Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Transkrypt

1 Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe, w których mówimy bądź o cechach określonych indywiduów (1),(2) bądź o relacjach, jakie między nimi zachodzą (3),(4). Indywidua wskazujemy używając nazw indywiduowych (indywidualnych) - Europa, Afryka, 153, 3. Nazwy indywidualne są to takie symbole, słowa lub nawet dłuższe wyrażenia, które nadają się na podmioty zdań podmiotowoorzecznikowych, tzn. zdań postaci: A jest B. Występujące w podanych zdaniach wyrażenia kontynent lub liczba naturalna nie są już jednak nazwami indywidualnymi. Są to tzw. nazwy generalne. Wyrażenia, które w połączeniu z jedną nazwą indywidualną mogą tworzyć zdania, nazywają się predykatami jednoargumentowymi (jednoczłonowymi): Na przykład: jest liczbą naturalną, jest kontynentem. Predykaty określają więc cechy indywiduów a także relacje między nimi zachodzące. Predykat...jest liczbą naturalną,...jest kontynentem tworzy zdanie proste z jedną nazwą indywiduową. Predykat...jest mniejsze niż... lub...jest podzielne przez... wymaga dodania dwóch nazw. Liczbę naturalną odpowiadającą liczbie nazw, z którymi dany predykat tworzy zdanie proste nazywamy argumentowością predykatu. 1

2 Uogólniając przyjmiemy, że każde zdanie jednostkowe proste zbudowane jest z n-argumentowego predykatu oraz n nazw indywiduowych. Predykaty występują nie tylko w zdaniach, ale i w wyrażeniach zdaniowych typu: (5) On jest studentem. Zaimek on występuje tu w roli zmiennej indywiduowej. Predykaty można więc traktować jako funktory zdaniotwórcze o argumentach nazwowych. Są to predykaty pierwszego rzędu. Jeżeli przyjmiemy, że jednoargumentowe predykaty pierwszego rzędu są znakami cech przedmiotów indywidulanych, a dwu- oraz wieloargumentowe predykaty są znakami relacji dwu- i wieloczłonowych zachodzących między przedmiotami indywidualnymi, to: wyrażenia takie jak P() czytamy: ma cechę P lub cecha P przysługuje -owi, a wyrażenia takie jak P(,y) czytamy: pozostaje w relacji P do y (np. jest młodszy od y), a wyrażenie P( 1, 2,..., n ) czytamy jako: relacja P zachodzi między przedmiotami 1, 2,..., n (np. leży między y i z). 2

3 Predykatem drugiego rzędu jest funktor zdaniotwórczy od argumentów należących do kategorii składniowej nazw jednostkowych lub predykatów pierwszego rzędu, przy czym przynajmniej jeden z tych argumentów jest predykatem pierwszego rzędu. Np. predykatem drugiego rzędu jest funktor Rozł wprowadzony przy pomocy definicji: Rozł(P,R) ( P( ) R( )) czytamy: P i R rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takie, że jest P i zarazem jest R. Ogólnie: Predykat n-tego n rzędu jest to funktor zdaniotwórczy od argumentów należących do kategorii składniowej nazw jednostkowych lub predykatów rzędów niższych od n, przy czym przynajmniej jeden z tych argumentów należy do kategorii składniowej predykatów n 1 rzędu. Predykaty wyższych rzędów są znakami własności cech lub stosunków, albo znakami relacji (stosunków) zachodzących między cechami i relacjami. Np. wprowadzony predykat Rozł denotuje relację wykluczania się cech, zachodzącą między cechami wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żaden przedmiot, który posiada obie cechy zarazem. 3

4 Formuły nazwowe (termy) Cechy przedmiotów mogą być także określane przy pomocy pewnych funkcji. Na przykład: Ojciec -a, matka -a itp. W zdaniu Ojciec Sokratesa był Grekiem słowo ojciec jest tak samo symbolem funkcyjnym jak symbol sin w zdaniu sin(30 0 ) < 1. Istotną własnością wszystkich symboli funkcyjnych jest to, że łączone w odpowiedni sposób z nazwami (indywidualnymi) pewnych obiektów tworzą nazwy (złożone) obiektów. Wyrażenia (formuły) funkcyjne mogą być proste: np. +y, y lub złożone: np. (y+z), ((+y) (y+u)) 2 powstające przez nałożenie na siebie różnych formuł prostych. Najprostszymi formułami funkcyjnymi są nazwy indywiduowe np. 0, 1, e itp., które można uważać za funkcje od zera argumentów. Formuły funkcyjne nazywamy też formułami nazwowymi, nie wyrażają bowiem żadnej myśli, tylko opisują nazwy przedmiotów, o których mowa w danej teorii. 4

5 Formuły rachunku logicznego dzielą się więc na dwa zbiory wyrażeń sensownych: 1. formuły nazwowe (termy) powstające ze zmiennych i stałych indywiduowych przez nakładanie różnych symboli funkcyjnych i oznaczające zawsze pewne indywidua lub funkcje określone na elementach rozważanej dziedziny i przyjmujące wartości z tej dziedziny, 2. formuły zdaniowe (formuły) wyrażające zawsze pewną myśl, niekoniecznie zamkniętą, powstające z formuł nazwowych i predykatów. Rachunek kwantyfikatorów nazywa się też rachunkiem predykatów. Ta część rachunku predykatów, w której wyrażeniach nie występują predykaty rzędu wyższego niż pierwszy, a kwantyfikatory wiążą tylko zmienne indywiduowe nazywa się rachunkiem predykatów pierwszego rzędu lub węższym rachunkiem predykatów. Wtedy gdy do języka dołączymy funkcje - rachunek logiczny nazwiemy rachunkiem logicznym funkcyjnym. Gdy w języku tym występują predykaty tylko pierwszego rzędu - węższy rachunek funkcyjny (rachunek funkcyjny pierwszego rzędu). 5

6 Język pierwszego rzędu Alfabet V = { 0, 1,..., n,... } - przeliczalny zbiór zmiennych indywiduowych P - niepusty zbiór predykatów 1-go rzędu {P 1 1,P1 2,...,P2,...} F S - zbiór symboli funkcyjnych (może być pusty) - zbiór elementów - stałych (nazw indywiduowych) Q = {,, } - zbiór symboli logicznych Y = { (, ) } - zbiór symboli pomocniczych P F S - zbiór symboli pozalogicznych Alf = V P F S Q Y Wyrażeniem (napisem) języka jest dowolny, skończony ciąg symboli alfabetu tego języka Zbiór wszystkich wyrażeń - Alf * Definicja termu: Napis α Alf * nazywamy termem wtedy i tylko wtedy, gdy α jest elementem najmniejszego zbioru X Alf * spełniającego warunki: (i) V S X, (ii) jeśli napisy t 1,...,t k X (są termami) oraz f jest k argumentowym symbolem funkcyjnym, to napis f(t 1,...,t k ) też należy do X (jest termem). Zbiór termów - T 6

7 Definicja formuły atomowej: Formułą atomową nazywamy napis postaci: P(t 1,...,t k ) gdzie P jest k-argumentowym predykatem, a t 1,...,t k są termami. Definicja formuły: Napis α Alf * nazywamy formułą wtedy i tylko wtedy, gdy α jest elementem najmniejszego zbioru X Alf * spełniającego warunki: (i) każda formuła atomowa należy do X, (ii) jeśli napis α należy do X, to napis α też należy do X, (iii) jeśli napisy α, β należą do X, to napis α β też należy do X, (iiii) jeśli napis α należy do X i i jest zmienną wolną występującą w α, to napis α też należy do X. i Zbiór formuł - Form Język pierwszego rzędu - L = ( Alf, T, Form) Pozostałe symbole logiczne mogą zostać określone jako: α 1 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 ( α 1 α 2 ) α 1 α 2 (α 1 α 2 ) (α 2 α 1 ) α α 7

8 Definicje: α( i / t ) -formuła otrzymana przez podstawienie do formuły α termu t zamiast zmiennej i na każdym miejscu, w którym i występuje jako zmienna wolna. Na przykład: Jeśli α jest postaci: to α(3/t): Term t jest podstawialny do formuły w miejsce zmiennej i, jeśli żadna ze zmiennych występujących w t nie stanie się zmienną związaną wformule α (i / t). Na przykład: term 2 nie jest podstawialny do w przeciwieństwie do termu 3, t itp. 3 = 4 3 = 4 3 t = 4 3 = < 2 Reguły pierwotne wnioskowania Reguła odrywania: α, α β β Reguła kwantyfikatora ogólnego: α β α β gdzie: α, β są dowolnymi formułami oraz i jest zmienną wolną w β i nie jest zmienną wolną w α. i 8

9 Aksjomaty A 1 = { α ( β α) : α, β Form } A 2 = { ( α ( β γ ) ) ( ( α β ) ( α γ ) ) : α, β, γ Form} A 3 = { α ( α β) : α, β Form } A 4 = { ( α α) α: α Form } A 5 = { ( α α ) α: α Form } A 6 = {( i α) α(i/t) : α Form i jest zmienną wolną w α t jest termem podstawialnym do α w miejsce i } A log = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 zbiór aksjomatów logicznych węższego rachunku funkcyjnego Teoria pierwszego rzędu Definicja: Teorią pierwszego rzędu nazywamy parę (L, A), gdzie L=(Alf, T, Form) jest językiem pierwszego rzędu, a zbiór A Form jest zbiorem specyficznych aksjomatów teorii. Wśród aksjomatów systemu sformalizowanego wyróżnia się: aksjomaty logiczne i aksjomaty specyficzne. Twierdzeniami (tezami) teorii (L, A) nazywamy konsekwencje zbioru A log A Wśród tez wyróżnia się: - tezy logiczne ( gdy nie korzysta się z aksjomatów specyficznych), - tezy specyficzne (takie, których nie można udowodnić bez odwoływania się do aksjomatów specyficznych). 9

10 Teoria równości Zawiera pierwotny predykat dwuargumentowy o symbolu =. Można też zapisać I( 1, 2 ) : 1 = 2 Aksjomaty specyficzne: 1. zwrotności: 1 = 1 I( 1, 1 ) 2. symetrii: 1 = 2 2 = 1 I( 1, 2 ) I( 2, 1 ) 3. przechodniości: ( ( 1 = 2 ) ( 2 = 3 ) ) ( 1 = 3 ) (I( 1, 2 ) I( 2, 3 )) I( 1, 3 ) 4. Aksjomaty podstawienia: ( 1 = j1 2 = j2... k = jk ) F( 1,..., k ) = F( j1,..., jk ) ( 1 = j1 2 = j2... k = jk ) (P( 1,..., k ) P( j1,..., jk ) gdzie F jest dowolnym k-argumentowym symbolem funkcyjnym, a P dowolnym k-argumentowym symbolem predykatu danego języka. Zbiór tych aksjomatów równości oznaczamy A = Teoria grup P - zbiór symboli predykatywnych zawiera jeden symbol = F - zbiór symboli funkcyjnych zawiera jeden symbol dwuargumentowy S - zbiór stałych indywiduowych zawiera jeden symbol oznaczający element jednostkowy P = { = } F = { } S = { 1 } Aksjomaty specyficzne: (1) 1 ( 2 3 ) = ( 1 2 ) 3 łączność 1, 2, 1 3 (2) 1 1 = 1 element neutralny (3) 2 1 = 1 element odwrotny 1 2 A log A = A s = Gr 10

11 TEORIA MODELI Dział zajmujący się związkami między teoriami a ich modelami, czyli takimi dziedzinami, które spełniają aksjomaty teorii (które te teorie opisują) - teoria modeli. Teoria modeli bywa też nazywana semantyką logiczną. Pojęcia: spełnianie (formuły zdaniowej przez układ obiektów), prawda, tautologia, wynikanie, model. O spełnianiu formuły, czy o prawdziwości względnie fałszywości zdania można mówić z sensem wtedy, gdy wszystkie występujące w nim symbole stałe mają ustalone znaczenie lub odniesienie przedmiotowe. O stałych logicznych zakładamy jednak, że mają znaczenie ustalone raz na zawsze i to takie samo we wszystkich dziedzinach. Wartość logiczna zdania będzie więc zależała głównie od wyboru odniesień przedmiotowych dla stałych pozalogicznych oraz od decyzji, jakie przedmioty mają być reprezentowane przez zmienne. 11

12 Intuicyjne pojęcie spełniania Na przykład liczby 2, 3, 5 spełniają wyrażenie y = z w dziedzinie liczb naturalnych, przy rozumieniu symbolu jako nazwy funkcji dodawania. Podobnie 2, 3, 6 spełniają to samo wyrażenie w tej samej dziedzinie, ale przy rozumieniu symbolu jako nazwy funkcji mnożenia. Analogicznie dla wyrażeń bardziej złożonych ( 2) α formuła postaci: = 1 Powiemy, że α jest spełnione w zbiorze liczb naturalnych, bo istnieje element - liczba 1, która spełnia = 2 Natomiast w zbiorze liczb naturalnych parzystych nie jest spełniona. Założyliśmy przy tym, że symbol rozumiemy jako mnożenie, + jako dodawanie, = jako równość, a term 2 jako liczbę 2. Dziedzina dalej zbiór liczb naturalnych, ale przyjmujemy inną interpretację tych symboli. + : n, m n/m jeśli jest to liczba naturalna, 0 w przeciwnym przypadku, pozostałe symbole interpretacja jak poprzednio. Też spełniona, choć przez inną liczbę: ( 1 1 = 2) ( 3) Formuła 2 < 1 1 < 1 spełniona dla zmiennych wolnych 2 =1 i 3 =2 w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale nie w zbiorze liczb naturalnych. Formuła α o zmiennych wolnych 1,..., k jest spełniona w zbiorze D przez elementy a 1,..., a k tego zbioru przy danej interpretacji symboli pozalogicznych występujących w α

13 Interpretacja języka Powiemy, że dana jest interpretacja semantyczna języka, o ile wybrany został jakiś niepusty zbiór przedmiotów w charakterze zmienności zmiennych oraz zostało ustalone, co mają oznaczać poszczególne predykaty, symbole funkcyjne i nazwy indywidualne. Wartość logiczna zdania zależy od przyjętej interpretacji semantycznej języka, w którym sformułowane jest to zdanie. Definicja: Interpretacją (semantyczną) danego języka pierwszego rzędu L nazywamy każdą parę uporządkowaną I = (D, m) taką, że: D - jest dowolnym zbiorem niepustym (dziedzina, zbiór obiektów, uniwersum interpretacji), m - funkcja określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych (funkcja denotacji) taka, że: każdemu symbolowi stałej indywiduowej a i S jest przyporządkowany element zbioru D: m(a i ) D każdemu n-argumentowemu symbolowi funkcyjnemu F n i F jest przyporządkowana konkretna funkcja odwzorowująca D n D m(f n i ) = fn i : Dn D każdemu n-argumentowemu symbolowi predykatywnemu P n i przyporządkowana jest relacja n-członowa w zbiorze D: m(p n i ) = pn i każdemu n-argumentowemu symbolowi stałej zdaniowej jest przyporządkowany element ze zbioru { 0, 1 } wartości logicznych. 13

14 Przykład: Język: S ={ a 1 } P = { P 2 1 } F = { F 2 1, F 2 2, F 1 1 } Interpretacja: D - zbiór liczb naturalnych, P relacja identyczności, F2 F 2 2 -mnożenie 1 - dodawanie, F1 1 - operacja następnika. Określić wartość termu F 2 1 ( 1, F2 2 ( 2, F1 1 ( 1 ) ) ) przy interpretacji I i wartościowaniu 1 = 2, 2 = 3. F 2 1 ( 1, F 2 2 ( 2, F 1 1 ( 1 ) ) ) = seq( 1 ) = = = 11 Pojęcie prawdy Jeśli α nie zawiera zmiennych wolnych, też można mówić ospełnianiu przy danym rozumieniu symboli predykatów i funkcji. Nie trzeba wówczas dodawać przez jakie przedmioty wyrażenie to jest spełnione. Jeżeli wyrażenie α nie zawiera zmiennych wolnych i jest spełnione w dziedzinie D, to mówimy wtedy, że wyrażenie jest prawdziwe w dziedzinie D. Np.: Aksjomaty teorii grup są prawdziwe dla dodawania w dziedzinie liczb rzeczywistych. Podobnie zdanie ( R(, y) ( R(, z) R( z, y) )), y z jest prawdziwe w dziedzinie liczb rzeczywistych przy rozumieniu symbolu R jako nazwy relacji mniejszości. 14

15 Prawdziwość jest w pewnym sensie szczególnym przypadkiem spełniania - ograniczonym do wyrażeń bez zmiennych wolnych. O wyrażeniu ze zmiennymi wolnymi na ogół nie można powiedzieć, czy jest prawdziwe czy nie, gdyż zależy to od tego, jak rozumieć będziemy zmienne wolne. Można jednak pojęcie prawdy tak zdefiniować, by obejmowało dowolne formuły. Definicja: Formuła α jest prawdziwa przy interpretacji I (symbolicznie zapisujemy α Vr(I)) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg przedmiotów zbioru D spełnia α przy interpretacji I. Vr(I) - zbiór wszystkich formuł języka L prawdziwych przy interpretacji I tego języka. Twierdzenie: Jeśli α jest zdaniem, to α Vr(I) lub α Vr(I). Definicja: Formuła α jest prawdziwa (jest tautologią) wtedy i tylko wtedy, gdy każda interpretacja I spełnia α, tzn. jest prawdziwa przy wszystkich interpretacjach. α Taut wtedy i tylko wtedy, gdy Taut oznacza zbiór wszystkich tautologii α Vr(I) Definicja: Modelem (semantycznym) zbioru formuł A nazywamy każdą interpretację I języka L, w którym te formuły są napisane, taką, że A Vr(I). I 15

16 Pojęcie wynikania Rozważmy trzy zdania: 1. Każda abra jest kadabrą. 2. Każda kadabra jest memeną. 3. Każda abra jest memeną. Nieznany język 3 predykaty - abra, kadabra, memena - nieznane znaczenie. Pytanie: czy zdanie 3 wynika z 1 i 2? - Tak czy zdanie 2 wynika z 1 i 3? - Nie Dlaczego twierdzimy, że zdanie 3 wynika z 1 i 2? Choć predykatom możemy nadawać różne znaczenia (przy których zdania mogą być prawdziwe bądź fałszywe), to nie można im nadać takich znaczeń, aby 1 i 2 były prawdziwe, a 3 fałszywe. Dlaczego zdanie 2 nie wynika z 1 oraz 3? Można predykatom nadać takie znaczenia, że 1 i 3 będą prawdziwe, a zdanie 2 będzie fałszywe. Np.: abra - liczba naturalna, kadabra - liczba rzeczywista, memena - liczba wymierna. Prawdziwość 1 i 3 nie daje gwarancji prawdziwości 2. W definicji wynikania posługujemy się pojęciem interpretacji (a nie znaczenia). Definicja: Formuła α wynika ze zbioru formuł A wtedy i tylko wtedy, gdy przy każdej interpretacji I, przy której wszystkie formuły należące do A są prawdziwe, również formuła α jest prawdziwa. A = α wtedy i tylko wtedy, gdy [ A Vr( I ) α Vr( I )] I 16