Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
|
|
- Małgorzata Jarosz
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na następującym problemie pakowania plecaka: Załóżmy, że musimy zabrać ze sobą na wycieczkę w góry wiele,,potrzebnych przedmiotów. Jednakże do dyspozycji mamy jedynie plecak o ograniczonej pojemności S. Przedmioty mają objętości a 1, a 2,..., a n, które po zsumowaniu dają objętość większą od S. Musimy zatem z czegoś zrezygnować. Jedynym kryterium jest tu tylko to, by plecak był zapakowany optymalnie, tj. bierzemy tylko te przedmioty, których objętości dają sumę S. Co zatem włożyć do plecaka? 6.1.Przykład. Niech (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) = (2, 7, 8, 11, 12) oraz niech S = 21. Wówczas mamy a 1 + a 3 + a 5 = S oraz a 1 + a 2 + a 5 = S. Zatem zabieramy ze sobą przedmioty pierwszy, trzeci i piąty, lub pierwszy, drugi i szósty. Powyższy problem można sformułować następująco: Dla danych liczb naturalnych a 1, a 2,..., a n oraz S, znaleźć taki ciąg x 1, x 2,..., x n złożony z zer i jedynek, żeby zachodziła równość a 1 x 1 + a 2 x a n x n = S. (6.2) Rozważając ciąg z przykładu 6.1 dostajemy dwa rozwiązania: x 1 = x 3 = x 4 = 1, x 2 = x 3 = 0 oraz 1 x 1 = x 2 = x 5 = 1, x 3 = x 4 = 0.
2 Aby sprawdzić, czy (6.2) zachodzi musimy wykonać co najwyżej n dodawań, jednak żeby rozwiązać problem pakowania plecaka metodą prób i błędów, musimy sprawdzić wszystkie 2 n możliwości. Oznacza to, że rozwiązanie powyższego problemu zajmuje O(2 n ) czasu. Najszybszy znany algorytm działa w czasie O(2 n 2 ). Jeśli n = 100, to komputer wykonujący 2 20 operacji na sekundę potrzebuje na rozwiązanie problemu pakowania plecaka czas rzędu 2 30, czyli około miliard sekund albo ponad 30 lat! Pewne wartości liczb a 1, a 2,..., a n zdecydowanie przyśpieszają rozwiązanie problemu pakowania plecaka. Na przykład, jeśli są to potęgi dwójki, to rozwiązanie sprowadza się do znalezienia rozwinięcia liczby S w systemie dwójkowym. Rozwinięcie to znajdujemy w czasie logarytmicznym stosując tzw.,,chciwy algorytm, który opiszemy poniżej. 6.2 Szybko rosnące ciągi Ciąg liczb naturalnych a 1, a 2,..., a n nazywamy szybko rosnącym, jeśli j 1 a i < a j dla j {2, 3,..., n}. Przykładem szybko rosnącego ciągu jest 2,3,7,14,27. Niech S = 37. Wówczas,,chciwy algorytm działa następująco: Zawsze bierzemy największy przedmiot jaki się mieści. Tak więc x 5 = 1, ale x 4 = 0 ponieważ > 37. x 3 = 1 gdyż < 37. Podobnie, x 2 = 1 oraz x 1 = 0. Ogólnie, jeśli mamy szybko rosnący ciąg a 1, a 2,..., a n, to wyznaczamy x n, x n 1,..., x 1 korzystając ze wzorów { 1, jeśli S a n x n = 0, jeśli S < a n oraz x j = { 1, jeśli S n i=j+1 x ia i a j 0, jeśli S n i=j+1 x ia i < a j dla j n 1, n 2,..., 1. Problem pakowania plecaka dla ciągów szybko rosnących może być więc rozwiązany bardzo szybko. Poniższy system kryptograficzny Merklego Hellmana, który do roku 1982 był uważany za najlepszy system o tzw. kluczu publicznym opiera się na,,zamianie problemu trudnego na problem łatwy. 2
3 6.3 Kryptosystem oparty na problemie pakowania plecaka Załóżmy, że a 1, a 2,..., a n jest szybko rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Niech m będzie liczbą naturalną większą od 2a n. Weźmy dowolną liczbę całkowitą nieujemną w względnie pierwszą z m i utwórzmy ciąg b 1, b 2,..., b n biorąc wa 1, wa 2,..., wa n modulo m. Jeżeli b 1, b 2,..., b n nie jest ciągiem szybko rosnącym, to żeby rozwiązać problem pakowania plecaka n x ib i = S, nie możemy użyć chciwego algorytmu. Jednakże, jeśli znamy w 1, to możemy rozwiązać problem pakowania plecaka x i a i = S 0, (6.3) gdzie S 0 Sw 1 (mod m). Kiedy mamy już rozwiązany problem (6.3), to wiemy, że w 1 S = w 1 x i b i x i a i (mod m). (6.4) Powyższą procedurę opiszemy na przykładzie. 6.5.Przykład. Rozważmy szybko rosnący ciąg (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) = (3, 5, 9, 20, 44), m = 89 oraz w = 67. Zauważmy, że w 1 = 4. Wówczas (b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 ) = (23, 68, 69, 5, 11). Żeby rozwiązać problem pakowania plecaka 23x x x 3 + 5x x 5 = 84, mnożymy obie strony powyższego równania przez 4 i redukujemy modulo 89 otrzymując 3x 1 + 5x 2 + 9x x x 5 = 69. Teraz rozwiązujemy łatwo powyższy problem pakowania plecaka otrzymując x 1 = x 3 = 0; x 2 = x 4 = x 5 = 1. Zatem nasz pierwotny problem ma rozwiązanie = 84. System kryptograficzny oparty na problemie pakowania plecaka działa następująco. Wybieramy szybko rosnący ciąg a 1, a 2,..., a n, liczbę m > 2a N oraz liczbę w względnie pierwszą z N. Następnie obliczamy wyrazy ciągu b 1, 3
4 b 2,..., b N i podajemy je do publicznej wiadomości. Jeśli ktoś chce przesłać do nas wiadomość, najpierw koduje ją za pomocą zer i jedynek (na przykład jak w poniższej tabelce), a następnie dzieli otrzymany ciąg na bloki długości N. Dla każdego bloku x 1, x 2,..., x N, nadawca oblicza sumę N x ib i i otrzymany ciąg sum wysyła jako tekst zaszyfrowany. litera odpowiednik litera odpowiednik A N B O C P D Q E R F S G T H U I V J W K X L Y M Z Dla przykładu zaszyfrujemy wiadomość REPLY IMMEDIATELY używając ciągu C = (2002, 3337, 2503, 2170, 503, 172, 3347, 855, 709, 417). Najpierw zamieniamy litery (a w zasadzie digramy) na bloki 10 cyfrowe: Następnie obliczamy odpowiednie sumy wyrazów ciągu C otrzymując kryptogram (3360, 12986, 8686, 10042, 3629, 3337, 5530, 9729). (6.6) Na przykład dodajemy 2002, 503 i 855 żeby otrzymać Zauważmy teraz, dlaczego klucz szyfrujący może być podany do publicznej wiadomości: Mamy tekst jawny oraz kryptogram właśnie otrzymany, 4
5 ale czy jesteśmy w stanie odczytać inny kryptogram, np. (4619, 3337), zaszyfrowany tym samym kluczem? Powyższa idea prowadzi do powstania sieci korespondentów. Każdy użytkownik sieci ma swój prywatny klucz rozszyfrowujący, a klucze szyfrujące mogą być umieszczone w swoistej,,książce telefonicznej, która jest dostarczona każdemu użytkownikowi sieci. Ideę tę omówimy w następnym rozdziale, a teraz pokażemy jak można łatwo rozszyfrować szyfr (6.6). Do rozszyfrowania potrzebujemy oryginalnego ciągu szybko rosnącego, jakim jest (2, 11, 14, 29, 58, 119, 241, 480, 959, 1917), liczby m = 3837 oraz w 1 = 23. Żeby rozszyfrować 3360, znajdujemy najpierw (mod 3837) i zauważamy, że 540 = Zatem odpowiadającym blokiem zero jedynkowym jest , który odpowiada digramowi RE. Zauważmy, że jeżeli długość ciągu jest równa 5, to opisany szyfr jest bardziej skomplikowaną wersją klasycznego szyfru permutacyjnego - litera alfabetu jest zastąpiona liczbą. W opisanym przykładzie liczbą zastępujemy digram tekstu jawnego. Aby odróżnić szyfr oparty na problemie pakowania plecaka od szyfru klasycznego powinniśmy wybierać ciągi długości różnej niż wielokrotność długości bloku reprezentującego litery alfabetu. W roku 1983 Shamir opublikował pracę, która zdyskwalifikowała system kryptograficzny oparty na problemie pakowania plecaka jako system bezpieczny. Otóż okazało się, że szyfr ten można złamać w czasie wielomianowym. Po roku 1983 starano się utrudnić szyfr, ale ponieważ każda próba kończyła się szybko podobną publikacją, szyfry oparte na problemie pakowania plecaka nie mają dziś dużego powodzenia, mimo że niektóre z nich w dalszym ciągu są nie złamane. 5
14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoWST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13
WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13 Spis tre±ci 1 Kryptograa a steganograa 5 1.1 Steganograa........................... 6 1.2 Szyfry przestawieniowe...................... 8 1.3 Systemy
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoXIII KONKURS MATEMATYCZNY
XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania
Bardziej szczegółowoZaawansowana adresacja IPv4
Zaawansowana adresacja IPv4 LAN LAN... MAN... LAN Internet Zagadnienia: podział sieci na równe podsieci (RFC 950, 1985 r.) technologia VLSM (RFC 1009, 1987 r.) technologia CIDR (RFC 1517-1520, 1993 r.)
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO INTERNETOWEGO ROZKŁADU JAZDY
INSTRUKCJA DO INTERNETOWEGO ROZKŁADU JAZDY Internetowy rozkład jazdy służy do ułatwienia komunikacji między stacjami. Pokazuje jakie pociągi aktualnie kursują między stacjami i gdzie są. Pomaga nie dopuścić
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowoMetoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą.
Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą. Po pierwsze - notacja - trzymasz swoją kostkę w rękach? Widzisz ścianki, którymi można ruszać? Notacja to oznaczenie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoNUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoUmowa o pracę zawarta na czas nieokreślony
Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony Uwagi ogólne Definicja umowy Umowa o pracę stanowi dokument stwierdzający zatrudnienie w ramach stosunku pracy. Według ustawowej definicji jest to zgodne oświadczenie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoKLAUZULE ARBITRAŻOWE
KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa
Bardziej szczegółowoImplant ślimakowy wszczepiany jest w ślimak ucha wewnętrznego (przeczytaj artykuł Budowa ucha
Co to jest implant ślimakowy Implant ślimakowy to bardzo nowoczesne, uznane, bezpieczne i szeroko stosowane urządzenie, które pozwala dzieciom z bardzo głębokimi ubytkami słuchu odbierać (słyszeć) dźwięki.
Bardziej szczegółowotróżka Źródło: www.fotolia.pl
Ogród na tarasie Wiele bylin przeżywa właśnie pełnię swego rozkwitu, ale nie jest jeszcze za późno, aby dosadzić nowe efektowne rośliny i wzbogacić swój taras niezwykłymi aranżacjami. tróżka Źródło: www.fotolia.pl
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN W KLASIE SZÓSTEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015
Centralna Komisja Egzaminacyjna ul. J. Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawa www.cke.edu.pl sekret.cke@cke.edu.pl SPRAWDZIAN W KLASIE SZÓSTEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 Cześć! W kwietniu
Bardziej szczegółowoJak postawić tablicę informacyjną? Plan działania dla animatorów przyrodniczych
Jak postawić tablicę informacyjną? Plan działania dla animatorów przyrodniczych 1. Styczeń 2011 r. wybranie lokalizacji Zastanów się jakie miejsce będzie najlepsze na postawienie tablicy informacyjnej
Bardziej szczegółowoBazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15
Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Przechowywanie danych Wykorzystanie systemu plików, dostępu do plików za pośrednictwem systemu operacyjnego
Bardziej szczegółowoPOMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia
POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM PLANOWANIE DZIAŁAŃ Określanie drogi zawodowej to szereg różnych decyzji. Dobrze zaplanowana droga pozwala dojechać do określonego miejsca w sposób, który Ci
Bardziej szczegółowoSurowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x
Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca
Bardziej szczegółowoAPI transakcyjne BitMarket.pl
API transakcyjne BitMarket.pl Wersja 20140314 1. Sposób łączenia się z API... 2 1.1. Klucze API... 2 1.2. Podpisywanie wiadomości... 2 1.3. Parametr tonce... 2 1.4. Odpowiedzi serwera... 3 1.5. Przykładowy
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych
Bardziej szczegółowoZałącznik do zarządzenia Rektora Krakowskiej Akademii im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Nr 8/2013 z 4 marca 2013 r.
Załącznik do zarządzenia Rektora Krakowskiej Akademii im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Nr 8/2013 z 4 marca 2013 r. Zasady i tryb przyznawania oraz wypłacania stypendiów za wyniki w nauce ze Studenckiego
Bardziej szczegółowoLogowanie do systemu Faktura elektroniczna
Logowanie do systemu Faktura elektroniczna Dostęp do Systemu Faktury Elektronicznej możliwy jest poprzez kliknięcie odnośnika Moja faktura w prawym górnym rogu strony www.wist.com.pl, a następnie przycisku
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S.
Załóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S. Plecak ma być zapakowany optymalnie, tzn. bierzemy tylko te przedmioty,
Bardziej szczegółowoJak korzystać z Group Tracks w programie Cubase na przykładzie EWQLSO Platinum (Pro)
Jak korzystać z Group Tracks w programie Cubase na przykładzie EWQLSO Platinum (Pro) Uwaga: Ten tutorial tworzony był z programem Cubase 4 Studio, ale równie dobrze odnosi się do wcześniejszych wersji,
Bardziej szczegółowoMicrosoft Management Console
Microsoft Management Console Konsola zarządzania jest narzędziem pozwalającym w prosty sposób konfigurować i kontrolować pracę praktycznie wszystkich mechanizmów i usług dostępnych w sieci Microsoft. Co
Bardziej szczegółowoPIZZA FIESTA. CO MOŻNA ZOBACZYĆ NA KOSTCE? Składniki ( ryba, papryka, pieczarki, salami, ser)
22705 PIZZA FIESTA Kto poradzi sobie pierwszy ze złożeniem składników na pizze? Zwycięzcą jest gracz, który jako pierwszy zapełni dwie karty pizzy. Zawartość: -4 kawałki pizzy -6 kawałków ryby -6 kawałków
Bardziej szczegółowoInstrukcja dotycząca generowania klucza dostępowego do Sidoma v8
Szanowni Państwo! Instrukcja dotycząca generowania klucza dostępowego do Sidoma v8 Przekazujemy nową wersję systemu SidomaOnLine v8. W celu zalogowania się do systemu niezbędny jest nowy klucz dostępu,
Bardziej szczegółowoLiczba stron: 3. Prosimy o niezwłoczne potwierdzenie faktu otrzymania niniejszego pisma.
Dotyczy: Zamówienia publicznego nr PN/4/2014, którego przedmiotem jest Zakup energii elektrycznej dla obiektów Ośrodka Sportu i Rekreacji m. st. Warszawy w Dzielnicy Ursus. Liczba stron: 3 Prosimy o niezwłoczne
Bardziej szczegółowoenova Workflow Obieg faktury kosztowej
enova Workflow Obieg faktury kosztowej Spis treści 1. Wykorzystanie procesu... 3 1.1 Wprowadzenie dokumentu... 3 1.2 Weryfikacja merytoryczna dokumentu... 5 1.3 Przydzielenie zadań wybranym operatorom...
Bardziej szczegółowoPRZYJĘCIE NA LECZENIE DO SZPITALA
PRZYJĘCIE NA LECZENIE DO SZPITALA (Część 3 Ustawy o zdrowiu psychicznym z 1983 roku [Mental Health Act 1983]) 1. Imię i nazwisko pacjenta 2. Imię i nazwisko osoby sprawującej opiekę nad pacjentem ( lekarz
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego
Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY Rok szkolny 2012/2013 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 12 stron.
Bardziej szczegółowoDE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15
DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania
Bardziej szczegółowoInstalacja. Zawartość. Wyszukiwarka. Instalacja... 1. Konfiguracja... 2. Uruchomienie i praca z raportem... 4. Metody wyszukiwania...
Zawartość Instalacja... 1 Konfiguracja... 2 Uruchomienie i praca z raportem... 4 Metody wyszukiwania... 6 Prezentacja wyników... 7 Wycenianie... 9 Wstęp Narzędzie ściśle współpracujące z raportem: Moduł
Bardziej szczegółowoOFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoI. Zakładanie nowego konta użytkownika.
I. Zakładanie nowego konta użytkownika. 1. Należy wybrać przycisk załóż konto na stronie głównej. 2. Następnie wypełnić wszystkie pola formularza rejestracyjnego oraz zaznaczyć akceptację regulaminu w
Bardziej szczegółowo7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
Bardziej szczegółowoMetody analizy funkcji przeżycia
Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy
Bardziej szczegółowoRekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych
Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych PRACA W GODZINACH NADLICZBOWYCH ART. 151 1 K.P. Praca wykonywana ponad obowiązujące pracownika normy czasu pracy, a także praca wykonywana ponad przedłużony
Bardziej szczegółowoZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY
ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 1. ZMIANA GRUPY PRACOWNIKÓW LUB AWANS W przypadku zatrudnienia w danej grupie pracowników (naukowo-dydaktyczni, dydaktyczni, naukowi) przez okres poniżej 1 roku nie dokonuje
Bardziej szczegółowoDotyczy: Odnowa centrum wsi śegiestów poprzez budowę oświetlenia ulicznego wzdłuŝ drogi powiatowej 1517K w śegiestowie
Zp.271.14.2014 Muszyna, dnia 03 kwietnia 2014 r. Miasto i Gmina Uzdrowiskowa Muszyna ul. Rynek 31 33-370 Muszyna Dotyczy: Odnowa centrum wsi śegiestów poprzez budowę oświetlenia ulicznego wzdłuŝ drogi
Bardziej szczegółowoFORUM ZWIĄZKÓW ZAWODOWYCH
L.Dz.FZZ/VI/912/04/01/13 Bydgoszcz, 4 stycznia 2013 r. Szanowny Pan WŁADYSŁAW KOSINIAK - KAMYSZ MINISTER PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ Uwagi Forum Związków Zawodowych do projektu ustawy z dnia 14 grudnia
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 1/11 Spis treści Rozdział 1. Zagadnienie transportowe................... 5 1.1.
Bardziej szczegółowoPrzygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś
Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś Druk: Drukarnia VIVA Copyright by Infornext.pl ISBN: 978-83-61722-03-8 Wydane przez Infornext Sp. z o.o. ul. Okopowa 58/72 01 042 Warszawa www.wieszjak.pl Od
Bardziej szczegółowoBojszowy, dnia 22.02.2010r. Znak sprawy: GZOZ/P1/2010 WYJAŚNIENIE TREŚCI SIWZ
Bojszowy, dnia 22.02.2010r. Znak sprawy: GZOZ/P1/2010 WYJAŚNIENIE TREŚCI SIWZ Dotyczy: przetargu nieograniczonego na Zakup wraz z dostawą i instalacją aparatu USG dla potrzeb Gminnego Zakładu Opieki Zdrowotnej
Bardziej szczegółowoZaproszenie do projektu. Warszawa Lokalnie
Zaproszenie do projektu Warszawa Lokalnie CO WYDARZY SI W SZKOŁACH? 2 Lekcje wychowawcze Na temat możliwo ci, jakie stoją przed mieszańcami a dotyczą podejmowania oddolnych, lokalnych, sąsiedzkich działań.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia graficzne.
Program DrillBook i DrillBook Football Professional składa się z siedmiu modułów: 1. Ćwiczenia graficzne 2. Ćwiczenia tekstowe 3. Wyszukiwarka ćwiczeń 4. Jednostki treningowe 5. Archiwum z jednostkami
Bardziej szczegółowoMateriały szkoleniowe dla partnerów. Prezentacja: FIBARO a system grzewczy.
Materiały szkoleniowe dla partnerów. Prezentacja: FIBARO a system grzewczy. Twój inteligentny system grzewczy Inteligentny system grzewczy to w pełni zautomatyzowany system sterowania i monitoringu ogrzewania
Bardziej szczegółowoPoradnik, jak zamontować kompletny cylinder z głowicą 50, 60, 80ccm.
Poradnik, jak zamontować kompletny cylinder z głowicą 50, 60, 80ccm. Poniższy poradnik przedstawia ogólny zarys montażu głowic i cylindrów w skuterach posiadających silniki 50ccm typu 139QMA/139QMB. Montaż
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoREGULAMIN KOSZTÓW PIŁKARSKIEGO SĄDU POLUBOWNEGO
REGULAMIN KOSZTÓW PIŁKARSKIEGO SĄDU POLUBOWNEGO Na podstawie 17 ust. 4 Regulaminu Piłkarskiego Sądu Polubownego Polskiego Związku Piłki Nożnej, postanawia się co następuje: I POSTANOWIENIA OGÓLNE 1 Niniejszy
Bardziej szczegółowoProjektowanie bazy danych
Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoSZANOWNY INTERESANCIE
SZANOWNY INTERESANCIE Platforma SEKAP umożliwia Użytkownikowi wypełnianie wniosków, formularzy, wysyłanie i przyjmowanie korespondencji elektronicznej oraz komunikowanie się z Urzędem poprzez skrzynkę
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DLA UCZESTNIKÓW ZAWODÓW ZADANIA
INSTRUKCJA DLA UCZESTNIKÓW ZAWODÓW 1. Zawody III stopnia trwają 150 min. 2. Arkusz egzaminacyjny składa się z 2 pytań otwartych o charakterze problemowym, 1 pytania opisowego i 1 mini testu składającego
Bardziej szczegółowoSystemy mikroprocesorowe - projekt
Politechnika Wrocławska Systemy mikroprocesorowe - projekt Modbus master (Linux, Qt) Prowadzący: dr inż. Marek Wnuk Opracował: Artur Papuda Elektronika, ARR IV rok 1. Wstępne założenia projektu Moje zadanie
Bardziej szczegółowoSTRONA GŁÓWNA SPIS TREŚCI. Zarządzanie zawartością stron... 2 Tworzenie nowej strony... 4 Zakładka... 4 Prawa kolumna... 9
STRONA GŁÓWNA SPIS TREŚCI Zarządzanie zawartością stron... 2 Tworzenie nowej strony... 4 Zakładka... 4 Prawa kolumna... 9 1 ZARZĄDZANIE ZAWARTOŚCIĄ STRON Istnieje kilka sposobów na dodanie nowego szablonu
Bardziej szczegółowoJan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
Bardziej szczegółowoTEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna)
SCENARIUSZ ZAJĘĆ Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) Szkoła z klasą 2.0 Zastosowanie technologii informacyjnej
Bardziej szczegółowoZawarta w Warszawie w dniu.. pomiędzy: Filmoteką Narodową z siedzibą przy ul. Puławskiej 61, 00-975 Warszawa, NIP:, REGON:.. reprezentowaną przez:
Załącznik nr 6 Nr postępowania: 30/2010 UMOWA Nr... Zawarta w Warszawie w dniu.. pomiędzy: Filmoteką Narodową z siedzibą przy ul. Puławskiej 61, 00-975 Warszawa, NIP:, REGON:.. reprezentowaną przez:..
Bardziej szczegółowo1. Liczba wszystkich otrzymanych przez Użytkownika graficznych ocen sprzedaży na poziomie minimum 100 punktów.
Regulamin usługi Standard Allegro Artykuł 1. WARUNKI SKORZYSTANIA Z USŁUGI 1.1. Warunkiem skorzystania przez Użytkownika z usługi Standard Allegro jest zaakceptowanie niniejszego Regulaminu oraz spełnienie
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoDokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem
Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test
Bardziej szczegółowoZamawiający potwierdza, że zapis ten należy rozumieć jako przeprowadzenie audytu z usług Inżyniera.
Pytanie nr 1 Bardzo prosimy o wyjaśnienie jak postrzegają Państwo możliwość przeliczenia walut obcych na PLN przez Oferenta, który będzie składał ofertę i chciał mieć pewność, iż spełnia warunki dopuszczające
Bardziej szczegółowoZGADNIJ i SKOJARZ. Gra edukacyjna. Gra dla 2 4 osób od 8 lat
INSTRUKCJA ZGADNIJ i SKOJARZ Gra edukacyjna Gra dla 2 4 osób od 8 lat Zawartość pudełka: 1) karty zagadki - 55 szt. 2) tabliczki z obrazkami - 55 szt. 3) żetony - 4 x po 10 szt. w 4 kolorach 4) instrukcja
Bardziej szczegółowoKratownice Wieża Eiffel a
Kratownice Wieża Eiffel a Kratownica jest to konstrukcja nośna, składająca się z prętów połączonch ze sobą w węzłach. Kratownica może bć: 1) płaska, gd wszstkie pręt leżą w jednej płaszczźnie, 2) przestrzenna,
Bardziej szczegółowoPowiatowy Urząd Pracy w Trzebnicy. w powiecie trzebnickim w 2008 roku Absolwenci w powiecie trzebnickim
Powiatowy Urząd Pracy w Trzebnicy Załącznik do Monitoringu zawodów deficytowych i nadwyżkowych w powiecie trzebnickim w 2008 roku Absolwenci w powiecie trzebnickim Trzebnica, wrzesień 2009 Opracowanie:
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA. na obsługę bankową realizowaną na rzecz Gminy Solec nad Wisłą
SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA na obsługę bankową realizowaną na rzecz Gminy Solec nad Wisłą P r z e t a r g n i e o g r a n i c z o n y (do 60 000 EURO) Zawartość: Informacja ogólna Instrukcja
Bardziej szczegółowoZAPYTANIE OFERTOWE. Nr sprawy 15/2016r.
Załącznik nr 1/1... nazwa i adres wykonawcy... pieczęć zamawiającego...... ZAPYTANIE OFERTOWE Nr sprawy 15/2016r. 1. Towarzystwo Budownictwa Społecznego Sp. z o. o. ogłasza zapytanie ofertowe na wynajem
Bardziej szczegółowoSeria P-662HW-Dx. Bezprzewodowy modem ADSL2+ z routerem. Skrócona instrukcja obsługi
Bezprzewodowy modem ADSL2+ z routerem Skrócona instrukcja obsługi Wersja 3.40 Edycja 1 3/2006 Informacje ogólne Posługując się dołączoną płytą CD lub postępując zgodnie ze wskazówkami w tej Skróconej instrukcji
Bardziej szczegółowoUchwała Nr... Rady Miejskiej Będzina z dnia... 2016 roku
Uchwała Nr... Rady Miejskiej Będzina z dnia... 2016 roku w sprawie określenia trybu powoływania członków oraz organizacji i trybu działania Będzińskiej Rady Działalności Pożytku Publicznego. Na podstawie
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoDwa do nieskończoności DominikKWIETNIAK,Kraków
Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXVIII Szkole Matematyki Poglądowej, Nieskończoność, styczeń 2007, i nagrodzonego Medalem Filca. Rys. 1. Wykres przekształcenia namiotowego T. Rys. 2. Odczytanie
Bardziej szczegółowoSposób demontażu starych,i montażu nowych zawiasów..
Sposób demontażu starych,i montażu nowych zawiasów.. Na przestrzeni ostatniego ćwierćwiecza,w meblach produkowanych w Polsce,z dużym prawdopodobieństwem możemy spotkać się z którymś z przedstawionych na
Bardziej szczegółowoEksperyment,,efekt przełomu roku
Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już
Bardziej szczegółowoWitajcie. Trening metapoznawczy dla osób z depresją (D-MCT) 09/15 Jelinek, Hauschildt, Moritz & Kowalski; ljelinek@uke.de
Witajcie Trening metapoznawczy dla osób z depresją (D-MCT) 09/15 Jelinek, Hauschildt, Moritz & Kowalski; ljelinek@uke.de D-MCT: Pozycja satelity Dzisiejszy temat Pamięć Zachowanie Depresja Postrzeganie
Bardziej szczegółowoUmowa najmu lokalu użytkowego
Umowa najmu lokalu użytkowego Informacje ogólne Umowa najmu Przez umowę najmu lokalu użytkowego wynajmujący zobowiązuje się oddać najemcy lokal o takim przeznaczeniu do używania przez czas oznaczony lub
Bardziej szczegółowoCo zrobić, jeśli uważasz, że decyzja w sprawie zasiłku mieszkaniowego lub zasiłku na podatek lokalny jest niewłaściwa
Polish Co zrobić, jeśli uważasz, że decyzja w sprawie zasiłku mieszkaniowego lub zasiłku na podatek lokalny jest niewłaściwa (What to do if you think the decision about your Housing Benefit or Council
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA Panel administracyjny
INSTRUKCJA Panel administracyjny Konto trenera Spis treści Instrukcje...2 Opisy...3 Lista modułów głównych...3 Moduł szkoleniowy...4 Dodaj propozycję programu szkolenia...4 Modyfikuj arkusz wykładowcy...6
Bardziej szczegółowoSystem zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy
System zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy modelowaniem, a pewien dobrze zdefiniowany sposób jego
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DLA INSPEKTORÓW DS. REJESTRACJI
Katowice, dnia 13 sierpnia 2008r. INSTRUKCJA DLA INSPEKTORÓW DS. REJESTRACJI Wskazane dokumenty w kaŝdym punkcie uwzględniają pełnomocnictwo udzielone przez upowaŝnione osoby. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe będzie
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania
Podstawy programowania Elementy algorytmiki C w środowisku.e (C#) dr inŝ. Grzegorz Zych Copernicanum, pok. 104 lub 206a 1 Minimum programowe reści kształcenia: Pojęcie algorytmu. Podstawowe konstrukcje
Bardziej szczegółowoPodstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r. o podatku dochodowym od osób prawnych (t. j. Dz. U. z 2000r. Nr 54, poz. 654 ze zm.
Rozliczenie podatników podatku dochodowego od osób prawnych uzyskujących przychody ze źródeł, z których dochód jest wolny od podatku oraz z innych źródeł Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r.
Bardziej szczegółowoZałącznik do Uchwały 66 Komitetu Monitorującego PROW 2007-2013 z dnia 16 grudnia 2011 r. Lp. Dotyczy działania Obecny tekst Tekst po zmianie
Załącznik do Uchwały 66 Komitetu Monitorującego PROW 2007-2013 z dnia 16 grudnia 2011 r. Lp. Dotyczy działania Obecny tekst Tekst po zmianie 1. 5.3.4 Oś 4 Leader Poziom wsparcia Usunięcie zapisu. Maksymalny
Bardziej szczegółowoASD - ćwiczenia III. Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych. Nieformalnie o poprawności programów:
ASD - ćwiczenia III Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych Nieformalnie o poprawności programów: poprawność częściowa jeżeli program zakończy działanie dla danych wejściowych spełniających założony
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA WYPEŁNIANIA DEKLARACJI O WYSOKOŚCI OPŁATY ZA GOSPODAROWANIE ODPADAMI KOMUNALNYMI DLA DOMÓW OPIEKI, HOTELI, PENSJONATÓW, SZPITALI itp.
INSTRUKCJA WYPEŁNIANIA DEKLARACJI O WYSOKOŚCI OPŁATY ZA GOSPODAROWANIE ODPADAMI KOMUNALNYMI DLA DOMÓW OPIEKI, HOTELI, PENSJONATÓW, SZPITALI itp. Deklarację należy wypełnić czytelnie na maszynie, komputerze
Bardziej szczegółowoZAPROSZENIE do złoŝenia OFERTY
ZAPO/AZ/11 /03 /2015 Katowice,dnia 3 kwietnia 2015 r ZAPROSZENIE do złoŝenia OFERTY I. ZAMAWIAJĄCY Górnośląskie Przedsiębiorstwo Wodociągów Spółka Akcyjna adres: 40-026 Katowice ul. Wojewódzka 19, zarejestrowane
Bardziej szczegółowoWarunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą
Warunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą 1. 1. Opis Oferty 1.1. Oferta Usługi z ulgą (dalej Oferta ), dostępna będzie w okresie od 16.12.2015 r. do odwołania, jednak nie dłużej niż do dnia 31.03.2016 r.
Bardziej szczegółowoSpecyfikacja techniczna banerów Flash
Specyfikacja techniczna banerów Flash Po stworzeniu własnego banera reklamowego należy dodać kilka elementów umożliwiających integrację z systemem wyświetlającym i śledzącym reklamy na stronie www. Specyfikacje
Bardziej szczegółowoUSTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity)
Dz.U.98.21.94 1998.09.01 zm. Dz.U.98.113.717 art. 5 1999.01.01 zm. Dz.U.98.106.668 art. 31 2000.01.01 zm. Dz.U.99.99.1152 art. 1 2000.04.06 zm. Dz.U.00.19.239 art. 2 2001.01.01 zm. Dz.U.00.43.489 art.
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY
Kod ucznia Liczba punktów: Zad. 1- Zad. 2- Zad. 3- Zad.4- Zad.5- R A Z E M : pkt. WOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2013/2014 STOPIEŃ WOJEWÓDZKI 13. 03. 2014 R. 1. Zestaw
Bardziej szczegółowoOmnec Onec Zbiór tekstów - Część III - List od Wenusjan
Omnec Onec Zbiór tekstów - Część III - List od Wenusjan Venusian Script Collection of Texts Part III - Copyright 2000 by Omnec Onec Zbiór tekstów Part III - Copyright 2000 by Omnec Onec Kopiowanie i rozpowszechnianie
Bardziej szczegółowo