1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14"

Transkrypt

1 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje Logika Logika zdań 1.1. Język logiki zdań składa się z nieskończonego zbioru zmiennych zdaniowych p, p 1,... q, q 1,... r, r 1,... oraz spójników logicznych: (negacja), (koniunkcja), (alternatywa), (implikacja), (równoważność). Wyrażenia powstałe z użyciem zmiennych zdaniowych za pomocą łączenia ich spójnikami logicznymi nazywamy formułami języka logiki zdań lub formułami zdaniowymi. Dokładniej, pojęcie formuły definiujemy w następujący sposób: 1. Zmienne zdaniowe są formułami. 2. Jeżeli wyrażenia i są formułami, to formułami są również wyrażenia, ( ), ( ), ( ), ( ). 3. Tylko i wyłącznie wyrażenia, które dają się wygenerować w powyższy sposób są formułami. 1.2 Definicja (Wartościowanie). Wartościowaniem nazywamy dowolne przyporządkowanie zmiennym zdaniowym dokładnie jednej z dwóch wartości: prawdy lub fałszu. Tradycyjnie, prawdę oznaczamy symbolem 1, a fałsz symbolem 0. Dowolne wartościowanie w sposób jednoznaczny przedłużamy na zbiór wszystkich formuł:

2 1 Logika 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Definicja (Spełnialność, etc). Mówimy, że wartościowanie v spełnia formułę, gdy v() = 1; wartościowanie v falsyfikuje formułę, gdy v() = 0; jest tautologią, gdy jest spełniona przez każde wartościowanie; oznaczenie = ; jest kontrtautologią, gdy jest falsyfikowana przez każde wartościowanie; i są logicznie równoważne, gdy dla każdego wartościowania v mamy v() = v(); fakt ten zapisujemy ; i są wzajemnie sprzeczne, gdy dla każdego wartościowania v mamy v() v(). 1.4 Definicja (Wynikanie logiczne). Mówimy, że formuła wynika logicznie z formuł 1,..., n gdy dla każdego wartościowania v, mamy v() = 1, gdy v( 1 ) = = v( n ) = 1. W tej sytuacji mówimy również, że zbiór formuł 1,..., n implikuje logicznie formułę. Fakt ten zapisujemy jako 1,..., n =. 1.5 Twierdzenie. 1,..., n = wtw = ( 1 n ). 1.6 Definicja. Regułą wnioskowania nazywamy parę składającą się ze zbioru formuł zwanych przesłankami i pojedynczej formuły zwanej wnioskiem. Reguły zapisujemy w postaci: 1. n lub 1,..., n. jest nie- 1.7 Definicja (Reguła niezawodna). Mówimy, że reguła 1,..., n zawodna, gdy wynika logicznie z 1,..., n. 1.8 Twierdzenie. Reguła 1,..., n ( 1 n ) jest tautologią. 1.9 Twierdzenie. Następujące reguły są niezawodne: (MP) jest niezawodna wtw formuła

3 1 Logika 3 (+ ) ( )) (+ ) ( ) (+ ) ( ) Logika kwatyfikatorów Niech dane będą zbiory indeksów I, J, K (dopuszczamy możliwość, że wszystkie te zbiory są puste). Język L logiki kwantyfikatorów wyznaczony jest przez następujące symbole: stałe: c i, i I symbole funkcyjne: f j, j J symbole relacyjne: P k, k K. Ponadto zakładamy, że dla każdego języka dane są zmienne indywiduowe: x, x 0, x 1..., y, y 0, y 1..., z, z 0, z 1... spójniki zdaniowe:,,,, kwantyfikatory:, symbol identyczności: = nawiasy, jako symbole pomocnicze Definicja (Term). Termami są wyrażeniami języka kwantyfikatorów określone w następujący sposób: (a) zmienne indywiduowe i stałe są termami; (b) jeżeli t 1,..., t n są termami a f jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym, to wyrażenie f(t 1,..., t n ) jest termem. Wyłącznie wyrażenia opisane w podany sposób są termami.

4 1 Logika Definicja (Formuła). Wyrażenia postaci P (t 1,..., t n ), gdzie t i są termami a P symbolem relacyjnym nazywamy formułami atomowymi. Formuły języka logiki kwantyfikatorów tworzymy z formuł atomowych przez aplikację spójników zdaniowych i kwantyfikatorów: dokładniej, jeżeli i są formułami, to również formułami są, ( ), ( ), ( ), ( ) i, dla dowolnej zmiennej indywiduowej x, x, x Definicja (Zasięg kwantyfikatora, zmienna wolna). Jeżeli formuła jest postaci x lub x, to mówimy, że formuła leży w zasięgu kwantyfikatora i odpowiednio; mówimy wówczas, że kwantyfikator wiąże zmienną x a wiąże zmienną y w formule. Przykład: x y (R(x, y)) P (x). }{{} zasięg y }{{} zasięg x Mówimy, że zmienna x ma wystąpienie wolne w formule, gdy wystąpienie to nie jest związane przez żaden kwantyfikator. Przykład: x y(r( }{{} x, y }{{} związana związana )) P ( }{{} x ). wolna 1.14 Definicja (Zdanie). Formułę nazywamy zdaniem, gdy nie ma w niej wolnych wystąpień zmiennych Definicja (Podstawienie). W dowolnej formule (x) można podstawiać termy za zmienną x. Poprawne podstawienie musi jednak spełniać kilka warunków: 1. Zmienna x musi występować wolno w. 2. Podstawienie musi być jednoczesne, za wszystkie wolne wystąpienia. 3. Jeżeli term podstawiany zawiera zmienną x, to po podstawieniu x nie może ulec związaniu przez żaden kwantyfikator Definicja (Interpretacja). Ustalmy język L. Niech M będzie dowolnym niepustym zbiorem. Odwzorowanie J, które każdemu symbolowi relacyjnemu P języka L przyporządkowuje relację P I (zachowując arność), każdemu symbolowi funkcyjnemu f języka L przyporządkowuje funkcję f I określoną na M o wartościach w M (zachowując arność) oraz każdej stałej c języka L przyporządkowuje element c I zbioru M, nazywamy interpretacją rozważanego języka w M. Układ M, I nazywamy modelem dla języka L a zbiór M nazywamy uniwersum tego modelu. W przypadku, gdy I = {1,..., k}, J = {1,..., m} i K = {1,..., n}, zamiast M, I piszemy czasem M, P1 I,..., Pk I,..., f1 I,..., fm, I..., c I 1,..., c I n

5 1 Logika Uwaga. Niech będzie zdaniem języka L, a M, I modelem dla L. Fakt, że zdanie jest prawdziwe w M, I zapisujemy jako M, I = Przykład. Rozważmy język zawierający symbol relacyjny P i zdanie = x y(p (x, y) z(p (x, z) P (z, y)). 1. Rozważmy zbiór Q oraz interpretację I w Q taką, że P I = <. Mamy wówczas Q, < =. 2. Rozważmy teraz zbiór N + dodatnich liczb naturalnych (bez zera) oraz interpretację J w N + taką, że P J = <. Mamy wówczas N +, < =. 3. Rozważmy ponadto interpretację K w N taką, że P K =, gdzie jest relacją podzielności w N +. Mamy wówczas N +, = Definicja. Mówimy, że formuła języka L jest ogólnie prawdziwa, lub że jest tautologią logiki kwantyfikatorów, gdy jest prawdziwa w każdym modelu języka L. Tableaux (tabele semantyczne) Reguły tworzenia tabel semantycznych Reguły dla negacji Reguły dla alternatywy

6 1 Logika 6 x(x) (x/c) gdzie c jest dowolną stałą Reguły dla koniunkcji Reguły dla implikacji Reguły dla kwantyfikatora ogólnego x(x) (x/d) gdzie d jest nową stałą nie występującą na tej gałęzi Reguły dla kwantyfikatora szczegółowego x(x) (x/d) gdzie d jest nową stałą, nie występującą na tej gałęzi x(x) (x/c) gdzie c jest dowolną stałą

7 2 Zbiory 7 Dobre rady 1. Formułę oznaczoną symbolem rozpatrujemy tylko raz. 2. Formułę oznaczoną symbolem możemy rozpatrywać wielokrotnie, stosując każdą ze stałych, która pojawia się w tableau. 3. Najpierw stosujemy reguły nie rozgałęziające tableau. 4. Najpierw stosujemy reguły wprowadzające nowe stałe, potem reguły pozwalające używać dowolnych stałych. 5. Gałęzie tabeli zamykamy najwcześniej jak to możliwe Twierdzenie. Niech,, C i D będą formułami dowolnego języka L. Załóżmy, że zmienna x nie jest zmienną wolną formuły C i niech (x) i (x) oraz D(x, y) będą dowolnymi formułami. Wówczas formuły następującej postaci są tautologiami logiki kwantyfikatorów: 1. x(x) x (x), 2. x(x) x (x), 3. ( x(x) x(x)) x((x) (x)), 4. x((x) (x)) ( x(x) x(x)), 5. ( x(x) x(x)) x((x) (x)), 6. ( x(x) x(x)) x((x) (x)), 7. ( x(x) C) x((x) C), 8. ( x(x) C) x((x) C), 9. (C x(x)) x(c (x)), 10. (C x(x)) x(c (x)), 11. x yd(x, y) y xd(x, y). Ponadto, implikacje odwrotne do 4, 6 i 11 nie są ogólnie prawdziwe. 2 Zbiory 2.1. Pojęcia pierwotne zbiór (przykłady zbiorów), relacja należenia Sposoby definiowania zbiorów sigleton {a} para nieuporządkowana {a, b}. Uwaga: {a, a} = {a}, {a, b} = {b, a}. lista elementów {0, 1, 2,... }

8 2 Zbiory 8 za pomocą własności: {X : W (X)}. Uwaga: ntymomia Russela. schemat definiowania przez wyróżnianie: dla dowolnego zbioru i dowolnej własności F (x) istnieje zbiór = {x : F (x)}. 2.3 Definicja (Inkluzja i równość zbiorów). x(x x ) = x(x x ) Oczywiście, = Zbiór pusty. Postulujemy istnienie zbioru pustego: x y y x. Zbiór pusty jest jedyny, oznaczamy go symbolem. 2.5 Definicja (Suma, przekrój i różnica zbiorów). = {x : x x } = {x : x x } \ = {x : x x } 2.6 Lemat. Dla dowolnych zbiorów i : Zbiór jest najmniejszym zbiorem zawierającym zbiory i. Zbiór jest największym zbiorem zawartym w zbiorach i. Zbiór \ jest największym podzbiorem zbioru rozłącznym ze zbiorem (czyli takim, że = ). 2.7 Definicja (Przestrzeń, dopełnienie zbioru). Niech S będzie ustalonym zbiorem; w przypadku gdy w rozważaniach ograniczamy się wyłącznie do podzbiorów zbioru S, zbiór S nazywamy przestrzenią lub uniwersum. Niech S będzie ustalona przestrzenią. Wówczas dopełnieniem zbioru w przestrzeni S nazywamy zbiór = S \. 2.8 Twierdzenie (Podstawowe prawa algebry zbiorów). Dla dowolnych zbio-

9 2 Zbiory 9 rów,, C ustalonej przestrzeni S zachodzą następujące prawa: = (1) = = (2) = ( C) = ( ) C (3) ( C) = ( ) C ( C) = ( ) ( C) (4) ( C) = ( ) ( C) ( ) = (5) ( ) = ( ) = (6) ( ) = Prawa (1) (6) nazywamy odpowiednio prawami idempotentności, przemienności, łączności, rozdzielności, pochłaniania oraz prawami de Morgana. 2.9 Definicja (Rodzina zbiorów. Ciało zbiorów). Zbiór, którego elementami są zbiory nazywamy rodziną zbiorów. Rzodzinę podzbiorów ustalonej przestrzeni S nazywamy ciałem zbiorów, jeśli spełnia warunki: 1. S, 2. jeśli,, to, 3. jeśli, to. N. oraz, \, Definicja (Suma i przekrój rodziny zbiorów). Operacje sumy i przekroju dwóch zbiorów uogólnimy na dowolne rodziny zbiorów. Dla dowolnej rodziny zbiorów i dowolnej niepustej rodziny zbiorów definiujemy = {x : x dla pewnego } 2.11 Przykład. 1. =. 2. { } =, 3. {} =, 4. P() =, = {x : x dla każdego } { } =. {} =. P() = Twierdzenie. Zbiór jest najmniejszym (w sensie inkluzji) zbiorem, w którym zawarte są wszystkie zbiory rodziny, a jest największym zbiorem zawartym w każdym zbiorze rodziny.

10 3 Pewnik wyboru Definicja (Zbiór potęgowy). P() = { : } Definicja (Para uporządkowana, produkt kartezjański). x, y = { {x}, {x, y} } = { x, y : x y } Pojęcie pary uporządkowanej uogólniamy na trójki, czwórki, etc: a, b, c := a, b, c, a, b, c, d := a, b, c, d,... Podobnie definiujemy produkty kartezjańskie: C = { x, y, z : x y z C}. Jak zwykle, stosujemy skróty: = 2, = 3, etc Lemat. Następujące warunki są równoważne: 1. =, 2. = lub =. 3 Pewnik wyboru 3.1. Pewnik wyboru. Pewnik wyboru można sformułować następująco: Dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów niepustych istnieje zbiór mający z każdym elmenentem tej rodziny dokładnie jeden element wspólny. Zdanie to jest niezależne od teorii mnogości, to znaczy, że na gruncie przyjętych aksjomatów teorii mnogości nie można go udowodnić ani wykazać jego sprzeczności. 1 4 Funkcje 4.1 Definicja (Funkcja, dziedzina i zbiór wartości funkcji). Funkcją nazywamy dowolny zbiór f spełniający warunki: 1. z ( z f x, y (z = x, y ) ), ( ) 2. x, y 1, y 2 x, y1 f x, y 2 f y 1 = y 2. Zgodnie z konwencją, piszemy f(x) = y w przypadku, gdy x, y f. Dziedziną i zbiorem wartości funkcji f nazywamy odpowiednio zbiory dom(f) = {x : x, y f, dla pewnego y}, ran(f) = {y : x, y f, dla pewnego x}. 1 Więcej informacji na ten temat można znaleźć w [3, strony oraz Dodadek F].

11 4 Funkcje 11 Oczywiście, ran(f) = {f(x) : x dom(f)} oraz f dom(f) ran(f). 4.2 Twierdzenie. Dla dowolnych funkcji f i g, f = g wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dom(f) = dom(g) oraz 2. f(x) = g(x), dla wszystkich x dom f. 4.3 Przykład. Ciągi. Indeksowane rodziny zbiorów. 4.4 Definicja (Injekcja, surjekcja, bijekcja). Funkcję f : X Y nazywamy 1. różnowartościową (lub injekcją), gdy x 1, x 2 dom(f) ( x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ) ; 2. na zbiór Y (lub surjekcją), gdy lub równoważnie, gdy ran(f) = Y ; y Y x X f(x) = y 3. wzajemnie jednoznaczną z X na Y (lub bijekcją), gdy f jest różnowartościowa i na Y. 4.5 Definicja (Złożenie funkcji). Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f zdefiniowaną następująco: g f = { x, z dom(f) ran(g) : dla pewnego y, x, y f y, z g}. 4.6 Twierdzenie. Niech dane będą funkcje f : X Y oraz g : Y Z. Wówczas 1. Jeżeli f i g są różnowartościowe, to również g f : X Z jest funkcją różnowartościową. 2. Jeżeli f jest funkcją na Y i g jest funkcją na Z, to g f : X Z jest funkcją na Z. 3. Jeżeli f i g są bijekcjami, to funkcja g f : X Z jest bijekcją. Dowód. [3, Twierdzenie 3.6]. 4.7 Twierdzenie. Operacja składania funkcji jest łączna ale nie jest przemienna. Dowód. [3, Twierdzenie 3.8] 4.8 Definicja (Funkcja odwrotna). Niech f będzie funkcją różnowartościową. Wówczas zbiór { y, x : x, y f} jest funkcją. Funkcję tę nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy symbolem f 1.

12 5 Moce zbiorów Definicja (Obraz i przeciwobraz). Obrazem zbioru względem funkcji f nazywamy zbiór f[] = ran(f ) = {f(x) : x dom(f)}. Przeciwobrazem zbioru względem funkcji f nazywamy zbiór 4.10 Twierdzenie. f 1 [] = {x dom(f) : f(x) }. 1. Operacja obrazu i przeciwobrazu jest monotoniczna, czyli jeżeli, to f[] f[] i f 1 [] f 1 []. 2. Obraz sumy zbiorów jest równy sumie obrazów tych zbiorów. Obraz przekroju dwóch zbiorów jest zawarty w przekroju ich obrazów. 3. Przeciwobraz sumy (przekroju) dwóch zbiorów jest równy sumie (przekrojowi) przeciwobrazów tych zbiorów. Dowód. [3, Twierdzenie 3.16] 5 Moce zbiorów 5.1 Definicja (Równoliczność). Mówimy, że zbiory i są równoliczne (lub że mają tę samą moc), gdy istnieje bijekcja ze zbioru na zbiór. Piszemy wówczas lub =. 5.2 Twierdzenie. Dla dowolnych zbiorów i : 1., 2., 3. C C. 5.3 Przykład. 1. N N \ {0}. 2. N 2N. 3. N Z. 4. N N N. 5. Dla dowolnych a, b, c, d R takich, że a < b i c < d, mamy [a, b] [c, d]. 6. ( 1, 1) R. Dowód. [3, Wykład 5]. 5.4 Twierdzenie. R N. Dowód. [3, Lemat 6.2, Twierdzenie 6.3] Twierdzenie Cantora. P(), dla dowolnego zbioru.

13 5 Moce zbiorów 13 Dowód. [3, Twierdzenie 6.6]. 5.6 Definicja (Porównywanie mocy). Mówimy, że moc zbioru jest niewiększa od mocy zbioru i piszemy, gdy istnieje zbiór C taki, że C. Ponadto, < wtedy i tylko wtedy, gdy oraz. 5.7 Twierdzenie. Dla dowolnych zbiorów i, istnieje injekcja f :. Ponadto, gdy zbiory i są niepuste, istnieje surjekcja f :. Dowód. [3, Twierdzenie 6.10, Twierdzenie 6.11] 5.8 Twierdzenie. Dla dowlonych zbiorów,, C: 1., 2. C C, 3. =. Dowód. [3, Twierdzenie 6.12] 5.9. Twierdzenie Cantora-ernsteina. Dla dowolnych zbiorów i : = Definicja (Zbiory skończone, co najwyżej przeliczalne i przeliczalne). Zbiór nazywamy 1. skończonym, gdy = lub istnieje liczba 0 < n N taka, że {1,..., n}; 2. przeliczalnym, gdy N; 3. co najwyżej przeliczalnym, gdy jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym; 4. nieskończonym, gdy nie jest zbiorem skończonym; 5. nieprzeliczalnym, gdy nie jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym Twierdzenie. Każdy nieskończony podzbiór zbioru N jest zbiorem przeliczalnym. Dowód. [3, Twierdzenie 7.16] Twierdzenie. Niech. Zbiór jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy elementy zbioru można ustawić w ciąg. Dowód. [3, Twierdzenie 7.21] 5.13 Twierdzenie. Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

14 6 Relacje 14 Dowód. [3, Twierdzenie 7.23] 5.14 Twierdzenie. Produkt kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Dowód. [3, Twierdzenie 7.27, Twierdzenie 7.28] Twierdzenie. R = {0, 1} N = N N = P(N) Definicja (Zbiory mocy kontinuum). Dowolny zbiór równoliczny z R nazywamy zbiorem mocy kontinuum Twierdzenie. Zbiory wszystkich skończonych ciągów oraz wszystkich skończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego są przeliczalne. Zbiory wszystkich ciągów oraz wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego są zbiorami mocy kontinuum Twierdzenie. Zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych są przeliczalne. Zbiory liczb rzeczywistych i niewymiernych są mocy kontinuum. 6 Relacje 6.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów. Dziedziną lewostronną relacji R nazywamy zbiór D l (R) = {x : x, y R dla pewnego y}, a dziedziną prawostronną relacji R nazywamy zbiór D r (R) = {y : x, y R dla pewnego x}. Zbiór D l (R) D r (R) nazywamy polem relacji R. 6.2 Definicja (Złożenie relacji, relacja odwrotna). Złożeniem relacji R i S nazywamy relację S R = { x, z : dla pewnego y, x, y R oraz y, z S}. Relacją odwrotną do R nazywamy relację R 1 = { y, x : x, y R}. 6.3 Definicja (Relacja równoważności). Relację R X X nazywamy relacją równoważności, gdy 1. R jest zwrotna: x X xrx, 2. R jest symetryczna: x, y X (xry yrx), 3. R jest przechodnia: x, y, z X (xry yrz xrz). 6.4 Definicja (Klasa abstrakcji, zbiór ilorazowy). Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X. Klasą abstrakcji elementu a X względem relacji R nazywamy zbiór [a] R = {x : xra}. Zbiorem ilorazowym zbioru względem relacji R nazywamy zbiór /R = {[x] R : x }.

15 6 Relacje Definicja (Podział zbioru). Rodzinę P podzbiorów zbioru nazywamy podziałem zbioru gdy 1. X, dla każdego X P; 2. X Y X Y =, dla dowolnych X, Y P; 3. P =. 6.6 Twierdzenie (Zasada abstrakcji). Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem. Wówczas 1. Jeżeli R jest relacją równoważności na, to /R jest podziałem zbioru. 2. Jeżeli rodzina P jest podziałem zbioru, to relacja R zdefiniowana jako jest relacją równoważności na. xry x, y Z, dla pewnego Z P 3. Funkcja F określona na zbiorze wszystkich relacji równoważności R na taka, że F (R) = /R przekształca ten zbiór wzajemnie jednoznacznie na zbiór wszystkich podziałów zbioru. Dowód. [3, Twierdzenie 9.6]. 6.7 Definicja (Częściowy porządek, liniowy porządek, łańcuch). Relację na zbiorze nazywamy relacją częściowego porządku, gdy 1. jest zwrotna, 2. jest słabo-symetryczna: x, y (x y y x x = y), 3. jest przechodnia. Relację częściowego porządku nazywamy relacją liniowego porządku, gdy spełnia dodatkowo warunek x, y (x y y x). Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Podzbiór zbioru taki, że jest relacją liniowego porządku nazywamy łańcuchem. 6.8 Definicja (Elementy minimalny, maksymalny, największy, najmniejszy, kresy). Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Ponadto, niech a X oraz X. Mówimy, że element a jest 1. minimalnym w, gdy a oraz x a x = a dla każdego x ; 2. maksymalnym w, gdy a oraz a x x = a dla każdego x ; 3. najmniejszym w, gdy a oraz a x dla każdego x ; 4. największym w, gdy a oraz x a dla każdego x ;

16 6 Relacje ograniczeniem dolnym zbioru, gdy a x dla każdego x ; 6. ograniczeniem górnym zbioru, gdy x a dla każdego x ; 7. kresem dolnym (infimum) zbioru, gdy a jest największym ograniczeniem dolnym zbioru, co zapisujemy a = inf ; 8. kresem górnym (supremum) zbioru, gdy a jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru, co zapisujemy a = sup. 6.9 Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech X. Wtedy 1. W istnieje co najwyżej jeden element największy i co najwyżej jeden element najmniejszy. 2. Zbiór ma co najwyżej jeden kres górny i co najwyżej jeden kres dolny. 3. Jeżeli a jest elementem największym w, to a jest (i) jedynym elementem maksymalnym w, (ii) kresem górnym zbioru. 4. Jeżeli a jest elementem najmniejszym w, to a jest (i) jedynym elementem minimalnym w, (ii) kresem dolym zbioru. Dowód. [3, Twierdzenie 10.7] 6.10 Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech X będzie łańcuchem. Wtedy 1. W istnieje co najwyżej jeden element minimalny i jest on jednocześnie elementem najmniejszym w. 2. W istnieje co najwyżej jeden element maksymalny i jest on jednocześnie elementem największym w Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację oraz niech X będzie zbiorem skończonym. Wtedy 1. W istnieje element maksymalny i element minimalny. 2. Jeżeli w istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to jest on jednocześnie elementem największym w. 3. Jeżeli w istnieje dokładnie jeden element minimalny, to jest on jednocześnie elementem najmniejszym w Lemat Kuratowskiego-Zorna. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację. Wówczas, jeżeli każdy łańcuch ma ograniczenie górne w X, to w X istnieje element maksymalny Definicja (Dobry porządek). Niech X będzie zbiorem liniowo uporządkowanym przez relację. Mówimy, że jest relacją dobrego porządku, gdy w każdym niepustym podzbiorze zbioru X istnieje element najmniejszy.

17 6 Relacje Twierdzenie Zermelo. Dla każdego zbioru X istnieje relacja, która go dobrze porządkuje Pewnik Wyboru, Lemat Kuratowskiego-Zorna i Twierdzenie Zermelo są sobie wzajemnie równoważne. Literatura [1] M. en-ri, Logika matematyczna w informatyce, WNT [2]. łaszczyk, S. Turek, Teoria mnogości, PWN [3] W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN [4] K. Kuratowski, WWstęp do teorii mnogości i topologii, PWN [5] H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN tp, październik 2016

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu Tomasz

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości 1 Elementy teorii mnogości Część I Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości 2 1. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7 KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (2)

Wstęp do Matematyki (2) Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4 DB Wstęp do matematyki semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki: R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

RELACJE I ODWZOROWANIA

RELACJE I ODWZOROWANIA RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (1)

Wstęp do Matematyki (1) Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Relacje. Relacje / strona 1 z 18

Relacje. Relacje / strona 1 z 18 Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Teoria mnogości Set theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2019 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Wstęp do logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol) KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Wstęp do logiki i teorii mnogości (LTM010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1

Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1 Marcin Styborski Katedra Analizy Nieliniowej pok. 610E (gmach B) marcins@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/marcins () 28 września 2010 1 / 10 Literatura podstawowa R. Rudnicki,

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań (kpn) Zadania...

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań (kpn) Zadania... DB Wstęp do matematyki (ns) semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki: R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM,

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. 1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (3)

Wstęp do Matematyki (3) Wstęp do Matematyki (3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Ważne typy relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (3) Ważne typy relacji 1 / 54 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo