KOMPENDIUM Z MATEMATYKI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "KOMPENDIUM Z MATEMATYKI"

Transkrypt

1 Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski

2 Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Michał Stukow Błażej Szepietowski Metody obliczania całek Gdańsk

3 Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Uniwersytet Gdański Copyright by Michał Stukow, Błażej Szepietowski Skład komputerowy (LaTeX): Michał Stukow, Błażej Szepietowski Projekt okładki i strony tytułowej: All rights reserved Uniwersytet Gdański Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Instytut Matematyki 8-95 Gdańsk, ul. Wita Stwosza 57

4 Spis treści Wstęp 7 Część. Całki nieoznaczone 8 Rozdział. Określenie całki i najprostsze sposoby jej obliczania 9.. Proste przykłady 9.. Podstawowe wzory.. Liniowa zmiana zmiennych 4.4. Pochodna logarytmiczna 6.5. Zadania 7 Rozdział. Całkowanie przez podstawienie 9.. Proste przykłady 9.. Uwagi o notacji.. Podstawienia liniowe.4. Podstawienia wielomianowe.5. Podstawienia trygonometryczne 5.6. Podstawienia logarytmiczne 7.7. Podstawienia wykładnicze 8.8. Całki z pierwiastkami 9.9. Zadania Rozdział. Całkowanie przez części.. Metoda całkowania przez części.. Wielomian razy sinus lub kosinus 5.. Wielomian razy funkcja wykładnicza 7.4. Funkcja potęgowa razy funkcja logarytmiczna 8.5. Funkcja wykładnicza razy sinus lub kosinus 4.6. Funkcje cyklometryczne 4.7. Zadania 44 Rozdział 4. Funkcje wymierne Rozkład funkcji wymiernej Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju Całkowanie dowolnej funkcji wymiernej Wzór redukcyjny Zadania 6 4

5 Rozdział 5. Funkcje trygonometryczne Podstawowe tożsamości Podstawianie za sinus lub kosinus Podstawienie uniwersalne Podstawianie za tangens Zadania 68 Rozdział 6. Funkcje niewymierne Pierwiastki z Pierwiastki z funkcji liniowej i homograficznej Różniczki dwumienne Podstawienia trygonometryczne Całki postaci a +b+c 6.6. Całki postaci a + b + c Całki postaci A+B (A + B) a + b + c 8 a +b+c 6.8. Metoda współczynników nieoznaczonych Podstawienia Eulera Zadania 86 Rozdział 7. Inne klasy funkcji Funkcje hiperboliczne Całkowanie funkcji hiperbolicznych Podstawienia hiperboliczne Zadania 9 Część. Całki oznaczone 9 Rozdział 8. Metody obliczania całek oznaczonych Podstawowe własności Całkowanie przez części i przez podstawienie Zadania 98 Rozdział 9. Całki niewłaściwe Całka w granicach nieskończonych Całka z funkcji nieograniczonej Zadania. 8 Rozdział. Zastosowania całek 9.. Pole obszaru 9.. Długość krzywej.. Objętość bryły i pole powierzchni obrotowej.4. Zadania 5 Rozdział. Odpowiedzi do zadań 7 Rozdział 7 Rozdział 8 Rozdział

6 Rozdział 4 Rozdział 5 Rozdział 6 Rozdział 7 Rozdział 8 Rozdział 9 Rozdział Bibliografia 4 6

7 Wstęp Celem niniejszego skryptu jest dostarczenie studentom I roku kierunków matematycznych podręcznego zbioru metod obliczania całek. Treść skryptu jest bogato ilustrowana w pełni rozwiazanymi przykładami, a na końcu każdego rozdziału zamieściliśmy wybór zadań samodzielnego rozwiazania. Dobierajac zadania staraliśmy się, aby były one różnorodne oraz aby nie były uciażliwe rachunkowo. Do wszystkich zadań zamieściliśmy odpowiedzi, a do większości z nich również wskazówki. Treść skryptu koncentruje się wokół rachunkowych metod liczenia całek i całkowicie pomija aspekty teoretyczne zwiazane z teoria całki. Autorzy Gdańsk, marzec 7

8 Część Całki nieoznaczone

9 ROZDZIAŁ Określenie całki i najprostsze sposoby jej obliczania.. Proste przykłady O całce nieoznaczonej należy myśleć jak o operacji odwrotnej do liczenia pochodnej. Dokładniej, obliczenie całki f () sprowadza się do znalezienia takiej funkcji F, że F () = f (). Funkcję F nazywamy w tej sytuacji funkcja pierwotna do f. Zadanie.. Oblicz (4 + 5). Jeżeli pamiętamy jak się liczy pochodne, to bez trudu zgadujemy wynik. (4 + 5) = + 5. Tak jest, bo ( + 5) = Zadanie.. Oblicz ( sin + cos ). Majac w pamięci wzory na pochodne sinusa i cosinusa, zgadujemy ( sin + cos ) = cos + sin. Jeżeli nie jesteśmy pewni wyniku, to sprawdzamy ( cos + sin ) = sin + cos. Uważny czytelnik powinien dostrzec pewna nieścisłość w powyższych rachunkach: funkcja + 5 nie jest jedyna funkcja, której pochodna jest równa Inna funkcja o tej własności to na przykład + 5 +, albo dowolna funkcja postaci C, gdzie C R. Okazuje się jednak, że jest to jedyna możliwa niejednoznaczność: każde dwie funkcje pierwotne funkcji f () różnia się o stała. Która z tych funkcji jest więc wartościa całki (4 + 5)? Ponieważ nie jesteśmy w stanie w sensowny sposób wyróżnić żadnej z nich, przyjmujemy, że wartościa całki sa wszystkie te funkcje na raz (czyli wartościa całki nieoznaczonej jest zbiór wszystkich 9

10 . PROSTE PRZYKŁADY funkcji pierwotnych, a nie pojedyncza funkcja). Zwykle zapisujemy to w postaci (4 + 5) = C, gdzie C R. Oczywiście równie dobrze mogliśmy napisać (4 + 5) = C, gdzie C R, bo jest to dokładnie ten sam zbiór funkcji. Powyższy komentarz może na poczatku wydawać się trochę abstrakcyjny, ale musieliśmy go zrobić w miarę szybko, żeby wyjaśnić dlaczego we wszystkich wynikach będzie występowała stała C. Zadanie.. Oblicz. Oczywiście za funkcję pierwotna można wziać funkcję stale równa, ale już wiemy, że wynikiem liczenia całki będzie cały zbiór funkcji: w tym przypadku zbiór funkcji stałych. = C, C R. Od tej pory nie będziemy już specjalnie zajmować się stała C po prostu będziemy ja zawsze dopisywać na końcu do wyniku. Zadanie.4. Oblicz ( + sin ). Myślimy: jaka musi być funkcja, żeby jej pochodna było? Na pewno musi być, ale liczac pochodna na dół spadnie, więc musimy dopisać z przodu, żeby otrzymać współczynnik. Podobnie z sin : funkcja pierwotna będzie cos, ale liczac pochodna z cos otrzymamy współczynnik ( jest z pochodnej wnętrza). Zatem musimy z przodu dopisać (żeby otrzymać współczynnik ). Zatem ( + sin ) = cos + C. Zadanie.5. Oblicz. Liczymy =.

11 . PODSTAWOWE WZORY Wiemy jak się liczy pochodna funkcji potęgowej: ( a ) = a a. Zatem w wyniku liczenia powyższej całki musi wyjść funkcja + =. Na końcu dopisujemy z przodu współczynnik, aby się skrócił przy liczeniu pochodnej. Mamy więc = = + C = + C. Zadanie.6. Oblicz Ponieważ (ln ) = mamy = ln + C. Zadanie.7. Oblicz 5e. Ponieważ (5e ) = 5e mamy 5e = 5e + C... Podstawowe wzory Następujace wzory łatwo sprawdzić, różniczkujac funkcje po prawej stronie:

12 . PODSTAWOWE WZORY α = α+ + C dla α =, α + = ln + C, e = e + C, a = a ln a + C, sin = cos + C, cos = sin + C, cos = tg + C, sin = ctg + C, = arctg + C, + = arc sin + C. = ln + C. Po- Jedyny wzór, który prawdopodobnie wymaga komentarza, to winno być jasne, że = ln + C = ln + C, o ile >. Jeżeli natomiast < to mamy (ln ) = (ln( )) = ( ) =, co pokazuje, że = ln + C dla <. Ponieważ różniczkowanie jest operacja liniowa (czyli ( f + g) = f + g oraz (α f ) = α f ), podobna własność ma całka nieoznaczona. ( f () + g() ) = α f () = α f () + f (). g(), Pierwszy wzór oznacza, że całkujac sumę funkcji możemy całkować każdy składnik osobno. Drugi pozwala wyłaczać stałe przed znak całki. Zadanie.8. Oblicz ( cos ).

13 . PODSTAWOWE WZORY ( ) cos = cos = tg + C. ln Zadanie.9. Oblicz Liczymy = = = + C = + C. Zadanie.. Oblicz ( 5 + ). ( 5 + ) = 5 + = C. Przy odrobinie wprawy środkowy krok powyższego rachunku wykonujemy w pamięci i na ogół piszemy krótko ( 5 + ) = C (po kolei obliczamy całkę z każdego składnika). Zadanie.. Oblicz 4 + Liczymy 4 + = ( + ) = = ln + C. Zadanie.. Oblicz +. + = ( + ) = = C.

14 . LINIOWA ZMIANA ZMIENNYCH 4 Zadanie.. Oblicz n Liczymy n = n = + + n + C = n n n + n + C. Zadanie.4. Oblicz + 6. Liczymy + 6 = ( = ) 6 + ( 6 = ( ) ln + ln + C = ln ln + C. ) ( ) + = Zadanie.5. Oblicz tg. Liczymy sin tg = cos = ( ) = cos cos cos = = tg + C. Zadanie.6. Oblicz. Liczymy = = = arc sin + C... Liniowa zmiana zmiennych Korzystajac ze wzoru na pochodna funkcji złożonej łatwo obliczyć, że

15 . LINIOWA ZMIANA ZMIENNYCH 5 [ f (a + b)] = a f (a + b). Równość ta pozwala łatwo przewidzieć jak zmieni się całka jeżeli zamiast podstawimy w niej wyrażenie liniowe postaci a + b. Zadanie.7. Oblicz sin( ). Wiemy, że całka z sinusa to minus cosinus. Zatem spodziewamy się wyniku postaci cos( ). Jeżeli jednak policzymy pochodna z tej funkcji, to otrzymamy sin( ). Musimy więc z przodu dodać. sin( ) = cos( ) + C. Zadanie.8. Oblicz 5+. Ponieważ wyrażenie to dokładnie pochodna pierwiastka y =, spodziewamy się wyniku postaci 5 +. Jeżeli jednak policzymy pochodna z tego wyrażenia, to otrzymamy z przodu współczynnik 5 pochodzacy z pochodnej wnętrza. Zatem dopisujemy z przodu współczynnik = C. 5 Zadanie.9. Oblicz (9 5) 7. Wiemy, że funkcja pierwotna do 7 jest 8 8, zatem spodziewamy się wyniku postaci 8 (9 5)8. Jeżeli policzymy pochodna z tego wyrażenia okaże się, że musimy dodać z przodu współczynnik 5. (9 5) 7 = 4 (9 5)8 + C. Zadanie.. Oblicz sin.

16 .4 POCHODNA LOGARYTMICZNA 6 Korzystajac ze wzoru cos = sin mamy sin = ( cos ) = sin + C. 4 Zadanie.. Oblicz Zwiniemy mianownik do pełnego kwadratu (postać kanoniczna) i skorzystamy ze wzoru + = arctg + C = ( ) + = arctg( ) + C..4. Pochodna logarytmiczna Korzystajac ze wzoru na pochodna funkcji złożonej łatwo obliczyć, że [ ln f () ] = f () f () Wzór ten pozwala łatwo zgadnać całkę nieoznaczona z wyrażeń postaci f () (czyli gdy f () licznik ułamka jest pochodna mianownika). Wyrażenie tej postaci jest czasem nazywane pochodna logarytmiczna. Zadanie.. Oblicz Ponieważ ( ) = mamy = ln C. Zadanie.. Oblicz +. Liczymy + = + = ( + ) + = = ln + + C = ln( + ) + C.

17 .5 ZADANIA 7 Zadanie.4. Oblicz e e +5. Ponieważ (e + 5) = e mamy e e + 5 = ln e C = ln(e + 5) + C. Zadanie.5. Oblicz tg. Liczymy tg = sin (cos ) cos = cos = ln cos + C. Zadanie.6. Oblicz ln. Ponieważ (ln ) = mamy ln = ln = ln ln + C. Zadanie.7. Oblicz + +. Liczymy + + = = arctg + ln( + ) + C..5. Zadania Zadanie.8. Oblicz całki a) b) ( + 5 ) c) ( + ) d) +8 + e) (+) f) Zadanie.9. Oblicz całki a) b) 5 c) d)

18 .5 ZADANIA 8 e) 4 f) + g) + 4 h) ( ) Zadanie.. Oblicz całki a) b) e c) + d) 5 + Zadanie.. Oblicz całki a) e +5 b) e c) e 4+5 d) (e + ) e) +e e f) ( + e ) Zadanie.. Oblicz całki a) cos b) sin( ) c) ctg d) cos e) f) cos g) cos sin cos cos sin cos sin h) cos 5 Zadanie.. Oblicz całki a) (4 9) b) 5 c) + d) e) ++ f) g) + + Zadanie.4. Oblicz całki a) 4 + b) c) cos +sin d) e e e) ++ f) g) h) sin + ( +) arctg tg cos +cos

19 ROZDZIAŁ Całkowanie przez podstawienie.. Proste przykłady W poprzednim rozdziale widzieliśmy, że nie jest trudno przewidzieć jak zmieni się całka, jeżeli zmienimy w niej zmienna na wyrażenie liniowe a + b. Spróbujmy się przez chwilę zastanowić jak będzie przypadku nieliniowej zmiany zmiennej, np. gdy zamieniamy na. Ponieważ cos = sin, więc spodziewamy się, że cos powinna mieć coś wspólnego z sin. Jeżeli jednak policzymy pochodna tej funkcji, to otrzymamy dodatkowy czynnik (z pochodnej wnętrza), którego niestety nie ma w wyjściowej całce. Morał jest taki, że nie jesteśmy w stanie łatwo obliczyć całki cos, natomiast cos = sin + C. Uogólnieniem powyższej obserwacji jest tzw. wzór na całkowanie przez podstawienie: ϕ () f (ϕ()) = F(ϕ()), gdzie F = f Zadanie.. Oblicz e +. Próbujemy sytuację sprowadzić do powyższego wzoru z ϕ() = + i f () = e. e + = () e + = ( + ) e + = e + + C. Zadanie.. Oblicz cos sin. Mamy ϕ() = sin i f () =. cos sin = (sin ) (sin ) = (sin ) + C. 9

20 . UWAGI O NOTACJI Zadanie.. Oblicz e (+e ). Mamy ϕ() = + e oraz f () =. e ( + e ) = ( + e ) ( + e ) = + e + C. Zadanie.4. Oblicz ln. Tym razem mamy ϕ() = ln i f () =. ln = ln = (ln ) ln = (ln ) + C... Uwagi o notacji Powyższe przykłady były o tyle proste, że łatwo (w pamięci) można było zgadnać funkcję pierwotna do funkcji f. Na ogół jednak sytuacja jest bardziej skomplikowana i zmiana zmiennych ma jedynie zamienić wyjściowa całkę na inna całkę, która może być prostsza do policzenia. W takiej sytuacji wzór na całkowanie przez podstawienie wygodniej jest zapisać w postaci f (ϕ())ϕ () = f (t) dt, gdzie t = ϕ(). Należy myśleć, że wzór ten pozwala zastapić dowolne wyrażenie (funkcję ϕ) zmiennej literka t i liczyć otrzymana całkę, w której zmienna jest już t. Zamiana ta wymaga jednak zastapienia wyrażenia ϕ () wyrażeniem dt. W szczególności, w wyjściowej całce musi znajdować się czynnik ϕ (). Zadanie.5. Oblicz ln. Podstawiamy t = ϕ() = ln. W takim razie ϕ () = i mamy ln = (ln ) (ln ) = t dt = t + C = ln + C. Zauważmy, że literka t pełniła tylko pomocnicz a rolę przy liczeniu całki, więc na koniec wróciliśmy do oryginalnej zmiennej.

21 . PODSTAWIENIA LINIOWE Powyższy rachunek na ogół zapisujemy w skrótowej formie: ln = t = ln dt = = t dt = t + C = ln + C. Wygodnie jest myśleć, że równość dt = otrzymaliśmy z równości t = ln poprzez policzenie pochodnej z obu stron: z lewej strony po t, a z prawej strony po oraz dopisanie symboli dt i, czyli (t) dt = (ln ). Zadanie.6. Oblicz sin(7 ). Podstawiamy t = 7. sin(7 ) = t = 7 dt = = sin t dt = cos t + C = cos(7 ) + C. W powyższym rachunku zupełnie mechanicznie podstawiliśmy dt zamiast. Raz jeszcze podkreślmy, że podstawiajac t = ϕ() musimy zamienić wyrażenie ϕ () na dt. Na przykład, podstawienie t = w całce sin jest nieskuteczne, bo nie umiemy w tej całce znaleźć wyrażenia ϕ () =. Wprawdzie możemy to wyrażenie wpisać na siłę, ale otrzymana całka nie jest dużo prostsza od wyjściowej. sin sin = = t = dt = = sin t t dt... Podstawienia liniowe Zadanie.7. Oblicz ( 5) 4 Podstawiamy t = 5 ( 5) 4 = t = 5 dt = = t 4 dt = = t 4 dt = t + C = ( 5) + C. Zadanie.8. Oblicz a+b, gdzie a =.

22 Podstawiamy a + b = t. a + b =. PODSTAWIENIA LINIOWE t = a + b dt = a = t a dt = a t dt = = a ln t + C = ln a + b + C. a Zadanie.9. Oblicz Podstawiamy t = t = = dt = 5 = t 9 dt = 5 = 9 5 t 9 + C = 9 5 t 9 t + C = 9 5 (5 + ) C. Zadanie.. Oblicz ( ) sin( 4). Podstawiamy t = 4. ( ) sin( 4) = t = 4 dt = = t sin t dt = 4 t sin t dt = = 8 cos t + C = 8 cos( 4) + C. Zadanie.. Oblicz. Podstawiamy t =. = t = dt = = ( t) t dt = t 4 t dt = = 4 t 4 7 t 7 + C = 4 ( ) 4 7 ( ) 7 + C. Zadanie.. Oblicz ( ).

23 .4 PODSTAWIENIA WIELOMIANOWE Podstawiamy t =. ( ) = t = ( t + dt = = t dt = t + ) t = ln t t + C = ln + C. dt = Zadanie.. Oblicz Będziemy się starali sprowadzić tę całkę do całki = 9 = 6 +. t = dt = = = 9 ( ) + = dt t + = 6 arctg t + C = 6 arctg + C. dt t + = Zadanie.4. Oblicz 5+4. Będziemy się starali sprowadzić tę całkę do całki. = = = = = ( ) 9 dt t 9 ( ) = ( = arc sin t + C = arc sin ) = t = dt = = + C..4. Podstawienia wielomianowe Zadanie.5. Oblicz całkę ( +4) 5.

24 .4 PODSTAWIENIA WIELOMIANOWE 4 Podstawiamy t = + 4. ( + 4) 5 = t = + 4 dt = ( ) = t 5 dt = = 4 t 4 = 4( + 4) 4 + C. t 5 dt = Zadanie.6. Oblicz całkę sin (+ ). Podstawiamy t = +. sin ( + ) = t = + dt = 4 = 4 dt sin t = 4 ctg t + C = = 4 ctg( + ) + C. Zadanie.7. Oblicz całkę +4 Podstawiamy t = = t = + 4 dt = = t dt = t + C = C. Zadanie.8. Oblicz +. + = t = + dt = = = ( 5 t 5 t (t ) t dt = (t t ) dt = ) + C = 5 ( + ) 5 ( + ) + C. Zadanie.9. Oblicz.

25 .5 PODSTAWIENIA TRYGONOMETRYCZNE 5 = + = arc sin + = arc sin + + C. = t = dt = dt t = arc sin + t + C = = Zadanie.. Oblicz 4. Podstawiajac t = sprowadzimy dana całkę do całki = t = 4 dt = = = arc sin + C.. dt = arc sin t + C = t.5. Podstawienia trygonometryczne Zadanie.. Oblicz cos (sin +). Podstawiamy t = sin +. cos (sin + ) = t = sin + dt = cos = t dt = t + C = = (sin + ) + C. Zadanie.. Oblicz sin 5 5 cos. Podstawiamy t = 5 cos. sin 5 5 cos = t = 5 cos dt = sin = t 5 dt = 5 6 t C = 5 6 (5 cos ) C.

26 .5 PODSTAWIENIA TRYGONOMETRYCZNE 6 Zadanie.. Oblicz cos 5 Będziemy dażyć (używajac jedynki trygonometrycznej) do postawienia t = sin. cos 5 = cos (cos ) = cos ( sin ) = = t = sin dt = cos = ( t ) dt = ( t + t 4 ) dt = = t t + 5 t5 + C = sin sin + 5 sin5 + C. Zadanie.4. Oblicz sin cos +sin. Podstawiamy t = + sin. sin cos + sin = t = + sin dt = sin cos = (t ) dt t = = t ln t + C = ( + sin ) ln( + sin ) + C. Zadanie.5. Oblicz arctg +. Podstawiamy t = arctg. arctg + = t = arctg dt = = t dt = t + C = + arctg + C. Zadanie.6. Oblicz. Ponieważ to dokładnie pochodna arc sin, możemy spróbować podstawić t = arc sin. Mamy wtedy = sin t oraz = t = arc sin dt = = sin t dt.

27 .6 PODSTAWIENIA LOGARYTMICZNE 7 Teraz korzystamy ze wzoru cos t = sin t. sin t dt = ( cos t) dt = t sin t + C = 4 = arc sin sin( arc sin ) + C Podstawienia logarytmiczne Zadanie.7. Oblicz ln. Podstawiamy t = ln. ln = t = ln dt = = t dt = t + C = (ln ) + C. Zadanie.8. Oblicz ln +ln. Podstawiamy t = + ln. ln + ln = t = + ln dt = = (t ) t dt = (t 4 t ) dt = = 7 t 7 4 t 4 + C = 7 ( + ln ) 7 4 ( + ln ) 4 + C. Zadanie.9. Oblicz ln. Podstawiamy t = ln. = t = ln ln dt = = dt t = arc sin t + C = arc sin(ln ) + C. Zadanie.. Oblicz ln tg sin cos.

28 Podstawiamy t = ln tg. Wtedy dt = tg cos.7 PODSTAWIENIA WYKŁADNICZE 8 = cos sin cos = sin cos. Zatem ln tg sin cos = t = ln tg dt = sin cos = t dt = t + C = (ln tg ) + C..7. Podstawienia wykładnicze Zadanie.. Oblicz e (e +5) 7 Podstawiamy t = e + 5. e (e + 5) 7 = t = e + 5 dt dt = e = t 7 = = t 7 dt = 6 t 6 + C = 6(e + 5) 6 + C. Zadanie.. Oblicz e e +e. Podstawiamy t = e. e e = t = e + e dt = e = t + dt = t t = t + dt = ln(t + ) + C = ln(e + ) + C Zadanie.. Oblicz e e. Podstawiamy t = e. e e = e e e = t = e dt = e = t + t dt = = ( ) (t + t ) dt = t t + C = = 45 (e ) (e ) + C.

29 .8 CAŁKI Z PIERWIASTKAMI 9 Zadanie.4. Oblicz e +e. Ponieważ e + e = e (e + e )e = e e +, możemy podstawić t = e. e e + = t = e dt = e = dt + t = arctg t + C = arctg e + C..8. Całki z pierwiastkami Zadanie.5. Oblicz 5 + Podstawiamy t = 5 + (równie dobrze możemy podstawić t = 5 + ). 5 + = t = 5 + t dt = = (t 5)t(t) dt = t 4 5t dt = = 5 t5 t + C = 5 ( 5 + ) 5 ( 5 + ) + C. Zadanie.6. Oblicz +ln. Podstawiamy t = + ln (równie dobrze możemy podstawić t = + ln ). + ln = t = + ln t dt = = t t dt = t + C = ( + ln ) + C. Zadanie.7. Oblicz ( +).

30 .8 CAŁKI Z PIERWIASTKAMI Podstawiamy t 6 =. ( + ) = t 6 = 6t 5 dt = = 6t 5 dt t (t + ) = 6 t t + dt = ( = 6 ) t dt = 6t 6 arctg t + C = + = arctg 6 + C. Zadanie.8. Oblicz e 4 e +. Podstawiamy t 4 = e +. e 4 e + = t 4 = e + (t 4t dt = e = 4 ) 4t dt = (4t 6 4t ) dt = t = 4 7 t7 4 t + C = 4 4 (e 7 + ) (e + ) + C. Zadanie.9. Oblicz Podstawiamy t =. Wtedy. t dt = ( ) = oraz = t = t dt = ( = ) + C. t ( t) dt = t + C = = Zadanie.4. Oblicz.

31 .9 ZADANIA Liczymy podstawiajac t 6 =. = t 6 = 6t 5 dt = = 6t 5 t t dt = 6t t dt = s = t ds = dt = 6(s + ) s = ds = + s + s + 6 ds = s s ( = 6 s + s + + ) ( ds = 6 s s + ) s + s + ln s + C = = s + 9s + 8s + 6 ln s + C = = (t ) + 9(t ) + 8(t ) + 6 ln t + C = = ( 6 ) + 9( 6 ) + 8( 6 ) + 6 ln 6 + C..9. Zadania Zadanie.4. Oblicz całki (postaraj się zgadnać wynik nie podstawiajac) a) cos(4 ) b) cos 4+sin c) e sin cos d) e e) ln f) sin g) arctg h) + e i) tg cos j) e e k) arc sin l) sin +cos Zadanie.4. Oblicz całki a) sin(a + b), a = b) 6 5 c) (4 +9) 5 d) ( ) e ( ) ( ) e) e ( ) f) +5 g) h) i) 5 Zadanie.4. Oblicz całki a) ( + ) cos (+) 5 b) ( ) 8 c) 4 e 5 d) ++ e) f) ( +) ( +) ( ) 5 g) 5 + h) 4 i) cos j) sin ( +) k) 6 Zadanie.44. Oblicz całki a) cos sin b) (arctg ) 5 d) cos (+sin ) 5 e) sin +cos 5 + c) sin 7 + f) ( ) tg cos g) cos sin cos Zadanie.45. Oblicz całki a) 8 ln b) ln c) + ln d) ln 5+ln e) ln ln(e 5 ) ln f) ln(cos ) 6 ctg Zadanie.46. Oblicz całki a) e b) 7 (e ) + 5 c) 8 + d) e e) f) 4 e ++e g) e e +e +e 6

32 .9 ZADANIA Zadanie.47. Oblicz całki a) sin b) c) + 6 ( ) d) ( ) Zadanie.48. Oblicz całki a) e b) + cos 9sin c) +e e +e + +

33 ROZDZIAŁ Całkowanie przez części.. Metoda całkowania przez części Zacznijmy od przypomnienia wzoru na pochodna iloczynu dwóch funkcji: [u()v()] = u ()v() + u()v (). Po scałkowaniu obu stron otrzymujemy [u()v()] = u ()v() + u()v (). Zauważmy, że całka po lewej stronie równa się u()v(). Stad, przenoszac ostatnia całkę na druga stronę równości otrzymujemy wzór na całkowanie przez części: u ()v() = u()v() u()v (). Po jego zastosowaniu, obliczenie całki po lewej stronie sprowadza się do policzenia całki po prawej stronie, która powinna być prostsza. Metoda całkowania przez części nie jest tak uniwersalna jak całkowanie przez podstawienie, niemniej pozwala na obliczenie wielu całek. Żeby zastosować wzór na całkowanie przez części do całki f (), funkcję podcałkowa f () musimy przestawić w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna jest pochodna jakiejś znanej nam funkcji. Żeby metoda była skuteczna, po zastosowaniu wzoru powinniśmy otrzymać prostsza całkę. Zadanie.. Oblicz całkę cos Funkcja podcałkowa jest iloczynem dwóch funkcji, więc możemy próbować całkowania przez części. Przyjmijmy u () = cos, v() =, u() = sin, v () =. Podstawiamy do wzoru i liczymy: cos = u = cos v = u = sin v = = sin sin = sin + cos + C. Całkę cos udało nam się sprowadzić do znacznie prostszej całki sin, która obliczyliśmy bezpośrednio. Zauważmy, że mogliśmy przyjać także u (v) =, v() = cos, u() =, v () = sin. Jednak wtedy wzór na całkowanie przez części prowadzi do bardziej skomplikowanej całki sin.

34 . METODA CAŁKOWANIA PRZEZ CZEŚCI 4 Zadanie.. Oblicz całkę arctg. Przyjmiemy u () =, v() = arctg(), u() =, v () = +. Zauważmy, że gdybyśmy chcieli przyjać na odwrót u () = arctg(), v() =, to mielibyśmy problem z dobraniem funkcji u(). Sprawdźmy teraz, czy całkowanie przez części prowadzi do prostszej całki. arctg = u = v = arctg u = v = = arctg + Ostatnia całkę możemy obliczyć bezpośrednio: Zatem + = = arctg + C. + arctg = ( arctg + arctg ) + C. +. Zadanie.. Oblicz całkę Zauważmy, że cos cos. jest pochodna funkcji tg, więc naturalnie jest przyj ać u () = cos, v() =, u() = tg, v () =. Podstawiamy do wzoru na całkowanie przez części. cos = u = v = cos u = tg v = = tg tg. Całkę tg obliczymy przez podstawienie t = cos. sin tg = cos = t = cos dt = sin = = ln t + C = ln cos + C. dt t = Zatem cos = tg ln cos + C.

35 . WIELOMIAN RAZY SINUS LUB KOSINUS 5.. Wielomian razy sinus lub kosinus Metoda całkowania przez części pozwala na obliczenie całek n sin(a), n cos(a), gdzie a = jest stała rzeczywista, a n jest liczba naturalna. Należy przyjać u () = sin(a) lub cos(a), v() = n u() = a cos(a) lub a sin(a), v () = n n. Wtedy całkowanie przez części prowadzi do całki n cos(a) lub n sin(a). Zatem po n-krotnym całkowaniu przez części dojdziemy do prostej całki sin(a) lub cos(a). Zadanie.4. Oblicz całkę sin Liczymy sin = u = sin v = u = cos v = = cos + cos = = cos + sin + C 4 Zadanie.5. Oblicz całkę cos cos = u = cos v = u = sin v = = sin sin Ostatnia całkę również obliczamy przez części sin = u = sin v = u = cos v = = cos + cos = = cos + sin + C. Zatem cos = sin + cos sin + C. Analogicznie można obliczać całki P() sin(a), P() cos(a),

36 . WIELOMIAN RAZY SINUS LUB KOSINUS 6 gdzie P() jest dowolnym wielomianem. Przyjmujac u () = sin(a) lub u () = cos(a) oraz v() = P(), po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy całkę P () cos(a) lub P () sin(a). Jeżeli P() ma stopień k, to jego pochodna P () ma stopień k, zatem całkujac przez części jeszcze k razy, za każdym razem będziemy zmniejszać stopień wielomianu o jeden, aż dojdziemy do prostej całki sin(a) lub cos(a). Zadanie.6. Oblicz całkę ( + ) cos. Całkujemy dwa razy przez części. ( + ) cos = u = cos v = + u = sin v = + = = ( + ) sin ( + ) sin = u = sin v = + u = cos v = = = ( + ) sin + ( + ) cos cos = = ( + ) sin + ( + ) cos sin + C. Zadanie.7. Oblicz całkę sin. Jest to całka innego typu niż w poprzednich zadaniach, bo sinus jest podniesiony do kwadratu. Pozbywamy się kwadratu przyjmujac Sposób. u () =, v() = sin, u() =, v () = sin cos = sin, sin = u = v = sin u = v = sin = sin sin. Ostatnia całkę również obliczamy przez części sin = u = sin v = u = cos v = = cos + cos = = cos + sin + C. 4 Zatem sin = sin + cos sin + C = 4 = sin + (cos sin ) sin cos + C = = ((sin + cos ) sin cos ) + C = ( sin cos ) + C.

37 . WIELOMIAN RAZY FUNKCJA WYKŁADNICZA 7 Sposób. Oznaczamy szukana całkę przez I. I = sin sin = u = sin v = sin u = cos v = cos = sin cos + sin cos + sin = sin cos + sin = = sin cos + I cos = I = sin cos + + C I = ( sin cos ) + C... Wielomian razy funkcja wykładnicza Aby obliczyć całkę n e a, gdzie a = jest stała rzeczywista, a n jest liczba naturalna, należy przyjać u () = e a, v() = n, u() = a ea, v () = n n Wtedy całkowanie przez części prowadzi do całki n e a, a zatem po n-krotnym całkowaniu przez części dojdziemy do prostej całki e a. Ta metodę można stosować dla dowolnej funkcji wykładniczej, ponieważ a = e (ln a). Jeżeli w miejscu n mamy dowolny wielomian P() stopnia n, to analogicznie przyjmujemy v() = P() i całkujac przez części obniżamy stopień wielomianu o jeden. Po n-krotnym całkowaniu przez części dojdziemy do całki e a. Zadanie.8. Oblicz całkę e Liczymy e = u = e v = u = e v = = e e = e e + C. Zadanie.9. Oblicz całkę. Liczymy = u = v = u = ln v = = ln ln = ln = ln ln (ln ) + C.

38 .4 FUNKCJA POTEGOWA RAZY FUNKCJA LOGARYTMICZNA 8 Zadanie.. Oblicz całkę e Dwukrotnie całkujemy przez części. e = u = e v = u = e v = = e + e = = u = e v = u = e v = = e e + e = = e e e + C. Zadanie.. Oblicz całkę e. Ponieważ e nie jest pochodna żadnej znanej nam funkcji, natomiast (e ) więc przyjmiemy u () = e, v() =. u e = = e v = u = e v = = e e = = e, = e e = e ( ) + C..4. Funkcja potęgowa razy funkcja logarytmiczna Aby obliczyć całkę k (ln ) m, gdzie m jest liczba naturalna, a k dowolna liczba rzeczywista, przyjmujemy u () = k, v() = (ln ) m. Zadanie.. Oblicz całkę ln. ln = u = u = v = ln v = = ln = ln + C. Zadanie.. Oblicz całkę ln.

39 .4 FUNKCJA POTEGOWA RAZY FUNKCJA LOGARYTMICZNA 9 ln = u = u = 4 4 v = ln v = = 4 4 ln 4 = 4 4 ln C. Zadanie.4. Oblicz całkę ln. ln = u = u = v = ln v = = ln ( ln = ln C = = ) + C. Zadanie.5. Oblicz (ln ) (ln ) = u = v = (ln ) u = v = ln = (ln ) Ostatnia całkę również obliczamy przez części ln = u = v = ln u = v = = ln = ln 4 + C. ln = Zatem (ln ) = (ln ) ln C. Zadanie.6. Oblicz całkę ln. Ta całkę najprościej jest obliczyć przez podstawienie t = ln, ale można również przez części. Oznaczmy szukana całkę przez I. Liczymy: ln I = = u = v = ln ln u = ln v = = (ln ) = (ln ) I I = (ln ) + C I = (ln ) + C

40 .5 FUNKCJA WYKŁADNICZA RAZY SINUS LUB KOSINUS 4 Zadanie.7. Oblicz całkę ln( + ). ln( + ) = u = v = ln( + ) u = v = = ln( + ) + + = ( = ln( + ) + ) = ln( + ) = = ln( + ) + arctg + C..5. Funkcja wykładnicza razy sinus lub kosinus Całkowanie przez części w ciekawy sposób stosuje się do obliczenia całek e a sin b, e a cos b. W obu przypadkach przyjmujemy u () = e a, u() = a ea. e a sin b = u = e a v = sin b u = a ea v = b cos b = = a ea sin b b e a cos b a e a cos b = u = e a v = cos b u = a ea v = b sin b = = a ea cos b + b e a sin b a Tak więc każda z tych całek wyraża się przez druga. Jeśli teraz podstawimy do pierwszego wzoru wyrażenie z drugiego wzoru, to otrzymamy równanie względem pierwszej całki, z którego wynika, że e a sin b = Analogicznie obliczamy druga całkę a sin b b cos b a + b e a + C. e a cos b = b sin b + a cos b a + b e a + C. Powyższych wzorów nie opłaca się uczyć na pamięć. Znacznie lepiej jest pamiętać sposób ich wyprowadzenia i powtarzać go w konkretnych przykładach. Zadanie.8. Oblicz całkę e sin.

41 .5 FUNKCJA WYKŁADNICZA RAZY SINUS LUB KOSINUS 4 Oczywiście możemy podstawić do wzoru, ale wyobraźmy sobie, że go nie mamy przed soba. Wtedy całkujemy dwukrotnie przez części. I = e sin = u = e v = sin u = e v = cos = e sin e cos = = u = e v = cos u = e v = sin = e sin e cos e sin = = e sin e cos I I = e sin e cos + C I = e sin e cos + C. Zadanie.9. Oblicz całkę cos. Całkujemy dwukrotnie przez części. I = cos = u = v = cos u = ln v = sin = = ln cos + sin ln (ln )I = cos + sin = u = v = sin u = ln v = cos = = cos + ln sin cos = ln = cos + ln sin ln I (ln + ln )I = cos + ln sin + C I = (ln ) cos + sin (ln ) + C. + Zadanie.. Oblicz całkę e sin. Pozbędziemy się kwadratu przy sinusie korzystajac z tożsamości (sin ) = sin cos = sin. Całkujemy przez części e sin = u = e u = e v = sin v = sin = e sin e sin.

42 .6 FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE 4 Ostatnia całkę oznaczamy przez I i liczymy I = e sin = u = e v = sin u = e v = cos = e sin e cos = = u = e v = cos u = e v = sin = e sin e cos 4 e sin = = e sin e cos 4I 5I = (sin cos )e sin cos + C I = e + C. 5 ( ) e sin = e sin sin cos + C Funkcje cyklometryczne Metoda całkowania przez części pozwala obliczyć całki arc sin, arc cos, arctg, W każdym przypadku należy przyjać u () =, u() =. arcctg. Zadanie.. Oblicz całkę arctg. arctg = u = v = arctg u = v = = arctg + + Ostatnia całkę obliczamy przez postawienie t = +. + = t = + dt dt = = t = ln t + C = ln( + ) + C. Zatem arctg = arctg ln( + ) + C. Zadanie.. Oblicz całkę arc sin. u = v = arc sin arc sin = u = v = = arc sin

43 .7 FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE 4 Ostatnia całkę obliczamy przez postawienie t =. = t = dt = = t dt = Zatem = t + C = + C. arc sin = arc sin + + C. Obliczenie całek arc cos oraz arcctg pozostawiamy jako ćwiczenie. Zadanie.. Oblicz całkę arc sin. arc sin u = v = arc sin = u = v = arc sin = arc sin arc sin. = Zauważmy, że funkcję). jest pochodn a funkcji (sprawdź to, różniczkujac ostatnia arc sin = u = = arc sin + v = arc sin = u = v = = arc sin + + C. arc sin = arc sin ( arc sin ) + C. Zadanie.4. Oblicz całkę arctg. arctg u = v = arctg = u = v = + = arctg +. Ostatnia całkę obliczymy przez podstawienie t =, + = t = dt = = t t t + dt = + t dt = + = t + dt = t arctg t + C = arctg + C. arctg = arctg + arctg + C.

44 .7 ZADANIA Zadania Zadanie.5. Oblicz całki a) sin b) sin 5 c) ( + ) sin d) ( + ) cos e) sin f) cos Zadanie.6. Oblicz całki a) e b) e c) e d) e cos e) e sin Zadanie.7. Oblicz całki a) ln b) ln( + ) c) ln( ) d) ( + ) ln Zadanie.8. Oblicz całki a) arc cos b) arc ctg c) arcctg

45 ROZDZIAŁ 4 Funkcje wymierne 4.. Rozkład funkcji wymiernej Funkcja wymierna to ułamek P(), którego licznik P() i mianownik Q() s Q() a wielomianami zmiennej. Na przykład funkcjami wymiernymi sa: , +, , + 8 ( + ) 6. Żeby obliczyć całkę z funkcji wymiernej, musimy najpierw znaleźć rozkład tej funkcji w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych. Funkcję wymierna nazywamy właściwa, jeśli stopień licznika (najwyższa potęga zmiennej ) jest mniejszy niż stopień mianownika. Dowolna funkcję wymierna P() możemy rozłożyć na sumę wielomianu W() i Q() R() funkcji wymiernej właściwej, w której stopień licznika R() jest mniejszy niż stopień mianownika Q(). Rozkład taki znajdujemy dzielac z reszta licznik przez mianow- Q() nik: P() W()Q() + R() = = W() + R() Q() Q() Q(). Zadanie 4.. Znajdź rozkład funkcji właściwej. na sumę wielomianu i funkcji wymiernej Stopień licznika wynosi i jest większy niż stopień mianownika. Dzielimy z reszta licznik przez mianownik: Zatem : + + = ( )( ) + = +. 45

46 4. ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNEJ 46 Funkcję wymierna postaci A, A =, ( + a) n nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję postaci B + C ( + p + q) m, B =, = p 4q <, nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Dowolna funkcja wymierna właściwa jest suma ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju. Żeby wyznaczyć składniki takiej sumy, musimy znać rozkład mianownika Q() na czynniki liniowe i kwadratowe: Q() = b( a ) n ( a k ) nk ( + p + q ) m ( + p l + q l ) m l, gdzie każdy czynnik kwadratowy jest nierozkładalny, to znaczy p i 4q i < dla i =,..., l. Liczby a,..., a k sa to wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu Q(). Zatem wyznaczenie rozkładu mianownika na czynniki nierozkładalne wymaga znalezienia wszystkich jego pierwiastków. Znajac rozkład mianownika jak powyżej, rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste ma postać: P() Q() = A + a + A ( + a ) + + A n ( + a ) n A k + A k + a k ( + a k ) + + A kn k ( + a k ) n + k + B + C + B + C + p + q ( + p + q ) + + B m + C m ( + p + q ) m B l + C l + B l + C l + p l + q l ( + p l + q l ) + + B lm l + C lml ( + p l + q l ) m l Tak więc każdy czynnik liniowy, który występuje w mianowniku Q() w potędze n i, wnosi do rozkładu funkcji wymiernej n i ułamków prostych pierwszego rodzaju, a każdy czynnik kwadratowy, występujacy w mianowniku w potędze m j, daje m j ułamków prostych drugiego rodzaju. Współczynniki A ij, B st, C st można obliczyć mnożac obie strony powyższej równości przez wspólny mianownik Q() i porównujac współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej. 7 Zadanie 4.. Znaleźć rozkład + na ułamki proste. (+)( )( ) Mianownik ma trzy czynniki liniowe, każdy w pierwszej potędze, więc funkcja jest suma trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju: 7 + ( + )( )( ) = a + + b + Mnożac obie strony przez ( + )( )( ) otrzymujemy c. 7 + = a( )( ) + b( + )( ) + c( + )( ) = = (a + b + c) (4a + b) + (a b c).

47 4. ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNEJ 47 Porównujac współczynniki po obu stronach dostajemy układ równań a + b + c = 7 4a + b = a b c = którego rozwiazaniem jest a =, b =, c = 8. Stad 7 + ( + )( )( ) = Zadanie 4.. Znaleźć rozkład 5 na ułamki proste. ( ) ( +) W mianowniku występuje czynnik liniowy w drugiej potędze i czynnik kwadratowy, zatem funkcja jest suma dwóch ułamków prostych pierwszego rodzaju i ułamka prostego drugiego rodzaju 5 ( ) ( + ) = a + b ( ) + c + d +. Mnożac obie strony przez wspólny mianownik otrzymujemy 5 = a( )( + ) + b( + ) + (c + d)( ) = = (a + c) + ( a + b c + d) + (a + c d) + ( a + b + d). Porównujac współczynniki otrzymujemy układ równań a + c = a + b c + d = 5 a + c d = a + b + d = którego rozwiazaniem jest a =, b =, c =, d = 6. 5 ( ) ( + ) = ( ) 6 +. Zadanie 4.4. Znaleźć rozkład na ułamki proste Najpierw musimy rozłożyć mianownik na czynniki liniowe lub kwadratowe. W tym celu musimy odgadnać jeden jego pierwiastek. Łatwo sprawdzić podstawiajac, że = jest pierwiastkiem mianownika, zatem wielomian ten dzieli się przez ( + ). Dzielimy:

48 4. ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNEJ : = ( + )( ) = ( + )( + ) Funkcja wymierna jest więc suma trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju: ( + )( + ) = a + + b + + c ( + ) = a( + ) + b( + )( + ) + c( + ) = = (a + b) + (4a + b + c) + b + c + 4 a + b = 4a + b + c = a =, b =, c = 4. b + c + 4 = = ( + )( + ) = + 4 ( + ). Zadanie 4.5. Znaleźć rozkład na ułamki proste. 6 7 Mianownik dzieli się przez : 6 7 = (6 7 ). Dwumian kwadratowy 6 7 ma dwa pierwiastki =, =, st ad mamy rozkład ( 6 7 = 6 ) ( + ). Funkcja wymierna jest suma trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju: 6 7 = 6( )( + ) = a + b + c + ( ( = 6 a ) ( + ) ( + b + ) ( + c )) = = 6(a + b + c) + ( 7a + b 4c) a. a + b + c = 7a + b 4c = a =, b = 6, c = a =

49 4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH PIERWSZEGO RODZAJU = Wtedy 4.. Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju Ułamek prosty pierwszego rodzaju A ( + a) n = A całkujemy przez podstawienie t = + a. ( + a) n t = + a dt = = A t n dt. Całka po prawej stronie równa się A ln t + C, gdy n = albo n >. Stad otrzymujemy wzory A + C, gdy ( n)tn A = A ln + a + C, + a A ( + a) n = A + C, dla n >. ( n)( + a) n Zadanie 4.6. Oblicz całkę + Mianownik ma dwa pierwiastki = oraz =, więc rozkłada się na czynniki liniowe + = ( + )( ), a funkcja wymierna jest suma dwóch ułamków prostych pierwszego rodzaju + = ( + )( ) = a + + b ( = a ) + b( + ) = (a + b) a + 4b + = 5 { a + b = a = a + 4b = 5, b = = = 5 (ln ln + ) + C = 5 ln + + C. Zadanie 4.7. Oblicz całkę +.

50 4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH PIERWSZEGO RODZAJU 5 Rozkładamy ułamek pod całka na ułamki proste. Liczymy teraz całkę. + = + = ( )( ) = a + b = a( ) + b( ) = (a + b) a b { a + b = a =, b =. a + b = = ln ln + C Zadanie 4.8. Oblicz całkę = = ( + ) = a + + b ( + ) = a( + ) + b a =, b =. + = ln + + ( + ) + + C. Zadanie 4.9. Oblicz całkę = + ( + ) = a + b + c + + = a( + ) + b( + ) + c = (a + c) + (a + b) + b a + c = a + b = a =, b =, c =. b = + + = + + = ln + ln + + C. + =

51 4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju Aby scałkować ułamek prosty drugiego rodzaju ułamki w następujacy sposób: A + B ( + p + q) n = A + p ( + p + q) n + C A + B ( rozbijamy go na dwa + p + q) n ( + p + q) n, gdzie C = B Ap. Pierwszy ułamek po prawej stronie ma w liczniku pochodna funkcji kwadratowej + p + q i całkujemy go przez podstawienie. + p ( + p + q) n = t = + p + q dt = ( + p) = t n dt. Stad otrzymujemy wzory + p + p + q = ln( + p + q) + C, + p ( + p + q) n = ( n)( + C, dla n >. + p + q) n Zauważmy, że w pierwszym z powyższych wzorów nie ma wartości bezwzględnej pod logarytmem. Mogliśmy ja opuścić dzięki założeniu p 4q <, co oznacza, że trójmian kwadratowy + p + q nie ma pierwiastków, a ponieważ współczynnik przy jest dodatni, więc funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Aby obliczyć całkę, sprowadzamy trójmian ( +p+q) + p + q do postaci n kanonicznej: ( + p + q) = ( + a) + b, gdzie a = p, b = 4q p 4. Pamiętajmy, że wyróżnik p 4q jest ujemny, więc b >. Liczymy (( + a) + b) n = b n (( +a b ) + ) = t = +a n b b dt = bdt = b n (t + ) n. Gdy n =, to ostatnia całka równa się arctg t + C, czyli ( + a) + b = b arctg + a b + C. Gdy n >, to stosujemy (n )-krotnie wzór redukcyjny dt (t + ) n = n n (t + + ) n n Wzór ten sprowadza obliczenie całki dt do całki dt (t +) n razy dojdziemy w końcu do znanej całki dt t + zadania ilustrujace jego stosowanie znajduj dt (t + ) n., zatem stosujac go n (t +) n. Wyprowadzenie wzoru redukcyjnego i a się w podrozdziale 4.5.

52 4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU 5 Zadanie 4.. Oblicz całkę = 9 ( ) + = t = dt = = dt 9 t + = arctg t + C = arctg + C. Zadanie 4.. Oblicz całkę Całkę rozbijamy na dwie całki tak, aby w jednej licznik był pochodna mianownika, a w drugiej, żeby nie było w liczniku = = A B. + + Liczymy teraz te prostsze całki A i B. A = = B = = = t = + + dt = ( + ) = t dt = ln t + C = ln C + + = ( + ) + = t = + dt = = t dt = arctg t + C = arctg( + ) + C. + Zatem = A B = ln + + arctg( + ) + C. Zadanie 4.. Oblicz całkę ++.

53 4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU 5 Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej. = + + = = (( ( + + ) = ( + 4 ) + 7 = 6 7 ) + ) = t = 4+ 7 dt = = 7 4 dt 7 6 (t + ) = 7 4 dt t + = arctg t + C = arctg C Zadanie 4.. Oblicz całkę +5+6 ( +4)( +4+5) Mianownik jest iloczynem dwóch nierozkładalnych czynników kwadratowych, zatem funkcja podcałkowa jest suma dwóch ułamków prostych drugiego rodzaju ( + 4)( ) = a + b c + d = (a + b)( ) + (c + d)( + 4) = = (a + c) + (4a + b + d) + (5a + 4b + 4c) + 5b + 4d a + c = 4a + b + d = 5a + 4b + 4c = 5 5b + 4d = 6 a =, b =, c =, d = ( + 4)( ) =

54 Całkujemy ułamki proste 4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU = = A + B A = + 4 = t = + 4 dt dt = = = ln t + C = ln( + 4) + C t B = + 4 = 4(( ) + ) = t = dt = = dt t + = = arctg t + C = arctg + C = D = = t = dt = ( + 4) = = ln( ) + C E = = ( + ) = arctg( + ) + C ( + 4)( ) = A + B + D 7E = = D 7E dt = ln t + C = t = ln( + 4) + arctg + ln( ) 7 arctg( + ) + C. Zadanie 4.4. Oblicz całkę + ( ++) W mianowniku mamy nierozkładalna funkcję kwadratowa w drugiej potędze, więc szukamy rozkładu na dwa ułamki proste drugiego rodzaju. + ( + + ) = a + b c + d ( + + ) + = (a + b)( + + ) + c + d = = a + (a + b) + (a + b + c) + b + d a = a + b = a + b + c = b + d = a =, b =, c =, d =. + ( + + ) = ( + + ) = A B

55 Całkujemy ułamki proste A = = B = 4.4 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ = ( + ) + = (( + ) + ) = dt t + = arctg t + C = arctg + + ( + + ) = t = + + dt = ( + ) = + C t = + = dt = dt t = t + C = = C + ( + + ) = A B = arctg C Całkowanie dowolnej funkcji wymiernej Aby obliczyć całkę dowolnej funkcji wymiernej P() postępujemy w sposób nastę- Q() pujacy: ) Jeśli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to dzielimy z reszta licznik przez mianownik, żeby otrzymać rozkład P() R() = W() + Q() Q() gdzie W() jest wielomianem, a R() jest funkcj Q() a wymierna właściw a. Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, to przyjmujemy W() =, R() = P() i przechodzimy od razu do punktu ). ) Rozkładamy R() na ułamki proste Q() R() Q() = U () + + U n (). ) Całkujemy osobno wielomian W() i ułamki U (),..., U n (). Zadanie 4.5. Oblicz + ( + = + ) ( + )( = + ) = + + = ( + ) + = + ln + + C.

56 4.4 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ 56 Zadanie 4.6. Oblicz Dzielimy z reszta licznik przez mianownik: Liczymy = ( )( + + ) = ( 4 + ) = = = A + B. + A = + + = t = + + dt dt = ( + ) = = ln t = ln( + + ) + C. t B = + + = ( + ) + 7 = ( ( ) ) t = + = dt = = 7 = dt 7 4 (t + ) = arctg t + C = arctg + + C = ln( + + ) + 7 arctg C. Zadanie 4.7. Oblicz + + = + = = ( ln ) + C = ( ) = Zadanie 4.8. Oblicz całkę 4 + Funkcja podcałkowa jest suma dwóch ułamków prostych pierwszego rodzaju, bo mianownik ma dwa pierwiastki rzeczywiste ( =, = ). Jednak zamiast rozkładać t a

57 4.4 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ 57 funkcję na ułamki proste, lepiej jest zauważyć, że licznik jest równy pochodnej mianownika pomnożonej przez. Zatem najprościej jest całkować przez podstawienie. 4 + = t = + dt dt = 4 = = ln t + C = t = ln + + C. Zadanie 4.9. Oblicz 4 4 = ( )( + ) = ( )( + )( + ) = a + b + + c + d + = a( + )( + ) + b( )( + ) + (c + d)( )( + ) = = (a + b + c) + (a b + d) + (a + b c) + a b d. a + b + c = a b + d = a = a + b c =, b =, c =, d = a b d = 4 = + + = = ln ln + arctg + C = ln + arctg + C. Zadanie 4.. Oblicz = 4 ( + ) = a + b + c + d 4 + e + f + = ( + )(a + b + c + d) + (e + f ) 4 = (a + e) 5 + (b + f ) 4 + (a + c) + (b + d) + c + d Porównujac współczynniki po obu stronach otrzymujemy a =, b =, c =, d =, e =, f =. ) ( = = + arctg + C.

58 4.5 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ 58 Zadanie 4.. Oblicz całkę Funkcję pod ostatnia całk ( = ( ) + + = + + ) = + = + = + + ( )( + + ). a rozkładamy na ułamki proste + ( )( + + ) = a + b + c = a( + + ) + (b + c)( ) = (a + b) + (a b + c) + a c a + b = a b + c = a =, b =, c =. a c = + ( )( + + ) = = = ln = A = = ln A B = t = + + dt = ( + ) = dt t = ln t + C = = ln C. B = + + = ( + ) + = (( ) + ) = t = + dt = = = dt 4 (t + ) = arctg t + C = arctg + + C. + + = + ln ln + + arctg + + C. Zadanie 4.. Oblicz całkę ( +). ( ) ( ) + = = + + ( = 4 ) ( + ) ( ) = + = 4 ln C.

59 4.5 WZÓR REDUKCYJNY Wzór redukcyjny Wyprowadzimy wzór redukcyjny na obliczenie całki J n = Całkujemy przez części dt (t + ) n = u = v = (t +) n u = t v = nt Ostatnia całkę przekształcamy dt (t + ) n (n =,,,... ). (t +) n+ = t (t + ) n+ dt = (t + ) (t + ) n+ dt = t (t + ) n + n dt (t + ) n Podstawiajac to wyrażenie do poprzedniej równości otrzymujemy J n = a stad mamy zapowiadany wzór redukcyjny t (t + ) n + n(j n J n+ ), t (t dt + ) n+ dt (t + ) n+ J n+ = n t (t + ) n + n n Otrzymany wzór sprowadza obliczenie całki J n+ do całki J n. Stosujac go n razy dojdziemy w końcu do całki J, która znamy J = dt t = arctg t + C. + J n Zadanie 4.. Oblicz całkę ( +9). ( + 9) = = t = ( ( ) ) = 8 dt + = = dt 7 (t + ) = 7 J. Całkę J obliczamy podstawiajac n = do wzoru redukcyjnego J = t t + + J = ( ) t t + + arctg t.

60 Stad ( + 9) = 54 = ZADANIA 6 ( ) + + arctg arctg + C. + C = Zadanie 4.4. Oblicz całkę ( ++5). ( + + 5) = (( + ) + ) = t = + dt = = Całkę J obliczamy korzystajac dwa razy ze wzoru redukcyjnego ( J = 4 t (t + ) + 4 J = 4 t (t + ) + 4 = 4 t (t + ) + ( ) t 8 t + + arctg t + C. dt (t + ) = J. t t + + J ) = Zatem ( + + 5) = 4 + (( + ) + ) + ( 8 + ( + ) + ) + arctg( + ) + C Zadania Zadanie 4.5. Oblicz całki: a) b) c) d) e) ( )(+) (+)(+) 7+ f) 6+5 g) h) 4 i) +4 ( ) +4 j) k) l) + m) + + n) 7+ o) 6+ p) q) 4 r) 4 +9 s) ( ) t) + ( ++) u) + v) w) ) y) z) 4 ( +) + ( +)( +)

61 ROZDZIAŁ 5 Funkcje trygonometryczne 5.. Podstawowe tożsamości Całkowanie funkcji złożonej z funkcji trygonometrycznych często wymaga wykorzystania jednej lub kilku tożsamości trygonometrycznych. Oto najczęściej stosowane tożsamości: sin + cos = sin = sin cos cos = cos sin = sin = cos Zadanie 5.. Oblicz całkę sin. Najprostszy sposób policzenia tej całki, to skorzystanie ze wzoru cos = sin sin = cos. Liczymy ( sin = ) cos = sin + C 4 Zadanie 5.. Oblicz całkę Zauważmy, że sin +cos ( + cos ) = cos sin = sin. Całkujemy przez podstawienie sin + cos = t = + cos dt = sin = dt t = ln t = ln( + cos ) + C. Zadanie 5.. Oblicz całkę cos 4 6

62 Będziemy korzystali ze wzoru Liczymy 5. PODSTAWIANIE ZA SINUS LUB KOSINUS 6 cos = cos cos = ( + cos ). cos 4 = (cos ) = 4 ( + cos ) = = ( + cos + cos ) = 4 4 = 8 + sin + sin 4 + C 4 ( + cos + ( + cos 4)) = Do obliczania całek z funkcji postaci stosujemy tożsamości sin a cos b, sin a sin b, cos a cos b sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a b)], sin a sin b = [cos(a b) cos(a + b)], cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a b)]. Zadanie 5.4. Oblicz całkę sin 5 cos Zastosujemy wzór Liczymy sin 5 cos = sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a b)]. [sin 7 + sin ] = 4 cos 7 cos + C Podstawianie za sinus lub kosinus Najprostsze podstawienia trygonometryczne to t = sin lub t = cos. Podstawienie t = sin stosuje się wtedy, jeśli funkcja podcałkowa zmienia znak, gdy zamienimy cos na cos, a t = cos stosuje się wtedy, jeśli funkcja zmienia znak przy zamianie sin na sin. Zadanie 5.5. Oblicz całkę tg

63 5. PODSTAWIANIE ZA SINUS LUB KOSINUS 6 tg = = sin cos = t t = cos dt = sin = dt = ln t + C = ln cos + C. Zadanie 5.6. Oblicz całkę sin ( cos ) +cos. sin ( cos ) + cos ( = ) + t = t = cos ( t) dt = sin = dt = + t dt = t ln + t + C = cos ln + cos + C. Zadanie 5.7. Oblicz całkę sin cos. sin cos = sin cos sin = = ( cos ) cos sin = t = cos dt = sin = ( t ) t dt = = (t 8 t ) dt = t 5 t 5 + C = cos 5 cos 5 + C. Zadanie 5.8. Oblicz całkę cos 5. cos 5 = cos 4 cos = ( sin ) cos = = t = sin dt = cos = ( t ) dt = ( t + t 4 ) dt = = (t t + 5 ) t5 + C = sin 9 sin + 5 sin5 + C

64 5. PODSTAWIANIE ZA SINUS LUB KOSINUS 64 Zadanie 5.9. Oblicz całkę sin 4 cos. sin 4 sin 4 cos = cos cos = t = sin dt = cos = t 4 t dt. Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej zmiennej t. t 4 (t t dt = 4 ( ) + t dt = t + + ) t dt = = dt t t (t )(t + ) = t t ( t ) dt = t + = t t (ln t ln t + ) + C = t t + ln t + t + C. sin 4 cos = sin sin + ln sin + sin + C. Zadanie 5.. Oblicz całkę cos 4 sin. cos 4 sin = sin ( cos ) sin = t = cos dt = sin = = dt (t )( t ) = dt 4 (t )(t ). Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej, która rozkładamy na ułamki proste. ( dt 4 (t )(t ) = ) dt t dt t = ( = ( ) ( dt t dt )) dt dt t + t t + = = 4 (ln t ln t + ) (ln t ln t + ) + C = 4 = 4 ln t t + 4 ln t t + + C. cos 4 sin = 4 ln cos cos + 4 ln cos cos + + C.

65 5. PODSTAWIENIE UNIWERSALNE Podstawienie uniwersalne Podstawienie t = tg nazywa się uniwersalnym, ponieważ pozwala ono zamienić dowolna całkę postaci R(cos, sin ), gdzie R(u, v) jest funkcja wymierna dwóch zmiennych u i v, na całkę funkcji wymiernej zmiennej t. Dla tego podstawienia mamy wzory: cos = cos sin cos + sin t = tg, = arctg t, = + t dt, = t + t, sin = sin cos cos + sin = t + t. Zadanie 5.. Oblicz całkę sin +4 cos. Stosujemy podstawienie uniwersalne t = tg. sin + 4 cos = t = tg = cos = t sin = t +t = + t 6t + 4( t ) + t dt = +t dt +t = dt t + ( t ) = Ostatnia całkę obliczamy korzystajac z rozkładu na ułamki proste Stad t + t + = (t + )(t ) = 5 dt t + t + = 5 dt t + 5 t + 5 dt t + t +. t. dt t = 5 ln t + ln t + C. 5 sin + 4 cos = 5 ln tg + tg + C. Zadanie 5.. Oblicz całkę 5 cos = 5 cos. t = tg = cos = t +t = = +t dt + t 5(t + ) ( t ) = + t dt = dt 4t + = dt (t) + = arctg(t) + C = arctg( tg ) + C.

66 5.4 PODSTAWIANIE ZA TANGENS 66 Zadanie 5.. Oblicz całkę +sin sin (+cos ). + sin sin ( + cos ) = t = tg = dt +t cos = t sin = t = +t +t + t +t = t ( + t ) + t dt = + t + t t( + t + t ) dt = +t +t t = ( + t + dt = t t + + ) dt = t = 4 t + t + ln t + C = 4 tg + tg + ln tg + C. Zadanie 5.4. Oblicz całkę sin cos +5. sin cos + 5 = t = tg = dt +t cos = t sin = t = +t +t + t = 4t ( t ) + 5( + t ) + t dt = dt t + t +. Ostatnia całkę obliczamy przez sprowadzenie mianownika do postaci kanonicznej. dt t + t + = dt (t + ) + 5 = dt 5 t+ 9 9 (( 5 ) + ) = u = t+ 5 du = 5 dt = = du 5 u + = arctg u + C = arctg t + + C Stad sin cos + 5 = arctg tg + + C Podstawianie za tangens Podstawienie t = tg stosuje się wtedy, jeśli funkcja podcałkowa nie zmienia się, gdy zamienimy jednocześnie cos na cos i sin na sin. Dla tego podstawienia mamy wzory:

67 5.4 PODSTAWIANIE ZA TANGENS 67 cos = t = tg, dt = cos = arctg t, = + t dt, cos cos + sin = + t, sin = sin cos + sin = t + t. Zadanie 5.5. Oblicz całkę sin 4 cos. sin 4 cos = t = tg dt = ( cos t sin = t = ) + t t + dt = = ( + t + ) t 4 dt = t t t + C = tg ctg ctg + C. Zadanie 5.6. Oblicz całkę + cos. + cos = t = tg = dt +t cos = = +t dt = t + = dt ) + = arctg ( t + +t t + C = dt + t = arctg tg + C. Zadanie 5.7. Oblicz całkę sin + cos sin cos +9 cos. sin + cos sin cos + 9 cos = tg + sin + 9 cos = t = tg = dt +t = t + sin = t cos = = t +t +t + 9 dt = t t + 9 dt + dt ( t ) + = = ln(t + 9) + arctg t + C = ln(tg + 9) + arctg tg + C

68 5.5 ZADANIA 68 Zadanie 5.8. Oblicz całkę ctg 4. Tutaj najlepiej jest podstawić t = ctg. Wtedy mamy tg = t, = arctg t, = t + = dt t + t ctg 4 = t = ctg = dt = t 4 t t + t + dt = 4 + t + (t = )(t ( + ) + t dt = t + ) + t dt = + dt = = t + t arctg t + C = ctg + ctg arctg ctg + C. Dla dowolnej liczby całkowitej k zachodzi ctg = tg( (k + ) π ), a ponieważ zbiorem wartości funkcji arctg jest przedział [ π (kπ, (k + )π), π ], więc dla arctg ctg = arctg tg( (k + ) π ) = (k + ) π. Ponieważ (k + ) π możemy właczyć do stałej całkowania C, więc ctg 4 = ctg + ctg + + C Zadania Zadanie 5.9. Oblicz całki: a) cos b) cos c) sin 4 d) sin cos e) sin sin f) cos cos Zadanie 5.. Oblicz całki: a) sin cos b) sin cos d) cos sin 8 e) sin c) sin cos f) tg Zadanie 5.. Oblicz całki: a) 5+4 cos b) +sin c) +cos d) sin +cos e) +tg f) tg tg

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

6. Całka nieoznaczona

6. Całka nieoznaczona 6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek

Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy

Bardziej szczegółowo

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

5. Całka nieoznaczona

5. Całka nieoznaczona 5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2 1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest

Bardziej szczegółowo

II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2

II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.

Weźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić. Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania i nierówności trygonometryczne Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Całki z funkcji trygonometrycznych. Autorzy: Tomasz Drwięga

Całki z funkcji trygonometrycznych. Autorzy: Tomasz Drwięga Całki z funkcji trygonometrycznych Autorzy: Tomasz Drwięga 08 Całki z funkcji trygonometrycznych Autor: Tomasz Drwięga TWIERDZENIE Twierdzenie : o całkowaniu funkcji postaci R(sin x, cos x) Do obliczania

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym Całka nieoznaczona E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Konrad Nosek 05 Spis treści Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Całkowanie przez podstawianie całek nieoznaczonych

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Symboliczne

Obliczenia Symboliczne Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to

Bardziej szczegółowo

3.Funkcje elementarne - przypomnienie

3.Funkcje elementarne - przypomnienie 3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykłady z matematyki - Granica funkcji Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w

Bardziej szczegółowo

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 1. Granice

Analiza matematyczna - 1. Granice Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład

Bardziej szczegółowo

Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na

Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na ograniczenie czasowe chciałam już dziś dać pewne wskazówki i porady,

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo