Obliczenia Symboliczne

Transkrypt

1 Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych na wyrażeniach ogólnych. Obliczenia Symboliczne możemy realizować na trzy sposoby: - Zaznaczając w wyrażeniu odpowiednią zmienną względem, której mamy przeprowadzić obliczenia symboliczne, a następnie wybierając z menu Symbolics odpowiednią opcję; - Wybierając z menu paska narzędziowego przycisk Symbolics Keyword Toolbar, a następnie odpowiednią funkcję z otwartego okienka i wpisując w miejsce znaczników wymagane informacje; - Za wyrażeniem, które chcemy poddać symbolicznym obliczeniom stawiany symboliczny znak równości {ctrl}. (kropka), jako polecenie obliczeń symbolicznych. Symboliczny znak równości stosujemy do wyrażeń, które chcemy symbolicznie przekształcić/rozwiązać F () := 3 k = 0 3! k k! ( 3 k)! 3k Wartości funkcji F() obliczyć można dla różnych punktów: F = 64 F( 4) = 8 Można też dokonać symbolicznej transformacji w celu uzyskania prostszego wyrażenia. Korzystamy z symbolicznego znaku równości. W tym celu piszemy F(){ctrl}{kropka} F () F ( a) 8 a 6( a) ( a) 3 Chcemy znaleźć pierwiastki równania kwadratowego korzystając z menu Symbolics.. Piszemy równanie;. Obejmujemy polem wyboru zmienną względem, której szukamy rozwiązania; 3. Z menu Symbolics wybieramy opcję Variable Solve; 4. Pod rozwiązywanym równaniem podane zostanie rozwiązanie. a b c ( a ) ( a ) ( b b 4a c) ( b b 4a c) Korzystamy z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar. Piszemy równanie, które chcemy rozwiązać;. Z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar wybieramy funkcję Solve; 3. W miejsce znacznika wpisujemy nazwę zmiennej względem, której rozwiązujemy równanie. a b c solve, a b b 4a c a b b 4a c

2 Lekcja Strona z Stosując obliczenia symboliczne można: - różniczkować, - całkować, - liczyć granice, - rozwiązywać równania i układy równań, - rozwijać wyrażenia w szeregi, - upraszczać wyrażenia, - rozkładać na czynniki i ułamki proste, - przeprowadzać operacje na macierzach, - obliczać transformaty Fouriera, Laplace i z, oraz odpowiednie transformaty odwrotne. Obliczenia symboliczne prowadzić można na praktycznie wszystkich operatorach. Sposób postępowania w każdym takim zastosowaniu jest bardzo podobny - stosujemy symboliczny znak równości. b d a 3 b3 3 a3 n i = i ( 3 n )3 ( n ) 6 n 6 0 k = k y sin sin z y z y y W obliczeniach symbolicznych MathCad różnie traktuje liczby bez kropki dziesiętnej oraz z kropką dziesiętną. Jeżeli zastosujemy w wyrażeniach liczby z kropką dziesiętną, to MathCad rezultaty obliczeń symbolicznych będzie podawał w formie zmiennoprzecinkowej z maksymalną liczbą cyfr po przecinku. Jeśli natomiast użyjemy liczb bez kropki dziesiętnej, to MathCad poda wynik ścisły (o ile taki istnieje). Liczba z kropką dziesiętną. Wynik podany jako liczba zmiennoprzecinkowa Liczba całkowita. MathCad podaje wynik ścisły Liczba z kropką dziesiętną. Wynik podany jako liczba zmiennoprzecinkowa 7.0 simplify simplify simplify Liczba całkowita. MathCad podaje wynik ścisły 3 47 simplify Liczba z kropką dziesiętną. Wynik podany jako liczba zmiennoprzecinkowa Liczba całkowita. MathCad podaje wynik ścisły asin(. ) simplify asin simplify π

3 Lekcja Strona 3 z Algebraiczne przekształcanie wzorów Upraszczanie wyrażeń MathCad pozwala na uproszczenie wybranego wyrażenia matematycznego. W tym celu wykonuje działania arytmetyczne: dzieli przez wspólne czynniki, korzysta z tożsamości trygonometrycznych, upraszcza pierwiastki i potęgi. Uproszczenia możemy dokonać wybierając do zaznaczonego wyrażenia z menu Symbolics Simplify, lub z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar operator simplify i wpisując w miejsce znacznika upraszczane wyrażenie simplify 3 4 sin() cos() simplify e lna simplify a 3i 3 ( i) simplify 5 i Wprowadzamy i jako zmienną zespoloną simplify ale simplify Zastępowanie jednej zmiennej w wyrażeniu innym wyrażeniem Korzystamy z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar. wybieramy operator substitute,. w miejsce znacznika po lewej stronie słowa substitute piszemy wyrażenie, które chcemy przekształcić, 3. po prawej stronie słowa substitute w miejsce znacznika po lewej stronie boolońskiego znaku równości wpisujemy zmienną, którą chcemy zastąpić, 4. po prawej stronie znaku równości piszemy wyrażenie, które chcemy podstawić. substitute, y a y a W miejsce podstawiamy y-a ( y a) 3a substitute, z z 3a z z Rozwijanie wyrażeń Korzystamy z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar. wybieramy operator epand,. w miejsce znacznika po lewej stronie słowa epand piszemy wyrażenie, które chcemy rozwinąć 3. w miejsce znacznika po prawej stronie słowa epand wpisać nazwę zmiennej względem, której rozwijamy wyrażenie. ( y) 4 epand, y 6 y 4 y 3 y 4 cos( 5) epand, 6cos() 5 0cos() 3 5cos()

4 Lekcja Strona 4 z Różniczkowanie wyrażeń Z menu Symbolics opcja Variable Differentiate: - piszemy wyrażenie, które chcemy zróżniczkować, - zaznaczamy kursorem zmienną względem, której chcemy policzyć pochodną, - z menu Symbolics wybieramy opcję Variable Differentiate, - MathCad pod wyrażeniem wypisze jego pochodną względem zaznaczonej zmiennej. Stosując operator różniczkowania w wyrażeniu oraz z menu Symbolics opcja Evaluate Symbolically: - piszemy wyrażenie zawierające operator różniczkowania, - obejmujemy polem wyboru wyrażenie, - z menu Symbolics wybieramy Evaluate Symbolically lub stosując skrót klawiszowy {shift}f9, - MathCad pod wyrażeniem wypisze jego pochodną. Stosując operator różniczkowania i symboliczny znak równości: - piszemy wyrażenie zawierające operator różniczkowania, - wprowadzamy symboliczny znak równości z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar lub skrótem klawiszowym {ctrl}., - za symbolicznym znakiem równości MathCad wypisze pochodną. Stosując z menu Symbolics opcję Variable Differentiate Różniczkowane wyrażenie: Obliczona pochodna względem zmiennej : ( 4) Różniczkowane wyrażenie: sin( α ) Obliczona pochodna względem zmiennej : cos α α sin( α ) sin α ( ) Stosując operator różniczkowania i symboliczny znak równości d tan() tan() tan() d d zatan() z dz z z z d 4 d 4 d d cosh() cosh() cosh() sinh()

5 Lekcja Strona 5 z Całkowanie wyrażeń Z menu Symbolics opcja Variable Integrate: - piszemy wyrażenie, które chcemy całkować, - zaznaczamy kursorem zmienną względem, której chcemy policzyć całkę, - z menu Symbolics wybieramy opcję Variable Integrate, - MathCad pod wyrażeniem wypisze jego całkę względem zaznaczonej zmiennej. Stosując operator całkowania w wyrażeniu oraz z menu Symbolics opcję Evaluate Symbolically: - piszemy wyrażenie zawierające operator całkowania, - obejmujemy polem wyboru wyrażenie, - z menu Symbolics wybieramy opcję Evaluate Symbolically lub stosując skrót klawiszowy {shift}f9, - MathCad pod wyrażeniem wypisze jego całkę. Stosując operator całkowania i symboliczny znak równości: - piszemy wyrażenie zawierające operator całkowania, - wprowadzamy symboliczny znak równości z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar lub skrótem klawiszowym {ctrl}., - za symbolicznym znakiem równości MathCad wypisze całkę. Stosując operator całkowania obliczać można zarówno całki nieoznaczone jak i oznaczone. W przypadku całek nieoznaczonych w pewnych przypadkach można stosować granice niewłaściwe. Korzystamy z menu Symbolics opcja Variable Integrate Całkowane wyrażenie: 3 Obliczona całka względem zmiennej : 4 4 Stosując operator całkowania i symboliczny znak równości 3 d 4 4 a d 3 a 3 e d π erf() e d ep() ep() ep() C 3 d 4 C4 4 a d b ln b a atan b b 0 e d π ale 0 e.0 d

6 Lekcja Strona 6 z Obliczanie granic Obliczanie granicy korzystając z operatora granicy wprowadzonego z menu paska narzędziowego Calculus Toolbar oraz symbolicznego znaku równości: - wybieramy z menu paska narzędziowego Calculus Toolbar operator obliczania granicy, - wpisujemy w miejsce znaczników pod symbolem lim nazwę zmiennej względem, której szukamy granicy oraz granicę, do której ta zmienna dąży, - za symbolem lim wpisujemy wyrażeni, dla którego szukamy granicy, - wprowadzamy symboliczny znak równości. Stosując operator granicy wprowadzony z menu paska narzędziowego Calculus Toolbar oraz z menu Symbolics opcja Evaluate Symbolically: - piszemy wyrażenie zawierające operator granicy, - obejmujemy polem wyboru wyrażenie, - z menu Symbolics wybieramy Evaluate Symbolically lub stosując skrót klawiszowy {shift}f9, - MathCad pod wyrażeniem wypisze jego granicę z wyrażenia. MathCad pozwala na obliczanie granic zarówno dwustronnych jak też prawo i lewo stronną. lim Granica w nieskończoności. Symbol nieskończoności wprowadzamy z menu pas narzędziowego Calculus Toolbar lub skrótem klawiszowym {ctrl}z lim a 3 b 3a b a Granica prawostronna lim 0 sin() Granica lewostronna

7 Lekcja Strona 7 z Rozwijanie w szereg. Z menu Symbolics opcja Variable - Epand to Series: - piszemy wyrażenie, - zaznaczamy kursorem zmienną względem, której chcemy rozwinąć wyrażenie w szereg, - wybieramy z menu Symbolics opcję Variable - Epand to Series - MathCad pyta o liczbę członów w wynikowym szeregu, - MathCad pod wyrażeniem podaje jego rozwinięcie w szereg.. Z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar: - piszemy wyrażenie, - jeżeli chcemy rozwinąć wyrażenie potęgowe to wybieramy z menu paska narzędzi Symbolics Keyword Toolbar operator epand, - w miejscu znacznika wpisujemy zmienną względem, której rozwijamy wyrażenie; - Jeżeli chcemy rozwinąć wyrażenie w szereg to z menu paska narzędzi Symbolics Keyword Toolbar wybieramy operator series, - w miejscu pierwszego znacznika po prawej stronie słowa series wpisujemy zmienną względem, której rozwijamy wyrażenie, w miejsce drugiego znacznika po prawej stronie słowa series wpisujemy liczbę członów w rozwinięciu. Korzystamy z menu Symbolics opcja Variable - Epand to Series ( 4) 4 e O 6 Korzystamy z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar ( 4) 4 epand, e series,,

8 Lekcja Strona 8 z Symboliczne rozwiązywanie równań i układów równań. Z menu Symbolics opcja Variable Solve: - piszemy wyrażenie, - zaznaczamy kursorem zmienną względem, której chcemy rozwiązać równanie, - wybieramy z menu Symbolics opcję Variable - Solve, - MathCad pod wyrażeniem zapisze poszukiwane rozwiązanie.. Z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar: - piszemy wyrażenie, - wybieramy z menu paska narzędzi Symbolics Keyword Toolbar operator solve, - w miejscu znacznika wpisujemy zmienną względem, której szukamy rozwiązania. 3. Funkcja root z symbolicznym znakiem równości. 4. Blok Given - Find z symbolicznym znakiem równości. UWAGA! Metody symboliczne pozwalają na rozwiązywanie nierówności. Korzystamy z menu Symbolics opcja Variable Solve i i Korzystamy z menu paska narzędziowego Symbolics Keyword Toolbar solve, root, solve, i3 i3 sin() 3 tan() solve, 0 atan atan > 0 solve, ( < ) ( < ) 5 < α f f β e α solve, f ( ep( α) β ) α ep α solve, i i i i

9 Lekcja Strona 9 z Korzystamy z funkcji root z symbolicznym znakiem równości root, rootsin() 3 tan(), i Korzystamy z bloku Given - Find z symbolicznym znakiem równości Given π y a 4 y b Find(, y) π b a 4a 8π b 8π Obliczenia macierzowe MathCad pozwala na symboliczne wykonywanie obliczeń macierzowych. W ten sposób posługiwać się można wszystkimi operatorami działającymi na macierzach. Chcąc uzyskać wynik symboliczny należy zamiast zwykłego znaku równości napisać symboliczny znak równości. b b T a a 3 a b a b 3 b b a a T 3 6 b a b 3 a ab a

10 Lekcja Strona 0 z Problemy do samodzielnego rozwiązania Obliczyć pochodne z wyrażeń 4( 5) ( 3) sin( α ) tan α tan α ( ) Obliczyć całki nieoznaczone z wyrażeń cos α sin α α sin α ( ) ( ) ( )

11 Lekcja Strona z Policzyć granice. 3n3 n. 3. 5n 3 ( n ) ( n 3) ( n n 4 n 7 n i i = n 3 n n 4. n 4 n 3 n n 5. sin n dla n dążącego do, ) dla n dążącego do, dla n dążącego do, dla n dążącego do, sin( n) dla n dążącego do, 6. n sin α dla n dążącego do, n n n n n 9. n 0. 3 n n i = n dla n dążącego do, n dla n dążącego do, dla n dążącego do, n i dla n dążącego do,. dla dążącego do,. dla dążącego do, 3. ctg() dla dążącego do 0, 4. tg(6)ctg(4) dla dążącego do 0, tg sin 5. dla dążącego do 0, y 3 y y dla dążącego do, dla dążącego lewostronnie do 0, dla dążącego do i dla y dążącego do

12 Lekcja Strona z Policzyć pochodne funkcji: ep(-); log()*3^3; sin()*cos(); 3^34^-33; sin()/cos(); log()*^; Policzyć całki funkcji: ^/(^); sin(7); sin()/sqrt(cos()); ^/(5-^6); /sqrt(--3^); ep()/(e^); /(cos()); ^3/root3(^); root4(ln())/; (-e^)/(e^); (sqrt()-root3()) /^; /sqrt(^-6); 5^-63- /5/^; (3)/(^5); (^-)/^3; root5()-root3()5; ep(3)*sin(4); ^(ln())