Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut"

Transkrypt

1 Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe, w których mówimy bądź o cechach określonych indywiduów (1),(2) bądź o relacjach, jakie między nimi zachodzą (3),(4). Indywidua wskazujemy używając nazw indywiduowych (indywidualnych) - Europa, Afryka, 153, 3. Nazwy indywidualne są to takie symbole, słowa lub nawet dłuższe wyrażenia, które nadają się na podmioty zdań podmiotowoorzecznikowych, tzn. zdań postaci: A jest B. Występujące w podanych zdaniach wyrażenia kontynent lub liczba naturalna nie są już jednak nazwami indywidualnymi. Są to tzw. nazwy generalne. Wyrażenia, które w połączeniu z jedną nazwą indywidualną mogą tworzyć zdania, nazywają się predykatami jednoargumentowymi (jednoczłonowymi): Na przykład: jest liczbą naturalną, jest kontynentem. Predykaty określają więc cechy indywiduów a także relacje między nimi zachodzące. Predykat...jest liczbą naturalną,...jest kontynentem tworzy zdanie proste z jedną nazwą indywiduową. Predykat...jest mniejsze niż... lub...jest podzielne przez... wymaga dodania dwóch nazw. Liczbę naturalną odpowiadającą liczbie nazw, z którymi dany predykat tworzy zdanie proste nazywamy argumentowością predykatu. 1

2 Uogólniając przyjmiemy, że każde zdanie jednostkowe proste zbudowane jest z n-argumentowego predykatu oraz n nazw indywiduowych. Predykaty występują nie tylko w zdaniach, ale i w wyrażeniach zdaniowych typu: (5) On jest studentem. Zaimek on występuje tu w roli zmiennej indywiduowej. Predykaty można więc traktować jako funktory zdaniotwórcze o argumentach nazwowych. Są to predykaty pierwszego rzędu. Jeżeli przyjmiemy, że jednoargumentowe predykaty pierwszego rzędu są znakami cech przedmiotów indywidulanych, a dwu- oraz wieloargumentowe predykaty są znakami relacji dwu- i wieloczłonowych zachodzących między przedmiotami indywidualnymi, to: wyrażenia takie jak P() czytamy: ma cechę P lub cecha P przysługuje -owi, a wyrażenia takie jak P(,y) czytamy: pozostaje w relacji P do y (np. jest młodszy od y), a wyrażenie P( 1, 2,..., n ) czytamy jako: relacja P zachodzi między przedmiotami 1, 2,..., n (np. leży między y i z). 2

3 Predykatem drugiego rzędu jest funktor zdaniotwórczy od argumentów należących do kategorii składniowej nazw jednostkowych lub predykatów pierwszego rzędu, przy czym przynajmniej jeden z tych argumentów jest predykatem pierwszego rzędu. Np. predykatem drugiego rzędu jest funktor Rozł wprowadzony przy pomocy definicji: Rozł(P,R) ( P( ) R( )) czytamy: P i R rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takie, że jest P i zarazem jest R. Ogólnie: Predykat n-tego n rzędu jest to funktor zdaniotwórczy od argumentów należących do kategorii składniowej nazw jednostkowych lub predykatów rzędów niższych od n, przy czym przynajmniej jeden z tych argumentów należy do kategorii składniowej predykatów n 1 rzędu. Predykaty wyższych rzędów są znakami własności cech lub stosunków, albo znakami relacji (stosunków) zachodzących między cechami i relacjami. Np. wprowadzony predykat Rozł denotuje relację wykluczania się cech, zachodzącą między cechami wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żaden przedmiot, który posiada obie cechy zarazem. 3

4 Formuły nazwowe (termy) Cechy przedmiotów mogą być także określane przy pomocy pewnych funkcji. Na przykład: Ojciec -a, matka -a itp. W zdaniu Ojciec Sokratesa był Grekiem słowo ojciec jest tak samo symbolem funkcyjnym jak symbol sin w zdaniu sin(30 0 ) < 1. Istotną własnością wszystkich symboli funkcyjnych jest to, że łączone w odpowiedni sposób z nazwami (indywidualnymi) pewnych obiektów tworzą nazwy (złożone) obiektów. Wyrażenia (formuły) funkcyjne mogą być proste: np. +y, y lub złożone: np. (y+z), ((+y) (y+u)) 2 powstające przez nałożenie na siebie różnych formuł prostych. Najprostszymi formułami funkcyjnymi są nazwy indywiduowe np. 0, 1, e itp., które można uważać za funkcje od zera argumentów. Formuły funkcyjne nazywamy też formułami nazwowymi, nie wyrażają bowiem żadnej myśli, tylko opisują nazwy przedmiotów, o których mowa w danej teorii. 4

5 Formuły rachunku logicznego dzielą się więc na dwa zbiory wyrażeń sensownych: 1. formuły nazwowe (termy) powstające ze zmiennych i stałych indywiduowych przez nakładanie różnych symboli funkcyjnych i oznaczające zawsze pewne indywidua lub funkcje określone na elementach rozważanej dziedziny i przyjmujące wartości z tej dziedziny, 2. formuły zdaniowe (formuły) wyrażające zawsze pewną myśl, niekoniecznie zamkniętą, powstające z formuł nazwowych i predykatów. Rachunek kwantyfikatorów nazywa się też rachunkiem predykatów. Ta część rachunku predykatów, w której wyrażeniach nie występują predykaty rzędu wyższego niż pierwszy, a kwantyfikatory wiążą tylko zmienne indywiduowe nazywa się rachunkiem predykatów pierwszego rzędu lub węższym rachunkiem predykatów. Wtedy gdy do języka dołączymy funkcje - rachunek logiczny nazwiemy rachunkiem logicznym funkcyjnym. Gdy w języku tym występują predykaty tylko pierwszego rzędu - węższy rachunek funkcyjny (rachunek funkcyjny pierwszego rzędu). 5

6 Język pierwszego rzędu Alfabet V = { 0, 1,..., n,... } - przeliczalny zbiór zmiennych indywiduowych P - niepusty zbiór predykatów 1-go rzędu {P 1 1,P1 2,...,P2,...} F S - zbiór symboli funkcyjnych (może być pusty) - zbiór elementów - stałych (nazw indywiduowych) Q = {,, } - zbiór symboli logicznych Y = { (, ) } - zbiór symboli pomocniczych P F S - zbiór symboli pozalogicznych Alf = V P F S Q Y Wyrażeniem (napisem) języka jest dowolny, skończony ciąg symboli alfabetu tego języka Zbiór wszystkich wyrażeń - Alf * Definicja termu: Napis α Alf * nazywamy termem wtedy i tylko wtedy, gdy α jest elementem najmniejszego zbioru X Alf * spełniającego warunki: (i) V S X, (ii) jeśli napisy t 1,...,t k X (są termami) oraz f jest k argumentowym symbolem funkcyjnym, to napis f(t 1,...,t k ) też należy do X (jest termem). Zbiór termów - T 6

7 Definicja formuły atomowej: Formułą atomową nazywamy napis postaci: P(t 1,...,t k ) gdzie P jest k-argumentowym predykatem, a t 1,...,t k są termami. Definicja formuły: Napis α Alf * nazywamy formułą wtedy i tylko wtedy, gdy α jest elementem najmniejszego zbioru X Alf * spełniającego warunki: (i) każda formuła atomowa należy do X, (ii) jeśli napis α należy do X, to napis α też należy do X, (iii) jeśli napisy α, β należą do X, to napis α β też należy do X, (iiii) jeśli napis α należy do X i i jest zmienną wolną występującą w α, to napis α też należy do X. i Zbiór formuł - Form Język pierwszego rzędu - L = ( Alf, T, Form) Pozostałe symbole logiczne mogą zostać określone jako: α 1 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 ( α 1 α 2 ) α 1 α 2 (α 1 α 2 ) (α 2 α 1 ) α α 7

8 Definicje: α( i / t ) -formuła otrzymana przez podstawienie do formuły α termu t zamiast zmiennej i na każdym miejscu, w którym i występuje jako zmienna wolna. Na przykład: Jeśli α jest postaci: to α(3/t): Term t jest podstawialny do formuły w miejsce zmiennej i, jeśli żadna ze zmiennych występujących w t nie stanie się zmienną związaną wformule α (i / t). Na przykład: term 2 nie jest podstawialny do w przeciwieństwie do termu 3, t itp. 3 = 4 3 = 4 3 t = 4 3 = < 2 Reguły pierwotne wnioskowania Reguła odrywania: α, α β β Reguła kwantyfikatora ogólnego: α β α β gdzie: α, β są dowolnymi formułami oraz i jest zmienną wolną w β i nie jest zmienną wolną w α. i 8

9 Aksjomaty A 1 = { α ( β α) : α, β Form } A 2 = { ( α ( β γ ) ) ( ( α β ) ( α γ ) ) : α, β, γ Form} A 3 = { α ( α β) : α, β Form } A 4 = { ( α α) α: α Form } A 5 = { ( α α ) α: α Form } A 6 = {( i α) α(i/t) : α Form i jest zmienną wolną w α t jest termem podstawialnym do α w miejsce i } A log = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 zbiór aksjomatów logicznych węższego rachunku funkcyjnego Teoria pierwszego rzędu Definicja: Teorią pierwszego rzędu nazywamy parę (L, A), gdzie L=(Alf, T, Form) jest językiem pierwszego rzędu, a zbiór A Form jest zbiorem specyficznych aksjomatów teorii. Wśród aksjomatów systemu sformalizowanego wyróżnia się: aksjomaty logiczne i aksjomaty specyficzne. Twierdzeniami (tezami) teorii (L, A) nazywamy konsekwencje zbioru A log A Wśród tez wyróżnia się: - tezy logiczne ( gdy nie korzysta się z aksjomatów specyficznych), - tezy specyficzne (takie, których nie można udowodnić bez odwoływania się do aksjomatów specyficznych). 9

10 Teoria równości Zawiera pierwotny predykat dwuargumentowy o symbolu =. Można też zapisać I( 1, 2 ) : 1 = 2 Aksjomaty specyficzne: 1. zwrotności: 1 = 1 I( 1, 1 ) 2. symetrii: 1 = 2 2 = 1 I( 1, 2 ) I( 2, 1 ) 3. przechodniości: ( ( 1 = 2 ) ( 2 = 3 ) ) ( 1 = 3 ) (I( 1, 2 ) I( 2, 3 )) I( 1, 3 ) 4. Aksjomaty podstawienia: ( 1 = j1 2 = j2... k = jk ) F( 1,..., k ) = F( j1,..., jk ) ( 1 = j1 2 = j2... k = jk ) (P( 1,..., k ) P( j1,..., jk ) gdzie F jest dowolnym k-argumentowym symbolem funkcyjnym, a P dowolnym k-argumentowym symbolem predykatu danego języka. Zbiór tych aksjomatów równości oznaczamy A = Teoria grup P - zbiór symboli predykatywnych zawiera jeden symbol = F - zbiór symboli funkcyjnych zawiera jeden symbol dwuargumentowy S - zbiór stałych indywiduowych zawiera jeden symbol oznaczający element jednostkowy P = { = } F = { } S = { 1 } Aksjomaty specyficzne: (1) 1 ( 2 3 ) = ( 1 2 ) 3 łączność 1, 2, 1 3 (2) 1 1 = 1 element neutralny (3) 2 1 = 1 element odwrotny 1 2 A log A = A s = Gr 10

11 TEORIA MODELI Dział zajmujący się związkami między teoriami a ich modelami, czyli takimi dziedzinami, które spełniają aksjomaty teorii (które te teorie opisują) - teoria modeli. Teoria modeli bywa też nazywana semantyką logiczną. Pojęcia: spełnianie (formuły zdaniowej przez układ obiektów), prawda, tautologia, wynikanie, model. O spełnianiu formuły, czy o prawdziwości względnie fałszywości zdania można mówić z sensem wtedy, gdy wszystkie występujące w nim symbole stałe mają ustalone znaczenie lub odniesienie przedmiotowe. O stałych logicznych zakładamy jednak, że mają znaczenie ustalone raz na zawsze i to takie samo we wszystkich dziedzinach. Wartość logiczna zdania będzie więc zależała głównie od wyboru odniesień przedmiotowych dla stałych pozalogicznych oraz od decyzji, jakie przedmioty mają być reprezentowane przez zmienne. 11

12 Intuicyjne pojęcie spełniania Na przykład liczby 2, 3, 5 spełniają wyrażenie y = z w dziedzinie liczb naturalnych, przy rozumieniu symbolu jako nazwy funkcji dodawania. Podobnie 2, 3, 6 spełniają to samo wyrażenie w tej samej dziedzinie, ale przy rozumieniu symbolu jako nazwy funkcji mnożenia. Analogicznie dla wyrażeń bardziej złożonych ( 2) α formuła postaci: = 1 Powiemy, że α jest spełnione w zbiorze liczb naturalnych, bo istnieje element - liczba 1, która spełnia = 2 Natomiast w zbiorze liczb naturalnych parzystych nie jest spełniona. Założyliśmy przy tym, że symbol rozumiemy jako mnożenie, + jako dodawanie, = jako równość, a term 2 jako liczbę 2. Dziedzina dalej zbiór liczb naturalnych, ale przyjmujemy inną interpretację tych symboli. + : n, m n/m jeśli jest to liczba naturalna, 0 w przeciwnym przypadku, pozostałe symbole interpretacja jak poprzednio. Też spełniona, choć przez inną liczbę: ( 1 1 = 2) ( 3) Formuła 2 < 1 1 < 1 spełniona dla zmiennych wolnych 2 =1 i 3 =2 w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale nie w zbiorze liczb naturalnych. Formuła α o zmiennych wolnych 1,..., k jest spełniona w zbiorze D przez elementy a 1,..., a k tego zbioru przy danej interpretacji symboli pozalogicznych występujących w α

13 Interpretacja języka Powiemy, że dana jest interpretacja semantyczna języka, o ile wybrany został jakiś niepusty zbiór przedmiotów w charakterze zmienności zmiennych oraz zostało ustalone, co mają oznaczać poszczególne predykaty, symbole funkcyjne i nazwy indywidualne. Wartość logiczna zdania zależy od przyjętej interpretacji semantycznej języka, w którym sformułowane jest to zdanie. Definicja: Interpretacją (semantyczną) danego języka pierwszego rzędu L nazywamy każdą parę uporządkowaną I = (D, m) taką, że: D - jest dowolnym zbiorem niepustym (dziedzina, zbiór obiektów, uniwersum interpretacji), m - funkcja określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych (funkcja denotacji) taka, że: każdemu symbolowi stałej indywiduowej a i S jest przyporządkowany element zbioru D: m(a i ) D każdemu n-argumentowemu symbolowi funkcyjnemu F n i F jest przyporządkowana konkretna funkcja odwzorowująca D n D m(f n i ) = fn i : Dn D każdemu n-argumentowemu symbolowi predykatywnemu P n i przyporządkowana jest relacja n-członowa w zbiorze D: m(p n i ) = pn i każdemu n-argumentowemu symbolowi stałej zdaniowej jest przyporządkowany element ze zbioru { 0, 1 } wartości logicznych. 13

14 Przykład: Język: S ={ a 1 } P = { P 2 1 } F = { F 2 1, F 2 2, F 1 1 } Interpretacja: D - zbiór liczb naturalnych, P relacja identyczności, F2 F 2 2 -mnożenie 1 - dodawanie, F1 1 - operacja następnika. Określić wartość termu F 2 1 ( 1, F2 2 ( 2, F1 1 ( 1 ) ) ) przy interpretacji I i wartościowaniu 1 = 2, 2 = 3. F 2 1 ( 1, F 2 2 ( 2, F 1 1 ( 1 ) ) ) = seq( 1 ) = = = 11 Pojęcie prawdy Jeśli α nie zawiera zmiennych wolnych, też można mówić ospełnianiu przy danym rozumieniu symboli predykatów i funkcji. Nie trzeba wówczas dodawać przez jakie przedmioty wyrażenie to jest spełnione. Jeżeli wyrażenie α nie zawiera zmiennych wolnych i jest spełnione w dziedzinie D, to mówimy wtedy, że wyrażenie jest prawdziwe w dziedzinie D. Np.: Aksjomaty teorii grup są prawdziwe dla dodawania w dziedzinie liczb rzeczywistych. Podobnie zdanie ( R(, y) ( R(, z) R( z, y) )), y z jest prawdziwe w dziedzinie liczb rzeczywistych przy rozumieniu symbolu R jako nazwy relacji mniejszości. 14

15 Prawdziwość jest w pewnym sensie szczególnym przypadkiem spełniania - ograniczonym do wyrażeń bez zmiennych wolnych. O wyrażeniu ze zmiennymi wolnymi na ogół nie można powiedzieć, czy jest prawdziwe czy nie, gdyż zależy to od tego, jak rozumieć będziemy zmienne wolne. Można jednak pojęcie prawdy tak zdefiniować, by obejmowało dowolne formuły. Definicja: Formuła α jest prawdziwa przy interpretacji I (symbolicznie zapisujemy α Vr(I)) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg przedmiotów zbioru D spełnia α przy interpretacji I. Vr(I) - zbiór wszystkich formuł języka L prawdziwych przy interpretacji I tego języka. Twierdzenie: Jeśli α jest zdaniem, to α Vr(I) lub α Vr(I). Definicja: Formuła α jest prawdziwa (jest tautologią) wtedy i tylko wtedy, gdy każda interpretacja I spełnia α, tzn. jest prawdziwa przy wszystkich interpretacjach. α Taut wtedy i tylko wtedy, gdy Taut oznacza zbiór wszystkich tautologii α Vr(I) Definicja: Modelem (semantycznym) zbioru formuł A nazywamy każdą interpretację I języka L, w którym te formuły są napisane, taką, że A Vr(I). I 15

16 Pojęcie wynikania Rozważmy trzy zdania: 1. Każda abra jest kadabrą. 2. Każda kadabra jest memeną. 3. Każda abra jest memeną. Nieznany język 3 predykaty - abra, kadabra, memena - nieznane znaczenie. Pytanie: czy zdanie 3 wynika z 1 i 2? - Tak czy zdanie 2 wynika z 1 i 3? - Nie Dlaczego twierdzimy, że zdanie 3 wynika z 1 i 2? Choć predykatom możemy nadawać różne znaczenia (przy których zdania mogą być prawdziwe bądź fałszywe), to nie można im nadać takich znaczeń, aby 1 i 2 były prawdziwe, a 3 fałszywe. Dlaczego zdanie 2 nie wynika z 1 oraz 3? Można predykatom nadać takie znaczenia, że 1 i 3 będą prawdziwe, a zdanie 2 będzie fałszywe. Np.: abra - liczba naturalna, kadabra - liczba rzeczywista, memena - liczba wymierna. Prawdziwość 1 i 3 nie daje gwarancji prawdziwości 2. W definicji wynikania posługujemy się pojęciem interpretacji (a nie znaczenia). Definicja: Formuła α wynika ze zbioru formuł A wtedy i tylko wtedy, gdy przy każdej interpretacji I, przy której wszystkie formuły należące do A są prawdziwe, również formuła α jest prawdziwa. A = α wtedy i tylko wtedy, gdy [ A Vr( I ) α Vr( I )] I 16

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PREDYKATÓW 7

RACHUNEK PREDYKATÓW 7 PODSTAWOWE WŁASNOŚCI METAMATEMATYCZNE KRP Oczywiście systemy dedukcyjne dla KRP budowane są w taki sposób, żeby wszystkie ich twierdzenia były tautologiami; można więc pokazać, że dla KRP zachodzi: A A

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny i Logika I

Internet Semantyczny i Logika I Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań 1/2 Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

Rekurencyjna przeliczalność

Rekurencyjna przeliczalność Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Metoda Tablic Semantycznych

Metoda Tablic Semantycznych Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Semiotyka cd.

Wstęp do logiki. Semiotyka cd. Wstęp do logiki Semiotyka cd. Semiotyka: język Ujęcia języka proponowane przez językoznawców i logików różnią się istotnie w wielu punktach. Z punktu widzenia logiki każdy język można scharakteryzować

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Semiotyka cd.

Wstęp do logiki. Semiotyka cd. Wstęp do logiki Semiotyka cd. Gramatyka kategorialna jest teorią formy logicznej wyrażeń. Wyznacza ją zadanie sporządzenia teoretycznego opisu związków logicznych takich jak wynikanie, równoważność, wzajemna

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Początki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla

Początki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla Początki informatyki teoretycznej Paweł Cieśla Wstęp Przykładowe zastosowanie dzisiejszych komputerów: edytowanie tekstów, dźwięku, grafiki odbiór telewizji gromadzenie informacji komunikacja Komputery

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Matematyczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna Własności relacji 1 / 46 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S. Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym

Bardziej szczegółowo