ROZDZIAŁ 6. Elektrotechnika podstawowa 109

Transkrypt

1 Elekroechnka podsawowa 9 ROZDZAŁ 6 Elemeny obwodów prąd s nsodalnego Welkośc obrazjące je przebeg czasowe można klasyfkować ze względ na określone cechy wskaźnk, żywając nazw zwązanych z charakerem zmennośc. Welkośc snsodalne zalcza sę do welkośc okresowych przemennych. Snsodalne przebeg prąd napęca w dwójnk lnowym mogą meć różne fazy począkowe, zn. być względem sebe przesnęe, co jes zależne od charaker sposob połączena elemenów wchodzących w skład dwójnka. Zwązane są z ym pojęca: przesnęca fazowego, współczynnka mocy mocy czynnej dwójnka. nne ważne welkośc o: reakancja, mpedancja, sscepancja, admancja, moc berna moc pozorna. W lnowych obwodach elekrycznych mogą wysępować zjawska rezonansowe, swarzające nebezpeczeńswo przepęć lb przeężeń. Zwązk czasowe ampldowe mędzy przebegam o ej samej plsacj (synchroncznym) przedsawane są geomeryczne za pomocą wykresów wskazowych. Korzysając z meody symbolcznej formłje sę e zależnośc w sposób analyczny. Meody rozwązywana obwodów rozgałęzonych prąd sałego oraz snsodalnego różną sę prakyczne ylko ym, że w wypadk perwszych wykonje sę oblczena na lczbach rzeczywsych, a w wypadk drgch na lczbach zespolonych. Blans mocy obwod snsodalnego doyczy mocy zespolonej, j. mocy czynnej mocy bernej.

2 Elekroechnka podsawowa Oznaczena welkośc wysępjących w rozdzale 6 B sscepancja Q odb moc berna odbornkowa B C sscepancja pojemnoścowa R rezysancja B C sscepancja ndkcyjna S moc pozorna cos ϕ współczynnk mocy S moc zespolona C pojemność elekryczna S gen moc zespolona generaorowa e napęce źródłowe S odb moc zespolona odbornkowa E warość skeczna snsodalnego czas napęca źródłowego okres (podsawowy) przebeg E wskaz napęca źródłowego; warość napęce symbolczna (skeczna zespolona) ( przebeg czasowy welkośc ; przebeg napęca źródłowego czasowy napęca f częsolwość max warość szczyowa napęca f rez częsolwość rezonansowa h % współczynnk odkszałcena napęca G kondkancja welkość; warość skeczna napęca prąd okresowego ( przebeg czasowy prąd b składowa berna napęca max warość szczyowa prąd cz składowa czynna napęca h % współczynnk odkszałcena prąd m amplda napęca snsodalnego k k współczynnk kszał m (k) amplda k-ej harmoncznej przebeg k sz współczynnk szczy okresowego ( warość skeczna prąd okresowego okresowego śr warość średna półokresowa napęca b składowa berna prąd warość średna przebeg okresowego cz składowa czynna prąd (; warość średna napęca m amplda prąd snsodalnego warość wyprosowana napęca śr warość średna półokresowa wskaz napęca; warość symbolczna warość średna prąd okresowego (skeczna zespolona) napęca warość wyprosowana prąd modł (dłgość wskaz równa ) wskaz prąd; warość symbolczna m wskaz nerchomy (począkowy) ampldy napęca (skeczna zespolona) prąd modł (dłgość wskaz równa ) m wskaz wrjący ampldy napęca m wskaz nerchomy (począkowy) warość symbolczna napęca źródła zasępczego ampldy prąd W energa elekryczna m wskaz wrjący ampldy prąd X reakancja źr wskaz prąd źródłowego; warość X symbolczna (skeczna zespolona) C reakancja pojemnoścowa prąd źródłowego X L reakancja ndkcyjna własna o warość symbolczna prąd oczkowego Y admancja X M reakancja ndkcyjna wzajemna j lczba rojona; operaor obro Y admancja zespolona wskaz Z mpedancja L ndkcyjność własna Z mpedancja zespolona M ndkcyjność wzajemna Z w mpedancja zespolona źródła p moc chwlowa ϕ ką przesnęca fazowego P moc średna w obwodze prąd okresowego; moc czynna ψ faza począkowa (począkowy ką fazowy) przebeg snsodalnego P gen moc czynna generaorowa ρ rez mpedancja charakerysyczna (falowa) P odb moc czynna odbornkowa obwod rezonansowego P W wskazane waomerza ω plsacja przebeg snsodalnego q ładnek elekryczny ω rez plsacja rezonansowa Q moc berna ω moc berna generaorowa wzorcowa plsacja rezonansowa Q gen Lerara do rozdzał 6 [], [], [4], [7], [9]

3 6. Elemeny obwodów prąd snsodalnego Wykład X. PRZEBEG WELKOŚC ZMENNYCH W CZASE. ELEMENY R, C, L M PRZY PRĄDZE SNSODALNYM Klasyfkacja przebegów zmennych w czase Welkość, określoną w przedzale czas (, n ), charakeryzje przebeg czasowy ( o waroścach chwlowych: ( ), ( ),..., ( n ). Przebeg ( spełna warnek okresowośc w przedzale czas (, ), jeśl: ( + k ) = ( dla, k =,,...,, (6.) przy czym najmnejsza lczba spełnająca en warnek nazywa sę okresem (podsawowym) przebeg, a jej odwroność f = częsolwoścą przebeg. Ze względ na spełnene warnk okresowośc wyróżna sę welkośc (przebeg) zmenne okresowe (przykład na rys. a) neokresowe (przykład na rys. b): a) b) Warość średna za okres przebeg ( welkośc okresowej, o jej warość średna: + = ( = (. (6.) Welkość okresowa, kórej warość średna jes równa zer, nos nazwę przemennej (przykład na rys. c)., zaś kórej warość średna jes różna od zera plsjącej lb ęnącej (przykład na rys. d): c) d) Welkość okresowa nazywa sę snsodalną (harmonczną), jeśl jej przebeg czasowy można przedsawć jako fnkcję snsodalną (rys. ponżej): m -ψ ω = m sn( ω + ψ ), (6.3a) ( przy czym ω = = f, (6.3b) gdze: m amplda, ψ faza począkowa (począkowy ką fazowy), ω plsacja, (ω + ψ ) faza (ką fazowy) przebeg w chwl. Przebeg snsodalne o ej samej plsacj (częsolwośc) o przebeg synchronczne. W ogólnym przypadk, fazy począkowe przebegów synchroncznych są różne. Prądy napęca o przebegach okresowych nesnsodalnych o prądy napęca odkszałcone.

4 Wykład X Składnk przebeg okresowego Każdy przebeg okresowy, kóry ne jes snsodalny, można przedsawć w posac szereg Forera jako smę warośc średnej (składowej sałej) przebegów harmoncznych (składowej przemennej): ( = + m ( k) sn( k + ψ ( k ) ) k= ω, (6.4) gdze: warość średna przebeg, m (k) amplda k-ej harmoncznej przebeg, ψ (k) faza począkowa (począkowy ką fazowy) k-ej harmoncznej przebeg. Zachodz przy ym nasępjąca zależność (równość Parsevala): Przykład. Na rys. obok pokazano przebeg przemenne nesnsodalne, złożone z perwszej rzecej harmoncznej o ampldach fazach począkowych: m () = m. () = m. (), m (3) = m. (3) = m. (3), m (3) =, m () ; ψ. () = ψ. () =, ψ. (3) = 6, ψ. (3) = 9. ( = +. (6.5) m ( k ) k = Warośc średne prąd napęca okresowego Zgodne ze wzorem ogólnym, warośc średne (całookresowe) prąd napęca okresowego wynoszą: = (, = ( ) (6.6a, b) (nne oznaczena: (, śr.c ; (, śr.c ). Jeśl warość średna lb jes równa, o prąd ( lb napęce ( jes przemennym. Prądy napęca przemenne są częso ożsamane z snsodalnym główne, gdy przedmoem zaneresowana są perwsze harmonczne przebegów odkszałconych. Ma o zwązek z określonym dalej współczynnkam snsodalnośc prąd napęca przemennego. Waro zaem zwracać wagę na poprawne sosowane ermnów: przemenny snsodalny. Moc średna energa w obwodze prąd okresowego Moc średna (warość średna mocy) w obwodze prąd okresowego wynos P = p = a węc energa elekryczna w czase jednego okres równa sę W =,5,5 -, ,5 m (), (6.7) p = P, (6.8a) zaś w czase >> (będącym welokronoścą ) wyraża sę ak samo jak przy prądze sałym: W = P. (6.8b) ω

5 6. Elemeny obwodów prąd snsodalnego 3 Warośc skeczne prąd napęca okresowego Zgodne z prawem Jole a, energa wydzelająca sę w rezysancj R (kondkancj G = /R) w przedzale czas (, ) wynos W = R = G, (6.9) R zaem ze względ na cepło wydzelane w ej samej rezysancj (kondkancj), w czase jednego okres prąd lb napęca równoważnym prądow okresowem ( napęc okresowem ( są prąd sały napęce sałe o akch waroścach, że: R czyl = R = G, G = G, =,. (6.a, b) Określone wyżej warośc (nne oznaczena: sk ; sk ) noszą mano warośc skecznych przebegów okresowych ( (. Warośc wyprosowane prąd napęca okresowego Warośc średne wyprosowanych całofalowo przebegów prąd lb napęca okresowego o warośc wyprosowane (nne oznaczena: (, ( ): =, =. (6.a, b) Gdy przebeg: (, (, są fnkcjam anysymerycznym (przemennym symerycznym), j. spełnającym warnk: ( = ( + ) = (, ( = ( + ) = (, o warośc wyprosowane, są równe waroścom średnm półokresowym śr, śr : śr =, śr =. (6.a, b) Współczynnk szczy oraz kszał prąd napęca okresowego Sosnk najwększych warośc bezwzględnych (szczyowych) prąd lb napęca: max, max, do odpowednch warośc skecznych:,, nazywają sę współczynnkam szczy prąd lb napęca okresowego: max max k sz. =, k sz. =. (6.3a, b) Sosnk warośc skecznych:,, do warośc wyprosowanych:,, noszą nazwy współczynnków kszał prąd lb napęca okresowego: k k =., k k. =. (6.4a, b) Współczynnk szczy oraz kszał prąd napęca snsodalnego Przebeg snsodalne prąd napęca zapsje sę jako fnkcje czas lb kąa ω : ( ω = m sn( ω + ψ ), ( ω = m sn( ω + ψ ). ( ( ch warośc skeczne oraz warośc wyprosowane (średne półokresowe) wynoszą: m =, m m m =, = śr =, = śr =,

6 4 Wykład X zaem współczynnk szczy kszał mają warośc: k sz(sn) =,4, k (sn) = k,. (6.5a, b) względnając wzór (6.5a), przebeg snsodalne prąd napęca zapsje sę zwykle w posac: = sn( ω + ψ ), = sn( ω + ψ ). (6.6a, b) ( ( Współczynnk snsodalnośc prąd napęca przemennego Za mary snsodalnośc prąd napęca przemennego można ważać procenowe warośc sosnków ch współczynnków szczy k sz oraz kszał k k, do warośc odpowedno współczynnków szczy lb kszał przebeg snsodalnego: k ksz. =, sz% sn = 7, 7 ksz., (6.7a, b) sz. sz% sn 7, 7 ksz. k k. k. k% sn = 9 kk., k% sn = 9 kk. k. (6.8a, b) nnym maram snsodalnośc prąd napęca przemennego są sosnk warośc skecznych ch perwszych harmoncznych ( (), () ) do ch warośc skecznych (, ), wyrażone w procenach: () () ( )% =, ( )% =. (6.9a, b) Współczynnk dzał wyższych harmoncznych prąd napęca przemennego Procenowe warośc sosnków warośc skecznej j-ej wyższej harmoncznej ( j > ) prąd lb napęca przemennego ( (j), (j) ), do warośc skecznej jego perwszej harmoncznej ( (), () ) lb do jego warośc skecznej (, ), o dwa ypy współczynnków dzał j-ej harmoncznej: ( j) ( j) j =, j =, (6.a, b) ( )%() () ( )%() () ( j) ( j) ( j )% =, ( j )% =. (6.a, b) Odsępswo przebegów przemennych od dealne snsodalnych wyrażane jes przez dwa ypy współczynnków zawarośc harmoncznych (w procenach), określanych mowne jako: - współczynnk znekszałceń harmoncznych () () h%( ) = = ( j)%(), h%( ) = = ( j)%(), (6.a, b) () j= () j= - współczynnk odkszałcena () () h% = = ( j)%, h% = = ( j)%. (6.3a, b) j= j= Wysępje dża różnorodność sosowanych w prakyce mar odkszałcena przebegów (różnce doyczą skończonej szerokośc pasma harmoncznych oraz wysępowana we wskaźnk ylko nekórych składnków, np. harmoncznych parzysych bądź neparzysych). Podane wyżej symbole współczynnków: (j) % (), (j) % (), (j) %, (j) %, h % (), h % (), h %, h %, ne są powszechne obowązjące. W lerarze oraz w normach podawane są różne wskaźnk żywane różne oznaczena, np. h % () h % () odpowada w normach symbol HD (oal Harmonc Dsoron), a h % h % HF (oal Harmonc Facor).

7 6. Elemeny obwodów prąd snsodalnego 5 Welkośc charakeryzjące dwójnk lnowy przy prądze snsodalnym Dwójnk lnowy (rys. obok) składa sę z pasywnych elemenów lnowych R, C, L, M, oraz akywnych elemenów dealnych e, źr o plsacj akej samej jak źródła zewnęrzne. Srkra połączeń elemen- Odb. ów ne ma w ej chwl znaczena. Przyjęo odbornkowe srzałkowane prąd napęca, zn. z założena dwójnk jes odbornkem. Przebeg snsodalne prąd napęca dwójnka zapsje sę w wygodnejszej posac (6.6a, b): ( = sn( ω + ψ ), ( = sn( ω + ψ ). Różncę faz począkowych przebegów synchroncznych ( ( dwójnka określa sę jako ką przesnęca fazowego, króko: przesnęce fazowe dwójnka (rys. ponżej):,, p ϕ = ψ ψ. (6.4) p P ω ϕ ψ ψ Moc chwlowa dwójnka wynos p = ( ( = sn( ω + ψ ) sn( ω + ψ ) = cosϕ cos(ω + ψ + ψ ). ( Składnk sały mocy chwlowej (moc średna) nos nazwę mocy czynnej P = cosϕ, (6.5) a welkość cos ϕ określa sę jako współczynnk mocy dwójnka (odbornka). Składnk zmenny mocy chwlowej, równy cos( ω + ψ + ψ ), nazywa sę mocą oscylacyną. Moc chwlowa oscylje z podwójną częsolwoścą wokół warośc mocy czynnej. Moc czynną dwójnka (odbornka) merzy sę waomerzem, włączanym do obwod w sposób pokazany obok na rysnk. Począk cewek (prądowej napęcowej) waomerza zaznacza sę na schemace kropkam. Jeśl począk cewek znajdją sę po ych sronach symbol W w kole, jak zaznaczono je na rysnk, o zwyczajowo kropk sę pomja. Moc zmerzona waomerzem w pokazanym kładze jes równa mocy czynnej dwójnka: P W = P. Elemeny R, C, L, M w obwodze prąd snsodalnego. Rezysancja R (kondkancja G) = R, = G, p = = R = G ; = sn( ω + ψ ), = sn( ω + ψ ) ; ( ( = R, ψ = ψ ϕ = cos ϕ = ; = R = R sn( ω + ψ ) (6.6) W R, G P = = R = G. Odb.

8 6 Wykład X. Pojemność C C dq =, q = C ; ( = sn( ω + ψ ), ( = sn( ω + ψ ) ; d = C = ω C cos( ω + ψ ) = ω C sn( ω + ψ + ) (6.7) = ω C, ψ = ψ + ϕ = cos ϕ = P = ; = = X C, X C = (reakancja pojemnoścowa). (6.8a, b) ω C ω C 3. ndkcyjność własna L L dψ =, Ψ = L ; = sn( ω + ψ ), = sn( ω + ψ ) ; ( ( d = L = ω L cos( ω + ψ ) = ω L sn( ω + ψ + ) (6.9) = ω L, ψ = ψ + ϕ = cos ϕ = P = ; = ω L = X, = ω L (reakancja ndkcyjna własna). (6.3a, b) L 4. ndkcyjność wzajemna L = L = M : a) sprzężene dodane dψ =, Ψ = L = M ; = sn( ω + ψ ), = sn( ω + ψ ) ; M X L M M M d M = M = ω M cos( ω + ψ ) = ω M sn( ω + ψ + ) (6.3a) = ω M, ψ ψ + M M = ; dψ =, Ψ = M ; = sn( ω + ψ ), = sn( ω + ψ ) ; M M M M d M = M = ω M cos( ω + ψ ) = ω M sn( ω + ψ + ) (6.3b) = ω M, ψ ψ + M M = ; = ω =, M = ω M = X M, (6.3a, b) M M X M X M = ω M (reakancja ndkcyjna wzajemna). (6.33) Moce czynne przenoszone mędzy cewkam (p M z cewk. do.; p M z cewk. do.): p p = M =... = X M sn( ψ ψ ) ; = M =... = X M sn( ψ ψ ) M M warnk przenoszena mocy czynnej: ψ ψ ψ ψ m. L = M b) sprzężene jemne we wzorach dla sprzężena dodanego: M zamas M ( X M zamas X M ). L + M L L M L + M M L = M M