Analiza obwodów elektrycznych

Transkrypt

1 Analza obwodów elerycznych Oreślene mnmalneo zboru funcj obwodowych F o { u, } Analza Wyznaczene nnych welośc charaeryzujących obwód; np. moce, sprawnośc p. Obwód eleryczny Wyznaczene warośc paramerów wybranych elemenów obwodu Zadane funcje obwodowe nne welośc charaeryzujące obwód; np. moce, sprawnośc p. Syneza Przyład W obwodze o schemace poazanym na rysunu wyznaczyć w posac symbolcznej warość naęŝena prądu o. Analza obwodu eleryczneo. A A B u B o u z o o o C. ezysancja zasępcza: z G C u G o C o u. Z Posulau Ohma: z o. Konduancyjny Dzeln Prądu węzeł B lub C : o Go G G o o o u o o o o o o o u u o o o o u o B A o o

2 Przyład W obwodze o schemace poazanym na poprzednm rysunu wyznaczyć w aą warość r oporu rezysora o aby naęŝene prądu o ZAD. Syneza obwodu eleryczneo. Wpros ze wzoru orzymujemy: r o o ZAD u ZAD o r B Z A D A B o A o B o Analza obwodów elerycznych rozwązywane obwodów elerycznych wyznaczene mnmalneo zboru funcj obwodowych napęć u, prądów pozwalających w ławy sposób wyznaczyć aŝe nne welośc charaeryzujące obwód. Analza obwodów elerycznych łoŝene w oparcu o wybraną meodę mnmalneo uładu nezaleŝnych równań równowa obwodu. ozwązane mnmalneo uładu nezaleŝnych równań równowa obwodu. Obwód jes juŝ rozwązany! Dysusja uzysanych rozwązań równań równowa obwodu. Wyn analzy obwodu orzymane w posac: symbolcznej; półsymbolcznej; numerycznej.

3 Podsawowe meody analzy obwodów elerycznych Meody analzy obwodów elerycznych Meody Bezpośredne na pechoę Meody Pośredne auomayczne nne Zasosowane róŝnych: ransfuracj obwodu; werdzeń O; oowych wzorów; Meody opare o PK PO PPK NPK PO MPK Meody opare o NPK PO Meoda Prądów Srun MPS Meody opare o PPK PO Meoda Napęć Konarowych MNK Meoda Prądów Oczowych meoda Maxwell a MPO Meoda Napęć Węzłowych meoda Colr eo MNW W meodach analzy obwodów SLS dąŝymy do wyboru mnmalnej lczby funcj obwodowych prądów oraz napęć u onecznych do jeo pełnej analzy. Wybrane funcje obwodowe są rozwązanam wynająceo z PPK NPK uładu nezaleŝnych równań równowa obwodu.

4 Zasosowane eor lnowych rafów serowanych w znaczny sposób uława auomayzuje worzene poprawnych uładów równań równowa obwodu. Srzałowane ałęz lnowych rafów serowanych p p u p. Krawędź lnoweo rafu serowaneo jes zorenowana zodne ze zwroem prądu przyjęym w odpowadającej jej ałęz analzowaneo obwodu SLS.. Krawędź lnoweo rafu serowaneo jes zorenowana przecwne do zwrou napęca u przyjęeo w odpowadającej jej ałęz analzowaneo obwodu SLS.. Krawędź lnoweo rafu serowaneo ma aą samą cechę, L, C, e, j ja odpowadająca jej ałąź analzowaneo obwodu SLS. Meoda Posulaów Krchhoffa MPK Meoda Posulaów Krchhoffa MPK jes lasyczną, obecne raczej rzado sosowaną, meodą analzy obwodów elerycznych. Modyfacje MPK prowadzą do nnych meod analzy obwodów. ównana równowa obwodu ZałoŜena: lczba ałęz obwodu; w lczba węzłów obwodu; Lczba newadomych napęć ałęzowych prądów ałęzowych L N NezaleŜne równana równowa: PPK: r w NPK: n w Lczba równań równowa L r n

5 waa: ównana PPK pszemy dla przerojów fundamenalnych ównana NPK pszemy dla ocze fundamenalnych Przyład Napsać równana róŝnczowo-całowe obwodu poazaneo na rysunu. Przyjąć zerowe warun począowe dla < enera zromadzona w C oraz w L: w C, w L. u A A u L u B e u u C L 6 6 C B C D u 6 D 6 6 w L N L 6 PPK: r w NPK: n w ównana równowa PPK W A : W C : 6 W D : 6 NPK O : u u u O : u u u O : u 6 u u PO prądy ałęzowe - napęca ałęzowe : u e u d u L u d C d τ

6 u u 6 d 6 L 6 d ównana róŝnczowo całowe dla prądów ałęzowych: 6 6 L d e d L d d C d τ L d 6 d C d 6 τ PO napęca ałęzowe - prądy ałęzowe : Gu Ge G u L u d τ d u C d G u 6 u6d L τ ównana róŝnczowo całowe dla napęć ałęzowych: 6

7 L u d τ G u G u G e C du Gu 6 d L u dτ 6 Gu Gu u6d Ge L τ 6 u u u u u u u6 u u oólnona ałąź rezysancyjna onduancyjna u w u sn r sn G w e j α sp u sp u [ j α sp u sp e u sn r sn ] G u [ j α sp u sp G e u sn r sn ] Zadane Napsać równana róŝnczowo-całowe dla obwodów poazanych na rysunach

8 L L L C L C L C e e e e j L 6 Meoda prądów srun MPS MPS opara jes na sposrzeŝenu, Ŝe pozosawene w obwodze ylo drzewa unemoŝlwa przepływ prądu bra onurów. Dodane dowolnej olejnej sruny eneruje oczo fundamenalne, óre pozwala na przepływ w nm prądu dodanej sruny. Z eo wyna, Ŝe znajomość prądów srun pozwala wyznaczyć pozosałe funcje obwodowe w pełn rozwązać obwód. Lczba srun szuanych prądów : n w Przyład Dla obwodu poazaneo na rysunu ułoŝyć równana MPS u A u u u C e u u 6 B 6; w ; n w L Prądy srun: {,, 6 } - newadome Z przerojów fundamenalnych wyznaczamy prądy onarów: Przerój A:

9 Przerój B: 6 Przerój C: 6 Pszemy równana NPK dla ocze fundamenalnych: Oczo : u u u Oczo : u u u Oczo : u u u u 6 PO prądy ałęzowe - napęca ałęzowe : ównana MPS: u e 6 e u u u 6 u u e e Przyład Napsać równana róŝnczowo-całowe MPS u u u L u C e u u 6 Z przerojów fundamenalnych wyznaczamy prądy onarów: Przerój {,, 6 }: 6 Przerój {,, }: Przerój {,,, 6 }: 6

10 Pszemy równana NPK dla ocze fundamenalnych: Oczo {,, }: u u u Oczo {,,, }: u u u u Oczo { 6,, }: u 6 u u PO prądy ałęzowe - napęca ałęzowe : u e 6 e u 6 u f L d d u f C dτ u u ównana MPS: L d 6 e d C d τ L d d C d τ 6 L d d C d τ C d τ 6 6 e MPS ja?. Wyberamy r w onarów drzewa: wszyse źródła prądu umeścć w srunach; masymalną lczbę auonomcznych źródeł napęca umeścć w onarach;. Z przerojów fundamenalnych w oparcu o PPK wylczamy prądy onarów;. Dla ocze fundamenalnych pszemy n w równań w oparcu o NPK;. salmy zwąz u- równana PO dla wszysch ałęz;. Łączymy równana orzymane w p., w n w równań MPS; Obwód jes juŝ rozwązany!!! 6. ozwązujemy ze wzlędu na prądy srun uład równań z p. ; 7. Wylczamy prądy onarów o co nas neresuje w analzowanym obwodze. Meoda napęć onarowych MNK MNK jes meodą dualną do meody MPS.

11 Lczba onarów szuanych napęć : r w MNK ja?. Wyberamy r w onarów drzewa: wszyse źródła napęca umeszczamy w onarach; masymalną lczbę auonomcznych źródeł prądu umeścć w srunach;. Z ocze fundamenalnych w oparcu o NPK wylczamy napęca srun;. Dla przerojów fundamenalnych pszemy r w równań w oparcu o PPK;. salmy zwąz u- równana PO dla wszysch ałęz;. Łączymy równana orzymane w p., w r w równań MNK; Obwód jes juŝ rozwązany!!! 6. ozwązujemy ze wzlędu na napęca onarowe uład równań z p. ; 7. Wylczamy napęca srun o co nas neresuje w analzowanym obwodze. Zadane Napsać równana MNK dla przyładów zwązanych z MPS

12 Macerzowy zaps równań równowa Przeroje fundamenalne Macerz ncydencj Węzłowej a b d e f a f Graf: 7 - ałęze w - węzły c c b d e Fundamenalne: n w 6 - ocza r w - przeroje h 6 j j h Drzewo onary : { a, b, c, d, e, f,, h,, j, } Anydrzewo sruny : Z {,,,,, 6 } Gałęze: Sruny: n w Konary: r w 6 a b c d e f h j a b c d e f h j A [ ] Q r r n r r dze: Q r n macerz ncydencj węzłowej.

13 PPK: A r r Q [ ] s n r n r r r Q s n n r n n r Q n r r n s n r n n s s Q n r n

14 Ocza Fundamenalne Macerz ncydencj Oczowej a f b e c d h V V 6 V Graf: 7 w - ałęze - węzły Fundamenalne: n w 6 - ocza r w - przeroje j Drzewo onary : { a, b, c, d, e, f,, h,, j, } Anydrzewo sruny : Z {,,,,, 6 } Gałęze: Sruny: n w Konary: r w 6 a b c d e f h j O O O O V O V O V B [ ] P n n n n r dze: P n r Q macerz ncydencj oczowej NPK: B n n

15 B s n n r P n [ ] s n n n n r n r P s n n r r n P s n n r r Q n r s n r s n n r r r r r Q n r r r r P

16 Enera całowa moc chwlowa w sec SLS Moc chwlowa -ej ałęz: u p Moc chwlowa całej sec: p d d w p dze: τ τ d p w enera eleryczna przeworzona przez seć w przedzale czasu <, >. Zasada zachowana ener w sec SLS cons w Zasada elleena Jeśl w sec SLS funcja w jes lasy C, o: p d d w P Dowód: [ ] [ ] Q Q Q Q Q Q Q Q s s s s qed.

17 werdzene elleena Nech sec S A S B mają denyczną sruurę opoloę. Przyład Seć S A Seć S B A B Graf S A S B A B A B D C D C D Oznacza o, Ŝe macerze ncydencj węzłowej sec są denyczne: Q A Q B aŝe macerze ncydencj oczowej sec są denyczne: P A Q A Q B P B. Seć S A C Seć S B Q Q A A ; B B A sa ; B sb Q Q werdzene elleena Jeśl sec S A S B mają denyczną sruurę opoloę, o: A B B A ; ; B Dowód: Ja uprzedno! A A B werdzene elleena jes powszechne sosowane przy oblczanu wraŝlwośc obwodu na zmany jeo paramerów.

18 Kla słów o wraŝlwośc funcj obwodowych na zmany paramerów obwodów SLS WraŜlwość bezwzlędna funcj obwodowej f: f x x X f WybranyParamerSec ParamerySec f S Bezwzlędna olerancja funcj obwodowej f: N f x N x S x x X f X f X f X f X f Przyład Wyznaczyć wraŝlwośc napęca wyjścoweo rezysancyjneo dzelna napęca na zmany warośc oporu jeo rezysorów. E E Paramery: x, x, x E Bezpośredne wylczene wraŝlwośc Ω Ω V V V V E S E x S E x S E

19 S x E S S E E x Ω; Ω; E V: V x E S S V SE V olerancja napęca wyjścoweo dzelna: 7 7 mv Ω mv Ω S S S E ± Ω % ± Ω % E ± mv % ± ± ± [ V] 7 7 ± m ±, ± V ±,7 V 7 7 ±,7 V <,6,,7 > V [ ] [ ] E ±, Ω % 7 7 ± ±, ± [ V] ± m ±, ± 7 7 ±, V <,7,, > [ V] ±, [ V]

20 Meoda prądów oczowych MPO Meoda Maxwella Przyład: a c V j b h d V e Prąd Oczo Gałęze Oczowy Srunowy O { ; a, b, c } : O { ; b, e, d } : O { ; e, f, } : O V { ; c, h, j } : V O V { ; d, h, } : V O V { 6;,, } : V 6 Prądy ałęzowe: Prąd Gałąź Gałęzowy Oczowy V V 6 6 V a a b b c c V d d V e e f f V h h V V V V j j V V f V 6 7; w ; L N ; Lczby równań róŝnych meod Meoda Lczba równań MPK 7 MPS w 6 MNK w

21 Posać napęcowa ałęz u e O n u e e e j [r s ] [α s ] e e auonomczne e serowane a c V j b h d V e f V 6 NPK O : u u a u b u c O : u u e u d u b O : u u u e u f O V : u u c u h u j O V : u u h u d u O V : u 6 u u u u e j [r s ] [α s ] u e j [r s ] [α s ] u e j [r s ] [α s ] u V e j [r s ] [α s ] u V e j [r s ] [α s ] u 6 6 V e 6 6 j 6 [r s ] 6 6 [α s ] 6

22 u a a e a a j a [r s ] a a [α s ] a u b b e b b j b [r s ] b b [α s ] b u c c V e c c j c [r s ] c c [α s ] c u d d V e d d j d [r s ] d d [α s ] d u e e e e e j e [r s ] e e [α s ] e u f f e f f j f [r s ] f f [α s ] f u V e j [r s ] [α s ] u h h V V e h h j h [r s ] h h [α s ] h u V V e j [r s ] [α s ] u j j V e j j j j [r s ] j j [α s ] j u V e j [r s ] [α s ] Podsawając do NPK: O : u u a u b u c e j [r s ] [α s ] a e a a j a [r s ] a a [α s ] a b e b b j b [r s ] b b [α s ] b c V e c c j c [r s ] c c [α s ] c rupując prdy oczowe: a b c b c V { [r s ] [α s ] [r s ] a a [α s ] a [r s ] b b [α s ] b [r s ] c c [α s ] c } e e a e b e c j a j a b j b c j c d.

23 MPO w zapse macerzowym Macerz ezysancj Oczowych o O O O O V O V O V O O / O / O / O /V O /V O /V O O / O / O / O /V O /V O /V O O / O / O / O /V O /V O /V O V O V/ O V/ O V/ O V/ V O V/V O V/V O V O V/ O V/ O V/ O V/V O V/V O V/V O V O V/ O V/ O V/ O V/V O V/V O V/V Weor Serowanych Wymuszeń Oczowych E s [r s ] O [α s ] O [r s ] O [α s ] O [r s ] O [α s ] O [r s ] O V [α s ] O V [r s ] O V [α s ] O V [r s ] O V [α s ] O V Weor Auonomcznych Wymuszeń Oczowych E o e O j O e O j O e O j O e O V j O V e O V j O V e O V j O V MPO: o o E s o E o

24 MPO ja?. Wybrać n w ocze nezaleŝnych nadać m jednaowe zwroy;. worzyć macerz rezysancj oczowych o : na przeąnej łównej z plusem suma oporów rezysorów w oczu; poza przeąną z mnusem opory rezysorów wspólnych sąsednch ocze;. worzyć weor auonomcznych wymuszeń oczowych E o : zwro wymuszene zodny ze zwroem ocza - zna plus; zwro wymuszene przecwny do zwrou ocza - zna mnus;. worzyć weor serowanych wymuszeń oczowych E s : zna wynają ze zwrou wymuszena serowaneo oraz prądu serująceo w sosunu do zwrou ocza;. Zapsać równana MPO po uporządowanu do posac: os o E o ; dze: os - macerz nesymeryczna jeśl w obwodze są ZNSP lub ZPZP zwązana z waroścam oporów rezysorów wchodzących w sład wybranych ocze nezaleŝnych oraz waroścam współczynnów sprzęŝeń mędzy oczam wynającym z snena w obwodze ZNSP oraz ZPSP 6. Dowolną meodą rozwązać równana MPO: os o E o o [ os ] E o. Przyład Zapsać równana MPO dla obwodu o schemace poazanym na rysunu E r s Weor prądów oczowych O o O E s O s s 6 s Macerz ezysancj Oczowych O O O s O o O O s 6

25 Weor Auonomcznych Wymuszeń Oczowych E r s O E E o O E E s O s 6 s Weor Serowanych Wymuszeń Oczowych E r s O r s E s O E s O s r s 6 s ównana MPO o o E s E o O O O s O r E O E O s 6 r s

26 Oblczane rezysancj złoŝonych dwójnów ezysory ZNSP ZPSP u O w u w Przyład Jaa rezysancja obcąŝa źródło E z poprzedneo przyładu? 6 r s s w u u r 6 r os 6 r r 6 r os 6 r w r r [ ] os M M u n os os w u

27 Meoda napęć węzłowych MNW Meoda Colreo Posać prądowa ałęz u G u G j W n G u j j G e j [u s ] G [u s ] j j auonomczne j serowane MNW w zapse macerzowym Macerz Konduancj Węzłowych G w W W W W W G W / G W / G W / G W ¼ W G W / G W / G W / G W / W G W / G W / G W / G W ¾ W G W / G W / G W / G W /

28 Weor Serowanych Wymuszeń Węzłowych J s [u s ] W G [u s ] W [u s ] W G [u s ] W Weor Auonomcznych Wymuszeń Węzłowych J w Ge W j W Ge W j W MNW: G w w J s w J w MNW ja?. Wybrać węzeł odnesena V, dla pozosałych r w węzłów napsać MNW;. worzyć macerz onduancj węzłowych G w : na przeąnej łównej z plusem suma przewodnośc rezysorów we węźle; poza przeąną z mnusem przewodnośc rezysorów wspólnych sąsednch węzłów;. worzyć weor auonomcznych wymuszeń węzłowych J w : zwro do węzła - zna plus; zwro od węzła - zna mnus;. worzyć weor serowanych wymuszeń węzłowych J s : zna wynają ze zwrou wymuszena serowaneo oraz napęca serująceo w sosunu do węzła;. Zapsać równana MNW po uporządowanu do posac: G ws w J w ; dze: G ws - macerz nesymeryczna jeśl w obwodze są ZNSN lub ZPSN zwązana z waroścam przewodnośc rezysorów dołączonych do wybranych węwzłów oraz waroścam współczynnów sprzęŝeń mędzy węzłam wynającym z snena w obwodze ZNSN oraz ZPSN 6. Dowolną meodą rozwązać równana MNW: G ws w J w J w [G ws ] J w.

29 Przyład Zapsać równana MNW dla obwodu o schemace poazanym na rysunu E Weor napęć węzłowych V V s V W V w W V J W V 6 V WO s Macerz Konduancj Węzłowych W W W W G G G G G w W G G G W G G G 6 Weor Auonomcznych Wymuszeń Oczowych E V V s V J 6 Weor auonomcznych wymuszeń węzłowych W J G E J w W W G E V WO s

30 Weor Serowanych Wymuszeń Węzłowych E V V s V J 6 Weor serowanych wymuszeń węzłowych W J s W V W V V WO s ównana MNW G w w J s J w W W W W G G G G V J G E W G G G V W G G G 6 V G E V V V E G G E G G G6 E G G G6 G J G G J G J G G J G G6 J G G6 J G G G G G G G G G G6 G G G6 G G G6 E G G G6 G J G J G G J G G6 J G G G G G G G G G G6 G G G6 G G G6 E G G G G G J G G J G G G G G G G G G G6 G G G6 G G G6

31 Oblczane onduancj złoŝonych dwójnów V ezysory ZNSN ZPSN u j G w j u V j V V G w WO Przyład Jaa onduancja obcąŝa źródło E z poprzedneo przyładu? G w u j G j u G G j V V G j s V V G w G G V j V 6 V WO s G V j G 6 V j G w 6 G G G G G G przy załoŝenu: G 6!!! 6