PORZĄDKI GENEROWANE KRZYWĄ LORENZA
|
|
|
- Michalina Bednarek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 M A T H E M A T I C A L E C O N O M I C S No. 3 () 6 (Wrocław) PORZĄDKI GENEROWANE KRZYWĄ LORENZA Abstract. O a set of distributios (desities) of earigs it is possible to itroduce sequece geerated with curves ad geeralied Lore curves. If (geeralied) Lore curve of the first distributio is over the Lore curve of the secod distributio, the we say that the first distributio domiates secod. Whe the curves itersect, they are ocomparable. It proves that these sequeces are equivalet to relatios arragig distributios i respect of the iequality of distributios of earigs, well-beigs ad the poverty. Key words: Lore curve, geeralied Lore curve, iequality of a distributio, well- -beig, poverty.. Wstęp Dae są rokłady dochodów dwóch społecości lub jedej, ale w dwóch różych okresach. Mając te dwa wektory dochodów x = (x,..., x ) ora y = (y,..., y ) chcemy uyskać odpowiedi a astępujące pytaia: a) w której populacji jest więksa ierówomierość rodiału dochodów? b) w której populacji jest więksy dobrobyt? c) w której populacji jest miejse ubóstwo? Pokażemy, że a te try pytaia moża odpowiedieć, wykorystując porądek geeroway pre krywe Lorea.. Krywa Lorea Załóżmy, że wektor dochodów x = (x,..., x ) jest realiacją mieej losowej X o rokładie i jest uporądkoway iemalejąco: x x... x. Empirycą krywą Lorea geerują pukty, których pierwsymi współrędymi są licby i/, gdie i =,,..., ; ustaloa licba, a drugie współręde są defiiowae astępująco: i si L () = i L =, gdie s s i = x + x x i.
2 6 Krywa Lorea L(p) jest defiiowaa dla wsystkich puktów p (, ) popre liiową iterpolację. L(p) repreetuje p-tą frakcję ajmiejsymi wartościami (p. ajmiejsymi dochodami). Załóżmy, że roważae licby x i są próbką losową rokładu (x), który jest fukcją ściśle rosącą, < (x) <, ora że średia µ rokładu (x) istieje. Pierwse ałożeie implikuje, że (p) jest dobre defiiowae i jest to populacja p-tego kwatylu. Teoretyca krywa Lorea odpowiadająca temu rokładowi jest defiiowaa astępująco: p ( ) µ ( ). L p = t dt () W tabeli mamy krywe Lorea geerowae pre pewe ae rokłady (por. J. Gastwirth (97)). Jedostajy Tabela. Krywe Lorea geerowae pre rokłady Rokład Dystrybuata Krywa Lorea, ( x) =, x < µ x µ L( p) = p Wykładicy ( x) = e λx, x > p + ( p) l( p) Presuięty wykładicy ( x) Pareta ( x) ( ) ( x a ) = e λ, x > a = a x, x > a, > p + + λa p p ( ) ( ) l( ) ( p) a ( ) Źródło: J. Gastwirth (97). Jeśli L(p) jest krywą Lorea odpowiadającą rokładowi (x), to L(p) jest wypukła i jej pochoda L ( p) = dla p = ( µ ). 3. Nierówomierość rodiału dochodów Najbardiej aym mierikiem ierówości dochodów jest ideks Giiego (ay także pod awą współcyika kocetracji Lorea). Ideks Giiego G jest rówy podwojoemu polu kocetracji (S). Alteratywy wór dla ideksu Giiego G jest oparty a średiej różicy ( ) odpowiadającej rokładowi (x): G =, µ
3 Porądki geerowae krywą Lorea 7 gdie [ ] [ ] = x y d( x) d( y) = ( x) ( x) dx = 4 x ( x) d( x). S krywa Lorea akreskowaa powierchia aywa się polem kocetracji S Rys.. Geometryca iterpretacja ideksu Giiego Wór G = µ pokauje, że ideks Giiego miery relatywą ierówość jako stosuek miary roproseia średiej różicy do wartości średiej (µ). Pokażemy rówoważość tych dwu defiicji współcyika Giiego. j= x i y j j =, j= j j= j = = +, j= j= j j= x x = x ( + ) x x = 4 x ( + ) x, i j i i i i i j= j= j j= j= j x j j= G = ( + ) j = i i j = =.
4 8 Poieważ L k = k stąd i G L. Jeśli S jest polem kocetracji, to ( ) G = S + = S + = S. Współcyik Giiego jest relatywym ideksem ierówości mierącym skale proporcji dochodów, a ie efektywą miarę ierówości. Krywa Lorea ie miei się, jeżeli wektor dochodów pomożymy pre dowolą dodatią licbę recywistą. Ideks Giiego ma jedak ważą własość: jeżeli robimy trasfer od osoby bogatsej do biediejsej, to ideks się miejsy i a odwrót. Zatem możemy powiedieć, że współcyik Giiego jest ideksem relatywej ierówości. Załóżmy, że mamy krywe Lorea dla różych populacji A i B. Będiemy mówić, że rokład populacji A domiuje ad rokładem populacji B w sesie Lorea LA ( x) LB( x) krywa Lorea dla populacji A jest ad krywą Lorea dla populacji B (jeżeli się preciają, to są ieporówywale). Łatwo auważyć, że jeżeli rokład populacji A domiuje ad rokładem populacji B w sesie Lorea, to pole kocetracji dla A jest miejse iż pole kocetracji dla B i tym samym w A jest miejsa ierówomierość rokładu dochodów iż w B. Zatem a biore wektorów (rokładów) dochodów porądek domiacji w sesie Lorea jest w pewie sposób rówoważy porądkiem ierówomierości rokładu dochodów. y y 4. Dobrobyt Okauje się, że porądek domiacji w sesie Lorea pokrywa się porądkiem dobrobytu. Wiadomo, że współcyik Giiego i krywa Lorea są miarami wględymi (t. iecułymi a prekstałceia jedorode dodatie). Zatem porówywaie a ich pomocą poiomu dobrobytu różych populacji może doprowadić do mylych wiosków. Cy moża poprawić i i,
5 Porądki geerowae krywą Lorea 9 te miary, aby móc imi mieryć dobrobyt populacji (lub porówywać dobrobyty różych populacji)? Jeżeli U(x) jest użytecością dochodu x, a f(x) jest gęstością rokładu dochodów, to średią użytecość dochodu oblica się e woru: SW = U( x) f ( x) dx. () Cęsto iterpretuje się ją jako dobrobyt społecy populacji o rokładie dochodów f(x). Twierdeie Atkisoa (A.B. Atkiso (97)). Niech (x) i G(x) będą dystrybuatami rokładów dochodów o takich samych dochodach preciętych µ = µ G. Wtedy L ( p) LG ( p) U ( x) f ( x) dx U ( x) g( x) dx (3) dla każdej U(x) takiej, że U(x) rośie wklęśle ( U ( x) > i U ( x) < ). Cyli dobrobyt populacji A (o dystrybuacie dochodów (x)) jest ie miejsy iż dobrobyt populacji B (pry takich samych dochodach preciętych) wtedy i tylko wtedy, gdy rokład populacji A domiuje w sesie Lorea ad rokładem populacji B. Twierdeie Atkisoa uogólił A.. Shorrocks (983), wprowadając uogólioą krywą Lorea GL(x): GL( x) = µ L( x), (4) gdie L(x) jest krywą Lorea, µ jest dochodem preciętym. Twierdeie Shorrocksa. Niech (x) i G(x) będą dystrybuatami rokładów dochodów ( f(x) i g(x) odpowiedio do ich gęstości). Wówcas GL ( p) GLG ( p) U ( x) f ( x) dx U ( x) g( x) dx (5) dla wsystkich U(x), takich że U ( x) > i U ( x) <, ora dla każdego p [, ]. Cyli dobrobyt populacji A (o dystrybuacie dochodów (x)) jest ie miejsy iż dobrobyt populacji B wtedy i tylko wtedy, gdy rokład populacji A domiuje w sesie uogólioych krywych Lorea ad rokładem populacji B.
6 3 Uogólioa krywa Lorea dla populacji o rokładie jest defiiowaa astępująco: p ( ; ) ( ) GL p = q dq, dla p [, ] (6) i stowarysoy ią cęściowy porądek GL jest defiioway astępująco: GLG GL( ; p) GL( G; p), p [, ] ora (7) GL( ; p) > GL( G; p) dla pewego p [, ]. A.K. Se (973) wyprowadił astępującą miarę dobrobytu: IS = µ ( G ). Moża łatwo pokaać, że porądek uogólioych krywych Lorea implikuje porądek według miary dobrobytu Sea. GLG GL ( p) dp GL ( p) dp µ L ( p) dp µ L ( p) dp G G G S S µ µ G µ ( G ) µ G( GG ) IS ISG, gdie S jest polem pod krywą Lorea dla, a S jest polem pod krywą Lorea dla G. W drugą stroę implikacja jest ieprawdiwa, poieważ porądek uogólioych krywych Lorea jest porądkiem cęściowym, a porądek według miary dobrobytu Sea jest porądkiem liowym. 5. Ubóstwo Kotyuacją tego podejścia jest praca J.E. ostera i A.. Shorrocksa (988). W tej pracy rokłady dochodów są repreetowae pre dystrybuaty e bioru: = { : R+ [,] : iemalejąca i prawostroie ciągła; ( ) = i ( s ) = dla pewego s < }, µ = sd(s)
7 Porądki geerowae krywą Lorea 3 ora ( p) = if { s : ( s) p}, p [, ]. Ideks ubóstwa jest fukcją P: R+ R, której wartości P(; ) są stowarysoe dystrybuatą pry ustaloej liii ubóstwa. Prykłady:. P ( ; ) = ( ) jest to procet ubogich. W prypadku dyskretym P = m/, gdie oaca moc całej populacji, m moc populacji ubogich.. Luka dochodów ubogich ( ) ( ; ) = ( ). P p dp P = 3. Ideks typu ostera: ( ) [ ( p ] m. (8) m P 3 ( ; ) = ) dp. P 3 = ( ). (9) 4. Uogólieie ideksu P 3 [ ( p ] ( ) ) P ( ; ) = dp,, P który awiera P, P i P 3. m = ( ), () Na biore określa się relację porądku, którą określa się symbolem P(), gdie jest ustaloe i Z. Z oaca pewie ustaloy prediał możliwych progów ubóstwa (a prykład od miimum biologicego, do 6% średich wydatków w daej populacji). Relacja ta jest defiiowaa astępująco (por. J.E. oster, A.. Shorrocks (988)): ora P( ) G P( ; ) P( G; ), Z () P( ; ) < P( G; ) dla pewego Z. Zapis P ( ) G oaca, że populacja dystrybuatą dochodów ma miejse ubóstwo iż populacja dystrybuatą dochodów G e wględu a ideks ubóstwa P i biór liii ubóstwa Z.
8 3 Dla daego iech = ora będie defiiowae rekurecyjie dla s () ( s) = ( t) dt i ( s) = ( s). Wówcas możemy defiiować relację domiacji stochastycej D stopia dla N astępująco: D G ( s) G ( s) dla wsystkich s > ora (3) ( s) < G ( s) dla pewego s >. Zauważmy, że P ( ; ) = ( y) d( y). (4) Całkując pre cęści prawą stroę, otrymamy: skąd mamy wiosek. ( y) d( y) = ( )! ( ), (5) Wiosek. Dla dowolego N Zauważmy też, że jeśli β, to P G D G. (6) P G P G. β Odpowiediość międy porądkami ubóstwa P i domiacjami stochastycymi D daje możliwość otrymaia iteresującej iterpretacji P w termiach fukcji dobrobytu społecego. Załóżmy, że U jest klasą fukcji dobrobytu postaci U ( ) = u( x) d( x), gdie u: R+ R jest fukcją ciągłą. Niech U U będie klasą tych fukcji, dla których u ( x) > i U U klasą tych fukcji, dla których u < i U3 U takich fukcji, że u >.
9 Porądki geerowae krywą Lorea 33 Dla =,, 3 U będą cęściowymi porądkami defiiowaymi astępująco: U G U ( ) > U ( G) dla wsystkich U U. (7) Wykorystując ay wyik domiacji stochastycych (V.S. Bawa (975)), otrymamy wiosek. Wiosek. Dla =,, 3 P G U G. Zatem stwierdeie, że w społecości o dystrybuacie dochodów jest miejse ubóstwo iż w społecości o dystrybuacie dochodów G dla P jest rówoważe stwierdeiu, że w społecości o dystrybuacie dochodów jest lepsy dobrobyt iż w społecości o dystrybuacie dochodów G dla wsystkich fukcji dobrobytu U. Moża pokaać stwierdeie bardiej ogóle, a miaowicie, że porądek domiacji stochastycych implikuje porądek ubóstwa. Wiosek 3. Jeżeli rokład domiuje ad rokładem G (3), to ubóstwo w populacji o rokładie dochodów jest miejse iż ubóstwo w populacji o rokładie dochodów G. Niech Φ : R+ R będie fukcją malejącą, taką że ora Wtedy Φ () = Φ ( ) = (() = ). ( ) ( t) d( t) ( t) ( t) ( t) d ( t) ( t) d ( ( t) ). (8) Φ = Φ = Φ Φ = Φ Stąd P(G, ) P(, ) = Φ( G) Φ ( ) = ( G( t) ( t) ) d ( Φ( t) ) dt, (9) gdyż pryrosty iemalejącej fukcji Φ ( t) wyacają miarę dodatią i ałożeia G ( D G ). Zatem, korystając twierdeia Bawy, mamy, że porądek dobrobytu implikuje porądek ubóstwa.
10 34 Literatura A.B. Atkiso (97). O the measurmet of iequality. Joural of Ecoomic Theory. Vol.. V.S. Bawa (975). Optimal rules for orderig ucertai prospects. Joural of iacial Ecoomics. Vol.. M. Bieracki (998). Problemy pomiaru ubóstwa. Praca doktorska. AE. Wrocław. J.E. oster, A.. Shorrocks (988). Poverty Orderigs. Ecoometrica. Vol. 56. L. Gastwirth (97). The estimatio of the Lore curve ad Gii idex. The Review of Ecoomics ad Statistics 63. Vol. 3. A.K. Se (973). O Igorace ad equal distributio. America Ecoomic Review. Vol. 63. A.. Shorrocks (983). Rakig Icome Distributios. Ecoomica. Vol. 5.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
III. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3
Programowaie dyamice i modele rekurecyje w ekoomii Wykład 3 Michał Ramsa sierpia 0 Stresceie Wykład treci bauje główie a [, ro 7] i dotycy wykorystaia fukcji tworacych do rowiaywaia rekurecji Materiał
Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Twierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
PRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu.
CPS 6/7 PREKSTAŁCENIE ET Defiicja rekstałceia Prekstałceie ET jest w diediie casu dyskretego odowiedikiem ciągłego rekstałceia Lalace a w diediie casu ciągłego. Podamy dwie rówoważe defiicje rekstałceia
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Wioskowaie statystyce - estymacja treść Próba - repreetatywość próby - schematy losowaia Rokłady próby Estymacja statystyca - puktowa, prediałowa, wyacaie licebości próby Obserwacja
Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
c 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ
LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Ćiceie 0 BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SRĘŻYNY ŚRUBOWEJ 0.. Wproadeie Sprężyy, elemety sprężyste mają bardo różorode astosoaie ielu kostrukcjach mechaicych. Wykorystuje się je
O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Lista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Ekonomia matematyczna - 2.1
Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway
+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
MACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
1. ALGEBRA Liczby zespolone
ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych)
ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Estymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
ANALIZA PORÓWNAWCZA DOBROBYTU EKONOMICZNEGO GOSPODARSTW DOMOWYCH OSÓB MŁODSZYCH I STARSZYCH
Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN 2083-86 Nr 242 205 Ekoomia 3 Aa Sączewska-Piotrowska Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Ekoomii Katedra Metod Statystyczo-Matematyczych
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Twierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Metoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
ZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Analiza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Układy liniowosprężyste Clapeyrona
Układy liiowosprężyste Clapeyroa Liiowosprężysty układ Clapeyroa zbiór połączoych ze sobą ciał odkształcalych, w których przemieszczeia są liiowymi fukcjami sił Układ rzeczywisty może być traktoway jako
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Ekonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
n n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 4. nazwa c.d. funktor operator
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa WYKŁAD 4 awa c.d. fuktor operator 1 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Stosuki międy akresami aw 0. Podstawowe pojęcia algebry biorów (dystrybutywych) (prypomieie)
Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE
P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Metody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne
Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
8 Weryfikacja hipotez statystycznych
Marek Beśka, Statystyka matematycza, wykład 8 04 8 Weryfikacja hipotez statystyczych 8. Hipotezy statystycze Drugą obok estymacji formą wioskowaia statystyczego jest weryfikacja hipotez statystyczych.
Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są