Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty"

Transkrypt

1 Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty Rachunek predykatów jest rozszerzeniem rachunku zdań o symbole predykatywne interpretowane jako relacje w określonej dziedzinie. Relację można reprezentować za pomocą funkcji o wartościach logicznych R: D n {0,1} odwzorowującej krotkę w wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy należy ona do relacji R(d 1,..., d n ) = 1 wtw (d 1,..., d n ) R Relacje i predykaty - przykłady Pr(x) N jest zbiorem liczb pierwszych: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...} Pr(0) = 0; Pr(1) = 0; Pr(2) = 1; Pr(3) = 1; Pr(4) = 0,... Sq(x) N 2 jest zbiorem par takich, że y = x 2 : {(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)...} Sq(0,0) = 1; Sq(0,1) = 0; Sq(0,2) = 0; Sq(0,3) = 0; Sq(0,4) = 0;... Sq(1,0) = 0; Sq(1,1) = 1; Sq(1,2) = 0; Sq(1,3) = 0; Sq(1,4) = 0;... Sq(2,0) = 0;... Sq(2,1) = 0;... Sq(2,2) = 0;... Sq(2,3) = 0;... Sq(2,4) = 1; Formuły rachunku predykatów P = {p, q, r} symbole predykatywne A = {a, b, c} stałe V = {x, y, z} zmienne Za pomocą zastępującej gramatyki definiuje się formuły atomowe oraz formuły rachunku predykatów: argument ::= x dla dowolnego x V argument ::= a dla dowolnego a A argumenty ::= argument argumenty ::= argument,argumenty atom ::= p p(argumenty) dla dowolnego p P form ::= atom form ::= form form ::= form form podobnie dla,... form ::= x form dla dowolnego x V form ::= x form dla dowolnego x V Formuły rachunku predykatów Symbol predykatywny p P może nie mieć argumentów lub mieć ich dowolna liczbę. Dwa symbole predykatywne o różnej liczbie argumentów będziemy traktować jako różne symbole. Definicję drzewa wywodu, drzewa struktury i pojęcie indukcji strukturalnej przejmujemy bez zmian z rachunku zdań. Kwantyfikatory mają priorytet wyższy od priorytetu operatorów logicznych.

2 y x y (p(x,y) p(y,x)). x y p(x,y). x y (p(x) p(y)). x p(a,x). x (p(x) q(x)) ( x p(x) x q(x)). x (p(x) q(x)) ( x p(x) x q(x)). Kwantyfikatory Symbol to kwantyfikator uniwersalny, który odczytujemy: dla każdego. Symbol to kwantyfikator egzystencjalny, który odczytujemy istnieje. Zmienna x w kwantyfikowanej formule postaci x A jest nazywana zmienną kwantyfikowaną, a formuła A tworzy zasięg zmiennej kwantyfikowanej. Nie jest wymagane, aby zmienna x wystąpiła w zasięgu własnej kwantyfikacji. Zasięg kwantyfikatora Zmienna wolna i związana x i (x i > 9) x i (x i > x i 1) Niech A będzie formułą. Zmienna x występująca w formule A jest nazywana zmienna wolną wtw, gdy nie leży w zasięgu zmiennej kwantyfikowanej x. A(x 1,..., x n ) oznacza, że zbiór zmiennych wolnych w formule A jest podzbiorem zbioru {x 1,..., x n }. O zmiennej, która nie jest wolna mówimy, że jest związana. Zmienna wolna i związana Domknięcie uniwersalne i egzystencjane x(y > 9) Formuła, która nie zawiera zmiennych wolnych nazywana jest formułą zamkniętą. Jeśli {x 1,..., x n } są wszystkimi zmiennymi wolnymi formuły A, to domknięciem uniwersalnym formuły A jest formuła x 1... x n A, a formuła x 1... x n A domknięciem egzystencjalnym A. x (x > x 1) x p(x) q(x) x p(x) q(y) Tak jest bardziej czytelne!

3 Domknięcie uniwersalne i egzystencjane x(y > 9) x (x > x 1) x(p(x) q(x)) y ( x(y > 9)) y ( x(y > 9)) Interpretacje Niech U będzie zbiorem formuł spełniającym warunek: {p 1,..., p n } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych występujących w tych formułach, {a 1,..., a k } jest zbiorem wszystkich stałych występujących w U. Interpretacją I nazywamy trójkę: (D, {R 1,... R m }, {d 1,..., d k }), xp(x) q(y) y ( xp(x) q(y)) y ( xp(x) q(y)) gdzie: D jest niepustą dziedziną, R i jest n i -argumentową relacją określoną na D, przyporządkowaną symbolowi predykatywnemu p i, d i D są elementami dziedziny D, przyporządkowanymi stałym a i. Interpretacje - przykład Wartościowanie x p(a,x) I 1 = (N, { }, {0}) I 1 = (N, { }, {1}) I 1 = (Z, { }, {0}) {x x N, 0 x} Niech I będzie interpretacją. Wartościowaniem σ I : V D nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej zmiennej element dziedziny interpretacji I. Przez σ I [x i d i ] będziemy oznaczać wartościowanie otrzymane z σ I przez przyporządkowanie zmiennej x i wartości d i. Wartość formuły Niech A będzie formułą, I interpretacją, a σ I wartościowaniem. Wartość formuły A przy wartościowaniu σ I oznaczamy przez v σi (A) i definiujemy przez indukcję ze względu na budowę formuły. Niech A = p k (c 1,..., c n ) będzie formułą atomową, gdzie każde c i jest zmienną x i lub stałą a i. Wartość v σi (A) = 1 wtw, gdy (d 1,..., d n ) R k, gdzie R k jest relacją przyporządkowaną w interpretacji I predykatowi p k, a d i są elementami z dziedziny przyporządkowanymi c i albo przez interpretację, jeśli c i jest stałą, albo przez wartościowanie, jeśli c i jest zmienną. Wartość formuły v σi ( A) = 1 wtw, gdy v σi (A) = 0. v σi ( A 2 ) = 1 wtw, gdy v σi ( ) = 1 lub v σi (A 2 ) = 1. Podobnie dla pozostałych operatorów logicznych. v σi ( xa) = 1 wtw, gdy v σi[xi di] (A) = 1 dla każdego d D. v σi ( xa) = 1 wtw, gdy v σi[xi di] (A) = 1 dla pewnegod D.

4 Twierdzenia Niech A będzie formułą zamkniętą. Wówczas v σi (A) nie zależy od wartościowania σ I. Niech A = A(x 1,..., x n ) nie będzie formułą zamkniętą, a I niech będzie interpretacją. Wówczas: v σi (A ) = 1 dla pewnego wartościowania σ I wtw, gdy v I ( x 1,..., x n A ) = 1, v σi (A ) = 1 dla wszystkich wartościowań σ I wtw, gdy v I ( x 1,..., x n A ) = 1. Semantyka rachunku predykatów Formuła zamknięta A jest spełniona w interpretacji I, czyli interpretacja I jest modelem A, jeśli v I (A)=1, co oznaczamy I =A. Formuła zamknięta A jest spełnialna, jeśli dla pewnej interpretacji I mamy I =A. Formuła zaknięta A jest prawdziwa, jeśli dla wszystkich interpretacji I mamy I =A, co będziemy oznaczać =A. Formuła A jest niespełnialna, jeśli nie jest spełnialna, a jest nieprawdziwa, gdy nie jest prawdziwa. y Formuła prawdziwa Logiczna równoważność x p(x) p(a) Gdyby formuła nie była prawdziwa, to istniałaby interpretacja I=(D,{R}{d}) taka, że v I ( x p(x)) = 1, a v I (p(a)) = 0. Z Twierdzenia mamy v I (p(x)) = 1, dla wszystkich wartościowań σ i, w szczególności dla wartościowania σ i przyporządkowującego zmiennej x wartość d. Formuła p(a) jest zamknięta, a zatem v σi (a) = v I (p(a)) =0, a to jest sprzeczne z przyjętym założeniem. Niech i A 2 będą formułami zamkniętymi. Jeśli v I ( ) = v I (A 2 ) dla wszystkich interpretacji I, to jest logicznie równoważna A 2, co oznaczamy A 2. A B wtw gdy = A B. U = A wtw gdy = (... A n ) A. Metoda tabel Reguły α i β pozostają w mocy. Metoda tabel Wymagane jest dodanie reguł dla kwantyfikatorów. α 2 α α 1 A 2 A 2 ( A 2 ) ( A 2 ) ( A 2 ) A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 ( A 2 ) A 2 A 2 β β 1 (B 1 ) B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 (B 1 ) B 1 β 2 (B 1 ) (B 1 ) ( B 1 ) B 1 (B 1 ) ( B 1 ) γ x A(x) x A(x) γ(a) A(a) A(a) δ x A(x) x A(x) δ(a) A(a) A(a)

5 Literał Literałem nazywamy zamkniętą formułę atomową postaci p(a 1,..., a k ), czyli formułę atomową, której argumentami są stałe, jak również negację takiej formuły. Tabela semantyczna T dla formuły A jest drzewem, którego każdy wierzchołek zawiera parę W(n) = (U(n), C(n)), gdzie U(n) = {,..., A k } jest zbiorem formuł, a C(n) = {a 1,..., a m } jest zbiorem stałych występujących w formułach należących do U(n). Początkowo T składa się z pojedynczego wierzchołka, korzenia zawierającego parę ({A}, {a 1,..., a k }), gdzie {a 1,..., a k } jest zbiorem stałych występujących w A. Jeśli formuła A nie zawiera stałych, to należy wybrać dowolną stałą a, wówczas korzeń będzie zawierał parę postaci ({A}, {a}) Tworzenie tabeli semantycznej przebiega iteracyjnie przez wybór nieoznakowanego liścia l, zawierającego W(l) = (U(l), C(l)) i zastosowanie jednej z następujących reguł w podanej kolejności. Jeśli U(l) jest zbiorem literałów i formuł typu γ, zawierającym parę literałów komplementarnych {p(a 1,..., a k ), p(a 1,..., a k )}, to oznacz ten liść jako domknięty x, Jeśli U(l) nie jest zbiorem literałów wybierz dowolną formułę A typu α, β, δ. Jeśli A jest typu α, utwórz nowy wierzchołek l, będący potomkiem wierzchołka l i umieść w nim W(l ) = (U(l ), C(l )) = ((U(l) {A}) {α 1, α 2 }, C(l)). (Jeśli formuła A jest postaci ( ), to nie ma formuły α 2.) Jeśli A jest typu β, utwórz dwa nowe wierzchołki l oraz l jako następniki wierzchołka l. W wierzchołku l umieść W(l ) = (U(l ), C(l )) = ((U(l ) {A}) {β 1 }, C(l)), a w wierzchołku l umieść W(l ) = (U(l ), C(l )) = ((U(l) {A}) {β 2 }, C(l)).

6 Jeśli A jest typu δ, (na przykład x (x)) utwórz nowy wierzchołek l będący potomkiem wierzchołka l i umieść w nim W(l ) = (U(l ), C(l )) = ((U(l) {A}) {δ(a)}, C(l) {a} gdzie a jest pewną stałą niewystępującą w U(l). Niech {γ 1,..., γ m } U(l) będą wszystkimi formułami typu γ występującymi w U(l) i niech C(l) = {a 1,..., a k }. Utwórz nowy wierzchołek l będący potomkiem wierzchołka l i umieść w nim i= m,j= k W ( l' ) = ( U ( l' ),C ( l' )) = U () l { γi( a j) },C () l i = 1,j= 1 Jeśli U(l) składa się wyłącznie z literałów oraz formuł typu γ oraz U(l ) = U(l), to oznacz ten liść jako otwarty. Metoda tabel Metoda tabel Gałąź tabeli semantycznej nazywamy domkniętą, jeśli jest zakończona liściem oznakowanym jako domknięty. W przeciwnym razie, czyli gdy gałąź jest nieskończona lub zakończona liściem oznakowanym jako otwarty nazywamy ja otwartą. Niech A będzie formułą rachunku predykatów, a T tabelą semantyczną dla A. Jeśli T jest domknięta, to formuła A jest niespełnialna. U(n)={A,...} Niech g będzie otwartą gałęzią systematycznie utworzonej tabeli semantycznej, n wierzchołkiem gałęzi, A zaś formułą ze zbioru U(n). C(n)={a,...} Wówczas istnieje wierzchołek m znajdujący się na gałęzi g, będący potomkiem n, dla którego zastosowano regułę dla formuły A. m Ponadto, jeśli A jest formułą typu γ oraz a C(n), to γ(a) U(m ). U(m )={γ(a),...} n m α α 1 α 2 A 2 ( A 2 ) ( A 2 ) ( A 2 ) A 2 A 2 A 2 ( A 2 ) A 2 A 2 A 2 A 2 A 2

7 α α 1 α 2 A 2 ( A 2 ) ( A 2 ) A 2 ( A 2 ) A 2 A 2 A 2 ( A 2 ) A 2 A 2 A 2 A 2 x(p(x) q(x)), x p(x), q(a) p(a) q(a), x p(x), q(a) x(p(x) q(x)), x p(x), q(a) (B 1 ) B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 (B 1 ) B 1 (B 1 ) (B 1 ) ( B 1 ) B 1 (B 1 ) ( B 1 ) x(p(x) q(x)), x p(x), q(a) p(a) q(a), x p(x), q(a) p(a) q(a), p(a), q(a) β β 1 β 2 x(p(x) q(x)), x p(x), q(a) p(a) q(a), x p(x), q(a) p(a) q(a), p(a), q(a) p(a), p(a), q(a) q(a), p(a), q(a) p(a), p(a), q(a) q(a), p(a), q(a)

8 Zbiór Hintikki Jaakko Hintikka Niech U będzie zbiorem formuł rachunku predykatów. U jest zbiorem Hintikki wtw, gdy wszystkie formuły A U spełniają następujące warunki: 1. Jeśli A jest zamkniętą formułą atomową, to A U lub A U. 2. Jeśli A jest formułą typu α, to α 1 U oraz α 2 U. 3. Jeśli A jest formułą typu β, to β 1 U lub β 2 U. 4. Jeśli A jest formułą typu γ, to γ(a) U dla każdej stałej występującej w formule ze zbioru U. 5. Jeśli A jest formułą typu δ, to δ(a) U dla pewnej stałej a. Zdjęcie z roku Jaakko Hintikka (ur. 12 stycznia 1929, w Vantaa w Finlandii), fiński logik i filozof. Jako autor lub współautor 30 książek i 300 artykułów naukowych wniósł wkład do takich dziedzin jak logika matematyczna, logika filozoficzna, filozofia matematyki, epistemologia, filozofia języka i filozofia nauki. Uznaje się go za wynalazcę logiki epistemicznej i semantyki teoriogrowej dla logiki. W ostatnich latach pracował głównie nad semantyką teoriogrową i IFlogic (ang. Independence Friendly logic: logika przyjazna wobec niezależności (kwantyfikatorów)), z charakterystycznymi kwantyfikatorami rozgałęzionymi które, jak wierzy, lepiej oddają nasze intuicje językowe związane z kwantyfikatorami niż klasyczna logika pierwszego rzędu. Zbiory Hintikki Niech g będzie otwartą gałęzią systematycznie utworzonej tabeli semantycznej, a U = U n g U(n). Wówczas U jest zbiorem Hintikki. Niech U będzie zbiorem Hintikki. Wówczas zbiór formuł U ma model. Niech A będzie formułą prawdziwą. Wówczas algorytm systematycznego tworzenia tabel utworzy dla formuły A tabelę domknietą. Modele skończone i nieskończone Formuła rachunku predykatów jest nazywana formułą czystą, jeśli nie zawiera symboli funkcyjnych (wliczając stałe, będące funkcjami zeroargumentowymi). Zbiór formuł U ma własność modelu skończonego wtw, gdy jest spełniony następujący warunek: U jest spełnialny wtw, gdy ma model, którego dziedzina jest zbiorem skończonym. Modele skończone i nieskończone Niech U będzie zbiorem formuł czystych postaci: x 1... x k y 1... y l A(x 1,..., x k, y 1,..., y l ) przy czym formuła A nie zawiera kwantyfikatorów. Wówczas zbiór U ma własność modelu skończonego. (Löwenheim) Jeśli formuła jest spełnialna, to ma model przeliczalny. (Löwenheim-Skolem) Jeśli przeliczalny zbiór formuł jest spełnialny, to ma model przeliczalny. (Zwartość) Niech U będzie przeliczalnym zbiorem formuł. Jeśli wszystkie skończone podzbiory U są spełnialne, to zbiór U jest spełnialny. Preneksowa koniunkcyjna postać normalna Formuła jest w preneksowej koniunkcyjnej postaci normalnej wtw, gdy jest postaci Q 1 x 1... Q n x n M gdzie Q i są kwantyfikatorami, a M jest formułą w koniunkcyjnej postaci normalnej, niezawierającą kwantyfikatorów. Ciąg Q 1 x 1... Q n x n jest nazywany prefiksem, a M matrycą formuły. Fomuła jest w koniunkcyjnej postaci normalnej, gdy jest koniunkcja alternatyw literałów.

9 Rozstrzygalność (Church) Problem prawdziwości formuł rachunku predykatów jest nierozstrzygalny. Istnieje procedura decyzyjna rozwiązująca problem prawdziwości dla klas formuł czystych w preneksowej koniunkcyjnej postaci normalnej, których prefiksy są jednej z następujących postaci (m, n 0): x 1... x n y 1... y m x 1... x n y z 1... z m x 1... x n y 1 y 2 z 1... z m. Rozstrzygalność Dla klas formuł czystych w preneksowej postaci normalnej, których prefiksy sa postaci oraz, nie istnieje procedura decyzyjna rozwiązująca problem prawdziwości, nawet jeśli w matrycach tych formuł występują jedynie predykaty binarne. Rozstrzygalność Istnieje procedura decyzyjna, rozwiązująca problem spełnianości formuł A w preneksowej koniunkcyjnej postaci normalnej, jeśli matryca formuły A jest jednej z następujących postaci: 1.Wszystkie koniunkcje są koniunkcjami jednostkowymi, składającymi się z pojedynczych literałów. 2.Wszystkie koniunkcje są albo pozytywnymi koniunkcjami jednostkowymi (czyli formułami atomowymi), albo składają się wyłącznie z literałów negatywnych. 3.Wszystkie formuły atomowe są monadyczne, czyli wszystkie predykaty są jednoargumentowe. Podsumowanie Składnia i semantyka rachunku predykatów Metoda tabel Rozstrzygalność rachunku predykatów

Metoda Tablic Semantycznych

Metoda Tablic Semantycznych Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Rekurencyjna przeliczalność

Rekurencyjna przeliczalność Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (I JiIN UAM)

Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 31V-1VI 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) 31V-1VI 2007 1

Bardziej szczegółowo

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą

Bardziej szczegółowo

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji

Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Radosna 5 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRP: tablice analityczne Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 5 KRP: tablice analityczne 1 / 111 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Programowanie logiczne a negacja

Programowanie logiczne a negacja Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r. SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji 2 2.1 Reguła CWA (Closed World

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny i Logika I

Internet Semantyczny i Logika I Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

Rozstrzygalność logiki modalnej

Rozstrzygalność logiki modalnej , a FO, a Guarded fragment Rozstrzygalność logiki modalnej, a logika pierwszego rzędu 13.05.2009 / , a FO, a Guarded fragment Spis treści 1 Definicja Model Checking Spełnialność 2, a FO Zamiana na FO Złożoność

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań 1/2 Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji

Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 11 12

Logika Matematyczna 11 12 Logika Matematyczna 11 12 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 3, 10 stycznia 2008 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 11 12 3, 10 stycznia 2008 1

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a i układy logiczne 1 Elementy logiki dla informatyków Wykład III Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 11 12

Logika Matematyczna 11 12 Logika Matematyczna 11 12 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl TA w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 11 12 TA w KRZ 1 / 102 Wprowadzenie Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 1 LOGICZNE PODSTAWY INFORMATYKI Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 2 1. Rezolucja zdaniowa Formuły

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe

Bardziej szczegółowo

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.

Bardziej szczegółowo

Metalogika (10) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (10) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (10) Uniwersytet Opolski 1 / 291 Plan wykładu Plan

Bardziej szczegółowo

Logika dla informatyków

Logika dla informatyków Logika dla informatyków Notatki do wykładów 21 kwietnia 2002 Niniejszy dokument zawiera listę najważniejszych definicji i twierdzeń omawianych na wykładzie z Logiki dla Informatyków i określa zakres materiału,

Bardziej szczegółowo

Wyuczalność w teorii modeli

Wyuczalność w teorii modeli Wyuczalność w teorii modeli Nina Gierasimczuk Instytut Filozofii UW & Institute for Logic, Language, and Computation UvA Forum Kognitywistyczne 26 IV 2008 Nina Gierasimczuk (IF UW, ILLC UvA) Wyuczalność

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek

Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek Rachunki relacji Rachunki relacji 1. RRK Relacyjny Rachunek Krotek 2. RRD Relacyjny Rachunek Dziedzin 3. Datalog Database Prolog Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski T. Pankowski, Rachunki

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.

Bardziej szczegółowo

Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk

Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny. Logika opisowa

Internet Semantyczny. Logika opisowa Internet Semantyczny Logika opisowa Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia

Rachunek zdań. 2.1 Podstawowe pojęcia Rachunek zdań 2.1 Podstawowe pojęcia 2.1.1. Rachunek zdań to teoria zajmująca się formami wnioskowania zbudowanymi wyłącznie ze zmiennych zdaniowych oraz funktorów prawdziwościowych, będących pewnego rodzaju

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:

Bardziej szczegółowo