Anna Sulima. Wydział Zarządzania, Informatyki i Finansów Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

Transkrypt

1 171/2019 s ZESZY AUKOWY 171 Szkoła Główna Handlowa w Warszawe Ofcyna Wydawncza SGH kolega.sgh.waw.pl Wydzał Zarządzana Informayk Fnansów Unwersye Ekonomczny we Wrocławu Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego Sreszczene Celem badań jes znalezene opymalnej sraeg nwesycyjnej na zupełnym rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego bez arbrażu. W arykule wyznaczono udzały różnych nsrumenów fnansowych w porfelu opymalnym. Ceny ych nsrumenów opsane są za pomocą procesu Levy ego kóry jes uogólnenem procesu Wenera. Ponado założono że współczynnk modelu zależą od sanów łańcucha Markowa. ak rynek jes nezupełny co oznacza że ne każdą wypłaę można zreplkować za pomocą pewnej sraeg nwesycyjnej. Aby uzupełnć en rynek dodano skokowe nsrumeny fnansowe oraz akywa poęgowo skokowe. asępne wykorzysano meody programowana dynamcznego do wyznaczena opymalnej sraeg nwesycyjnej na ym rynku. Opymalna sraega o aka kóra maksymalzuje oczekwaną użyeczność procesu bogacena na końcu usalonego z góry okresu. Analzę przeprowadzono dla logarymcznej poęgowej funkcj użyecznośc wypłay. Słowa kluczowe: model przełącznkowy rynku opymalne serowane arbraż zupełność rynku całka sochasyczna procesy Lévy ego Kody klasyfkacj JEL: C02 G11

2 20 1. Wprowadzene eora wyboru porfela jes ważnym emaem zarówno w eor jak prakyce współczesnej bankowośc fnansów. Jes ona podsawą podejmowana decyzj nwesycyjnych na rynkach fnansowych. H. M. Markowz [1952] był ponerem wykorzysana meod maemaycznych do formułowana analzy eor wyboru porfela. aomas. C. Meron [1973; 1976] rozpowszechnł użyce sochasycznej eor serowana opymalnego do uzyskana rozwązań dla problemu opymalnego wyboru porfela. ozważany w ej pracy model Blacka-Scholesa-Merona [1973] jes sochasycznym równanem różnczkowym opsującym dynamkę cen nsrumenów fnansowych w czase cągłym. Perwona wersja ego modelu zakładała że ceny ych nsrumenów zadane są przez proces Wenera. Jednak lczne badana empryczne (zob. [Black Jensen Scholes 1972]) pokazują że założene o ne jes adekwane do rzeczywsego opsu dynamk cen. W zwązku z ym zamas procesu Wenera wykorzysano proces Lévy ego kóry lepej opsuje procesy cen poneważ zawera skok (zob. [Sao 1999; Schouens 2003]). Orygnalny model Blacka-Scholesa-Merona [Black Scholes 1973] zakłada akże że współczynnk ego modelu są sałe. Welu badaczy podjęło sę sformułowana alernaywnych model kóre borą pod uwagę zmenność ych współczynnków w czase. Dosarczają one bardzej realsycznych sposobów modelowana zachowań cen nsrumenów fnansowych. Są o m. n. skokowy model dyfuzj [Meron 1976] model zmennośc sochasycznej [Hull Whe 1987] oraz model przełącznkowy [ak 1993]. Modele przełącznkowe naczej nazywane modelam Markowsko modelowanym wydają sę być najlepszym kandydaam do opsywana procesów cen akcj poneważ uwzględnają zmany środowska makroekonomcznego. W pracy będzemy rozważal przełącznkowy model Blacka-Scholesa-Merona. Współczynnk będą zależały od łańcucha Markowa będą sę zmenały wraz ze zmaną sanu łańcucha. W rzeczywsośc zbór paramerów zmena sę (przełącza) na nny zesaw jeśl zachodzą zmany srukuralne w warunkach gospodarczych zmany środowska nwesycyjnego p. Przełącznkowy model rynku Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego jes nezupełny. Wynka o z faku że ceny akcj w ym modelu zawerają neskończene wele źródeł ryzyka. yzyko o wysępuje na skuek zmany sanu łańcucha Markowa lub jes generowane poprzez wahana ceny rynkowej akcj opsanej za pomocą losowej mary Possona. Brak zupełnośc oznacza że ne każda wypłaa jes doskonale replkowalna za pomocą dosępnych na rynku nsrumenów fnansowych. Sulma [2018] zaprezenowała meody uzupełnana rynku poprzez rozszerzene modelu o skokowe nsrumeny fnansowe oraz akywa poęgowo-skokowe. Zupełność rynku może być nerpreowana w en sposób że wszyske źródła ryzyka fnansowego wycenane są jednoznaczne wszyske przyszłe sany gospodark mogą być replkowane przez akywa fnansowe znajdujące sę w wybranym porfelu. ozważany rynek charakeryzuje sę brakem arbrażu przy pewnych założenach opsanych

3 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego 21 w pracy A. Sulmy [2018]. Brak arbrażu oznacza że nwesor ne może osągać zysku bez ponoszena ryzyka. a rynku zupełnym bez arbrażu cena nsrumenu fnansowego jes zadana przez warunkową warość oczekwaną zdyskonowanych wypła względem mary równoważnej (zob. [Jakubowsk 2006]). Leraura doycząca problemów wyboru opymalnego porfela na rynku o nesałych współczynnkach jes obszerna. Bauerle eder [2004] oraz eder Bauerle [2005] badal problem opymalzacj porfela na rynku w kórym zmenność ceny nsrumenu jes modelowana przez obserwowalny neobserwowalny łańcuch Markowa. en problem ze zmennoścą sochasyczną cen nsrumenów fnansowych zosał rozważony przez Phama Quenez [2001] oraz Flemnga Hernandez-Hernandeza [2003]. Problemy opymalzacj porfela w przełącznkowym modelu rynku fnansowego były akże już rozważane. Jedną z perwszych prac opublkował Zarphopoulou [1992]. Auor maksymalzuje użyeczność konsumpcj z proporcjonalnym koszam za ransakcje. Wynk ego auora zosały uogólnone przez welu nnych m.n. X. Zhanga G. Yna [2004]. Sockbrdgea [2002]. Aby rozwązać problem maksymalzacj oczekwanej użyecznośc mająku nekórzy auorzy używają meod numerycznych (parz [Sass Haussmann 2004; aga unggalder 2008; Shen Su 2012; Fu We Yang 2014]). Gassa e al. [2014] przeanalzowal problem maksymalzacj użyecznośc w modelu przełącznkowym Blacka-Scholesa z ogranczenam płynnośc. B. G. Y.U. Jang e al. [2007] zbadal w ym modelu wybór porfela z koszam za ransakcje. W pracy X. Zhanga. K. Su Q. Menga [2010] auorzy rozwązal problem wyboru opymalnego porfela bez koszów ransakcyjnych w przełącznkowym modelu rynku Blacka-Scholesa z czasem cągłym. Orzymal on rozwązana explce problemu opymalzacj porfela dla logarymcznej poęgowej funkcj użyecznośc. Podobne wynk dla przełącznkowego modelu rynku Blacka-Scholesa były uzyskane przez. Lu [2014] X. Guo J. Mao E. Morelleca [2005] oraz L.. Soomayor A. Cadenllasa [2013]. Problem en dla czasu dyskrenego zosał rozwązany przez Yn Zhou [2004]. Celem pracy jes wyznaczene opymalnej sraeg nwesycyjnej na zupełnym rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego bez arbrażu. W modelu ym zakładamy że sopa zwrou oraz zmenność cen akywów fnansowych zależy od łańcucha Markowa. Ponado cena akcj modelowana jes za pomocą procesu Levy ego. ynek perwony rozszerzony jes o skokowe nsrumeny fnansowe oraz akywa poęgowo-skokowe ak aby był zupełny. Do wyznaczena opymalnej sraeg nwesycyjnej wykorzysano meody programowana dynamcznego (zob. [Oksendal Sulem 2004; Flemng Soner 1993; Pham 2008]). W naszym przypadku opymalna sraega o aka kóra maksymalzuje warość oczekwaną użyecznośc procesu bogacena na końcu okresu. Meoda programowana dynamcznego opera sę na pewnym nelnowym równanu różnczkowym cząskowym drugego rzędu nazywanym równanem Hamlona-Jacobego-Bellmana. Aby wyznaczyć sraegę opymalną należy rozwązać o równane oraz udowodnć że rozwązane jes jedyne. Analza zosane przeprowadzona dla logarymcznej poęgowej funkcj użyecznośc.

4 22 Arykuł składa sę z pęcu rozdzałów. W rozdzale drugm zaprezenowany jes perwony model rynku fnansowego zaś w rzecm rynek en zosaje rozszerzony poprzez dodane skokowych nsrumenów fnansowych oraz akywów poęgowo-skokowych. W ym rozdzale pokazano równeż że ak uzupełnony model rynku jes zupełny bez arbrażu. W rozdzale czwarym wyznaczono opymalną sraegę nwesycyjną dla logarymcznej poęgowej funkcj użyecznośc naomas rozdzał pąy zawera podsumowane całego opracowana. 2. Model jes zupełną przesrzeną probablsyczną z flracją. ech Załóżmy że ΩF F P := [ 0; ] gdze 0 < < jes usalony oznacza ermn zapadalnośc dla wszyskch rodzajów paperów waroścowych. ozważmy obserwowalny łańcuch Markowa J ze skończoną kanonczną przesrzeną sanów E := { e 1 e 2...e }(por. [Ello Aggoun Moore 2004]). Łańcuchy Markowa o procesy sochasyczne z czasem dyskrenym w kórych prawdopodobeńswo każdego zdarzena zależy jedyne od zdarzena poprzednego. Są one maemaycznym pojęcem służącym do opsu losowych zman zachodzących w jakmś obekce. Sany łańcucha Markowa możemy uożsamać ze sanam gospodark. Dla łańcucha Markowa J zdefnujmy jego macerz nensywnośc przejśca Λ =[λ j ] 2... nasępująco: elemeny ej macerzy λ j są sałym nensywnoścam przejśca łańcucha Markowa J ze sanu e do sanu e j w czase. Zakładamy że λ j > 0 dla j. ozważmy klasyczny model rynku fnansowego na kórym są dwa podsawowe nsrumeny fnansowe: 2.1. achunek bankowy Zakładamy że sopa procenowa r modelowana jes przez łańcuch Markowa J nasępująco: r:= r J= r e J gdze r := (r 1 r 2...r ) ' + oraz jes loczynem skalarnym w. Współrzędna r ( = 1 ) odzwercedla warość sopy procenowej na rachunku bankowym gdy łańcuch Markowa jes w -ym sane. Zaem dynamka procesu warośc jednosk penężnej jes zadana równanem: =1 db= rbd. (1) Ponado będzemy zakładać że B 0 =1. achunek bankowy może być uożsamany z nsrumenem fnansowym wolnym od ryzyka.

5 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego Akcje a począku zdefnujmy proces Iô-Lévy ego kóry zosane wykorzysany do opsu dynamk cen akcj. ech: γ ( x):= γ ( x) J = γ ( x) e J gdze γ ( x):= γ 1 ( x)γ 2 ( x)...γ ( x) Proces X nazywamy procesem Iô-Lévy ego jeśl ma nasępującą dekompozycję (zob. [Oksendal Sulem 2004]): =1 jes wekorem warośc funkcj. X= X( 0)+ µ 0( s)ds + σ 0( s )dw( s)+ 0 0 γ ( sx ) ( dsdx ) 0 gdze W oznacza sandardowy ruch Browna nezależny od J naomas ( ddx)= ( ddx) ν ν( dx)d jes skompensowaną marą Possona kóra jes nezależna od J W. Dodakowo załóżmy że E γ 2 ( x)ν ( dx)d <. Wedy proces γ ( x ) ddx 0 dla 0 jes maryngałem (zob. [Oksendal Sulem 2004]). Oznaczmy przez X część maryngałową procesu X manowce X= σ 0( s )dw( s)+ 0 γ ( sx ) ( dsdx ). 0 Przy ych oznaczenach zakładamy że dynamka cen akcj S 0 zadana jes przez Markowsko modelowany proces Iô-Lévyego nasępująco: ds 0 = S 0 µ 0 d +σ 0 ( )dw+ γ ( x ) ( ddx ) S 0 ( 0)> 0 gdze µ 0 jes sopą zwrou z akcj σ 0 jes zmennoścą ceny akcj modelowaną przez łańcuch Markowa J nasępująco: µ 0 := µ 0 J σ 0 := σ 0 J e J = µ 0 =1 e J = σ 0 gdze µ 0 := (µ 1 0 µ µ 0 ) σ 0 := (σ 1 0 σ σ 0 ) σ 0 > 0 dla każdego =12... Współrzędne wekorów µ 0 σ 0 oznaczają sopę zwrou zmenność ceny akcj gdy łańcuch =1 (2)

6 24 Markowa jes w sane e. Załóżmy że µ 0 > r dla każdego = Warunek en pozwala unknąć możlwośc arbrażu na rynku. 3. ozszerzene Markowsko modelowanego rynku Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego W ym rozdzale do rynku perwonego złożonego z akcj akywu bez ryzyka dodajemy nne nsrumeny fnansowe ak aby rozszerzony rynek był zupełny. Mówmy że rynek jes zupełny jeżel każda wypłaa jes replkowalna przez nsrumeny fnansowe w porfelu. W przecwnym wypadku mówmy że rynek jes nezupełny. a począku wprowadźmy reprezenację łańcucha Markowa J jako proces punkowy Φ j dla j = ech n ( n =12... ) oznacza okres (do ) skoku łańcucha Markowa J gdze Wedy proces Φ j = := Φ [ 0]e j 1 { J ( n )=e j n } nazywamy zlczającym procesem skokowym. Proces Φ j opsuje le razy łańcuch Markowa był w sane e j do czasu. Zdefnujmy funkcję ϕ j jako: n 1 gdze λ j ϕ j := λ j ( s)ds := 0 1 J( )=e j j { } λ j. (3) Funkcja ϕ j jes nazywana kompensaorem j-ego procesu skokowego Φ j. Wedy proces Φ j := Φ j ϕ j jes maryngałem nazywamy go j-ym maryngałem skokowym (por. [Palmowsk Sener Sulma 2018]). Zdefnujmy procesy cen skokowych nsrumenów fnansowych kórych dynamka opsana jes za pomocą maryngałów skokowych. ech S j będze procesem ceny j-ego skokowego nsrumenu fnansowego kórego dynamka zadana jes w nasępujący sposób: ds j = S j µ j d +σ j ( )dφ j S j ( 0)> 0 (4)

7 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego 25 gdze µ j jes sopą zwrou a σ j zmennoścą ceny pewnego nsrumenu fnansowego. Zakładamy że współczynnk e są modelowane przez łańcuch Markowa nasępująco: µ j = µ j J σ j = σ j J = µ j e J =1 e J = σ j gdze µ j := (µ 1 j µ 2 j...µ j ) oraz σ j := (σ 1 j σ 2 j...σ j ). Współrzędne µ j oraz σ j oznaczają sopę zwrou oraz zmenność ceny nsrumenu fnansowego gdy gospodarka znajduje sę w -ym sane łańcucha Markowa. Zakładamy akże że =1 µ j r =12... Jes o wymagane aby unknąć możlwośc arbrażu na rynku. Ponado rozszerzamy rynek paperam waroścowym kóre po raz perwszy zosały zaprezenowane w pracy Corcuera ualara Schouensa [2003] a manowce zw. nsrumenam poęgowo skokowym. ajperw wprowadzamy proces X ( k) zdefnowany jako: X ( k) = (ΔX( s)) k k 2 0<s gdze ΔX( s)= X( s) X( s ). Dla k =1 berzemy X ( 1) ( s)= X( s). Proces X ( k) nazywamy k-ym procesem poęgowo skokowym. Zauważmy że X ( k) jes procesem Lévy ego-iô oraz że procesy e skaczą w ych samych punkach co perwony proces Lévy ego-iô ale welkośc skoku są k-ym poęgam welkośc skoku perwonego procesu Lévy ego-iô. Dla k 1 mamy że: a zaem procesy EX ( k) = E (ΔX( s)) k 0<s = γ k ( sx)ν ( dx)ds < 0 X ( k) = X ( k) γ k ( sx)ν ( dx)ds k 1 są maryngałam nazywamy je maryngałam eugelsa rzędu k. asępne uzupełnamy rynek zborem k-ych akywów poęgowo-skokowych. Zdefnujmy węc nowe procesy cenowe S ( k) nasępująco (dla k 1): ds ( k) = S ( k) 0 r d +σ ( k) ( )dx ( k) > 0. S ( k) 0 Współczynnk wysępujące w powyższym wzorze są modelowane w podobny sposób jak dla S j a manowce (5)

8 26 σ ( k) := σ ( k) J = ( k) σ j e j J gdze σ ( k) ( k := (σ ) ( k 1 σ ) ( k 2...σ ) ) dla k 1. Zesawając równana (1) (2) (4) oraz (5) Markowsko modelowany rynek Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévyego składa sę z nasępujących nsrumenów fnansowych: db= rbd ds 0 = S 0 ( ) µ 0 d +σ 0 ( )dw+ γ ( x ) ( ddx ) ds j = S j ( ) µ j d +σ j ( )dφ j ds ( k) = S ( k) ( ) rd +σ ( k) ( )dx ( k) gdze j = 1 k 1. ak rynek jes zupełny (zob. [Sulma 2018]). J. M. Corcuera D. ualar W. Schouens [2005] pokazują jak nerpreować obró szucznym paperam waroścowym. Proces poegowo skokowy sopna drugego jes zwązany z konrakam realzującym warancję (zob. [Barndorff-elsen Shephard 2003; 2004]). Konraky e są noowane na rynkach pozagełdowych są przedmoem regularnych ransakcj. Proces poęgowo skokowy sopna rzecego merzy asymerę a sopna czwarego merzy kurozę. Ponado akywa poęgowo skokowe sopna wększego nż czery są uożsamane z ubezpeczenam przecwko zdarzenom eksremalnym. Aby model rynku fnansowego można było zaakcepować z ekonomcznego punku wdzena pownen on spełnać pewne kryera. a przykład model byłby nedopuszczalny jeżel nwesor małby w nm możlwość osągnęca dodakowego zysku bez ryzyka sray penędzy an nawe bez ryzyka osągnęca zerowego zysku. aka syuacja jes możlwa gdy w modelu sneje możlwość arbrażu. Pokażemy eraz że na rozważanym uaj rynku ne ma możlwośc arbrażu. Podsawowe werdzene maemayk fnansowej mów że snene równoważnej do P mary maryngałowej gwaranuje brak arbrażu na rynku (zob. [Harrson Plska 1981; Jakubowsk e al. 2003]). werdzene 1. [Sulma 2018] ech Q będze marą prawdopodobeńswa na ( ΩFF P) aką że Wedy L zdefnowane nasepującym wzorem: L= dq dp F. L= exp ψ 0( s)dw( s) 1 2 ψ 2 0 ( s)ds ψ j ( s)ϕ j ( ds) ( 1+ψ j ) J J

9 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego 27 jes procesem gęsośc nowej mary maryngałowej Q. Załóżmy że µ j j = r j dla wszyskch j = oraz ψ j j = wyrażone są wzoram ψ 0 ψ j = r( ) µ 0( ) σ 0 ( ) = r( ) µ j ( ) ( )λ j. σ j Wedy zdyskonowane procesy cen paperów waroścowych są maryngałam względem nowej mary Q rynek en jes bez arbrażu. Zauważmy że możlwość arbrażu o pozbawona ryzyka możlwość zdobyca penędzy nwesor ne wykłada żadnych penędzy we że na pewno ne srac a w nekórych syuacjach może zyskać. Gdyby aka możlwość snała wszyscy saralby sę zasosować ę sraegę co wpłynęłoby na cenę paperów waroścowych. Model ekonomczny ne opsywałby równowag. Insrumen fnansowy jes osągalny jeżel sneje sraega nwesycyjna kóra replkuje en nsrumen. Zasada wyceny maryngałowej mów o ym że jeżel w modelu ne ma możlwośc arbrażu o warość nsrumenu osągalnego X w chwl począkowej wynos ( X / B) gdze Q jes dowolną marą maryngałową. E Q 4. Opymalna sraega nwesycyjna na rynku Blacka-Scholesa- Merona ypu Lévy ego W ym rozdzale rozważymy problem wyboru sraeg nwesycyjnej kóra najlepej przekszałc pewen zasób penędzy w chwl począkowej w zasób penędzy w chwl końcowej. Zadane polega na wyznaczenu opymalnej sraeg nwesycyjnej a do ego porzebna jes mara umożlwająca porównywane ze sobą sraeg. Do porównywana sraeg zasosujemy kryerum oczekwanej użyecznośc mająku końcowego. W ym rozdzale zaem wyznaczymy opymalną sraegę nwesycyjną na zupełnym rynku Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego gdy nwesor posada logarymczną lub poęgową funkcję użyecznośc. W przypadku logarymcznej funkcj użyecznośc zasosujemy meody bezpośrednego różnczkowana naomas w przypadku poęgowej funkcj użyecznośc wykorzysamy meody programowana dynamcznego (zob. [Oksendal Sulem 2004]). Wybór akch funkcj użyecznośc zosał zdeermnowany fakem ż w ych dwóch przypadkach możemy wylczyć sraege opymalne explce. Zauważmy że e funkcje użyecznośc opsują nwesora z awersją do ryzyka są one częso sosowane w eor opymalzacj np. [Zhang Su Meng 2010]. Opsany wyżej model rynku jes uogólnenem modelu w pracy X. Zhanga. K. Su Q. Menga [2010] kóry wprawdze jes modelem przełącznkowym

10 28 ale dynamka cen opsana jes ylko za pomocą ruchu Browna bez żadnych skoków. Dzęk emu możemy porównać orzymane wynk. Dla przypomnena na naszym rynku fnansowym procesy cen wszyskch nsrumenów fnansowych spełnają nasępujące równana: ds 0 = S 0 µ 0 ds j = S j ds ( k) = S ( k) db= rbd d +σ 0 ( )dw+ γ ( x ) ( ddx ) µ j r gdze j =1... k 1. Osane równane możemy zapsać jako: ds ( k) = S ( k) r d +σ j ( )dφ j d +σ ( k) ( )dx k d +σ ( k) ( ) γ k ( x)( ddx). ozważmy gracza kóry nwesuje swój mająek w akywa fnansowe w naszym rozszerzonym rynku w celu maksymalzacj oczekwanej użyecznośc wypłay na końcu okresu. Oznaczamy przez π 0 część mająku zanwesowaną w akcje w czase naomas przez π j j =12 oznaczamy część mająku zanwesowaną w j-e skokowe nsrumeny fnansowe. Z kole π ( k) k 1 jes częścą mająku zanwesowaną w akywa fnansowe S ( k). Wedy proces bogacena oznaczony przez π spełna nasępujące sochasyczne równane różnczkowe: + π k = π 0 µ 0 d π π r = r+ π j j=0 + π j d +σ 0 ( )dw+ γ ( x ) ( ddx ) ( d +σ j ( )dφ j ) µ j d +σ ( k) ( ) γ k ( x)( ddx) + 1 π j π k j=0 µ j rd ( r ) d +π 0σ 0 ( )dw+ π j σ j ( )dφ j + π 0γ ( x)+ π ( k) σ ( k) ( )γ k ( x) ( ddx). ozwązane π powyższego równana sochasycznego ma posać: π ( )= π exp( r( s)+ π j ( s) ( µ j ( s ) r( s) ) 1 j=0 2 π 2 0 ( s)σ 2 0 ( s ) ds (6)

11 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego 29 + π 0( s)σ 0 ( s )dw( s)+ + ( log( 1+π j ( s)σ ( j s ) ) π ( j s )σ ( s ))λ j j ( s)ds log ( 1+π j ( s)σ j ( s ) )dφ j ( s)+ + π ( k) ( s )γ k ( sx)) ( dsdx)+ log(1+π 0( s)γ sx (log(1+π 0( s)γ sx + π ( k) ( s )γ k ( sx)) π 0 ( s)γ ( sx) π ( k) ( s )γ k ( sx))ν ( dx)ds. ech U : + oznacza funkcję użyecznośc nwesora kóra jes ścśle rosnąca ścśle wklęsła dwukrone różnczkowalna aka że perwsza pochodna U ( )> 0 druga pochodna U < 0. Dla każdego ( z) + oraz =12... defnujemy: V π ( ) ( ze ):= E z U π gdze E z jes warunkową waroścą oczekwaną względem π = z oraz J= e. Zakładamy że dla każdego π A ( z) + oraz =12... ( ) E z U π <. Wedy funkcja warośc porfela nwesora wyrażona jes wzorem: V ( ze ) = sup π A V π ( ze ) gdze A jes zborem sraeg dopuszczalnych. ozważmy eraz dwa rodzaje funkcj użyecznośc: logarymczną poęgową Opymalna sraega nwesycyjna dla logarymcznej funkcj użyecznośc W ym podrozdzale znajdzemy opymalną sraegę nwesycyjną dla logarymcznej funkcj użyecznośc procesu bogacena a manowce: Z równana (6) mamy że: U( z)= log ( z). log π ( )= log π + r( s)+ π j ( s) ( µ j ( s ) r( s) ) 1 j=0 2 π 2 0 ( s)σ 2 0 ( s ) ds

12 π 0( s)σ 0 ( s )dw( s)+ + ( log( 1+π j ( s)σ ( j s ) ) π ( j s )σ ( s ))λ j j ( s)ds + log( 1+π j ( s)σ j ( s ) )dφ j (s) log 1+π 0( s)γ ( sx)+ π ( k) ( s )γ k ( sx) dsdx (log 1+π 0( s)γ ( sx)+ π ( k) ( s )γ k ( sx) π 0( s)γ ( sx) π 0 ( s)γ sx π ( k) ( s )γ k ( sx))ν ( dx)ds warość oczekwana powyższego wyrażena wynos: E z log π ( ) = log π + E z [r( s)+ π j s j=0 ( r( s) ) µ j s 1 2 π 2 0 ( s)σ 2 0 ( s )+ ( log( 1+π j ( s)σ ( j s ) ) π ( j s )σ ( s ))λ j j s + (log 1+π 0( s)γ ( sx)+ π ( k) ( s )γ k ( sx) π 0( s)γ sx π ( k) ( s )γ k ( sx))ν ( dx)]ds. Powyższe równane wynka z faku że warość oczekwana z maryngału wynos zero. W zwązku z ym opymalna funkcja warośc V ( ze ) może być zapsana jako:. V ( ze ) = log z + sup h π π A ( e ) gdze h π ( se ) = E z F ( π 0( s)π 1 ( s) π ( s)π ( s ) )ds = E z [r( s)+ π j ( s) ( µ j ( s ) r( s) ) 1 j=0 2 π 2 0 ( s)σ 2 0 s + ( log( 1+π j ( s)σ ( j s ) ) π ( j s )σ ( s ))λ j j ( s)+ (log(1+π 0( s)γ sx + π ( k) ( s )γ k ( sx)) π 0 ( s)γ ( sx) π ( k) ( s )γ k ( sx))ν ( dx)]ds.

13 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego 31 W celu wyznaczena opymalnej sraeg nwesycyjnej wysarczające jes aby zmaksymalzować funkcję F( π 0 ( s)π 1 ( s)...π ( s)π ( 1) ( s )π ( 2) ( s )...) dla wszyskch s [ ]. Zaem przez bezpośredne różnczkowane względem π 0 ( s)π 1 ( s)...π ( s)π ( 1) ( s)π ( 2) ( s)... orzymujemy opymalną sraegę nwesycyjną: π j * π 0 * ( s)= µ 0( s ) r s σ 2 0 s µ ( j ( s ) r( s) s)= ( r( s) µ j ( s ) )σ j ( s )+ λ j ( s)σ 2 j s π ( 1)* ( s)= r( s) µ 0( s ) σ 2 0 ( s )σ ( 1) s π *( k) = 0 dla j = 1 k > 1. (7) Z pracy Kramkova Schachermayera [1999] wynka że sraega a jes jedyna Opymalne sraege nwesycyjne dla poęgowej funkcj użyecznośc W ym podrozdzale znajdzemy opymalną sraegę nwesycyjną dla poęgowej funkcj użyecznośc a manowce: U( z)= z α dla α ( 01). W ym przypadku wykorzysamy meodę programowana dynamcznego do rozwązana problemu wyboru opymalnego porfela (zob. [Oksendal Sulem 2004; Flemng Soner 1993; Pham 2008]). Meoda a polega na rozwązanu równana Hamlona-Jacobego-Bellmana. Załóżmy że funkcja v jes dwukrone różnczkowalna. Wedy równane Hamlona-Jacobego-Bellmana ma posać: dla =12... ( ze ) + E z warunkem końcowym supa π v( ze ) = 0 (8) π A gdze A π v( ze ) = v ze v( ze ) = z α + r + π j ( µ j r ) j=0 zv z ( ze )+ 1 2 π 2 0 (σ 0 ) 2 z 2 v zz ze

14 32 + ( v( z( 1+π j σ j )e ) v( ze ) v z ( ze )zπ j σ j )λ j + (v(z(1+π 0γ x + π k σ k γ k ( x))e ) v( ze ) v z ( ze )z π 0 γ ( x)+ π k )+ λ j v( ze ). σ k γ k x )ν ( dx ) ozparzmy eraz rozwązana powyższego układu równań Hamlona-Jacobego-Bellmana w posac: gdze funkcja ϕ spełna warunek końcowy: v( ze ) = z α ϕ( e ) (9) ϕ( e ) =1. Ze wzoru (9) mamy: v zz v ( ze ) = z α ϕ ( e ) v z ( ze ) = αz α 1 ϕ( e ) (10) ze z α 2 ϕ( e ). = α α 1 Wsawając równana (10) do układu równań Hamlona-Jacobego-Bellmana (8) dosajemy: z α φ ( e )+ sup{ r + π j ( µ j r ) π A j=0 αzα φ( e )+ 1 2 π 2 0 (σ 0 ) 2 α ( α 1)z α φ e + (z α 1+π j σ j ) α φ( e ) z α φ( e ) αz α ( φ( e )π j σ j )λ j + (zα (1+π 0 γ ( x)+ π k + π k σ k σ k γ k ( x)) α φ( e ) z α φ( e ) αz α φ( e )(π 0 γ x γ k ( x)))ν ( dx)}+ λ j z α φ e Dzeląc obe srony przez z α orzymujemy: φ = 0. ( e )+ sup{ r + π j ( µ j r ) π A j=0 α π 2 0 (σ 0 ) 2 α α 1 + ( 1+π j σ j ) α ( 1 απ j σ j )λ j + ((1+π 0γ ( x)+ π k σ k γ k ( x)) α

15 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego 33 1 α π 0 γ ( x)+ π k σ k γ k ( x) )ν ( dx )}φ ( e )+ λ j φ e = 0. óżnczkując funkcję pod supremum względem π 0 ( s)π 1 ( s)...π ( s)π ( k) ( s)... kolejno przyrównując odpowedne pochodne do zera orzymujemy sraegę opymalną w posac: π 0 * = µ 0 r (σ 0 ) 2 ( 1 α ) 1 1 µ j r α 1 λ π * j σ 1 j j = (11) σ j π *( 1) µ 1 = 0 r 1 (σ 1 0 ) 2 1 ( 1 α )σ 1 π *( k) = 0 dla j = 1 k > 2. Sraega nwesycyjna dana wzorem (11) jes opymalną sraegą nwesycyjną dla problemu wyboru porfela z poęgową funkcją użyecznośc. Jedyność rozwązań (11) wynka z pracy D. Kramakova W. Schachermayera [1999]. Sraege opymalne wyznaczone przez równana (7) oraz (11) określają udzał nsrumenów fnansowych w porfelu nwesycyjnym w wyżej analzowanym modelu rynku. 5. Podsumowane W arykule wyznaczylśmy opymalną sraegę nwesycyjną na zupełnym rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego bez arbrażu. Sraega a opsuje le jednosek różnych nsrumenów fnansowych należy nabyć aby osągnąć najwększą oczekwaną wypłaę na końcu usalonego okresu. W arykule rozparujemy rynek zupełny w kórym możemy sosować maryngałowe meody wyznaczana opymalnego porfela. a akm rynku po wyznaczenu opymalnego porfela wadomo że sneje sraega nwesycyjna kóra go replkuje. Przedsawony problem opymalzacj sochasycznej jes obecne mocno eksploaowany we współczesnej nżyner rynków fnansowych. Opymalzacja sochasyczna dla procesów Lévy ego o problem kóry rozwja sę bardzo szybko ze względu na szeroke zasosowana ne ylko w fnansach lecz akże m.n. w nformayce elekomunkacj ubezpeczenach.

16 34 Bblografa 1. Barndorff-elsen O. E. Shephard. [2003] ealsed Power Varaon and Sochasc Volaly Models Bernoull no. 9 s Barndorff-elsen O. E. Shephard. [2004] Fnancal Volaly: Sochasc Volaly and Levy Based Model Cambrdge Unversy Press Cambrdge. 3. Bauerle. eder U. [2004] Porfolo Opmzaon wh Markov-modulaed Sock Prces and Ineres aes Auomac Conrol IEEE ransacons on vol. 49 no. 3 s Black F. Jensen M. C. Scholes M. [1972] he Capal Asse Prcng Model: Some Emprcal ess Sudes n he heory of Capal Markes red. M. C. Jensen Praeger ew York s Black F. Scholes M. [1973] he Prcng of Opons and Corporae Lables he Journal of Polcal Economy vol. 81 s Ello. J. Aggoun L. Moore J. B. [2004] Hdden Markov Models: Esmaon and Conrol Sprnger-Verlag Berln. 7. Corcuera J. M. ualar D. Schouens W. [2003] Compleon of a Levy Marke By Power-Jump Asses Fnance and Sochascs vol. 9 no. 1 s Flemng W. Hernandez-Hernandez D. [2003] An Opmal Consumpon Model wh Sochasc Volaly Fnance and Sochascs vol. 7 no. 2 s Flemng W. Soner M. [1993] Conrolled Markov Processes and Vscosy Soluons Sprnger- -Verlag. 10. Fu J. We J. Yang H. [2014] Porfolo Opmzaon n a egme-swchng Marke wh Dervaves European Journal of Operaonal esearch vol. 233 s Gassa P. Gozz F. Pham H. [2014] Invesmen/Consumpon Problem n Illqud Markes wh egme-swchng SIAM Journal on Conrol and Opmzaon vol. 52 no. 3 s Guo X. Mao J. Morellec E. [2005] Irreversble Invesmens wh egme Shf Journal of Economc heory vol. 122 s Harrson J. M. Plska S. [1981] Marngales and Sochasc Inegrals n he heory of Connuous radng Sochasc Processes and her Applcaons vol. 11 s Hull J. Whe A. [1987] he Prcng of Opons on Asses wh Sochasc Volaly Journal of Fnance vol. 42 s Jakubowsk J. [2006] Modelowane rynków fnansowych SCIP Warszawa. 16. Jakubowsk J. Palczewsk A. ukowsk M. Sener Ł. [2003] Maemayka fnansowa. Insrumeny pochodne W Warszawa. 17. Jang B. G. Y. U. Keun Koo H. Lu H. Loewensen M. [2007] Lqudy Prema and ransacon Coss he Journal of Fnance vol. 62 s Kramkov D. Schachermayer W. [1999] he Asympoc Elascy of Uly Funcons and Opmal Invesmen n Incomplee Markes Annals of Appled Probably vol. 9 s Lu. [2014] Opmal Invesmen and Consumpon wh Proporonal ransacon Coss n egme-swchng Model Journal of Opmzaon heory and Applcaons vol. 163 s Markowz H. M. [1952] Porfolo Selecon he Journal of Fnance vol. 7 s

17 Opymalna sraega nwesycyjna na rynku fnansowym Blacka-Scholesa-Merona ypu Lévy ego Meron. C. [1973] he heory of aonal Opon Prcng Bell Journal of Economcs and Managemen Scence vol. 4 s Meron. C. [1976] Opon Prcng when Underlyng Sock eurns are Dsconnuous Journal of Fnancal Economcs vol. 3 s aga H. unggalder W. J. [2008] PDE Approach o Uly Maxmzaon for Marke Models wh Hdden Markov Facors w: Semnar on Sochasc Analyss andom Felds and Applcaons V red.. C. Dalang M. Dozz F. usso Progress n Probably vol. 59 s ak V. [1993] Opon Valuaon and Hedgng Sraeges wh Jumps n he Volaly of Asse eurns he Journal of Fnance vol. 48 s Oksendal B. Sulem A. [2007] Appled Sochasc Conrol of Jump Dffusons Sprnger-Verlag Berln Hedelberg. 26. Palmowsk Z. Sener Ł. Sulma A. [2018] A oe on Chaoc and Predcable epresenaons for Iô-Markov Addve Processes Sochasc Analyss and Applcaons vol. 36 no. 4 s Pham H. [2009] Connuous-me Sochasc Conrol and Opmzaon wh Fnancal Applcaons Sprnger-Verlag Berln Hedelberg. 28. Pham H. Quenez M. C. [2001] Opmal Porfolo n Parally Observed Sochasc Volaly Models he Annals of Appled Probably vol. 11 no. 1 s eder U. Bauerle. [2005] Porfolo Opmzaon wh Unobservable Markov-Modulaed Drf Process Journal of Appled Probably vol. 42 s Sass J. Haussmann U. G. [2004] Opmzng he ermnal Wealh under Paral Informaon: he Drf Process as a Connuous me Markov chan Fnance Sochascs vol. 8 s Sao K. [1999] Lévy Processes and Infnely Dvsble Dsrbuons Cambrdge Sudes n Advanced Mahemacs vol. 68 Cambrdge Unversy Press. 32. Schouens W. [2003] Lévy Processes n Fnance: Prcng Fnancal Dervaves John Wley and Sons Ld. 33. Shen Y. Su. K. [2012] Asse Allocaon under Sochasc Ineres ae wh egme Swchng Economc Modellng vol. 29 s Soomayor L.. Cadenllas A. [2013] Sochasc Impulse Conrol wh egme Swchng for he Opmal Dvdend Polcy when here Are Busness Cycles axes and Fxed Coss Sochascs: An Inernaonal Journal of Probably and Sochasc Processes vol. 85 no. 4 s Sockbrdge. [2002] Porfolo Opmzaon n Markes Havng Sochasc aes w: Lecure oes n Conrol and Informaon Scences red. B. Pask-Duncan B. Sochasc heory and Conrol no. 280 s Sulma A. [2018] Zupełność brak arbrażu na Markowsko modelowanym rynku Blacka-Scholesa-Merona ypu Levy ego wysłane do publkacj. 37. Yn G.Zhou X. Y. [2004] Markowz s mean-varance porfolo selecon wh regme swchng: from dscree-memodels o her connuous-me lms IEEE ransacons on Auomac Conrol vol. 49. no Yong J. Zhou X. Y. [2000] Sochasc Conrols Hamlonan Sysems and HJB Equaons SprngerVerlag ew York. 39. Zhang X. Su. K. Meng Q. [2010] Porfolo selecon n he enlarged Markovan regmeswchng marke SIAM Journal on Conrol and Opmzaon vol. 48 s

18 Zhang Q. Yn G. [2004] early-opmal Asse Allocaon n Hybrd Sock Invesmen Models Journal of Opmalzaon heory and Applcaons vol. 121 no Zarphopoulou. [1992] Invesmen-Consumpon Models wh ransacon Fees and Markov-Chan Parameers SIAM Journal on Conrol and Opmzaon vol. 30 no Lévy-ype Black-Scholes-Meron opmal nvesmen sraegy n he fnancal marke Summary he sudy was movaed by searches for an opmal Lévy-ype nvesmen sraegy n a Black-Scholes- Meron complee fnancal marke wh no arbrage. he paper spulaes shares of varous fnancal nsrumens n an opmal porfolo. her prces are descrbed usng Lévy processes whch are a generalsed Wener process. On op of ha an assumpon was made abou model ndcaors whch depend on Markov chans. hs s an ncomplee marke meanng no every paymen can be replcaed usng a ceran nvesmen sraegy. In order o complee he marke jump fnancal nsrumens and power-jump asses have been added. ex dynamc programmng mehods were deployed o deermne an opmal nvesmen sraegy n hs marke. An opmal sraegy s he one whch maxmses he expeced uly of wealh accumulaon a he end of a pre-deermned perod. he analyss was carred ou for a logarhmc and power funcon of uly of he receved paymen. Keywords: swchng marke model opmal conrol arbrage marke compleeness sochasc negral Lévy processes