Wykład 23. Reinhard Kulessa 1

Transkrypt

1 Wykład Równania Maxwella.Fale elekomagneyzne.1 Równanie falowe. Doświadzenie Heza - dgająy dipol elekyzny.3 Rozhodzenie się fal elekomagneyznyh w pzewodnikah.3.1 Równanie elegafisów.4 Zjawisko naskókowośi..5 Fale elekomagneyzne w izolaoze..6 Weko Poyninga.7 Dyspesja i absobja fal elekomagneyznyh Reinhad Kulessa 1

2 Zesawmy sobie wię wszyskie ównania Maxwella. 19. Równania Maxwella Równania e podamy ak, jak były one podane do ej poy na wykładzie, w posai óżnizkowej i ałkowej. Równania Maxwella podaliśmy w opaiu o zw. ównania maeiałowe. Reinhad Kulessa

3 I D B µ j σ µ H (19.1) Same ównania Maxwella mają nasępująą posać II III IV Posać óżnizkowa D oh j + B o ρ div divb Γ A A A H dl Posać ałkowa A o da Q da BdA j da + Γ dl A DdA A (19.) BdA (19.3) (19.4) (19.6) Nazwa odpow. pawa Pawo Ampea Pawo indukji Faadaya Pawo Coulomba Pawo Gaussa () Pawo Gaussa dla pola magn. Reinhad Kulessa 3

4 Reinhad Kulessa 4 Kozysają z ównań maeiałowyh możemy I ównanie Maxwella napisać w nasępująej posai: + + Γ A A da da j dl B j ob (19.6) Ia W ównaniah yh wykozysaliśmy zależność: ) 4 1 ( ) 1 (4 m V s A m A s V π π µ Do kompleu należy jeszze dodać ównanie iągłośi τ ρ ρ τ d d d da j j div A + (19.7)

5 Podajmy jeszze posać ównań Maxwella wyażoną pzez skalany i wekoowy poenjał pola. B A A ϕ (19.8) gadϕ Pamięamy, że w elekosaye mieliśmy:. W dugim ównaniu Maxwella mamy B o. Podsawiają do ego ównania waość wekoa B z ównania (19.8) mamy: Reinhad Kulessa 5

6 + ( A) A ( + A), o możemy zapisać jako., lub Możemy wię wiedzić, że wyażenie w nawiasie w osanim wzoze jes gadienem funkji skalanej, A A + ϕ zyli ϕ. (19.9) Ozymaliśmy wię podane we wzoze (19.8) wyażenie. Reinhad Kulessa 6

7 Reinhad Kulessa 7 Możemy wię napisać III ównanie Maxwella nasępująo: ρ ϕ A lub ) ( ρ ϕ A (19.1). Równanie Maxwella Ia możemy napisać nasępująo: ) ( j B Kozysają z ównania (19.9), ozymujemy: ) ( ) ( ( ϕ j A A

8 ( A) A + ϕ + A j (19.11) Równania (19.1) i (19.11) wydają się być zupełnie óżne i skomplikowane. Możemy jednak skozysać z dowolnośi dodania do poenjału wekoowego A gadienu pewnej funkji. Zapisywaliśmy o w elekosaye sosują speyfizny waunek dla uposzzenia ównań; diva A. Zasosujmy eaz nasępująy waunek: 1 ϕ A (19.1) Wówzas ównanie (19.1) pzehodzi w ównanie: ϕ 1 ϕ ρ, (19.13) Reinhad Kulessa 8

9 a ównanie (19.11) pzyjmuje posać: 1 A A j (19.14) Dwa osanie ównania są ównaniami Maxwella wyażonymi pzez poenjał skalany ϕ i poenjał wekoowy A. Opeao 1 nazywamy opeaoem D Alambea. (19.15) ϕ A ρ j (19.16) Reinhad Kulessa 9

10 Można pokazać, że zaówno ϕ jak i A można polizyć znają ozkład ładunków i pądów, oaz ih zależnośi zasowe. ϕ (1, ) A(1, ) 1 4π 1 4π ϕ j (, 1 (, / ) / ) dτ dτ (19.17) Z wzoów yh widać, że pole w punkie (1), zależy od ozkładu ładunków i pądów w punkie () w hwili (- 1 /). Infomaja o yh ozkładah może dozeć do punku (1) dopieo po zasie ( 1 /) Reinhad Kulessa 1

11 .Fale elekomagneyzne.1 Równanie falowe Z kusu mehaniki powinni Pańswo pamięać ównanie fali w ośodku spężysym. y y τ ρ x x W ównaniu ym v τ/ρ - okeślało pędkość ozhodzenia się zabuzenia w kieunku x. Równanie o możemy zapisać jako: 1 x v [ ] y Reinhad Kulessa 11 τ x

12 Równanie o poza ym, że jes jednoodne, posiada lewą sonę ówną ej w ównaniu (19.16) dla poenjałów ϕ i A. Widzimy wię, że dla obszau w kóym nie ma ładunków i pądów ównanie (19.16) jes ównaniem falowym. Wypowadźmy sobie wię ównanie falowe dla fal elekomagneyznyh wpos z ównania Maxwella kozysają z ównań maeiałowyh. Załóżmy, że mamy ośodek homogenizny i izoopowy, oaz ze nie zawiea on ładunków. Oznaza o że, µ, σ ons. i ρ. Znane nam zey ównania Maxwella mają wedy w układzie SI nasępująą posać: Reinhad Kulessa 1

13 Reinhad Kulessa 13 ' ' ' ' + div IV div H III H o II H o I µ µ σ o / / o / / Wykonajmy kolejno zaznazone po pawej sonie ównań I i II opeaje. Ozymamy wedy nasępująe ównania. ) ( ) ( ) ( ) ( H o div gad o o H o oh + µ µ σ

14 H leminują z yh ównań wyażenie o ( ) oaz mnożą wynik obusonnie pzez 1/, ozymujemy: 1 1 σ + (.1) µ Dla dugiego pzypadku eleminują wyażenie o( ) ozymujemy: 1 1 H H H σ + (.) µ Pzez kombinaję ównań Maxwella uzyskaliśmy dwa idenyznej posai ównania, kóe możemy zapisać jako: µ ξ σ ξ + ξ, (.3) Reinhad Kulessa 14

15 Gdzie ξ może pzyjmować waośi H lub. Równanie o nie jes pose, gdyż wysępują w nim zaówno piewsza, jaki i duga pohodna ząskowa po zasie. Załóżmy, że: iω. (, ) ( ) e Po podsawieniu ozymujemy: µ ω [ i σ ω ]. (.4) Jeśli zajdzie nieówność (σ/ ) >> ω, w ównaniu dominuje złon z / i wedy mamy ównanie dyfuzyjne, a gdy (σ/ ) << ω, wedy dominuje złon z /, i ozymujemy ównanie falowe. Dla izolaoów auomayznie jes spełniony waunek dla ównania falowego. Widać wię z powyższego, że ównania Maxwella zawieają w sobie opis ozhodzenia się Reinhad fal elekomagneyznyh. Kulessa 15

16 . Doświadzenie Heza - dgająy dipol elekyzny Z ównań Maxwella wiemy, że fale elekomagneyzne ozhodzą się w pzeszeni ze skońzoną pędkośią (paz. (.3) ). Po az piewszy pakyznie wywozył fale elekomagneyzne Heinih Hez w Kalsuhe w Dokonał On ego pzy pomoy osylująego dipola elekyznego. Układ dgająy Heza wyglądał badzo poso. Był o obwód dgająy z pzewą iskową. Rezonao Heza Obwód dgająy C L Reinhad Kulessa 16

17 Obwód aki możemy pzedsawić nasępująo: H H H W lewym ysunku L,C, H i są dobze zlokalizowane. Doboć obwodu Q 1. W pawej zęśi wymienione wielkośi są ozmye, a Q 1, ze względu na wypomieniowanie enegii. Do dgająego dipola zawsze musi być dopowadzona enegia aby podzymać dgania. Reinhad Kulessa 17

18 HF Taki dgająy pę jes dipolem elekyznym P el pzy zym p l l qsinω q. p, (.5) Wzdłuż ego pęa peiodyznie osyluje ładunek elekyzny wywazają peiodyzne pole. Z kolei płynąy pąd I q p l p ω osω l, (.6) wywaza peiodyzne pole indukji magneyznej B. Szukamy wię pola i B w punkie P odległym o od dipola. Reinhad Kulessa 18

19 W ozdziale piąym ozważaliśmy poblem dipola sajonanego i podaliśmy waość naężenia pola w układzie biegunowym. Obenie poblem należy ozważać w układzie sfeyznym. x p z θ ϕ P y Nie będziemy uaj pzepowadzać pełnyh oblizeń, gdyż nie poznaliśmy zagadnienia poenjałów opóźnionyh. Podamy wyniki uzyskane pzez Heza pzy nasępująyh założeniah. 1. l(długość dipola) <<. Zgodnie z ównaniem falowym pędkość ozhodzenia się wekoów i B jes. Należy wię uwzględnić, że kszały pól w punkie P w zasie zosały wywołane pzez san dipola w hwili (-/). W układzie sfeyznym wynik jes nasępująy: Reinhad Kulessa 19

20 Reinhad Kulessa θ θ π θ π ϕ θ ϕ θ sin ) ( sin ) ( 4 1 os ) ( p p B B B p p p p p (.7) Musimy u ozważyć dwa pzypadki: A). Obsza bliski dipola << λπ/ω. Zaówno pędkość jak i opóźnienia nie gają u oli. Dla pola wysąpią e złony, kóe poznaliśmy w ozdziale 5.7.4, zyli podkeślone na powyżej na zewono.

21 Dla pola B ozymamy zgodnie z pawem Bioa-Savaa, B µ 1 ( I l p ) 3 4π Ponieważ weko indukji magneyznej jes posopadły zaówno do wekoa jak i l, będzie miał ylko składową B ϕ. µ 4π 1 B Bϕ p 3 sinθ Pzypadek en nie jes związany z ozhodząa się falą elekomagneyzną. Pzejdźmy wię do pzypadku dugiego: B) >> λ. Zgodnie ze wzoem (.5) zy złony powazająe się we wzoze (.7) można napisać nasępująo: Reinhad Kulessa 1

22 Reinhad Kulessa p p p p p p p p p ω λ λ π ω ω ω λ λ π ω ω ω λ λ ω sin ) ( 4 sin ) ( os ) ( os sin ) ( 1 sin W pawej zęśi ównania zasosowaliśmy związek: k λ π ω Ze względu na o, że λ/ << 1, złony w wyższej poędze będą zaniedbywalne. Dominująą olę będzie odgywało wię zeie ównanie. Pzybliżone ozwiązanie będzie miało posać:

23 θ ϕ p 1 4π sinθ B B θ B ϕ p 1 4π sinθ (.8) B p 1 sin θ iθ 4π p 1 sin θ iϕ 4π (.9) Wóimy jeszze do kókiego omówienia moy wypomieniowanej pzez dipol później. Reinhad Kulessa 3

24 .3 Rozhodzenie się fal elekomagneyznyh w pzewodnikah Rozważmy koaksialny pzewód z dwóh u, w kóyh płyną pądy I w pzeiwnyh kieunkah. Skozysajmy w ym elu ze znanego nam już ysunku x B() I b a I V(x +x) V(x ) Jeśli pomiędzy pzewodami zakeślimy pęlę o pomieniu, o zgodnie z pawem Ampea : Γ Bdl π B µ µ I < a < b < < a < b < Reinhad Kulessa 4

25 Wobe ego B ) I µ µ Dla a < < b. π ( Sumień indukji magneyznej pzez zakeskowana powiezhnię wynosi: b I 1 I b Φ B B da µ µ l d µ µ l ln π π a a. Wobe ego współzynnik indukji własnej na jednoskę długośi kabla wynosi: 1 Φ B µ oµ L ln. (.1) L l l Równoześnie pojemność kondensaoa ylindyznego wynosi: I π b a Reinhad Kulessa 5

26 C 4π b ln a (.11) Mamy wię, że; µ L C µ µ (.1) C Równanie o jes słuszne dla wszyskih odzajów podwójnyh kabli. Widzimy wię, ze ozhodzą się po nih fale elekomagneyzne. Reinhad Kulessa 6

27 .3.1 Równanie elegafisów Rozważmy układ dwóh pzewodów podłązony do geneaoa wysokiej zęsośi. Układ aki nazywamy linią Lehea. I I+dI A B V V+dV os ω D x C x+dx Poenjał V i naężenie pądu I, zyli wekoy i B zmieniają się peiodyznie w funkji położenia. 1). Rozważmy zmianę ładunku na odinku dx w zasie d. I d ( I + di) d Q AB di d I dx d x Reinhad Kulessa 7

28 Z dugiej sony odinek x wozy kondensao o pojemnośi C * dx, V Q AB C dx dv C dx d zyli V 1 C I x I (.13) ). Rozważmy zmianę indukji na odinku dx. Oznazmy pzez R * waość opou pzypadająego na jednoskę długośi pzewodnika i zasosujmy pawo indukji elekomagneyznej dla konuy ABCD. dl ( L dx I ) ABCD L dx I Reinhad Kulessa 8

29 ABCD dl V AD dv + R + R dx I dx I DC V x + ( V + dv) dx+ R CB dx I + R dx I BA. Mamy wię: V x L I R II (.14) I I V 1 C Nasępnie bioą z I ównania pohodną / a z ównania II pohodną /x ozymujemy po eleminaji dugih pohodnyh mieszanyh i skozysaniu z ównania I; I x V + R L V 1 L C V x (.15a) Reinhad Kulessa 9

30 Nasępnie bioą z I ównania pohodną /x a z ównania II pohodną / ozymujemy po eleminaji dugih pohodnyh mieszanyh; I + R L I 1 L C I x (.15b) Ozymaliśmy wię dwa idenyzne ównania na poenjał i naężenie pądu. Są o zw. ównania elegafisów. Jeśli do linii Lehea pzyłożymy zmienne napięie ypu Ve iω, wedy V iωv V ;; ω Równanie (.15a) pzyjmie wedy posać: V Reinhad Kulessa 3

31 ω R 1 V + i ω V L L C V x Mamy u do ozważenia dwa pzypadki: a). R ω << Można wedy zaniedbać w ównaniu L (.15a) złon z dugą pohodną ząskowa po zasie i wedy: R V 1 C V x (.16) Równanie o ma haake ównania dyfuzyjnego. Jeśli znika L * linia Lehea da się pzedsawić jako łańuh R-C. Reinhad Kulessa 31

32 V 1 V V 1 R o z m y i e V b). ω R >> L Można wedy zaniedbać złon z piewszą pohodną zasową, V/. Dla idealnego pzewodnika R *. Wedy; V 1 L C V x Jes o ównanie falowe, pzy zym; (.17) Reinhad Kulessa 3

33 1 L C µ v faz, (.18) Gdzie v faz jes pędkośią fazową fali. Ogólnym ozwiązaniem ównania (.15) są wyażenia; ϑ( x, ) I( x, ) V I e e i( ω kx) i( ω kx+ ϕ ). W wyażeniu na zespolone naężenie pądu dodaliśmy dla bezpiezeńswa fazę. Sała k jes ówna: k ω v ω LC faz Wsawiają odpowiednie pohodne do ównania (.13), ozymamy: Reinhad Kulessa 33

34 ϑ I x iω ϑ iω L C I Po podsawieniu yh waośi ozymujemy, ϑ L C Osanie ównanie ma posać pawa Ohma. Wyażenie C ma znazenie impedanji. Impedanja a jes zezywisa, zyli naężenie i napięie pądu są w fazie, o oznaza, że ϕ. I. (.19) Wyażenie L pzedsawia sobą opó falowy. Z f C L Reinhad Kulessa 34

35 Reinhad Kulessa 35.4 Zjawisko naskókowośi. Wóćmy do ównania (.3) i zasanówmy się jakie złony w ym ównaniu będą isone w pzypadku, gdy pzewodnikiem będzie miedź. Wyażenie σ/ odpowiada zęsośi s -1. Odpowiada o długośi fali w póżni λ m, o odpowiada podzewieni. Częsośi, kóe możemy ealizować ehniznie, pzy pomoy geneaoów wysokih zęsośi są zędu 1 1 Hz. Wynika sąd, że σ/ >>ω, zyli od zęsośi naszego źódła pądu. Czyli w ównaniu (.3) dominować będzie złon z /, ak, że + ξ ξ σ ξ µ H H σ µ ] [ ω σ ω µ i. (.)

36 Reinhad Kulessa 36 Załóżmy, że mamy nasępująą syuaję. j, µσ z x Mamy wię: i z z e x j j ω σ σ ) ( Po podsawieniu do wzou (.) ozymujemy: i i e i x e x x ω ω ω σ σ σ µ ) ( ) ( i x dx x d )] ( [ )] ( [ σ ω µ σ σ

37 W nawiasie kwadaowym osaniego ównania wysępuje weko gęsośi pądu j (x). d dx j o 1 ( x) i j α ( x) Gdzie 1/α σµω/.. Z ównania ego widać, że j (x) musi x /α mieć posać; j ( x) ons e. Na waość wekoa gęsośi pądu ozymujemy wię: j iω x / α iω ( x, ) jo( x) e ons e e. (.1) Płynąy w pzewodniku pąd zmienny nie wnika wię głęboko do wnęza pzewodnika. Dla miedzi α(mm)66.7/ν(hz) 1/.. Ozymujemy wię 9.5 mm dla pądu o zęsośi 5 Hz. Reinhad Kulessa 37

38 Głębokość peneaji fali do wnęza pzewodnika miedzianego pokazane jes na poniższym ysunku. Reinhad Kulessa 38

39 .5 Fale elekomagneyzne w izolaoze. W izolaoze wiadomo, że σ. Zgodnie z ównaniem (.3) znika w nim złon z /. H µ H. (.) Rozpazmy falę płaską ozhodząa się w kieunku x: (x,), H(x,). Załóżmy, że y, zyli ma kieunek posopadły do założonego kieunku x. Pyanie jes nasępująe, zy isnieje wedy weko H i jak jes on ewenualnie skieowany. Równania falowe edukują się do: µ iy i y, x Reinhad Kulessa 39

40 oaz, H H x y Hz µ H ix + i y + i z x y z. Pamięamy, że w izolaoze σ, a ównież j, wedy I ównanie Maxwella ma posać: o H. Założyliśmy, że weko naężenia pola elekyznego ma ylko składową y, wobe ego ( o H) y H z x H x Zgodnie z naszym założeniem musi znikać piewszy złon po pawej sonie. z Reinhad Kulessa 4

41 Mamy wię, H x y z. Dla wekoa H pozosaje ylko składowa z-owa. Widzimy z ego, że fala elekomagneyzna jes falą popzezną. Wekoy i H zmieniają ampliudę w kieunku posopadłym do kieunku pędkośi fazowej v faz, oaz są do siebie posopadłe. 1 H v faz µ v faz Reinhad Kulessa 41

42 y Reinhad Kulessa 4

43 .6 Weko Poyninga Fala elekomagneyzna pouszają się w izolaoze anspouje enegię. Ile enegii anspouje fala pzez powiezhnię A w zasie d. Tanspouje ej enegii yle, ile zawiea ylinde o objęośi A v faz d. H A k V faz d du [ U + U ] el mag Av faz d Reinhad Kulessa 43

44 Wiadomo ównież, że odpowiednie gęsośi enegii są ówne; 1 U el 1 U mag µ µ H Dla fali hamoniznej zahodzi nasępująa zależność: H µ µ. Ozymujemy wię, 1 U µ µ mag U el µ µ Reinhad Kulessa 44

45 Wynika sąd, że du µ µ H H A µ d µ µ H µ µ A µ d. H Ad Gęsość sumienia enegii definiujemy jako S 1 A du d H Ze względu na o, że kieunek anspou enegii jes posopadły do wzajemnie posopadłyh wekoów i H, możemy S wyazić jako weko. Reinhad Kulessa 45

46 S H (.3) Kozysają z ównania (.9) podająego weko naężenia pola elekyznego i weko indukji magneyznej dla dgająego dipola, ozymujemy na enegię pomieniowania dipola waość; S 1 1 p sin θ (4π ) µ µ i Rozkład kąowy enegii emiowanej pzez dgająy dipol jes pzedsawiony na nasępnym ysunku. Reinhad Kulessa 46

47 θ Reinhad Kulessa 47

48 .7 Dyspesja i absobja fal elekomagneyznyh Współzynnik załamanie świała jes zdefiniowany jako; n v faz Wiemy, że pędkość fazowa v faz. µ Sąd znajdziemy związek pomiędzy opyznymi a elekyznymi sałymi maeiałowymi. Dla izolaoów µ1. n (.4) v faz µ Dyspesja świała w pyzmaie wskazuje na o, że współzynnik załamania świała n zależy od długośi fali, zyli ównież (ω). Odpowiednie zależnośi można znaleźć w opaiu o model ozpaszania świała na aomah(elekonah) Reinhad Kulessa 48

49 Padająa fala o zęsośi ω indukuje wóny momen dipolowy w aomie. Momen en uzyskuje dla pewnej zęsośi waość maksymalną. W opaiu o akie ozważania ozymujemy na współzynnik załamania wyażenie; n + π Ne m ( ω 1 ω ) 1 iγ ω, (.5) gdzie N oznaza lizbę aomów/m 3, e - ładunek elekonu, m masę elekonu, ω zęsość ezonansową, a e γ 3 m Współzynnik załamania pzyjmuje wię posać ω n ω ) n iκ (. (.6) n (ω) pzedsawia zezywisy współzynnik załamania odpowiedzialny za ozszzepienie świała, Reinhad Kulessa 49

50 κ(ω) jes odpowiedzialny za łumienie ampliudy fali. Pawo absobji fali elekomagneyznej ma posać: I I e ωκ x. (.7) Reinhad Kulessa 5