Matematička analiza 4

Transkrypt

1 Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević

2 2

3 Sadržaj 1 Integrali Dvostruki integrali Trostruki integrali Nesvojstveni integrali n-tostruki integrali Krivolinijski integrali Krivolinijski integrali prvog reda Krivolinijski integrali drugog reda Grinova formula Površinski integrali Površinski integrali prvog reda Površinski integrali drugog reda Formule Gausa-Ostrogrdskog i Stoksa Parametarski integrali Svojstveni parametarski integrali Definicije i teoreme Zadaci Nesvojstveni parametarski integrali Beta i Gama funkcija

4 4 SADRZ AJ

5 Glava 1 Integrali 1.1 Dvostruki integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: I(a) = G (x + y) a dy, gde je skup G odre den nejednačinama: x >, y >, < a x + y 1. Zatim izračunati lim a I(a) I(a) = dy G x+ y, G je trougao ograničen pravama x = 1, x = y, x = y + a, < a < 1. Naći lim I(a). a xydy, G je ograničen x-osom i lukovima kružnica G x2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 2x = (x 2 + y 2 )dy. x 2 +y 2 2ay G a2 x 2 y 2 dy, G je ograničen kružnicom x 2 + y 2 = a 2 i pravama y = x, y = x G a2 x 2 y 2 dy, G je krug x 2 + y 2 ax = G ( dy (x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 ), G je odre den nejednačinama x 2 y 2, x 2 + y 2 1, x 2 + y G 4 x2 a 2 y 2 b 2 dy, ako je G ograničen elipsama x2 + y2 = 1 a 2 b 2 x i 2 + y2 = 1 i pripada prvom kvadrantu. (2a) 2 (2b) 2 5

6 6 GLAVA 1. INTEGRALI G x + ydy, G je ograničen koordinatnim osama i krivom x + y = , y 1 x y dy xy dy. x 2 +y 2 a x + y 1 x 1, y 2 x+y 2 x 2 +y 2 1 ( x + y )dy. x π, y x x 1, 1 y 1 x 2 +y 4 1,x,y x 4 +y 4 1 x 3 +y 3 1,y y x2 dy. x 2 y 2 dy. cos(x + y) dy. x y dy. (x 2 + y 2 )dy. y 3 1 x 2 y 4 dy. x 2 y 2 1 (x 3 + y 3 )dy Ako je (x, y) f(x, y) neprekidna funkcija u nekom krugu oko tačke 1 (, ), izračunati lim f(x, y)dy. ρ πρ 2 x 2 +y 2 ρ 2 Naći površine skupova u ravni, ograničenih sledećim krivama korišćenjem dvostrukih integrala: xy = a 2, x + y = 5 a, a > y = x 2, x = y y = 3 x, x2 + y 2 = 1.

7 1.1. DVOSTRUKI INTEGRALI y = 2x x 2, y = x (x 2 + y 2 ) 2 = 2ax (x 2 + y 2 ) 3 = x 4 + y (x 2 + y 2 ) 3 = 4x 2 y (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 y 2 ), x 2 + y 2 a (x 2 + y 2 ) 5 = x 2 y (x 3 + y 3 ) 2 = x 2 + y 2, x, y (x 2 + y 2 ) 2 = 8a 2 xy, (x a) 2 + (y a) 2 a x2 + y2 = x + y. a 2 b 2 h k x3 + y3 a 3 b ( x + ) y 2 a b = x ( x + ) y 3 a b = xy c = x2 + y2, x =, y =. h 2 k 2 ( ) x 2 + y2 = xy. a 2 b 2 c 2 a y a, y >. (površinu petlje) x + y = a, x + y = a, a >. Naći zapreminu tela ograničenog sledećim površima u prostoru, korišćenjem dvostrukih integrala: Paraboloidom z = x 2 + y 2, koordinatnim ravnima i ravni x + y = Paraboloidom z = x 2 + y 2 i ravnima z =, y = 1, y = 2x, y = 6 x. Ravnima z =, y + z = 2 i cilindrom y = x Cilindrima y = x, y = 2 x i ravnima z =, x + z = Koordinatnim ravnima, ravni 2x 3y 12 = i cilindrom z = 1 2 y Površi z = cos x cos y i ravnima z =, x + y π 2, x y π Površima x 2 + y 2 = 2x, xy = z, z >.

8 8 GLAVA 1. INTEGRALI Paraboloidom z = 3 x 2 y 2 i ravni z = Sferom x 2 + y 2 + z 2 = R 2 i cilindrom x 2 + y 2 = Rx, x 2 + y 2 Rx Paraboloidom z = x 2 + y 2, cilindrima x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x i ravni z = Paraboloidom x 2 + y 2 az =, cilindrom (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ) i ravni z =, a > Ravnima z = ax, z = i cilindrom x 2 + y 2 = 2ax Cilindrom x 2 + y 2 2x = i površi z = x 2 y, z Površima x 2 + y 2 + z 2 = 3a 2, x 2 + y 2 = 2az. ( ) 2 x Površi 2 + y2 a 2 b + z 2 = 1. 2 c Izračunati površinu dela cilindra z 2 = 4x koji pripada prvom oktantu, a koji isecaju cilindar y 2 = 4x i ravan x = 1, korišćenjem dvojnih integrala Izračunati površinu dela paraboloida 2z = x 2 + y 2 koji iseca cilindar x 2 + y 2 = Izračunati površinu dela sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2 koji iseca cilindar x 2 + y 2 = b 2, (b a) Naći površinu onog dela sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2 koji se projektuje na ravan z = van kruga x 2 + y 2 Rx =, x, y Naći površinu dela paraboloida z 2 = 2xy, z >, koji je ograničen ravnima x =, x = a, y =, y = b Izračunati površinu dela konusa z 2 = x 2 + y 2, isečenog cilindrom x 2 + y 2 = 2x Naći površinu dela sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2 isečenog cilindrom (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ) Izračunati površinu onog dela površi z 2 = x 2 +2y 2 koji iseca cilindar (x 2 + y 2 ) 2 = 2c 2 xy za x i z.

9 1.2. TROSTRUKI INTEGRALI Trostruki integrali Izračunati sledeće trostruke integrale (1 x)yzdydz, G je ograničen koordinatnim ravnima i ravni G z = 1 x y (x+y+z)dydz, G je ograničen koordinatnim ravnima i ravnima G x = 1, y = 1, z = G (x2 +y 2 +z 2 )dydz, G je ograničen površi 3(x 2 +y 2 )+z 2 = 3a G ydydz, G je ograničen površima y = x 2 + z 2, y = h, h > G y cos(z + x)dydz, G je ograničen cilindrom y = x i ravnima y =, z =, x + z = π G [ (x + y + z) a2] dydz, G je odre den nejednakostima x 2 + y 2 2az, x 2 + y 2 + z 2 3a 2, a > J(b) = dydz, G je ograničen površima z = 1 G (z+a) 2 x 2 y 2 2a (x2 + y 2 ), z = b, a, b >. naći lim J(b). b dydz, G je ograničen koordinatnim ravnima i površi x+y + G (1+x+y+z) 3 z = G x2 + y 2 dydz, G je ograničen ravni z = 1 i površi x 2 +y 2 = z G z ln(x 2 +y 2 +z 2 +1)dydz x 2 +y 2 +z 2 +1, G je lopta x 2 + y 2 + z G (x2 + y 2 + z 2 )dydz, G je ograničen površima y 2 + x 2 = x 2, x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x (zajednički deo) G G G 1. xzdydz x 2 +y 2 R 2, G je ograničen površima z 2 = h2 R 2, z = h, x, y. dydz x 2 +y 2 +(z 2) 2, G je ograničen sferom x2 + y 2 + z 2 = 1. dydz x 2 +y 2 +(z 2) 2, G je ograničen cilindrom x2 + y 2 1, 1 z G x2 + y 2 + z 2 dydz, G je ograničen sferom x 2 + y 2 + z 2 = z.

10 1 GLAVA 1. INTEGRALI G (x2 + y 2 )dydz, G je ograničen površima x 2 + y 2 = 2z, z = e xyz x 2 ydydz, uvodeći smenu x = u, y = u+v, z = u u+v+w u+v. x,y 1,z 1,xyz x 2 dy 1 x 2 a dz x x 2 1 x 2 a dy z x 2 + y 2 dz. dy a 2 x 2 +y 2 +z 2 R 2,z 1 x 2 y 2 x2 + y 2 + z 2 dz. (x 2 + y 2 )dy. Izračunati zapreminu tela ograničenog površima: z = x 2 + y 2, z = 2x 2 + 2y 2, y = x, y = x x 2 + z 2 = a 2, x + y = ±a, x y = ±a z = 4 y 2, z = y 2 + 2, x = 1, x = z =, x 2 + y 2 = 4az, x 2 + y 2 = 2cx z = ln(x + 2), z = ln(6 x), x =, x + y =, x y = (x 1) 2 + y 2 = z, 2x + z = z = 6 x 2 y 2, z 2 = x 2 + y x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 = 3z. ( ) 2 x y2 a 2 b + z 2 = 1. 2 c x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x 2 + y 2 = R(R 2z) z = x 2 + y 2, z 2 = xy x 1, y 1, x 2 + y 2 1, z (x 2 + y 2 ) 3.

11 1.2. TROSTRUKI INTEGRALI x 2 + y 2 + z 2 = 4Rz 3R 2, z 2 = 4(x 2 + y 2 ) (deo sfere u unutrašnjosti konusa) x2 + y2 + z2 a 2 b 2 c 2 = 1, x2 + y2 = z. a 2 b 2 c x 2 + y 2 + z 2 = 2az, x 2 + y 2 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 (x 2 + y 2 z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = 3xyz (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 3 x (x 2 + y 2 z 2 ) 3 = a 3 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = a 2 y 2 z ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = x, h >. 2 h ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = x. 2 ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = xyz. 2 ( ) 2 x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c = x 2 + y2. 2 a 2 b ( x + y + ) z 2 a b c = z, x, y, z >. d ( x + y + ) z 2 a b c = x + y, x, y, z >. h k ( x + y + ) z 3 x a b c = ln a + y b + z c x, x, y, z >. a + y b x + y + z = a, x + y + z = 2a, x + y = z, y = x, y = 3x.

12 12 GLAVA 1. INTEGRALI 1.3 Nesvojstveni integrali Ispitati konvergenciju nesvojstvenih integrala: dy , m R. (x 2 +y 2 ) m x 2 +y 2 1 x 2 +y 2 1 dy (1 x 2 y 2 ) m, m R. x 2 +y 2 1,x,y x + y 1 x+y 1 x,y,z x,y,z x 2 +y 2 +z 2 1 dy (x α +y β ) m, α, β, m R. dy x α + y β, α, β R. sin x sin y (x+y) p dy, p R. e x+y+z dydz. e x+y+z dydz. dydz (xyz) a, a R. Izračunati sledeće nesvojstvene integrale: R 2 dy y x x 2 +y 2. dy x 4 +y R 2 dy (1+x 2 +y 2 ) x,y dy (a 2 +x 2 +y 2 ) e x y dy R 2 x y e (x+y) dy.

13 1.3. NESVOJSTVENI INTEGRALI x y x y 2 e y2 dy. x sin y e y dy. y 2 x+y 1,x>,y> x 2 +y 2 1 arctg(x+y) (x 2 +y 2 ) 2 dy. dy (1 x 2 y 2 ) a, a R R 2 e (x2 +y 2) cos(x 2 + y 2 )dy R 2 e (x2 +y 2) sin(x 2 + y 2 )dy. Ako je G krug x 2 +y 2 a 2, ispitati koji od sledećih integrala konvergiraju: G ln x 2 + y 2 dy G G G e x2 y 2 dy. x 2 +y 2 sin(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 dy. cos(x 2 +y 2 ) dy. x 2 +y 2 Izračunati integrale x,y,z x,y,z dydz (1+x+y+z) 2. xydydz (1+x 2 +y 2 +z 2 ) e x2 y 2 z 2 dydz. R ln(x 2 + y 2 + z 2 )dydz. x 2 +y 2 +z 2 R x,y,z 1 dydz x p y q z r, p, q, r R. Ako je G kugla x 2 + y 2 + z 2 konvergiraju: R 2, ispitati koji od sledećih integrala

14 14 GLAVA 1. INTEGRALI G G G dydz (x 2 +y 2 +z 2 ) ln 3 x 2 +y 2 +z 2. ln x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2 dydz. xyz (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 dydz. 1.4 n-tostruki integrali Izračunati integrale: G 1 n, G = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n >, x x n 1} G x 1 1 n, G je kao u prethodnom primeru G 1 n, G = {(x 1,..., x n ) : x x n a} G (x x 2 n) 1 n, G = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n 1} G (x 1x 2 + x 1 x 3 + x n 1 x n ) 1 n, G je kao u prethodnom primeru.

15 Glava 2 Krivolinijski integrali 2.1 Krivolinijski integrali prvog reda Izračunati krivolinijske integrale prvog reda: γ 2yds, γ je luk parabole y 2 = 2x od tačke (, ) do tačke (4, 8) xyds, γ je prvi svod cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t). γ γ ye x ds, γ je deo krive x = ln(1 + t 2 ), y = 2 arctg t t + 3 izme du tačaka t = i t = γ x2 + y 2 ds, γ je kružnica x 2 + y 2 = ax ds, γ je deo hiperboličke spirale; jednačina hiperboličke spirale u polarnom obliku je rφ = 1, od φ = 3 do φ = 2 γ (x 2 +y 2 ) 3/ γ (x2 + y 2 )ds, γ je kriva x = a(cos t + t sin t), y = a(1 cos t), t 2π xds, γ je deo logaritamske spirale; jednačina logaritamske spirale γ y u polarnom obliku je r = ae kφ, k >, koji se nalazi u krugu r = a γ (x2 + y 2 + z 2 )ds, γ je deo zavojnice x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t 2π. γ x2 y 2 ds, γ je kružnica x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x + y + z =. 15

16 16 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI (x + y + z)ds, γ je presek površi γ x2 + z 2 = a 2, y 2 + z 2 = a 2. Naći dužinu luka krive: x = 3t, y = 3t 2, z = 2t 2, t >, od tačke (,, ) do tačke (3, 3, 2) x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, < t <. 2.2 Krivolinijski integrali drugog reda Izračunati krivolinijske integrale drugog reda (pozitivnu orijentaciju krive u prostoru videti u predavanjima): γ (x2 + y 2 ) + (x 2 2y 2 )dy, y je deo krive y = 1 2 x od tačke x = 1 do x = γ x2 y xy 2 dy, γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 + y 2 = R γ x + y dy, γ je pozitivno orijentisana kriva x 1 + y 1 = 1. 1+y 1+x γ xy [( x 2 + y) dy ( x y 2) ], γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 + y 2 = y xdy, γ je deo cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t) od γ tačke (, ) do tačke (6π, ) γ y + xdy, γ je petlja Dekartovog lista x = 3at 1+t 3, y = 3at2 1+t x 2 dy y 2, γ je deo asteroide x = a cos 3 t, y = a sin 3 t od tačke (a, ) γ x 5/3 +y 5/3 do tačke (, a) z + xdy + ydz, γ je deo zavojnice x = a cos t, y = a sin t, z = at, γ t [, 2π] (y z) + (z x)dy + (x y)dz, γ je presek koordinatnih ravni γ sa ravni x + y + z = 1; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo γ y2 + z 2 dy + x 2 dz, γ je Vivijanijeva kriva: x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x 2 + y 2 = ax, a >, z > ; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

17 2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI DRUGOG REDA γ y + zdy + xdz, γ je kriva data kao presek površi x2 + y 2 = r 2 i x 2 = rz; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo γ (y2 + z 2 ) + (z 2 + x 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz, γ je kriva data kao presek površi x 2 + y 2 + z 2 = R 2 i x 2 + y 2 = 2ax, < a < R; γ je orijentisana pozitivno posmatrana odozgo (y z) + (z x)dy + (x y)dz, γ je presek površi γ x2 + y 2 = a 2 i x + y = 1, a, h > ; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo. a b γ (4y2 + 2x 2 ) + (z + x)dy + ydz, γ je presek površi z = 4 x 2 y 2, z = y 2 ; γ je orijentisana pozitivno posmatrana odozgo. Naći funkciju kada je dat njen diferencijal: (e y + x) + (xe y 2y)dy x+ay + y ax dy. x 2 +y 2 x 2 +y (2x cos y y 2 sin x) + (2y cos x x 2 sin y)dy x(1 ey ) (1+x 2 ) 2 + ( e y 1+x ) dy (2xye x2y + y 2 e xy2 + 1) + (x 2 e x2y + 2xye xy2 2y)dy (x 2 2yz) + (y 2 2xz)dy + (z 2 2xy)dz. ( ) ( ) y x + + x dy xy dz. y z z yz 2 z 2 ( ) (2xyz + ln y) + x 2 y + x dy + (x 2 y 2z)dz. y dy z e y x + + 3y x+z3 dz. z 2 [ e y x (x+1) z + ze yz ] dy + Integraliti sledeće diferencijale: [ e y x (x+1) z 2 + ye yz + e z ] dz γ xdy + y, γ je deo krive x6 + x 17 2x 12 = izme du tačaka (, ) i (1, 1).

18 18 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI (x y)( dy), γ je proizvoljna kriva koja spaja tačke (1, 1) i γ (1, 1) cos y x sin ydy, γ je proizvoljna kriva koja spaja tačke (, n/2) γ i (n/2, ) γ ex (cos y sin ydy), γ je proizvoljna kriva koja spaja tačke (, ) i (a, b). 2.3 Grinova formula Koristeći Grinovu formulu izračunati krivolinijske integrale drugog reda: γ xy2 dy x 2 y, γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 + y 2 = a x2 (x + y) (x y)dy, γ je pozitivno orijentisana elipsa + y2 = 1. γ a 2 b (xy + x + y) + (xy + x y)dy, γ je pozitivno orijentisana kružnica γ x 2 + y 2 = ax γ xdy y x 2 +y 2, γ je pozitivno orijentisana kružnica x 2 +y 2 2x 2y+1 = γ (ex sin y my) + (e x cos y m)dy, ako je γ gornji deo kruňice x 2 + y 2 = ax od tačke (a, ) do tačke (, ). Koristeći krivolinijske integrale, izračunati površine ograničene krivama: x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t 2π (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 + y 2 ) x 3 + y 3 = 3axy (Dekartov list) x = 2a cos t a cos 2t, y = 2a sin t a sin 2t, t 2π (x + y) 2 = ax, y =, a > (x + y) 3 = xy x 3 + y 3 = x 3 + y 2, x =, y =. Koristeći krivolinijske integrale izračunati površinu sledećih površi:

19 2.3. GRINOVA FORMULA omotač cilindra x 2 + y 2 = 4 izme du ravni z = y i z = 3y omotača cilindra x 2 + y 2 = R 2 izme du ravni z = 1 i z = 2y omotača cilindra x 2 + y 2 ax = koji se nalazi unutar sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2.

20 2 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

21 Glava 3 Površinski integrali 3.1 Površinski integrali prvog reda Izračunati sledeće površinske integrale prvog reda: (3x + 4y + 2z)dS, S je deo ravni 2x + 3y + 4z = 5 koji pripada S prvom oktantu S ds, S je deo ravni x+y+3z = 1 koji pripada prvom oktantu. (1+x+y) S (y2 + z 2 )ds, S je sfera x 2 + y 2 + z 2 = R ds, S je deo cilindra x 2 + y 2 = R 2 ograničen koordinatnim S x 2 +y 2 +z 2 ravnima i ravni z = h S (x + y + a 2 z 2 )ds, S je deo cilindra y 2 + z 2 = a 2 izme du ravni x = i x = h S x(y2 + z 2 )ds, S je površ data jednačinom x = 4 y 2 z S S ds, S je deo sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z. (1+z) 2 ds 1+z, S je deo sfere x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z ds S x, S je deo cilindra 2 +y 2 +z x2 + y 2 + z 2 = R 2 ograničen ravnima 2 z = i z = h S R 2. ds x, S je deo površi z = xy ograničen cilindrom 2 +y 2 +z x2 + y 2 = 2 21

22 22 GLAVA 3. POVRŠINSKI INTEGRALI S R2 x 2 y 2 z 2 ds, ako je S površ kruga, datog kao presek površi x 2 + y 2 + z 2 = R 2 i ax + by + cz = d S (xy + yz + zx)ds, S je deo površi z = x 2 + y 2 ograničen cilindrom x 2 + y 2 = 2ax. 3.2 Površinski integrali drugog reda Izračunati površinske integrale drugog reda: z dy + xdz + ydydz, S je gornji deo ravni x y + z = 1 S ograničen koordinatnim ravnima S xyzdy, S je spoljna strana sfere x2 + y 2 + z 2 = 1, x, y S 4 x2 + y 2 dy, S je donja strana kruga x 2 + y 2 a 2, z = S dy + ydz x2 zdydz, S je spoljna strana dela elipsoida 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 koji pripada drugom oktantu ydz, S je unutrašnja strana tetraedra odre denog koordinatnim S ravnima i ravni x + y + z = S x2 dydz+y 2 dz+z 2 dy, S je spoljna strana sfere x 2 +y 2 +z 2 = R 2 koja pripada prvom oktantu (y z)dydz +(z x)dz +(x y)dy, S je spoljna strana površi S x 2 + y 2 = z 2, z a S 1. 1 dydz+ 1dz+ 1 x2 dy, S je spoljna strana elipsoida + y2 + z2 = x y z a 2 b 2 c yzdy + xzdydz + xydz, S je spoljna strana površi odre dene S površima x 2 + y 2 = R 2, x =, y =, z =, z = a, R, a >.

23 3.3. FORMULE GAUSA-OSTROGRDSKOG I STOKSA Formule Gausa-Ostrogrdskog i Stoksa Koristeći formulu Gaus-Ostrogradskog izračunati integrale: S (x3 cos α+y 3 cos β +z 3 cos γ)ds, S je spoljna strana sfere x 2 +y 2 + z 2 = R 2, a cos α, cos β, cos γ kosinusi pravca njene spoljne normale S [(zn y n ) cos α + (x n z n ) cos β + (y n x n ) cos γ] ds, S je kao u prethodnom primeru, z xdydz + ydz + zdy, S je definisana jednačinama x = (a + S b cos θ) cos φ, y = (a + b cos θ) sin φ, z = b sin θ, θ, φ 2π, a b S x2 dydz + y 2 dz + z 2 dy, S je spoljna strana omotača tela, koje je u zajedničkom unutrašnjem delu površi x 2 + y 2 + y 2 = 1 i z 2 = x2. x 2 +y S (x2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ)ds, S je deo površi x 2 + y 2 = z 2 ograničene sa z h. Koristeći Stoksovu formulu izračunati krivolinijske integrale: γ y (1 x 2 z 2 ) 3 +xy 3 dy +sin zdz, γ je kriva dobijena presekom elipsoida 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 i kordinatnim ravnima, a nalazi se u prvom oktantu γ y + x2 dy + zdz, γ je presečna kriva površi x2 x 2 + y2 = z, c >. a 2 b 2 c a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 i γ y+zdy+xdz, γ je kružnica data presekom površi x2 +y 2 +z 2 = a 2 i x + y + z = (y z) + (z x)dy + (x y)dz, γ je deo elipse koja je data kao γ presek površi x 2 + y 2 = a 2 i x + z = 1, a, b > ; γ je orijentisana pozitivno a b posmatrano iz pozitivnog smera x-ose γ ex + z(x 2 + y 2 ) 3/2 dy + yz 3 dz, γ je odre dena presekom površi z = x 2 + y 2 i ravni x =, x = 2, y =, y = γ (y2 + z 2 ) + (z 2 + x 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz, γ je kriva data kao presek površi x 2 + y 2 + z 2 = 2ax, x 2 + y 2 = 2bx, z.

24 24 GLAVA 3. POVRŠINSKI INTEGRALI

25 Glava 4 Parametarski integrali 4.1 Svojstveni parametarski integrali Definicije i teoreme Neka je data funkcija f : [a, b] R. Funkcija gornje granice integrala definisana je na sledeći način: F (x) = x a f(t)dt, za one vrednosti x [a, b] za koje postoji prethodni integral. Teorema (1) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], onda je funkcija F neprekidna na [a, b]. (2) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], onda je funkcija F diferencijabilna na [a, b] i F (x) = f(x) za svako x [a, b]. Definicija Neka je X R n merljiv skup, neka je Y R m, i neka je f : X Y R Pretpostavimo da za svako y Y postoji integral F (y) F (y 1,..., y m ) = f(x, y) f(x 1,..., x n, y 1,..., y m ) 1 n. X (4.1) Tada (4.1) jeste svojsvteni parametarski integral, pri čemu je parametar y Y. X 25

26 26 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI Definicija Funkcija f(x, y) ravnomerno konvergira ka funkciji φ(x) na skupu X (ili po x X) kada y y, ako: ( ϵ > )( δ > )( x X)( y Y )( y y < δ = f(x, y) φ(x) < ϵ. Oznaka je f(x, y) x X φ(x), y y. Teorema Neka je X R n merljiv skup, Y R m, i neka je funkcija f : X Y takva, da za svako y Y postoji integral f(x, y). Neka je y X tačka nagomilavanja skupa Y. Ako funkcija f(x, y) ravnomerno konvergira ka funkciji φ(x) po x X kada y y, tada je φ(x) integrabilna funkcija na skupu X i važi lim y y X f(x, y) = X lim f(x, y) = y y X φ(x). Teorema Neka je X R n kompaktan i merljiv, i neka je Y R m kompaktan skup. Ako je funkcija (x, y) f(x, y) neprekidna na X Y, tada funkcija F postoji i ona je ravnomerno neprekidna na Y. Teorema Ako je funkcija f(x, y) neprekidna na skupu K = X Y, gde su X R n i Y R m merljivi i kompaktni skupovi, onda je dy f(x, y) = f(x, y)dy. Y X Dokaz. Pod uslovima teoreme, skup K je merljiv i kompaktan u R n+m. Prema Fubinijevoj teoremi, oba posmatrana integrala su jednaka integralu f(x, y)dy. K Teorema Neka je X merljiv kompakt u R n, neka je Y = [c, d] R, i neka je data neprekidna funkcija f : X Y R, tako da je parcijalni izvod f(x,y) neprekidan na skupu K = X Y. Tada je funkcija F (y) = f(x, y) y X neprekidno diferencijabilna po y [c, d], i pri tome je F (y) = d f(x, y) f(x, y) =, y [c, d]. dy y X X X Y

27 4.1. SVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 27 Teorema Neka su f(x, y) i f(x,y) neprekidne funkcije na skupu [a, b] y [c, d]. Neka su α(y) i β(y) diferencijabine funkcije na [c, d]. Tada je funkcija F (y) = β(y) f(x, y) α(y) diferencijabilna na [c, d] i pri tome važi formula F (y) = β(y) α(y) f(x, y) + β (y)f(β(y), y) α (y)f(α(y), y). y Specijalno, ako su α i β neprekidno diferencijabilne, onda je i F neprekidno diferencijabilna Zadaci Naći sledeće granične vrednosti: 1+m lim m m. 1+x 2 +m 2 Rešenje. Neka je m (, 1) i I(m) = 1+m m. Tada je 1+x 2 +m 2 1+m m 1 + x 2 + m 2 = m 1 + x 2 + m x 2 + m m Ako je x [, 1], tada je x 2 + m x 2 = m 2 (1 + x 2 + m 2 )(1 + x 2 ) m x 2 + m 2. Stoga je 1 1+x 2 +m 2 x [,1] 1 1+x 2 kada m +. Prema Teoremi sledi lim m x 2 + m = x 2 = π 4.

28 28 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI Ako je x [, m], tada je 1 1+x 2 +m x 2, te je m m 1 + x 2 + m = arctg m, m x2 Ako je x [1, 1 + m], tada je tako de 1 1+x 2 +m x 2, i sledi Dakle, 1+m x 2 + m 2 1+m x 2 = arctg(1 + m) π 4, m +. lim I(m) = π. Analogno, lim I(m) = π. m + 4 m lim x 2 cos mx. m Rešenje. Iskoristimo Tejlorovu formulu za funkciju t cos t. Postoji konstanta C >, tako da za svako t važi cos t 1 Ct 2. Ako je x [, 2], tada za svako m važi x 2 cos mx x 2 Cm 2 x 4 16Cm 2. Stoga je x 2 cos mx x [,2] x 2 kada m. Na osnovu Teoreme sledi 2 2 lim x 2 cos mx = x 2 = 8 m lim m 1 1 x2 + m 2. Rešenje. Za x [ 1, 1] važi x 2 + m 2 x = m 2 1 x2 + m 2 + x m2 1. Stoga je x 2 + m 2 x [ 1,1] x kada m 1. Na osnovu Teoreme proizilazi lim m 1 1 x2 + m 2 = 1 x2 + 1 = 2 x2 + 1.

29 4.2. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 29 Poslednja jednakost proizilazi iz činjenice da je x x parna funkcija. Neka je I = x Posmatrajmo funkcije x = ch t = et +e t, 2 z = sh t = et e t 2. Jednostavno je proveriti ch t = sh t, sh t = ch t, ch 2 t sh 2 t = 1. Ako je t <, onda je e t < e t, te je t sh t = ch t <. Stoga je funkcija x = ch t strogo opadajuća funkcija, ondosno x = ch t je dopustiva smena u integralu I. Tada je = sh t. Tako dj e, x + ako i samo ako t, kao i x 1 ako i samo ako t. Stoga je I = infty sh 2 t dt lim m lim m x m 2. 1+(1+x/m) m e x2 /m Nesvojstveni parametarski integrali Izračunati integrale: I(m) = I(m) = I(m) = I(m) = I(m) = cos m sin m m b+m a+m m e m 1 x 2. ln(1+mx). x sin mx. x arctg x m. ln(1+mx) 1+x 2.

30 3 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI I(m) = I(m) = ln(x 2 + m 2 ), m >. π ln(1 2m cos x + m 2 ), I() = I(m) = I(m) = π/2 π/2 arctg(m tg x). tg x ln(1+m cos x). cos x I(m) = I(m) = b x m (ln x) k, m > 1.. (m 2 +x 2 ) I(m) = π/2 ln(sin 2 x + m 2 cos 2 x), m > π/2 ln(1+x) 1+x 2.. (a 2 cos 2 x+b 2 sin 2 x) 2 arctg x x, koristeći formulu arctg x = 1 x 2 x dy 1+x 2 y I(a, b) = x b x a, a, b >. ln x sin ( ln 1 x cos x ( ln 1 x ) x b x a d c xy dy. ln x ) x b x a ln x, a, b >., a, b >.

31 4.2. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI π/2 dy ln y 2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 dy. y x (x+y) 2. a+b sin x a b sin x sin x, a > b > Dati su potpuni eliptički integrali π/2 E(k) = 1 k 2 sin 2 φdφ i F (k) = π/2 dφ 1 k2 sin 2 φ. (1) Odrediti prvi i drugi izvod ovih integrala i izraziti izvode preko E(k) i F (k). (2) Pokazati da E(k) zadovoljava diferencijalnu jednačinu (3) Dokazati formulu E (k) + 1 k E (k) + 1 E(k) =. 1 k2 t (4) Dokazati formulu t F (k)k dk = E(y) (1 t 2 )F (t). E(k)k dk = 1 3 [ (1 + t 2 )E(t) (1 t 2 ) 2 F (t) ] Data je Beselova funkcija celobrojnog indeksa n: (1) Dokazati da važi (2) Proveriti formulu Izračunati integrale I n (x) = 1 π π cos(nφ x sin φ)dφ. x 2 I n(x) + xi n(x) + (x 2 n 2 )I n (x) =. t xi (x) = ti 1 (t).

32 32 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI ln(a 2 +x 2 ) 1+x 2. xe x2 /2 sin ax. x 2 e x2 /2 cos ax. dy 1+x 2 y 2. arctg x x 1 x Beta i Gama funkcija Koristeći osobine beta i gama funkcije, izračunati integrale: x n a dy a 4 y 4. + e 2x. ae 3x +b + e 2x. (e 3x +1) x p 1 ln x 1+x. x ln x. 1+x 3 ln 2 x. 1+x 4 x a 1 x b 1 (1+x) ln x.