1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Transkrypt

1 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje Logika Logika zdań 1.1. Język logiki zdań składa się z nieskończonego zbioru zmiennych zdaniowych p, p 1,... q, q 1,... r, r 1,... oraz spójników logicznych: (negacja), (koniunkcja), (alternatywa), (implikacja), (równoważność). Wyrażenia powstałe z użyciem zmiennych zdaniowych za pomocą łączenia ich spójnikami logicznymi nazywamy formułami języka logiki zdań lub formułami zdaniowymi. Dokładniej, pojęcie formuły definiujemy w następujący sposób: 1. Zmienne zdaniowe są formułami. 2. Jeżeli wyrażenia i są formułami, to formułami są również wyrażenia, ( ), ( ), ( ), ( ). 3. Tylko i wyłącznie wyrażenia, które dają się wygenerować w powyższy sposób są formułami. 1.2 Definicja (Wartościowanie). Wartościowaniem nazywamy dowolne przyporządkowanie zmiennym zdaniowym dokładnie jednej z dwóch wartości: prawdy lub fałszu. Tradycyjnie, prawdę oznaczamy symbolem 1, a fałsz symbolem 0. Dowolne wartościowanie w sposób jednoznaczny przedłużamy na zbiór wszystkich formuł:

2 1 Logika 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Definicja (Spełnialność, etc). Mówimy, że wartościowanie v spełnia formułę, gdy v() = 1; wartościowanie v falsyfikuje formułę, gdy v() = 0; jest tautologią, gdy jest spełniona przez każde wartościowanie; oznaczenie = ; jest kontrtautologią, gdy jest falsyfikowana przez każde wartościowanie; i są logicznie równoważne, gdy dla każdego wartościowania v mamy v() = v(); fakt ten zapisujemy ; i są wzajemnie sprzeczne, gdy dla każdego wartościowania v mamy v() v(). 1.4 Definicja (Wynikanie logiczne). Mówimy, że formuła wynika logicznie z formuł 1,..., n gdy dla każdego wartościowania v, mamy v() = 1, gdy v( 1 ) = = v( n ) = 1. W tej sytuacji mówimy również, że zbiór formuł 1,..., n implikuje logicznie formułę. Fakt ten zapisujemy jako 1,..., n =. 1.5 Twierdzenie. 1,..., n = wtw = ( 1 n ). 1.6 Definicja. Regułą wnioskowania nazywamy parę składającą się ze zbioru formuł zwanych przesłankami i pojedynczej formuły zwanej wnioskiem. Reguły zapisujemy w postaci: 1. n lub 1,..., n. jest nie- 1.7 Definicja (Reguła niezawodna). Mówimy, że reguła 1,..., n zawodna, gdy wynika logicznie z 1,..., n. 1.8 Twierdzenie. Reguła 1,..., n ( 1 n ) jest tautologią. 1.9 Twierdzenie. Następujące reguły są niezawodne: (MP) jest niezawodna wtw formuła

3 1 Logika 3 (+ ) ( )) (+ ) ( ) (+ ) ( ) Logika kwatyfikatorów Niech dane będą zbiory indeksów I, J, K (dopuszczamy możliwość, że wszystkie te zbiory są puste). Język L logiki kwantyfikatorów wyznaczony jest przez następujące symbole: stałe: c i, i I symbole funkcyjne: f j, j J symbole relacyjne: P k, k K. Ponadto zakładamy, że dla każdego języka dane są zmienne indywiduowe: x, x 0, x 1..., y, y 0, y 1..., z, z 0, z 1... spójniki zdaniowe:,,,, kwantyfikatory:, symbol identyczności: = nawiasy, jako symbole pomocnicze Definicja (Term). Termami są wyrażeniami języka kwantyfikatorów określone w następujący sposób: (a) zmienne indywiduowe i stałe są termami; (b) jeżeli t 1,..., t n są termami a f jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym, to wyrażenie f(t 1,..., t n ) jest termem. Wyłącznie wyrażenia opisane w podany sposób są termami.

4 1 Logika Definicja (Formuła). Wyrażenia postaci P (t 1,..., t n ), gdzie t i są termami a P symbolem relacyjnym nazywamy formułami atomowymi. Formuły języka logiki kwantyfikatorów tworzymy z formuł atomowych przez aplikację spójników zdaniowych i kwantyfikatorów: dokładniej, jeżeli i są formułami, to również formułami są, ( ), ( ), ( ), ( ) i, dla dowolnej zmiennej indywiduowej x, x, x Definicja (Zasięg kwantyfikatora, zmienna wolna). Jeżeli formuła jest postaci x lub x, to mówimy, że formuła leży w zasięgu kwantyfikatora i odpowiednio; mówimy wówczas, że kwantyfikator wiąże zmienną x a wiąże zmienną y w formule. Przykład: x y (R(x, y)) P (x). }{{} zasięg y }{{} zasięg x Mówimy, że zmienna x ma wystąpienie wolne w formule, gdy wystąpienie to nie jest związane przez żaden kwantyfikator. Przykład: x y(r( }{{} x, y }{{} związana związana )) P ( }{{} x ). wolna 1.14 Definicja (Zdanie). Formułę nazywamy zdaniem, gdy nie ma w niej wolnych wystąpień zmiennych Definicja (Podstawienie). W dowolnej formule (x) można podstawiać termy za zmienną x. Poprawne podstawienie musi jednak spełniać kilka warunków: 1. Zmienna x musi występować wolno w. 2. Podstawienie musi być jednoczesne, za wszystkie wolne wystąpienia. 3. Jeżeli term podstawiany zawiera zmienną x, to po podstawieniu x nie może ulec związaniu przez żaden kwantyfikator Definicja (Interpretacja). Ustalmy język L. Niech M będzie dowolnym niepustym zbiorem. Odwzorowanie J, które każdemu symbolowi relacyjnemu P języka L przyporządkowuje relację P I (zachowując arność), każdemu symbolowi funkcyjnemu f języka L przyporządkowuje funkcję f I określoną na M o wartościach w M (zachowując arność) oraz każdej stałej c języka L przyporządkowuje element c I zbioru M, nazywamy interpretacją rozważanego języka w M. Układ M, I nazywamy modelem dla języka L a zbiór M nazywamy uniwersum tego modelu. W przypadku, gdy I = {1,..., k}, J = {1,..., m} i K = {1,..., n}, zamiast M, I piszemy czasem M, P1 I,..., Pk I,..., f1 I,..., fm, I..., c I 1,..., c I n

5 1 Logika Uwaga. Niech będzie zdaniem języka L, a M, I modelem dla L. Fakt, że zdanie jest prawdziwe w M, I zapisujemy jako M, I = Przykład. Rozważmy język zawierający symbol relacyjny P i zdanie = x y(p (x, y) z(p (x, z) P (z, y)). 1. Rozważmy zbiór Q oraz interpretację I w Q taką, że P I = <. Mamy wówczas Q, < =. 2. Rozważmy teraz zbiór N + dodatnich liczb naturalnych (bez zera) oraz interpretację J w N + taką, że P J = <. Mamy wówczas N +, < =. 3. Rozważmy ponadto interpretację K w N taką, że P K =, gdzie jest relacją podzielności w N +. Mamy wówczas N +, = Definicja. Mówimy, że formuła języka L jest ogólnie prawdziwa, lub że jest tautologią logiki kwantyfikatorów, gdy jest prawdziwa w każdym modelu języka L. Tableaux (tabele semantyczne) Reguły tworzenia tabel semantycznych Reguły dla negacji Reguły dla alternatywy

6 1 Logika 6 x(x) (x/c) gdzie c jest dowolną stałą Reguły dla koniunkcji Reguły dla implikacji Reguły dla kwantyfikatora ogólnego x(x) (x/d) gdzie d jest nową stałą nie występującą na tej gałęzi Reguły dla kwantyfikatora szczegółowego x(x) (x/d) gdzie d jest nową stałą, nie występującą na tej gałęzi x(x) (x/c) gdzie c jest dowolną stałą

7 2 Zbiory 7 Dobre rady 1. Formułę oznaczoną symbolem rozpatrujemy tylko raz. 2. Formułę oznaczoną symbolem możemy rozpatrywać wielokrotnie, stosując każdą ze stałych, która pojawia się w tableau. 3. Najpierw stosujemy reguły nie rozgałęziające tableau. 4. Najpierw stosujemy reguły wprowadzające nowe stałe, potem reguły pozwalające używać dowolnych stałych. 5. Gałęzie tabeli zamykamy najwcześniej jak to możliwe Twierdzenie. Niech,, C i D będą formułami dowolnego języka L. Załóżmy, że zmienna x nie jest zmienną wolną formuły C i niech (x) i (x) oraz D(x, y) będą dowolnymi formułami. Wówczas formuły następującej postaci są tautologiami logiki kwantyfikatorów: 1. x(x) x (x), 2. x(x) x (x), 3. ( x(x) x(x)) x((x) (x)), 4. x((x) (x)) ( x(x) x(x)), 5. ( x(x) x(x)) x((x) (x)), 6. ( x(x) x(x)) x((x) (x)), 7. ( x(x) C) x((x) C), 8. ( x(x) C) x((x) C), 9. (C x(x)) x(c (x)), 10. (C x(x)) x(c (x)), 11. x yd(x, y) y xd(x, y). Ponadto, implikacje odwrotne do 4, 6 i 11 nie są ogólnie prawdziwe. 2 Zbiory 2.1. Pojęcia pierwotne zbiór (przykłady zbiorów), relacja należenia Sposoby definiowania zbiorów sigleton {a} para nieuporządkowana {a, b}. Uwaga: {a, a} = {a}, {a, b} = {b, a}. lista elementów {0, 1, 2,... }

8 2 Zbiory 8 za pomocą własności: {X : W (X)}. Uwaga: ntymomia Russela. schemat definiowania przez wyróżnianie: dla dowolnego zbioru i dowolnej własności F (x) istnieje zbiór = {x : F (x)}. 2.3 Definicja (Inkluzja i równość zbiorów). x(x x ) = x(x x ) Oczywiście, = Zbiór pusty. Postulujemy istnienie zbioru pustego: x y y x. Zbiór pusty jest jedyny, oznaczamy go symbolem. 2.5 Definicja (Suma, przekrój i różnica zbiorów). = {x : x x } = {x : x x } \ = {x : x x } 2.6 Lemat. Dla dowolnych zbiorów i : Zbiór jest najmniejszym zbiorem zawierającym zbiory i. Zbiór jest największym zbiorem zawartym w zbiorach i. Zbiór \ jest największym podzbiorem zbioru rozłącznym ze zbiorem (czyli takim, że = ). 2.7 Definicja (Przestrzeń, dopełnienie zbioru). Niech S będzie ustalonym zbiorem; w przypadku gdy w rozważaniach ograniczamy się wyłącznie do podzbiorów zbioru S, zbiór S nazywamy przestrzenią lub uniwersum. Niech S będzie ustalona przestrzenią. Wówczas dopełnieniem zbioru w przestrzeni S nazywamy zbiór = S \. 2.8 Twierdzenie (Podstawowe prawa algebry zbiorów). Dla dowolnych zbio-

9 2 Zbiory 9 rów,, C ustalonej przestrzeni S zachodzą następujące prawa: = (1) = = (2) = ( C) = ( ) C (3) ( C) = ( ) C ( C) = ( ) ( C) (4) ( C) = ( ) ( C) ( ) = (5) ( ) = ( ) = (6) ( ) = Prawa (1) (6) nazywamy odpowiednio prawami idempotentności, przemienności, łączności, rozdzielności, pochłaniania oraz prawami de Morgana. 2.9 Definicja (Rodzina zbiorów. Ciało zbiorów). Zbiór, którego elementami są zbiory nazywamy rodziną zbiorów. Rzodzinę podzbiorów ustalonej przestrzeni S nazywamy ciałem zbiorów, jeśli spełnia warunki: 1. S, 2. jeśli,, to, 3. jeśli, to. N. oraz, \, Definicja (Suma i przekrój rodziny zbiorów). Operacje sumy i przekroju dwóch zbiorów uogólnimy na dowolne rodziny zbiorów. Dla dowolnej rodziny zbiorów i dowolnej niepustej rodziny zbiorów definiujemy = {x : x dla pewnego } 2.11 Przykład. 1. =. 2. { } =, 3. {} =, 4. P() =, = {x : x dla każdego } { } =. {} =. P() = Twierdzenie. Zbiór jest najmniejszym (w sensie inkluzji) zbiorem, w którym zawarte są wszystkie zbiory rodziny, a jest największym zbiorem zawartym w każdym zbiorze rodziny.

10 3 Pewnik wyboru Definicja (Zbiór potęgowy). P() = { : } Definicja (Para uporządkowana, produkt kartezjański). x, y = { {x}, {x, y} } = { x, y : x y } Pojęcie pary uporządkowanej uogólniamy na trójki, czwórki, etc: a, b, c := a, b, c, a, b, c, d := a, b, c, d,... Podobnie definiujemy produkty kartezjańskie: C = { x, y, z : x y z C}. Jak zwykle, stosujemy skróty: = 2, = 3, etc Lemat. Następujące warunki są równoważne: 1. =, 2. = lub =. 3 Pewnik wyboru 3.1. Pewnik wyboru. Pewnik wyboru można sformułować następująco: Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów niepustych istnieje zbiór mający z każdym elmenentem tej rodziny dokładnie jeden element wspólny. Zdanie to jest niezależne od teorii mnogości, to znaczy, że na gruncie przyjętych aksjomatów teorii mnogości nie można go udowodnić ani wykazać jego sprzeczności. 1 4 Funkcje 4.1 Definicja (Funkcja, dziedzina i zbiór wartości funkcji). Funkcją nazywamy dowolny zbiór f spełniający warunki: 1. z ( z f x, y (z = x, y ) ), ( ) 2. x, y 1, y 2 x, y1 f x, y 2 f y 1 = y 2. Zgodnie z konwencją, piszemy f(x) = y w przypadku, gdy x, y f. Dziedziną i zbiorem wartości funkcji f nazywamy odpowiednio zbiory dom(f) = {x : x, y f, dla pewnego y}, ran(f) = {y : x, y f, dla pewnego x}. 1 Więcej informacji na ten temat można znaleźć w [3, strony oraz Dodadek F].

11 4 Funkcje 11 Oczywiście, ran(f) = {f(x) : x dom(f)} oraz f dom(f) ran(f). 4.2 Twierdzenie. Dla dowolnych funkcji f i g, f = g wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dom(f) = dom(g) oraz 2. f(x) = g(x), dla wszystkich x dom f. 4.3 Przykład. Ciągi. Indeksowane rodziny zbiorów. 4.4 Definicja (Injekcja, surjekcja, bijekcja). Funkcję f : X Y nazywamy 1. różnowartościową (lub injekcją), gdy x 1, x 2 dom(f) ( x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ) ; 2. na zbiór Y (lub surjekcją), gdy lub równoważnie, gdy ran(f) = Y ; y Y x X f(x) = y 3. wzajemnie jednoznaczną z X na Y (lub bijekcją), gdy f jest różnowartościowa i na Y. 4.5 Definicja (Złożenie funkcji). Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f zdefiniowaną następująco: g f = { x, z dom(f) ran(g) : dla pewnego y, x, y f y, z g}. 4.6 Twierdzenie. Niech dane będą funkcje f : X Y oraz g : Y Z. Wówczas 1. Jeżeli f i g są różnowartościowe, to również g f : X Z jest funkcją różnowartościową. 2. Jeżeli f jest funkcją na Y i g jest funkcją na Z, to g f : X Z jest funkcją na Z. 3. Jeżeli f i g są bijekcjami, to funkcja g f : X Z jest bijekcją. Dowód. [3, Twierdzenie 3.6]. 4.7 Twierdzenie. Operacja składania funkcji jest łączna ale nie jest przemienna. Dowód. [3, Twierdzenie 3.8] 4.8 Definicja (Funkcja odwrotna). Niech f będzie funkcją różnowartościową. Wówczas zbiór { y, x : x, y f} jest funkcją. Funkcję tę nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy symbolem f 1.

12 5 Moce zbiorów Definicja (Obraz i przeciwobraz). Obrazem zbioru względem funkcji f nazywamy zbiór f[] = ran(f ) = {f(x) : x dom(f)}. Przeciwobrazem zbioru względem funkcji f nazywamy zbiór 4.10 Twierdzenie. f 1 [] = {x dom(f) : f(x) }. 1. Operacja obrazu i przeciwobrazu jest monotoniczna, czyli jeżeli, to f[] f[] i f 1 [] f 1 []. 2. Obraz sumy zbiorów jest równy sumie obrazów tych zbiorów. Obraz przekroju dwóch zbiorów jest zawarty w przekroju ich obrazów. 3. Przeciwobraz sumy (przekroju) dwóch zbiorów jest równy sumie (przekrojowi) przeciwobrazów tych zbiorów. Dowód. [3, Twierdzenie 3.16] 5 Moce zbiorów 5.1 Definicja (Równoliczność). Mówimy, że zbiory i są równoliczne (lub że mają tę samą moc), gdy istnieje bijekcja ze zbioru na zbiór. Piszemy wówczas lub =. 5.2 Twierdzenie. Dla dowolnych zbiorów i : 1., 2., 3. C C. 5.3 Przykład. 1. N N \ {0}. 2. N 2N. 3. N Z. 4. N N N. 5. Dla dowolnych a, b, c, d R takich, że a < b i c < d, mamy [a, b] [c, d]. 6. ( 1, 1) R. Dowód. [3, Wykład 5]. 5.4 Twierdzenie. R N. Dowód. [3, Lemat 6.2, Twierdzenie 6.3] Twierdzenie Cantora. P(), dla dowolnego zbioru.

13 5 Moce zbiorów 13 Dowód. [3, Twierdzenie 6.6]. 5.6 Definicja (Porównywanie mocy). Mówimy, że moc zbioru jest niewiększa od mocy zbioru i piszemy, gdy istnieje zbiór C taki, że C. Ponadto, < wtedy i tylko wtedy, gdy oraz. 5.7 Twierdzenie. Dla dowolnych zbiorów i, istnieje injekcja f :. Ponadto, gdy zbiory i są niepuste, istnieje surjekcja f :. Dowód. [3, Twierdzenie 6.10, Twierdzenie 6.11] 5.8 Twierdzenie. Dla dowlonych zbiorów,, C: 1., 2. C C, 3. =. Dowód. [3, Twierdzenie 6.12] 5.9. Twierdzenie Cantora-ernsteina. Dla dowolnych zbiorów i : = Definicja (Zbiory skończone, co najwyżej przeliczalne i przeliczalne). Zbiór nazywamy 1. skończonym, gdy = lub istnieje liczba 0 < n N taka, że {1,..., n}; 2. przeliczalnym, gdy N; 3. co najwyżej przeliczalnym, gdy jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym; 4. nieskończonym, gdy nie jest zbiorem skończonym; 5. nieprzeliczalnym, gdy nie jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym Twierdzenie. Każdy nieskończony podzbiór zbioru N jest zbiorem przeliczalnym. Dowód. [3, Twierdzenie 7.16] Twierdzenie. Niech. Zbiór jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy elementy zbioru można ustawić w ciąg. Dowód. [3, Twierdzenie 7.21] 5.13 Twierdzenie. Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

14 6 Relacje 14 Dowód. [3, Twierdzenie 7.23] 5.14 Twierdzenie. Produkt kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Dowód. [3, Twierdzenie 7.27, Twierdzenie 7.28] Twierdzenie. R = {0, 1} N = N N = P(N) Definicja (Zbiory mocy kontinuum). Dowolny zbiór równoliczny z R nazywamy zbiorem mocy kontinuum Twierdzenie. Zbiory wszystkich skończonych ciągów oraz wszystkich skończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego są przeliczalne. Zbiory wszystkich ciągów oraz wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego są zbiorami mocy kontinuum Twierdzenie. Zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych są przeliczalne. Zbiory liczb rzeczywistych i niewymiernych są mocy kontinuum. 6 Relacje 6.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów. Dziedziną lewostronną relacji R nazywamy zbiór D l (R) = {x : x, y R dla pewnego y}, a dziedziną prawostronną relacji R nazywamy zbiór D r (R) = {y : x, y R dla pewnego x}. Zbiór D l (R) D r (R) nazywamy polem relacji R. 6.2 Definicja (Złożenie relacji, relacja odwrotna). Złożeniem relacji R i S nazywamy relację S R = { x, z : dla pewnego y, x, y R oraz y, z S}. Relacją odwrotną do R nazywamy relację R 1 = { y, x : x, y R}. 6.3 Definicja (Relacja równoważności). Relację R X X nazywamy relacją równoważności, gdy 1. R jest zwrotna: x X xrx, 2. R jest symetryczna: x, y X (xry yrx), 3. R jest przechodnia: x, y, z X (xry yrz xrz). 6.4 Definicja (Klasa abstrakcji, zbiór ilorazowy). Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X. Klasą abstrakcji elementu a X względem relacji R nazywamy zbiór [a] R = {x : xra}. Zbiorem ilorazowym zbioru względem relacji R nazywamy zbiór /R = {[x] R : x }.

15 6 Relacje Definicja (Podział zbioru). Rodzinę P podzbiorów zbioru nazywamy podziałem zbioru gdy 1. X, dla każdego X P; 2. X Y X Y =, dla dowolnych X, Y P; 3. P =. 6.6 Twierdzenie (Zasada abstrakcji). Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem. Wówczas 1. Jeżeli R jest relacją równoważności na, to /R jest podziałem zbioru. 2. Jeżeli rodzina P jest podziałem zbioru, to relacja R zdefiniowana jako jest relacją równoważności na. xry x, y Z, dla pewnego Z P 3. Funkcja F określona na zbiorze wszystkich relacji równoważności R na taka, że F (R) = /R przekształca ten zbiór wzajemnie jednoznacznie na zbiór wszystkich podziałów zbioru. Dowód. [3, Twierdzenie 9.6]. 6.7 Definicja (Częściowy porządek, liniowy porządek, łańcuch). Relację na zbiorze nazywamy relacją częściowego porządku, gdy 1. jest zwrotna, 2. jest słabo-symetryczna: x, y (x y y x x = y), 3. jest przechodnia. Relację częściowego porządku nazywamy relacją liniowego porządku, gdy spełnia dodatkowo warunek x, y (x y y x). Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Podzbiór zbioru taki, że jest relacją liniowego porządku nazywamy łańcuchem. 6.8 Definicja (Elementy minimalny, maksymalny, największy, najmniejszy, kresy). Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Ponadto, niech a X oraz X. Mówimy, że element a jest 1. minimalnym w, gdy a oraz x a x = a dla każdego x ; 2. maksymalnym w, gdy a oraz a x x = a dla każdego x ; 3. najmniejszym w, gdy a oraz a x dla każdego x ; 4. największym w, gdy a oraz x a dla każdego x ;

16 6 Relacje ograniczeniem dolnym zbioru, gdy a x dla każdego x ; 6. ograniczeniem górnym zbioru, gdy x a dla każdego x ; 7. kresem dolnym (infimum) zbioru, gdy a jest największym ograniczeniem dolnym zbioru, co zapisujemy a = inf ; 8. kresem górnym (supremum) zbioru, gdy a jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru, co zapisujemy a = sup. 6.9 Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech X. Wtedy 1. W istnieje co najwyżej jeden element największy i co najwyżej jeden element najmniejszy. 2. Zbiór ma co najwyżej jeden kres górny i co najwyżej jeden kres dolny. 3. Jeżeli a jest elementem największym w, to a jest (i) jedynym elementem maksymalnym w, (ii) kresem górnym zbioru. 4. Jeżeli a jest elementem najmniejszym w, to a jest (i) jedynym elementem minimalnym w, (ii) kresem dolym zbioru. Dowód. [3, Twierdzenie 10.7] 6.10 Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech X będzie łańcuchem. Wtedy 1. W istnieje co najwyżej jeden element minimalny i jest on jednocześnie elementem najmniejszym w. 2. W istnieje co najwyżej jeden element maksymalny i jest on jednocześnie elementem największym w Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech X będzie zbiorem skończonym. Wtedy 1. W istnieje element maksymalny i element minimalny. 2. Jeżeli w istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to jest on jednocześnie elementem największym w. 3. Jeżeli w istnieje dokładnie jeden element minimalny, to jest on jednocześnie elementem najmniejszym w Lemat Kuratowskiego-Zorna. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Wówczas, jeżeli każdy łańcuch ma ograniczenie górne w X, to w X istnieje element maksymalny Definicja (Dobry porządek). Niech X będzie zbiorem liniowo uporządkowanym przez relację. Mówimy, że jest relacją dobrego porządku, gdy w każdym niepustym podzbiorze zbioru X istnieje element najmniejszy.

17 6 Relacje Twierdzenie Zermelo. Dla każdego zbioru X istnieje relacja, która go dobrze porządkuje Pewnik Wyboru, Lemat Kuratowskiego-Zorna i Twierdzenie Zermelo są sobie wzajemnie równoważne. Literatura [1] M. en-ri, Logika matematyczna w informatyce, WNT [2]. łaszczyk, S. Turek, Teoria mnogości, PWN [3] W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN [4] K. Kuratowski, WWstęp do teorii mnogości i topologii, PWN [5] H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN tp, październik 2016