dt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "dt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]"

Transkrypt

1 168 Glava 3. Diferencijalni račun 487. Funkcija y = f(x) je zadata parametarskim jednačinama: Naći y (x). x = 2t t 2, y = 3t t 3 (t > 1). y (x) = dy dx = dy dt dt dx = ẏ ẋ = 3 3t2 2 2t = 3 (1 + t). 2 Iz jednakosti x = 2t t 2, rešavanjem po t > 1 dobijamo t = x, odakle je y (x) = x. Primedba. Ne može se uvek f (x) izraziti u obliku eksplicitne funkcije promenljive x, već se dobija izraz oblika y (t) = F (t) ili oblika y (x) = G(x, y) Naći dy/ dx ako je a) x = a cos t, y = b sin t [ b cos t a sin t ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ] 489. Ispitati da li funkcija y = f(x) definisana parametarskim jednačinama ima izvod u x = 0. x = 2t + t, y = 5t 2 + 4t t, U ovom slučaju ne može se primeniti postupak diferenciranja kao u prethodnim zadacima, jer funkcija t x(t) nije diferencijabilna za t = 0, tj za x = 0. Ali to ne znači da ni funkcija y = y(x) nije diferencijabilna. Kako je x = 0 samo za t = 0, imamo da je f(0) = y(0) = 0. Prema tome, f f(x) (0) = x 0 x = y(t) t 0 x(t) = t(5t + 4 t ) = 0. t 0 2t + t 490. Funkcija y = f(x) je zadata implicitno jednačinom Naći f (x). x 2 + 2xy y 2 = 2x. Nalaženjem diferencijala obe strane date jednakosti imamo 2x dx + 2y dx + 2x dy 2y dy = 2 dx. Deljenjem obe strane dobijene jednakosti sa dx i sred ivanjem, dobijamo 2x + 2y 2 = 2(y x) dy dx, odakle je f (x) = dy/ dx = (x + y 1)/(y x).

2 3.1 Izvod i diferencijal Naći dy/ dx ako je a) y 2 = 2px [ p y ] (x α)2 (y β)2 b) a 2 + b 2 = 1 [ b2 a x α 2 y β ] c) x + y = a [ y x ] d) arctg y x = log x 2 + y 2 [ x+y x y ] 492. Dokazati da je jednačinom y 3 + 3y = x definisana jedna funkcija y = f(x) i naći njen izvod. Kako su funkcije y y 3 i y 3y monotono rastuće i neprekidne na R, takav je i njihov zbir. Stoga postoji inverzna funkcija, definisana na R (videti 2.6.2), tj. data jednačina za svako x R ima jedinstveno rešenje. Izvod nalazimo diferenciranjem: 3y 2 dy + 3 dy = dx dy dx = 1 3(1 + y 2 ) Dokazati da za svako fiksno a [0, 1) i za svako x R jednačina po y y a sin y = x ima jedinstveno rešenje y = f(x), a zatim odrediti f (x). Da jednačina ima jedinstveno rešenje može se dokazati primenom Banachovog stava (videti zadatak 1240). Diferenciranjem date jednakosti imamo dy a cos y dy = dx dy dx = 1 1 a cos y Naći dy/ dx ako je funkcija y = f(x) zadata u polarnim koordinatama sa r = aϕ, ϕ [0, π] (Arhimedova spirala). Diferenciranjem jednakosti r = aϕ dobijamo (1) dr = a dϕ. Kako je 1 dr = d x 2 + y 2 = x dx + y dy ( x2 + y, dϕ = d arctg y ) = x2 x dy y dx 2 x x 2 + y2 x 2, 1 Primetimo da iako ϕ arctg y/x, kao što je pokazano u zadatku 133, ipak je dϕ = d(arctg y/x).

3 170 Glava 3. Diferencijalni račun zamenom u (1) nalazimo dy dx = ay + x x2 + y 2 ax y x 2 + y Neka je data kriva u polarnim koordinatama pomoću jednačine r = r(ϕ). Ako je ovom jednačinom odred ena jedna funkcija y = f(x), naći f (x) u tački y 0 ṙ/r + x 0 M(x 0, y 0 ). [ ] x 0 ṙ/r y Dokazati da se familije hiperbola x 2 y 2 = a i xy = b seku pod pravim uglom Neka je kriva (astroida) zadata pomoću jednačine x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Dokazati da je dužina odsečka tangente ove krive izmed u koordinatnih osa konstantna Naći jednačine tangente i normale krive date parametarskim jednačinama: 2t + t2 2t t2 x =, y = 1 + t2 1 + t 2, u tački t = 0. [ y = x, y = x ] 499. Napisati jednačine tangente i normale krive xy + log y = 1 u tački A(1, 1). [ x + 2y 3 = 0, 2x y 1 = 0 ] 500. Primenom aproksimacije f df, izračunati približnu vrednost Neka je f(x) = 3 x. Tada je df(x 0 ) = (1/3)x 2/3 0 x. Ako stavimo x 0 = 27, x = 1, imamo da je df(x 0 ) = 1/27. Iz približne formule f(x 0 ) df(x 0 ) dobijamo Odavde je / Tačna vrednost na četiri decimale je Izračunati približnu vrednost sin 29. Uputstvo. Uzeti f(x) = sin x, x 0 = 30 = 30π/180, x = 1 = π/180. Kod trigonometrijskih funkcija, sve izvedene formule važe samo ako su argumenti izraženi u radijanima.

4 3.1 Izvod i diferencijal Ako je relativna greška 1 odred ivanja veličine u jednaka r 1 i ako je relativna greška veličine v jednaka r 2, tada se uzima da je relativna greška odred ivanja proizvoda uv jednaka r 1 + r 2. Obrazložiti sa gledišta aproksimacije priraštaja diferencijalom. Neka su tačne vrednosti jednake u, v i neka su greške u, v. Tada je u u = r 1, v v = r 2. Relativna greška proizvoda je ( uv)/(uv). Ako se priraštaj zameni diferencijalom, dobija se uv uv d(uv) uv = v du + u dv uv = du u + dv v u u + v v = r 1 + r 2. Augustin Louis Cauchy ( ) Ovog francuskog matematičara mnogi nazivaju ocem matematičke analize. U mnogim oblastima matematike ostavio je svoj dubok trag. Pored poznatih teorema koje danas nose Cauchyjevo ime, on je autor brojnih rezultata na kojima sin x počivaju čitave oblasti matematike. Cauchy je našao da je x 0 x = 1 i prvi je ponudio odgovore na Zenonove paradokse. Danas uobičajena ε δ definicija graničnih vrednosti, data je godine u jednom Cauchyjevom radu; od tada počinje rigorozno izučavanje graničnih procesa i analize uopšte. Cauchyjeva produktivnost bila je toliko velika da je Pariska akademija nauka morala da ograniči obim radova koji se objavljuju u njenom časopisu Comptes Rendus, kako bi se stalo na put ogromnom Cauchyjevom proizvodu. Ovo ograničenje (na četiri strane) važi i danas. 1 Relativna greška se definiše kao količnik greške i tačne vrednosti.

5 172 Glava 3. Diferencijalni račun 3.2 Teoreme o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu i njihove primene Teoreme o srednjoj vrednosti Rolleova teorema. Neka je funkcija f definisana na [a, b] (a < b), pri čemu važi: f je neprekidna na [a, b], f ima izvod (konačan ili beskonačan) na (a, b), f(a) = f(b). Tada postoji c (a, b) tako da je f (c) = 0. Lagrangeova teorema. Neka je f funkcija definisana na [a, b], (a < b) i neka važi: f je neprekidna na [a, b], f ima izvod na (a, b). Tada postoji c (a, b) tako da je f(b) f(a) b a = f (c). Cauchyjeva teorema. Neka su f i g funkcije definisane na [a, b] (a < b) i neka važi: f i g su neprekidne na [a, b], f i g imaju izvode na (a, b), g (x) 0 za x (a, b). Tada postoji c (a, b) tako da je f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Realan broj c koji se pojavljuje u navedenim teoremama piše se i u obliku c = a + θ(b a), za neko θ (0, 1) Za funkciju f(x) = x važi f( 1) = f(1) = 0, ali ne postoji tačka c ( 1, 1) takva da je f (c) = 0. Koji uslov Rolleove teoreme nije ispunjen? 504. Da li se može primeniti Rolleova teorema na funkciju f(x) = 1 3 x 2 na intervalu ( 1, 1)? 505. Generalisana Rolleova teorema. Neka funkcija f ima izvod u svakoj tački konačnog ili beskonačnog intervala (a, b) i neka je x a + f(x) = x b f(x) = L R.

6 3.2 Teoreme o srednjoj vrednosti 173 Dokazati da postoji tačka c (a, b) tako da je f (c) = 0. pomoću U slučaju konačnog intervala (a, b), posmatrajmo funkciju f definisanu f (x) = { f(x), x a, x b L x = a ili x = b. Izvodi funkcija f i f su jednaki u svim tačkama intervala (a, b). Funkcija f zadovoljava uslove Rolleove teoreme na (a, b), što znači da postoji c (a, b) tako da je f (c) = f (c) = 0. Neka je sada interval (a, b) beskonačan, na primer (, + ). Posmatrajmo funkciju y F (y) definisanu na intervalu ( π/2, π/2) pomoću Kako je F (y) = y π/2 F (y) = f(tg y). F (y) = y π/2 f(x) = L, x ± na osnovu dokazanog u prvom slučaju (konačan interval), postoji neka tačka C ( π/2, π/2) u kojoj je F (C) = 0. Kako je F (C) = f (tg C) 1 cos 2 C, iz F (C) = 0 sleduje da je f (tg C) = 0, tj. f (c) = 0 za c = tg C. Dokaz je analogan za slučaj kada je interval oblika (a, + ) ili (, b). Primedba. Umesto funkcije y tg y može se uzeti i proizvoljna monotona funkcija koja preslikava konačan interval u (, + ) Generalisana Cauchyjeva teorema. Neka su funkcije f i g neprekidne na [a, + ) i imaju izvode na (a, + ), pri čemu je g (x) 0 za svako x (a, + ). Neka je, dalje, f( ) = f(x) ±, g( ) = g(x) ±. x + x + Dokazati da postoji tačka c (a, + ) tako da je f( ) f(a) g( ) g(a) = f (c) g (c). Neka je F (x) = ( f( ) f(a) )( g(x) g(a) ) ( f(x) f(a) )( g( ) g(a) ). Tada je F (a) = 0, F (x) = 0. Ako primenimo generalisanu Rolleovu teoremu iz zadatka 505 na funkciju F i na intervalu (a, + ), zaključujemo da postoji x + c (a, + ) tako da je F (c) = ( f( ) f(a) ) g (c) f (c) ( g( ) g(a) ) = 0,

7 174 Glava 3. Diferencijalni račun odakle, deljenjem sa g( ) g(a) sleduje traženo tvrd enje. Uslov da je g (x) 0 na (a, + ) obezbed uje da je g( ) g(a) 0. Naime, na osnovu zadatka 505 jednakost g( ) = g(a) je dovoljan uslov da postoji jedna tačka na (a, + ) u kojoj je izvod jednak nuli Formulisati i dokazati rezultat koji je analogan zadatku 506 za slučaj kada funkcije f i g nisu obavezno neprekidne na krajevima a i b konačnog ili beskonačnog intervala (a, b) Ako je funkcija f diferencijabilna, ali nije ograničena na konačnom intervalu [a, b) (a < b), tada njen izvod takod e nije ograničen na [a, b). Dokazati. Da li tvrd enje važi ako je interval beskonačan? Pretpostavimo da skup vrednosti funkcije f nije ograničen sa gornje strane. To znači da za svaki dati (proizvoljno veliki) realan broj K, postoji tačka u (a, b) u kojoj je vrednost funkcije veća od K. Neka je K n = n(b a) + f(a), i neka je x n tačka u (a, b) takva da je f(x n ) > K n. Primenom Lagrangeove teoreme na intervalu [a, x n ] zaključujemo da postoji tačka ξ n [a, x n ] takva da je f (ξ n ) = f(x n) f(a) x n a > n(b a) + f(a) f(a) b a = n. Ako pustimo da n +, dobijamo niz tačaka ξ n u intervalu (a, b) takvih da f (ξ n ) +, odakle sleduje da izvod nije ograničen. Na beskonačnom intervalu ovo tvrd enje ne važi. Na primer, funkcija f(x) = x je diferencijabilna i neograničena na R, ali je njen izvod ograničen Neka realni brojevi a 0, a 1,..., a n ispunjavaju uslov a n n a n 1 n + + a a 0 = 0. Dokazati da polinomska funkcija x P (x) = a n x n + a n 1 x n a 0 ima bar jedan koren u intervalu (0, 1). Neka je Q(x) = a n n + 1 xn+1 + a n 1 n xn + + a 0 x. Očigledno je Q (x) = P (x) za svako x R. Funkcija x Q(x) ispunjava uslove Rolleove teoreme na [0, 1], jer je neprekidna, diferencijabilna i Q(0) = Q(1) = 0. Prema Rolleovoj teoremi, postoji realan broj c (0, 1) takav da je Q (c) = 0, odnosno P (c) = 0, što je i trebalo dokazati Neka je funkcija f neprekidna na [0, 1] i diferencijabilna na (0, 1), pri čemu je f(0) = f(1) = 0. Dokazati da tada postoji c (0, 1) tako da je f (c) = f(c).

8 3.2 Teoreme o srednjoj vrednosti 175 Svi zadaci ovog tipa rešavaju se, slično zadatku 509, ako se pronad e odgovarajuća,,pomoćna funkcija na koju se primenjuje Rolleova teorema. Po- moćna funkcija F bira se tako da se iz F (c) = 0 dobije jednakost koju treba dokazati. U ovom slučaju, uzećemo da je F (x) = e x f(x), što je dobar izbor jer je F (x) = e x (f (x) f(x)), pa iz F (c) = 0 izlazi da je f (c) = f(c), što je i trebalo dokazati. Postojanje tačke c (0, 1) takve da je F (c) = 0 sleduje iz Rolleove teoreme (proveriti da su ispunjeni uslovi za funkciju F ) Neka je f diferencijabilna funkcija na [0, 1], pri čemu je f (0) = 1 i f (1) = 0. Dokazati da postoji c (0, 1) tako da je f (c) = c. Posmatrajmo pomoćnu funkciju F definisanu sa F (x) = f(x) x 2 /2. Imamo da je F (x) = f (x) x, pa je F (0) = 1 i F (1) = 1. Kako je funkcija F neprekidna na [0, 1], ona dostiže maksimum na tom segmentu. Zbog F (0) > 0 i F (1) < 0, tačke 0 i 1 nisu tačke maksimuma, pa se on dostiže u nekoj tački c (0, 1); prema Fermatovoj teoremi je F (c) = 0, odnosno f (c) = c Prekidi izvoda Ako je funkcija f neprekidna na [a, a + h] i ima izvod na intervalu (a, a + h) za neko h > 0, i ako postoji f (x) = D ( D + ), x a + tada postoji i desni izvod funkcije f u tački a i važi jednakost f +(a) = D. Analogno tvrd enje važi i za levi izvod. Ako je funkcija f neprekidna na intervalu [a h, a + h], i ima izvode u svim tačkama iz skupa [a h, a) (a, a + h], pri čemu postoji (konačan ili beskonačan) x a f (x) = D, tada u tački a takod e postoji izvod i jednak je D. Dokazi ovih tvrd enja izvode se primenom Lagrangeove teoreme. Naime, iz f(a + x) f(a) x = f (a + θ x) (0 < θ < 1)

9 176 Glava 3. Diferencijalni račun sleduje da ako postoji x a f (x), tada postoji i granična vrednost sa leve strane i te dve granične vrednosti su jednake. Ovakav način odred ivanja izvoda je od pomoći u slučajevima kada imamo funkciju definisanu sa dva analitička izraza. Umesto nalaženja izvoda po definiciji, može da se nad e granična vrednost izvoda. Med utim, ukoliko granična vrednost izvoda ne postoji, to ne znači da izvod ne postoji (videti primer u zadatku 514). Na osnovu ovih rezultata zaključujemo da Funkcija x f (x) može imati prekide samo druge vrste u svojoj oblasti definisanosti Ispitati neprekidnost izvoda u x = 0 funkcija definisanih sa a) f(x) = { e 1/x, x 0 0, x = 0 b) g(x) = { x, x < 0 log(1 + x), x 0 a) Za x 0 imamo da je f (x) = 1 x 2 e1/x. Kad x 0, granične vrednosti izvoda nalazimo na sledeći način: (1) f (x) = x 0 t + t2 e t = 0 (t = 1/x), (2) f (x) = t + t2 e t = (t = 1/x). Funkcija f je neprekidna sleva u tački x = 0, pa iz (1) imamo da je f (0) = 0. Desni izvod tražimo po definiciji: Ovde je f +(0) e 1/h = h 0 + h = +. f (x) f +(0), jer funkcija f nije neprekidna zdesna u nuli. h 0 + b) Funkcija g je neprekidna u nuli (sa obe strane). Za x 0 izvod funkcije g je { 1, x < 0 g (x) = 1 1+x, x 0. Kako je g (x) = g (x) = 1, x 0 zaključujemo da je g (0) = 1. Prema tome, funkcija x g (x) je neprekidna na R.

10 3.2 Teoreme o srednjoj vrednosti Pokazati da za funkciju f(x) = arctg 1 + x 1 x (x 1), f(1) = 0 postoji konačna granična vrednost x 1 f (x), ali da funkcija f nema konačne izvode f (1) ni f +(1). Objasniti Neka je fukcija f definisana sa f(x) = x 2 sin 1, (x 0), f(0) = 0. x Pokazati da postoji f (0), a da ne postoji granična vrednost f (x) kad x 0. Objasniti zašto ovo nije u suprotnosti sa Lagrangeovom teoremom. Za x 0 izvod nalazimo na uobičajen način: f (x) = 2x sin 1 x cos 1 x. Lako je videti da f (x) nema graničnu vrednost kad x 0 (zbog drugog sabirka). Med utim, f f(x) f(0) (0) = = x sin 1 x 0 x x 0 x = 0. Dakle, funkcija x f (x) ima u nuli prekid druge vrste. Iz Lagrangeove teoreme sleduje da je (1) f(x) f(0) x Ako se u (1) pusti da x 0, dobiće se = f (θx). (2) f (0) = x 0 f (θx). Kako je f (0) = 0, iz (2) zaključujemo da je f (θx) = 0. x 0 Ovo ne protivreči činjenici da granična vrednost izvoda kad x 0 ne postoji. Naime, θ nije konstanta, već zavisi od x, tako da, u opštem slučaju može da se dogodi da postoji f (θx), ali da ne postoji f (x). x 0 x 0 Videti i zadatak 1337.

11 178 Glava 3. Diferencijalni račun Uniformna neprekidnost funkcija 515. Neka je I proizvoljan interval (konačan ili beskonačan, zatvoren ili otvoren). Neka je funkcija f definisana i diferencijabilna u svakoj tački intervala I i neka je sup f (x) = M <. x I Dokazati da je f uniformno neprekidna funkcija na I. Neka su x, y dve proizvoljne tačke iz intervala I. Primenom Lagrangeove teoreme imamo (1) f(x) f(y) = f (ξ) x y M x y (ξ I). Neka su x n, y n dva proizvoljna niza iz I takva da je (x n y n ) = 0. Tada iz (1) sleduje da je (f(x n ) f(y n )) = 0, pa je f uniformno neprekidna Ispitati uniformnu neprekidnost funkcije f(x) = x log x na intervalu [1, ). Funkcija x f (x) = log x 2 x + 1 je na intervalu [1, ) pozitivna i x opadajuća. Prema tome, 0 < f (x) < f (1) = 1. Na osnovu zadatka 515, funkcija f je uniformno neprekidna na datom intervalu Dokazati da su sledeće funkcije uniformno neprekidne na naznačenim intervaa: a) sin x na (, + ), b) x na (1, + ), c) arctg x na (, + ) Kontrakcija i Lagrangeova teorema Neka je A interval (konačan ili beskonačan, otvoren ili zatvoren) i neka je funkcija x f(x) diferencijabilna na A, pri čemu je sup f (x) < 1. x A Ako je, pored toga, f(a) A, tada je f kontrakcija na skupu A. Dokaz navedenog tvrd enja izvodi se pomoću Lagrangeove teoreme. Naime, za svake dve tačke x, y A, x < y, ispunjeni su uslovi Lagrangeove teoreme za funkciju f na intervalu [x, y], pa je f(x) f(y) = f (c)(x y) q x y što znači da je f kontrakcija na A (videti definiciju u 2.4.3). (q = sup f (x) < 1), x A

12 3.2 Teoreme o srednjoj vrednosti Primenom Banachovog stava ispitati konvergenciju i odrediti graničnu vrednost niza datog sa x 0 > 0 ; x n+1 = 1 ( x n + a ) (n = 1, 2,... ; a 0) 2 x n Ovaj zadatak smo već rešili primenom teoreme o ograničenom i monotonom nizu (videti zadatak 262). Primenom Banachovog stava i Lagrangeove teoreme dobija se nešto jednostavnije rešenje. Neka je f(x) = (x + a/x)/2 ; f (x) = (1 a/x 2 )/2. Za x a imamo da je a/x 2 a/a = 1, pa je f (x) 0. S druge strane je 1 a/x 2 1, pa je f (x) 1/2. Skup [ a, + ) preslikava se u samog sebe jer je za x a 0 : f(x) a = 1 2 odakle je f(x) a. ( x + a ) a = x2 + a 2x a = (x a) 2 0, x 2x 2x Prema tome, f je kontrakcija na kompletnom skupu [ a, + ), pa dati niz ima graničnu vrednost koja se dobija kao rešenje jednačine x = f(x). Jedino pozitivno rešenje ove jednačine je x = a i to je granična vrednost datog niza Niz {x n } dat je sa x 1 = c > 0 ; x n+1 = 6 + 6x n 7 + x n (n = 1, 2,...) Ispitati konvergenciju datog niza i odrediti njegovu graničnu vrednost, ako postoji. Neka je f(x) = 6(1 + x)/(7 + x). Tada je, za n 1, x n+1 = f(x n ). Očigledno f preslikava [0, + ) u [0, + ). Pored toga, za x 0 imamo da je f (x) = 36/(7 + x) 2 36/49 < 1, pa je f kontrakcija na skupu [0, + ). Kako je ovaj skup kompletan, niz x n je konvergentan i njegova granična vrednost je nepokretna tačka funkcije f na [0, + ). Kako je x = f(x) x = x 7 + x x = 3 ili x = 2, zaključujemo da je granična vrednost niza jednaka 2. Ispitati da li je neophodno da bude x 1 > 0 da bi niz imao graničnu vrednost 2. Koje sve vrednosti može da uzima x 1 da bi niz x n imao graničnu vrednost 2? 520. Dat je niz x 1 = a > 0, x n+1 = x n + 4 2x n + 3, n = 1, 2,... Pokazati da je niz konvergentan i odrediti njegovu graničnu vrednost.

13 180 Glava 3. Diferencijalni račun Neka je f(x) = (x + 4)/(2x + 3). Tada je f (x) = 5/(2x + 3) 2, tako da za svako x 0 važi da je f (x) 5/9 < 1. Pored toga, za x 0 je očigledno i f(x) > 0, što znači da je f kontrakcija na skupu [0, + ). Jednačina x = (x + 4)/(2x + 3) ima dva rešenja: 1 i 2, od kojih je prvo u posmatranom intervalu. Prema tome, n x n = L Hospitalovo pravilo Neka su f i g date funkcije, diferencijabilne u nekoj okolini tačke a (osim eventualno u samoj tački a), gde je a R. Neka je f(x) = g(x) = 0 ili ± x a x a i neka je g (x) 0 u nekoj okolini tačke a. Tada je f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x), ako postoji (konačna ili beskonačna) granična vrednost sa desne strane ove jednakosti. Direktnom primenom ovog pravila nalaze se granične vrednosti tipa 0 0 ili, svod enjem na granične vrednosti količnika izvoda. U slučaju neodred enosti tipa 0 i, treba najpre algebarski transformisati datu funkciju da se dobije oblik 0 0 ili, pa zatim na ovaj oblik primeniti L Hospitalovo pravilo. U slučaju neodred enosti tipa 0 0, 0 ili 1, datu funkciju treba logaritmovati, čime dobijamo tip Dokazati L Hospitalovo pravilo za slučaj granične vrednosti tipa 0/0. Neka su f i g diferencijabilne funkcije u nekoj okolini tačke a R, i neka obe funkcije teže nuli kada x a. Funkcije f i g ne moraju biti neprekidne u tački a, ali su neprekidne funkcije f i g, definisane pomoću f (x) = f(x), g (x) = g(x) (x a), f (a) = g (a) = 0. Pri tome, na osnovu Cauchyjeve teoreme, za x a važi f(x) g(x) = f (x) g (x) = f (x) f (a) g (x) g (x) = f (a + θ(x a)) g (a + θ(x a)), za neko θ (0, 1). Ako postoji granična vrednost količnika f (x)/g (x) kad x a, tada je f(x) x a g(x) = f (a + θ(x a)) x a g (a + θ(x a)) = f (x) x a g (x),

14 3.2 Teoreme o srednjoj vrednosti 181 čime je dokazano L Hospitalovo pravilo za slučaj konačnog a. Ako je a = ±, dokaz se izvodi primenom generalisane Cauchyjeve teoreme iz zadatka Da li se može primeniti L Hospitalovo pravilo na nalaženje granične vrednosti količnika (sin x)/x kad x +? Formalnom primenom L Hospitalovog pravila dobili bismo da je sin x x + x = cos x. x + Kako granična vrednost na desnoj strani ne postoji, odavde ne možemo ništa da zaključimo o traženoj graničnoj vrednosti. U stvari, nije teško videti da je ona jednaka nuli. log x 523. Ako se na izračunavanje granične vrednosti formalno primeni x L Hospitalovo pravilo, dobija se log x x = 1/x 1 = +. Med utim, kako je log x < 0 za x < 1, ovaj rezultat nije tačan. Objasniti Funkcija x x log x je neprekidna u x = 1 pa je x 1 x log x = 1 log 1 = 0. S druge strane, log x x log x = x 1 x 1 1/x = (log x) 1/x x 1 (1/x) = x 1 1/x 2 = 1. Odavde se dobija da je 0 = 1. Objasniti Dokazati da je, za a > 0, x a log x = 0, log x x + x a = 0.! Primenom L Hospitalovog pravila imamo x a log x log x = x a = Druga granična vrednost se nalazi na sličan način. x 1 = a ax a 1 x a a = Dokazati da je, za a > 0 i b R, log x = 0, x + e xa x + xb e xa = 0.!

15 182 Glava 3. Diferencijalni račun Prva jednakost se lako dokazuje: log x = x + e xa log x = x + e xa x + x 1 ax a 1 e xa = x + 1 ax a e xa = 0. Druga jednakost je očigledno tačna za b 0. Dokažimo da ona važi za a = 1 i za proizvoljno b > 0: L = x + xb e x = x b x + e x = bx b 1 x + e x. Ako je 0 < b 1, tada iz poslednje jednakosti dobijamo da je L = 0. 1 < b 2, još jednom primenom L Hospitalovog pravila nalazimo L = b(b 1)x b 2 x + e x = 0. Ako je Ako je 2 < b 3, tada ćemo posle još jedne primene L Hospitalovog pravila dobiti L = 0. U opštem slučaju, ako je n 1 < b n, tada iz n primena L Hospitalovog pravila nalazimo L = 0, čime je dokazano da je L = 0 za svako b > 0. Konačno, neka je a > 0 i b > 0. Tada je L = x + xb e xa = x + (xa ) b/a e xa = t + tb/a e t (smena x a = t) = 0 na osnovu prethodnog slučaja Dokazati da je, za a > 0,! P = 0, x + (x)e xa gde je P (x) polinom proizvoljnog stepena Naći L = x 0 log(1 + xe x ) log(x x 2 ). Data granična vrednost je očigledno tipa 0/0. Primenom L Hospital ovog pravila nalazimo L = x 0 x x 2 ( Naći L = x 1 log x 1 ). x xe x (xex + e x ) ( ) = 1. 1 x x 2 Dati izraz je tipa. Dovod enjem na zajednički imenilac dobijamo izraz tipa 0/0, na koji primenjujemo L Hospitalovo pravilo: L = x 1 x 1 log x (x 1) log x (0/0)

16 3.2 Teoreme o srednjoj vrednosti Naći L = x x odakle je L = 1. = x 1 1 1/x log x + 1 1/x = x 1 1/x 2 1/x + 1/x 2 = 1 2 (0/0) Data granična vrednost je tipa 0 0. Logaritmovanjem nalazimo log x log L = x log x = 1/x = 1/x 1/x 2 = 0, 531. Naći x 0 (cos x) 1/x2. Dati izraz je tipa 1. Logaritmovanjem dobijamo izraz tipa 0/0 na koji možemo da primenimo L Hospitalovo pravilo: log cos x sin x x 0 x 2 = x 0 2x cos x = cos x x 0 2x sin x + 2 cos x = 1 2. Odavde je tražena granična vrednost jednaka e 1/ Naći x xx 1. Neka je f(x) = x xx 1. Tada je L = log f(x) = (x x 1) log x = ( e x log x 1 ) log x e x log x 1 = x log 2 x. x log x Primenom L Hospitalovog pravila, dobijamo da je e x log x 1 e u 1 e u = = x log x u 0 u u 0 1 = 1 x log 2 log 2 x x = x x (u = x log x), = 2x log x = 0, pa zaključujemo da je L = 0, odnosno da je tražena granična vrednost jednaka 1. Rešenje zadatka dao je mr Nenad Cakić Naći granične vrednosti: x a) cos x, b) x 1/(1 x), x 1 Rezultat. a) e 1/2, b) e 1, c) 1, d) 1. c) x 0 (ctg x) sin x, ( d) log 1 x. x) 3.4.4, 8.2.1

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Odrediti Košijevo rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q + 0 koje adovoljava uslov : 0 i p + q + 0 Najpre moramo da prebaimo na drugu stranu! p + q Sada

Bardziej szczegółowo

Neprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R

Neprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R 4 Neprekidnost i es Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija f : I {c} R ima es u točki c jednak L R ako za svaki niz ( n ) u I {c} vrijedi n = c = n + f( n) = L. n + Može se pokazati

Bardziej szczegółowo

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 21.3.213. 2 Sadržaj 1 Integrali 5 1.1 Dvostruki integrali........................ 5 1.2 Trostruki integrali......................... 9 1.3 Nesvojstveni

Bardziej szczegółowo

INTEGRALI I TEORIJA POLJA. - zadaci za vežbu -

INTEGRALI I TEORIJA POLJA. - zadaci za vežbu - INTEGRALI I TEORIJA POLJA - zadaci za vežbu -. Izračunati direktno krivolinijski integral: ydx x dy zdz duž presečne krive površi: C z x a y b i x a y b x a y b, orjentisane u pozitivnom smeru ako se posmatra

Bardziej szczegółowo

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 1.3.13. Glava 1 Integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: 1.1. I(a) = G ( + y) a, gde je skup G odre den nejednačinama: >, y >, < a +

Bardziej szczegółowo

Baze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT. Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek

Baze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT. Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Baze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Kako započeti? Ulogirajte se na student (bilo kojim ssh klijentom). Kako započeti? Ulogirajte se na

Bardziej szczegółowo

Udruženje matematičara TK - (b a) (c a) + C. a + b c = x, b + c a = y, c + a b = z. x + y = 2b, z + x = 2a i y + z = 2c.

Udruženje matematičara TK -   (b a) (c a) + C. a + b c = x, b + c a = y, c + a b = z. x + y = 2b, z + x = 2a i y + z = 2c. Prvi razred Zadaci i rješenja Zadatak 1. Odrediti vrijednost izraza w = (a + b c) (b + c a) (c + a b) + + (a c) (b c) (b a) (c a) (c b) (a b). Rješenje 1. Izraz je definisan ako i samo ako je a b, b c

Bardziej szczegółowo

Druxtvo matematiqara Srbije REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjA IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija AC + AC 1.

Druxtvo matematiqara Srbije REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjA IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija AC + AC 1. Druxtvo matematiqara Srbije REXENj ZDTK OPXTINSKOG TKMIQENj IZ MTEMTIKE Prvi razred kategorija. Rexenje : Taqka K je sredixte duжi,teje + K =. Vektori K i M su kolinearni, tj. K = λ M ikakoje sredixte duжi

Bardziej szczegółowo

Prvi razred, A kategorija )+ 1 ( ( AH + AB + AC 3 AH + BH + CH 3 AO+ OH + BO+ OH + CO + OH 3 AO+ BO + CO + OH. ( BH + BC + BA

Prvi razred, A kategorija )+ 1 ( ( AH + AB + AC 3 AH + BH + CH 3 AO+ OH + BO+ OH + CO + OH 3 AO+ BO + CO + OH. ( BH + BC + BA REXENj ZDTK OPXTINSKOG TKMIQENjENj IZ MTEMTIKE UQENIK SREDNjIH XKOL, 001 Prvi razred, kategorija Kako za proizvoljan trougao XYZ, njegovo teжixte T i proizvoljnu taqku P vaжi PX + PY + PZ = PT, to je G 1 + G

Bardziej szczegółowo

Algoritmi i strukture podataka

Algoritmi i strukture podataka Algoritmi i strukture podataka vežbe 4 Mirko Stojadinović 27. oktobar 2013 1 Hip Hip je binarno stablo koje zadovoljava uslov hipa: ključ svakog čvora veći je ili jednak od ključeva njegovih sinova. Pored

Bardziej szczegółowo

REXENjA ZADATAKA Prvi razred A kategorija

REXENjA ZADATAKA Prvi razred A kategorija REXENjA ZADATAKA OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE 4.0.007. Prvi razred A kategorija 1. Na i ostatak pri deljenju broja 3 1000 + 4 1000 sa 13. Tangenta 38, str. 41. Rexenje: Nađimo ostatke deljenja brojeva oblika

Bardziej szczegółowo

Darko Drakulić. Osnove programskog jezika C sa zbirkom zadataka -skripta-

Darko Drakulić. Osnove programskog jezika C sa zbirkom zadataka -skripta- Darko Drakulić Osnove programskog jezika C sa zbirkom zadataka -skripta- Rad u Code::Blocks okruženju Da bi se napisao i izvršio program napisan na programskom jeziku C, potreban je tekst editor u kojem

Bardziej szczegółowo

1. UVOD U TEORIJU FORMALNIH JEZIKA

1. UVOD U TEORIJU FORMALNIH JEZIKA 1. UVOD U TEORIJU FORMALNIH JEZIKA 17 1.1 ZNAKOVI I NIZOVI ZNAKOVA 19 1.2 DEFINICIJA FORMALNOG JEZIKA 20 Formalni jezik 20 Svojstvo prefiksa 21 Operacije nad jezicima 21 Produkt jezika 21 Zatvarač jezika

Bardziej szczegółowo

MATEMATIČKA ANALIZA 2

MATEMATIČKA ANALIZA 2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU MATEMATIČKA ANALIZA 2 Zadaci za vježbu Zagreb, 23. Sadržaj Funkcije više varijabli 3 2 Diferencijalni račun

Bardziej szczegółowo

Vježba 2 Regularni izrazi I (eng. regex)

Vježba 2 Regularni izrazi I (eng. regex) Ponavljanje: tipovi podataka i funkcije Funkcija za provjeru regex-a REGEX Funkcije search() i match() Kvantifikatori Klase/razredi uzoraka Uvod u skupine (grupe) uzoraka Domaća zadaća Rad s regularnim

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga! Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Hotellingova T 2 statistika. Mia Franić 6. srpnja 2016.

Hotellingova T 2 statistika. Mia Franić 6. srpnja 2016. Hotellingova T statistika Mia Franić 6. srpnja 06. Sadržaj Uvod 3. Linearni model više varijabli..................... 3. Hotellingova statistika........................ 4 Hotellingov T test za dva normalna

Bardziej szczegółowo

v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)

v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z) v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i U = {X i } i=,n v T v = = v v n v n U x y z T X,Y,Z) v v v = 2 T A, ) b = 3 4 T B, ) c = + b b d = b c c d d 2 + 3b e b c = 5 3 T b d = 5 T c c = 34 d = 26 d

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

5. a 12. prosince 2018

5. a 12. prosince 2018 Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

0. OSNOVE

0. OSNOVE 0.1 JEZIK Operacije nad jezicima Simboli i nizovi simbola Klasifikacija jezika Regularni skupovi SVOJSTVA REGULARNIH SKUPOVA 0.2 REGULARNI IZRAZI Algebarska svojstva regularnih izraza 0.3 GRAMATIKE Gramatika

Bardziej szczegółowo

7.1. Lecture 8 & 9. f(x)dx =lim f(x)dx (7.1) I = f(x)dx (7.3) f(z), z (0 argz π), zf(z) 0. f(z)dz = I R := f(z)dz = f(re iθ )ire iθ dθ (7.

7.1. Lecture 8 & 9. f(x)dx =lim f(x)dx (7.1) I = f(x)dx (7.3) f(z), z (0 argz π), zf(z) 0. f(z)dz = I R := f(z)dz = f(re iθ )ire iθ dθ (7. Lecture 8 & 9 7, r f(x) =lim f(x) (7.) r r f(x) =lim f(x) +lim f(x) (7.) r r r 7. f(z) I = f(x) (7.) f(z), z ( argz π), zf(z) [ R, R], : z = R Jordan C f(z). C f(z)dz = R R f(x) + f(z)dz =πi i Res z=zi

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Informacje pomocnicze:

Informacje pomocnicze: dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016

Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016 Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy

Bardziej szczegółowo

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i

Liczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Praca domowa

Analiza Matematyczna Praca domowa Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x

Bardziej szczegółowo

v = v i e i v 1 ] T v =

v = v i e i v 1 ] T v = v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

x y = 2z. + 2y, z 2y df

x y = 2z. + 2y, z 2y df . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Rozkłady wielu zmiennych

Rozkłady wielu zmiennych Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2. Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5

Bardziej szczegółowo

token DOT WORD dve vrednosti

token DOT WORD dve vrednosti Skener Skener je zadužen za leksičku analizu Skener preuzima (skenira) znak po znak (programskog) teksta radi prepoznavanja simbola sastavljenih od zadanih znakova ili njihovih sekvenci. Pri tome: ignoriše

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

1 Warunkowe wartości oczekiwane

1 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5) 1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.

(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N. 1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej

3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y

Bardziej szczegółowo