Teoria pola elektromagnetycznego

Transkrypt

1 Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl w temacie wiadomości proszę wpisywać STUDENT TP pokój A310 tel strona www: ks.zut.edu.pl/tp

2 Ćwiczenia: 15 godzin 3 kolokwia na ocenę 0 5, + niezapowiedziane wejściówki na ocenę 0 5, ocena końcowa: średnia ważona ze wszystkich ocen (minimum 2).

3 Laboratoria: 15 godzin 6 wejściówek testy punktowane w skali 0 10, + ewentualnie sprawozdania punktowane w skali od -5 do +5*. nieobecność = 0 punktów z testu Testów nie poprawiamy Ocena końcowa: suma punktów dzielona przez 12. SPRAWOZDANIA przesyłane przez SIWE: - w terminie do 7 dni od ćwiczenia, - w pliku PDF, 1 sprawozdanie na grupę laboratoryjną. *punkty otrzymuje student, który sprawozdanie wykonał (0 5 p) i ewentualnie student, który je sprawdził (od -5 do +5).

4 Równania elektromagnetyzmu w polu elektrostatycznym rot E=0 div D= E= grad V D=ε E ε =ε ε 0 r - równania Maxwella w elektrostatyce E wektor natężenia pola elektrycznego D wektor indukcji pola elektrycznego V potencjał pola elektrycznego (skalar) - przenikalność dielektryczna środowiska ε 0 =8, F m - przenikalność dielektryczna próżni Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 4

5 Równania elektromagnetyzmu w polu elektrostatycznym rot E=0 div D= E= grad V w zapisie z operatorem nabla: E=0 D= E= V operator nabla symboliczny wektor, wyrażany w kartezjańskim układzie współrzędnych: = x, y, lub: z = x 1 x + y 1 y + z 1 z Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 5

6 GRADIENT E= V GRADIENT - operator różniczkowy, który polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe. Pole to ma kierunek i zwrot największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna do szybkości wzrostu funkcji. SKALAR WEKTOR W układzie współrzędnych kartezjańskich: grad V = V =[ V x 1 x V y 1 y V z 1 z ] Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 6

7 GRADIENT w układzie współrzędnych kartezjańskich Zadanie 1 W układzie współrzędnych kartezjańskich potencjał elektryczny wyrażony jest wzorem: V(x,y,z) = 5x 2 3y 2. Oblicz natężenie pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych (4,2,5). E= grad V grad V = V =[ V x 1 x V y 1 y V z 1 z ] E= 10 x 1 x 3 1 y 0 1 z = 40 1 x 3 1 y Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 7

8 GRADIENT w układzie współrzędnych kartezjańskich Zadanie 2 W układzie współrzędnych kartezjańskich potencjał elektryczny wyrażony jest wzorem: V(x,y,z) = 4x 2 2y 3 sin(πz). Oblicz natężenie pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych (1,2,3). E= grad V grad V = V =[ V x 1 x V y 1 y V z 1 z ] E= 8 x 1 x 6 y 2 1 y cos z 1 z E= 8 1 x 24 1 y 1 z Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 8

9 GRADIENT w układzie współrzędnych kartezjańskich Zadanie 3 W układzie współrzędnych kartezjańskich potencjał elektryczny wyrażony jest wzorem: V(x,y,z) = cos(1.75πx 2 ) y 2z. Oblicz natężenie pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych (0.5, 1, 1). E= grad V grad V = V =[ V x 1 x V y 1 y V z 1 z ] Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 9

10 GRADIENT w układach współrzędnych: walcowym r,φ,z oraz sferycznym r,θ,φ w układzie współrzędnych walcowym r,φ,z grad V = V = V r 1 r 1 r V 1 V z 1 z w układzie współrzędnych sferycznym r,θ,φ grad V = V = V r 1 r 1 r V 1 1 r sin V 1 Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 10

11 DYWERGENCJA D=ρ div D= D = Dywergencja operator różniczkowy, który danemu polu wektorowemu przypisuje pole skalarne. Jeżeli polem wektorowym jest pole prędkości płynięcia nieściśliwego płynu, to dywergencja większa od zera oznacza, że w tym punkcie do układu ciecz dopływa (tu jest jej źródło), jeśli zaś mniejsza od zera, to tu następuje jej odpływ (ma tu swoje ujście). Gdy dywergencja jest równa zeru, to w danym punkcie nie ma ani dopływu, ani odpływu albo oba są sobie równe. Pole wektorowe o zerowej dywergencji nazywamy bezźródłowym. WEKTOR SKALAR Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 11

12 DYWERGENCJA w układzie współrzędnych kartezjańskich div D= D= D x x D y y D z z Zadanie 1 Dana jest indukcja elektryczna. Oblicz objętościową gęstość ładunku w punkcie (1,1,1). D= 3x 2 2y z 3 1 x 5x 3 sin y 3z 2 1 y x tg y 2z 1 z = div D = 6x cos y 2 = 6 0,54 2 = 4,54C /m 3 Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 12

13 DYWERGENCJA w układzie współrzędnych kartezjańskich div D= D= D x x D y y D z z Zadanie 2 Dana jest indukcja elektryczna. Oblicz objętościową gęstość ładunku w punkcie (2,3,0). D= 3x 2 2y z 3 1 x 5x 3 cos y 3z 1 y x sin y 2z 5 1 z = div D = 12xy sin y 3z 2x sin y = 72 0,56 = 72,56C /m 3 Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 13

14 ROTACJA E=0 ROTACJA - operator różniczkowy, który jednemu polu wektorowemu przyporządkowuje inne pole wektorowe. Pole wynikowe ma kierunek prostopadły do danego pola w danym punkcie (przykład: wektor gęstości prądu i wektor natężenia pola magnetycznego). WEKTOR WEKTOR W układzie współrzędnych kartezjańskich: rot H = H z y H y z 1 x H x z H z x 1 y H y x H x y 1 z Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 14

15 ROTACJA ROTACJA w literaturze angielskojęzycznej czasami określana jest słowem rotation, ale najczęściej występuje jako curl (również w równaniach). WEKTOR WEKTOR W układzie współrzędnych kartezjańskich: rot H = H z y H y z 1 x H x z H z x 1 y H y x H x y 1 z Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 15

16 ROTACJA W układzie współrzędnych cylindrycznych (walcowych): rot H = 1 r A z A 1 z A r r z A z 1 r 1 r A A r 1 r r z W układzie współrzędnych sferycznych: rot H = 1 r sin A sin A 1 r 1 r 1 sin A r r r A 1 1 r r r A A r 1 Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 16

17 ELEKTROSTATYKA Pojedynczy, nieruchomy, odosobniony ładunek elektryczny div D= w postaci całkowej: S D ds=q S powierzchnia zamknięta, wewnątrz której znajduje się ładunek q Φ D = D ds strumień indukcji elektrycznej Prawo Gaussa S +q r ds D S E ds= q ε Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 17 Carl Friedrich Gauss sformułował to prawo już w roku 1835, a opublikował w 1867.

18 ELEKTROSTATYKA Pojedynczy, nieruchomy, odosobniony ładunek elektryczny div D= w postaci całkowej: S D ds=q S powierzchnia zamknięta, wewnątrz której znajduje się ładunek q D S ds=q S +q r ds D D 4 π r 2 =q 1 r D= q 4 π r 2 1 r Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 18

19 ELEKTROSTATYKA Pojedynczy, nieruchomy, odosobniony ładunek elektryczny D= E E= grad V V = q 4 r S +q r ds E D E= D= q 4 r 2 1 r q 4 π r 2 1 r Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 19

20 ELEKTROSTATYKA Dwa nieruchome ładunki elektryczne D, E D= D 1 D 2 D 2, E 2 E= E 1 E 2 F 21 S 1 +q1 r 1 D 1, E 1 d +q 2 r 2 V =V 1 V 2 F = F 21 = F 12 F =q 2 E 1 = q 1 E 2 S 2 F 12 F = q 1 q 2 4 d 2 1 d Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 20

21 Równania elektromagnetyzmu w polu elektrostatycznym rot E=0 div D= E= grad V D=ε E ε =ε ε 0 r S S E ds= q ε D ds=q F =q 2 E 1 F = q 1 q 2 4 d 2 1 d V = E= D= q 4 r q 4 r 2 1 r q 4 π r 2 1 r grad V = V =[ V x 1 x V y 1 y V z 1 z ] Elektrotechnika, Teoria pola elektromagnetycznego 21