3 sinx 4 lnx 4 lim 5 lim x 4 6 x x e x e 7 lim 5x+sin3x 4x 0 lim e x e x sin x x x 3 lim x x 4x+4 x 7x+0 6 lim x 5 x +x 60 8 lim x 3 lnx 8 x 3x lim e x + e x cos x x x+ 4 lim x x x x 4 7 lim x x Výsledky: ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; 0; 0; 3 ; 4 8 ; 5 e ; 6 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; 0; 3 neexistuje pro x, pro x +; 4 0; 5 9 ; 6 3 ; 7 4.