Rys.1. Model cieplny odcinka toru prądowego reprezentowany elementami biblioteki Power System Blockset

Transkrypt

1 Ćwiczenie 4 Modelowanie procesu nagrzewania toru prądowego narzędziami Simulinka w Matlabie Wprowadzenie Celem ćwiczenia jest modelowanie procesu nagrzewania toru prądowego z wykorzystaniem różnorodnych narzędzi programowania udostępnionych przez biblioteki Power System Blockset i Simulink oraz metody numeryczne środowiska Matlab. Będą wykorzystane kolejno: modelowanie obwodu cieplnego (=> elektrycznego RC) (Power System Blockset) modelowanie równania przewodnictwa cieplnego jako systemu dynamicznego (Simulink) modelowanie równania cieplnego jako równania różniczkowego i rozwiązanie problemu metodami numerycznymi (metoda Rungego_Kutty dostępna w Matlabie). Należy w każdym z tych sposobów modelowania doprowadzić do określenia wartości obciążenia prądem długotrwałym z temperaturą dopuszczalną 90 C nagrzania odcinka toru prądowego o długości m wykonanego z a) aluminium i b) miedzi. Tor ma w przekroju kształt prostokąta o wymiarze 0x cm. Modelowanie obwodu cieplnego RC Zostanie tu wykorzystana metoda sieci cieplnej (MSC), która przez analogię do obwodu elektrycznego buduje obwód cieplny (Rys.) opisujący wytworzenie, kumulację i oddawanie ciepła do otoczenia. Rys.. Model cieplny odcinka toru prądowego reprezentowany elementami biblioteki Power System Blockset Źródłem ciepła są straty mocy I 2 R w torze prądowym, za kumulację odpowiada pojemność cieplna C szyny a odprowadzenie ciepła do otoczenia o temperaturze T 0 odbywa się poprzez opory cieplne konwekcji R k i promieniowania R p. Za wprowadzenie do obwodu cieplnego (modelowanego elektrycznie) mocy cieplnej odpowiada sterowane źródło prądowe nazwane jako "moc cieplna", a będące elementem Power System Blockset Electrical Sources Controlled Current Source. Powstaje ona jako wynik działania I 2 ρ 0 w elemencie mnożącym biblioteki Simulink Math Product. S Wartości nastaw prądu I, rezystywności materiału ρ 0 i pola powierzchni przekroju poprzecznego toru prądowego S podawane są jako wartości stałych źródeł sygnałowych biblioteki Simulink Sources Constant. Temperatura otoczenia T 0 podana jest jako wartość źródła stałego napięcia DC Voltage Source z wymienionej już wcześniej biblioteki Electrical Sources. Układ wyposażony jest w mierniki prądu (mocy cieplnej) i napięcia (temperatury) wraz z wyświetlaczem przebiegów czasowych.

2 Modelowanie równania przewodnictwa cieplnego jako systemu dynamicznego (Simulink) Równanie opisujące dynamikę procesu nagrzewania toru prądowego można zapisać (po podzieleniu stronami przez C) w postaci dt dt RC ( T T ) + 0 gdzie: C = c v m - pojemność cieplna odcinka toru prądowego; R = R p R k - zastępczy opór cieplny promieniowania i konwekcji; T 0 - temperatura otoczenia; P= I 2 ρ 0 - moc cieplna wytworzona w odcinku toru prą- S dowego. Z zapisu składników równania widać, że bilansuje ono moc cieplną skumulowaną, odprowadzoną i wytworzoną w przewodniku w dowolnej chwili czasowej t. Scałkowanie w bloku integratora sygnału dt/dt daje poszukiwaną wielkość temperatury T o przebiegu czasowym T = T(t). Czynność całkowania będzie w rzeczywistości przeprowadzona na dwóch pozostałych składnikach równania przeniesionych na prawą stronę, a potrzebny do budowy jednego z nich sygnał T wraca do integratora w pętli sprzężenia zwrotnego. Ilustruje to rysunek 2. = P C () Rys.2. Schemat systemu dynamicznego opisującego proces nagrzewania odcinka toru prądowego Bloki operatorowe całkowania /s, sumowania i mnożenia/dzielenia pochodzą z bibliotek Simulink Continuous Integrator oraz Simulink Math Sum lub Product. Parametry nastaw wartości źródeł sygnałów stałych generowane są przez elementy Simulink Sources Constant. Modelowanie równania cieplnego jako równania różniczkowego i rozwiązanie problemu metodami numerycznymi (metoda Rungego_Kutty dostępna w Matlabie). Równanie bilansu cieplnego () jest równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu, do którego rozwiązania numerycznego można użyć odpowiednich metod, spośród których szczególnie popularną jest metoda Rungego-Kutty czwartego rzędu. Służy ona do rozwiązania równania różniczkowego z odpowiednim warunkiem początkowym, który czyni rozwiązanie jednoznacznym. Całość tworzy wtedy tzw. zagadnienie początkowe dx = f ( t,x ) dt x( t0 ) = x 0 (2) Wspomniana metoda polega na zastosowaniu następującego schematu obliczeniowego: 2

3 k = hf ( tn,xn ) h k k2 = hf ( tn +,xn + ) 2 2 h k2 k3 = hf ( tn +,xn + ) (3) 2 2 k = hf ( t + h,x k ) 4 n n + 3 yn+ = yn + ( k + 2k2 + 2k3 + k4 )) 6 czyli znajomość rozwiązania y n w punkcie x n oraz czterech punktach pośrednich służy do wyznaczenia wartości rozwiązania y n+ w punkcie x n+. W tym celu zostanie zrealizowany zapis w postaci skryptowej, tj. zespołu poleceń wykonawczych Matlaba zgromadzonych w jednym pliku i uruchamianych jednym poleceniem. Metody ODE W Matlabie można rozwiązywać układy równań różniczkowych zwyczajnych, korzystając z kilku rodzajów funkcji ode (akronim ang. Ordinary Differential Equations). Funkcje te można podzielić na dwie grupy. Pierwsza z nich przeznaczona jest do rozwiązywania równań i układów równań tzw. dobrze uwarunkowanych. Należą do niej funkcje: a) ode45 (z użyciem jednokrokowej metody Rungego-Kutty rzędu 4 i 5) b) ode23 (z użyciem jednokrokowej metody Rungego-Kutty rzędu 2 i 3) c) ode3 (z użyciem wielokrokowej metody Adamsa-Bashfortha-Moultona, najlepszej z tej grupy) Druga przeznaczona jest do rozwiązywania równań i układów równań źle uwarunkowanych, czyli sztywnych. Należą do niej takie funkcje jak: odel5s, ode23s, ode23t,ode23tb. W rozwiązaniach układów źle uwarunkowanych występują bardzo duże oraz bardzo małe stałe czasowe, w związku z tym układy takie są znacznie mniej stabilne niż układy dobrze uwarunkowane. Poniżej zajmiemy się układami dobrze uwarunkowanymi Składnia wszystkich w/w funkcji jest jednakowa: [t,y]=funkcja_ode(plik_ode, przedział,y0) Parametry wyjściowe: t - wektor kolumnowy wartości argumentów (np. chwil czasu) dla których obliczane było rozwiązanie y - macierz rozwiązań. Każda kolumna jest wektorem reprezentującym warto;. jednej ze zmiennych stanu w punktach określonym wektorem t. Argumenty (parametry wejściowe): przedział - wektor określający przedział całkowania. W przypadku wektora dwuelementowego [t0, tk] całkowanie będzie wykonywane od chwili t0 chwili tk, zaś w przypadku wektora o większej liczbie elementów, rozwiązania będą wykonywane wyłącznie w chwilach określonych poprzez ten wektor. y0 - wektor kolumnowy warunków początkowych 3

4 plik_ode - łańcuch znaków, określający nazwę funkcji zdefiniowanej w m-pliku lub zdefiniowanej inline. Funkcja ta zawiera definicję rozwiązywanego układu równań różniczkowych. Nazwa tej funkcji jest dowolna. Funkcja zawsze dwuargumentowa. Argumentami są: t (skalar) oraz y (kolumnowy wektor stanu). Ogólna postać tej funkcji jest następująca: function F = plik_ode(t,y) %Komentarz F... % definicja układu równań różniczkowych Rozwiązywanie równań pierwszego rzędu Należy zauważyć, że rozwiązując numerycznie równanie różniczkowe, otrzymujemy na ogół tylko tablicę przybliżeń y i dokładnego rozwiązania y(t) w punktach t,. Dopiero wykorzystując tę tablicę, można albo narysować wykres szukanej funkcji, albo przybliżyć ją odpowiednią funkcją za pomocą interpolacji. Przykład Rozwiąż następujące zagadnienie początkowe: dx = 2t 2 e dt x( 0 ) = x0 y A oto zapis w postaci skryptu, który może być z kolei zapisany jako m-plik i wywołany z konsoli poleceń Matlaba. %Rozwiązanie z użyciem funkcji zdefiniowanej 'inline' %Skrypt rozwiązuje równanie różniczkowe pierwszego rzędu MojaFunkcja=inline('2*t.^2.*exp(-y)'); [t,y]=ode45(mojafunkcja, [0 2*pi],0); plot(x,y) W ćwiczeniu należy zbudować m-plik, nadać mu nazwę np. Ex4_RK.m i zapisać na dysku function [F]=Ex4_RK(t,y) %t - czas I=...; %wartość skuteczna prądu szyny Rez=...; %rezystywność materiału szyny S=...; %pole powierzchni przekroju poprzecznego szyny Rp=...; %opór cieplny promieniowania Rk=...; %opór cieplny konwekcji C=...; %pojemność cieplna odcinka toru prądowego To=...; %temperatura otoczenia P=I*I*Rez/S; %obliczenie mocy cieplnej F=P/C-(v-To)/(C*R); %obliczenie wartości funkcji prawej strony Uruchomienie w/w m-pliku można zlecić innemu m-plikowi, którego treścią byłoby wywołanie poprzednio zdefiniowanego m-pliku [t,v]=ode45('ex4_rk',[0 0^4],); plot(t,v); 4

5 Dokumentacja przebiegu ćwiczenia Należy wykonać wszystkie trzy etapy ćwiczenia realizując w każdym z nich postawiony cel wyznaczenia obciążalności długotrwałej dla dwóch rodzajów materiału toru prądowego: a) aluminium b) miedź Do sprawozdania należy dołączyć zarejestrowane przebiegi jednego z wybranych należy dołączyć do sprawozdania, które powinno zawierać również zbudowane w czasie ćwiczenia: schematy obwodu RC z widocznymi wartościami nastaw parametrów wejściowych schematy blokowe układu dynamicznego z widocznymi wartościami nastaw parametrów wejściowych i sterujących listingi m-plików wykonawczych trzeciego etapu zadania. Oczekuje się komentarza dotyczącego możliwości udoskonalenia metod wyznaczania w środowisku Simulink oporów cieplnych promieniowania i konwekcji oraz mocy traconej tak, by uwzględniały zależność od poszukiwanej temperatury. Opracował: dr hab. inż. Włodzimierz Kałat 5