PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno"

Patrycja Leśniak
6 lat temu
Przeglądów:

1 PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Odrediti Košijevo rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q + 0 koje adovoljava uslov : 0 i p + q + 0 Najpre moramo da prebaimo na drugu stranu! p + q Sada pravimo sistem d.j. u simetričnom obliku d Uočimo drugi i treći član ove jednakosti. d d Pomnožimo sve sa Sada integralimo d odavde je ln ln + ln, odnosno i odatle Dakle, prvi prvi integral je Nađimo sada drugi prvi integral: Iraimo i da je d i umimo sada i jednakosti, prva dva člana: d ovde ćemo najpre sve pomnožiti sa a atim ameniti sa,

2 d pa će biti d pa je d, ovo sada integralimo: + Vratimo da je + I odavde iraimo konstantu Dobili smo i drugi prvi integral: Rešenja su : i Da li su rešenja dobra? Moramo ispitati njihovu neavisnost! Odnosno mora da važi: D(, ) D(, ) to jest 0 0 jeste! Rešenja su dobra, idemo dalje... Dalje rešavamo Košijev adatak 0 i Šta ovde treba uraditi? Naš poso je da koristeći rešenja i neponate i nađemo veu imeđu rešenja. i uslove 0 i, eliminišemo Kako je i to je pa je + Kako je 0 to je + pa je odavde ( + ) ( + ) Dakle našli smo veu imeđu rešenja i eliminisali neponate, i

3 Ovo malo prisredimo i vratimo prave vrednosti, ( + ) ( + ) sve pomnožimo sa + + ovde menjamo, ( ) ( ) umesto i ( + ) ( + ) ( ) malo prisredimo i evo konačnog rešenja. Odrediti Košijevo rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q + koje adovoljava uslov : i + + p + + q pređimo u simetrični sistem d Odavde iaberemo prva dva člana jednakosti + d odavde je d Integralimo Pa je + * (ovde kao mali trik uimamo * ) Sve pomnožimo sa d + * obeležimo sada * sa onda je + to jest prvi prvi integral je odnosno Nađimo sada drugi prvi integral: Pođimo od početne jednakosti

4 d Dodajmo prvom članu jednakosti i gore i dole, a drugom članu jednakosti i gore i dole + d Saberimo sada prva dva člana jednakosti + + d + + d( ) pa je + + skratimo imenioe d(), ovo integralimo i dobijamo + pa je drugi prvi integral Dakle: su prvi integrali, proverimo njihovu neavisnost nači da su rešenja dobra! Dalje rešavamo Košijev adatak i + + Najpre u oba rešenja amenimo : i odavde je to jest i Dalje ovo menjamo u ( ) malo prisredimo ovde sada menjamo rešenja umesto i ( ) - ( ) - 4 ( ) opet malo prisredimo i : konačno rešenje je ( )

5 . Odrediti opšte rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q d uimamo prva dva člana jednakosti d integralimo d pa je odavde ln ln + ln odnosno, a odavde je, tako da je prvi prvi integral Iraimo i da je i i početne jednakosti d ćemo ueti prvi i treći član. ovde amenimo da je, i dobijamo pa je sredimo malo... to jest `, odnosno ` a ovo je linearna d.j. po ` ( ) e p( ) ( + q( ) e p( ) ) p ( ) ln ln q( ) e e p( ) ln ( ) ( ) vratimo ovde da je pa je

6 ( ) i odavde iraimo konstantu drugi prvi integral + +, pa je dakle: Proverimo neavisnost rešenja: Očigledno važi! Dakle: prvi prvi integral drugi prvi integral + Važno : Kad nađemo prve integrale opšte rešenje se može apisati u obliku F(, )0 Dakle, u našem slučaju bi bilo F(, + ) 0 Još važi da ako ulai samo u jedan od prvih integrala, opšte rešenje se može apisati u obliku: f( ) ako se javlja u i f( ) ako se javlja u U našem slučaju se javlja u pa bi rešenje mogli apisati kao: + f( ) i odavde možemo iraiti po potrebi f( ) i kad sve pomnožimo sa f( )

7 4. Naći onu integralnu površ parijalne diferenijalne jednačine : koja prolai kro kružniu + 6 a Pai, namo da je p q p + q prelaimo u sistem d idvojimo prva dva člana jednakosti d sve pomnožimo sa d odavde je d pa je kao malopre + * odnosno + gde je * odnosno je prvi prvi integral Vratimo se sada u početni sistem d proširimo prvi član jednakosti sa, a drugi sa d saberimo sada prva dve člana jednakosti + d pomnožimo sve sa + d + d - pomnožimo sa i dobijamo integralimo * + + pomnožimo sada sve sa * sada ćemo obeležiti * odavde je + + odnosno:

8 + + je drugi prvi integral je prvi prvi integral Proverimo neavisnost: 8 Da nađemo integralnu krivu koja prolai kro kružniu + 6 a Zamenimo ove vrednosti u + + pa je , aključujemo: je tražena integralna kriva, a ovo je sfera (entralna) sa poluprečnikom r 5 5. Nađi opšte rešenje parijalne jednačine : u u u ( ) + ( ) + ( ) 0 Najpre pređimo u sistem: d d 6 pomnožimo sa drugi član jednakosti saberimo sada prva dva člana jednakosti( se pokrati) + d 6 malo prisredimo... + d ( ) sve pomnožimo sa (-) + d pa je integralimo + odnosno + + je prvi prvi integral +

9 Vratimo se na početni sistem: d proširimo redom prvi, drugi i treći član jednakosti sa,, d saberimo prva dva člana jednakosti ( se potire) + d okrenimo imenila kod drugog člana jednakosti i taj minus ubaimo kod brojioa + d naravno, sada je kad pomnožimo sve sa imenioem + d - ovo integralimo * + + pomnožimo sve sa + + gde je * + + je drugi prvi integral Konačno rečenje je u f( + +, + + ) Gde je f proivoljna integrabilna funkija.

Podobne dokumenty

dt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]

dt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ] 168 Glava 3. Diferencijalni račun 487. Funkcija y = f(x) je zadata parametarskim jednačinama: Naći y (x). x = 2t t 2, y = 3t t 3 (t > 1). y (x) = dy dx = dy dt dt dx = ẏ ẋ = 3 3t2 2 2t = 3 (1 + t). 2 Iz