Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE Unwersyeu Ekonomcznego we Wrocławu nr 312 RESEARCH PAPERS of Wrocław Unversy of Economcs No. 312 Zagadnena akuaralne eora prakyka Redakor naukowy Joanna Dębcka Wydawncwo Unwersyeu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 213

2 Redakor Wydawncwa: Doroa Pulec Redakor echnczny: Barbara Łopusewcz Korekor: Barbara Cbs Łamane: Beaa Mazur Proek okładk: Beaa Dębska Publkaca es dosępna w Inernece na sronach: The Cenral and Easern European Onlne Lbrary a akże w adnoowane bblograf zagadneń ekonomcznych BazEkon hp://kangur.uek.krakow.pl/bazy_ae/bazekon/nowy/ndex.php Informace o naborze arykułów zasadach recenzowana znaduą sę na srone nerneowe Wydawncwa Kopowane powelane w akekolwek forme wymaga psemne zgody Wydawcy Copyrgh by Unwersye Ekonomczny we Wrocławu Wrocław 213 ISSN ISBN Wersa perwona: publkaca drukowana Druk: Drukarna TOTEM

3 Sps reśc Wsęp... 7 Wocech Bak, Ubezpeczena na życe ako neednorodne łańcuchy Markowa... 9 Joanna Dębcka, Wpływ zman paramerów ablc rwana życa w kraach Un Europeske na welkośc akuaralne Kaml Gala, Analza ubezpeczeń dla welu osób z wykorzysanem funkc copula... 5 Sansław Helpern, Złożony proces Possona z zależnym okresam mędzy szkodam welkoścam szkód Magdalena Homa, Rozkład wypłay w ubezpeczenu na życe z funduszem kapałowym a ryzyko fnansowe Helena Jasulewcz, Uogólnene klasycznego procesu nadwyżk fnansowe w czase dyskrenym Agneszka Marcnuk, Długoweczność nsrumeny fnansowe zwązane z długowecznoścą... 1 Danel Sobeck, Dwusopnowe modelowane składk za ubezpeczene komunkacyne OC Summares Wocech Bak, Non-homogenous Markov chan models for lfe nsurance Joanna Dębcka, Varyng parameers of lfe ables n he European Unon: nfluence on acuaral amouns Kaml Gala, Analyss of mulple lfe nsurance usng copulas Sansław Helpern, Compound Posson process wh dependen nerclam mes and clam amouns Magdalena Homa, Dsrbuon of he paymens n he un-lnked lfe nsurance and fnancal rsk Helena Jasulewcz, Generalzaon of a classcal process of a fnancal surplus process n dscree me Agneszka Marcnuk, Longevy and fnancal nsrumen relaed o longevy Danel Sobeck, Two-sage premum modellng n MTPL

4 PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr Zagadnena akuaralne eora prakyka ISSN Magdalena Homa Unwersye Wrocławsk ROZKŁAD WYPŁATY W UBEZPIECZENIU NA ŻYCIE Z FUNDUSZEM KAPITAŁOWYM A RYZYKO FINANSOWE Sreszczene: W Polsce coraz wększą popularnoścą ceszą sę ubezpeczena na życe połączone z funduszem nwesycynym, czyl zw. ubezpeczena z funduszem kapałowym (UFK). Ta kombnaca sprawa, że poawa sę problem, ak prawdłowo dokonać wyceny, uwzględnaąc oba ryzyka: ubezpeczenowe fnansowe. Isonym elemenem UFK es o, że o właśne ubezpeczony podemue decyzę, w ake akywa nwesować składkę aką e część przeznaczyć na nwesyce. Sanowło o przesłankę do przeprowadzena analzy rozkładu warośc porfela nadwyżk, aką wypłaca ubezpeczycel ponad sumę gwaranowaną. Aby wskazać sposób ch konrolowana, zbadano, czy przyęa przez ubezpeczonego sraega doycząca awers do ryzyka wysokośc prem nwesycyne deermnue zmany rozkładu warośc porfela ubezpeczenowego. Słowa kluczowe: ubezpeczene un-lnked, opca europeska, warość ubezpeczena, meoda Mone Carlo. 1. Isoa ubezpeczena z funduszem kapałowym UFK Idea ubezpeczena ypu UFK wąże sę z ego oszczędnoścowo-nwesycynym charakerem. W uproszczenu pozwala ono nwesować część wpłacanych składek w oferowane przez owarzyswa ubezpeczenowe fundusze o różnym pozome ryzyka czerpać z ego zysk. Ubezpeczene z funduszem kapałowym UFK przynależy do grupy zw. ubezpeczeń Unversal Lfe, czyl na całe życe, różnąc sę ednak zasadnczo od zw. klasycznych ubezpeczeń życowych. Łączą one bowem elemen ubezpeczena elemen oszczędzana w sposób nezwykle elasyczny, worząc wele możlwośc w zakrese dysponowana zaoszczędzonym kapałem. W przecweńswe do klasycznego ubezpeczena na życe, w kórym kosz ubezpeczena (wyrażony w opłacane składce) es ednakowy przez cały okres ubezpeczena ne wynka z welkośc ryzyka w danym roku, ale z uśrednonego ryzyka całego okresu ubezpeczena, w ubezpeczenach UFK kosz en zależy od weku ubezpeczonego zmena sę w zależnośc od wpła, oprocenowana, kosz-

5 Rozkład wypłay w ubezpeczenu na życe z funduszem kapałowym a ryzyko fnansowe 79 ów admnsracynych obcążena zwązanego z ryzykem śmerc, wypadku p. Isoną cechą ubezpeczena na życe z funduszem kapałowym, określanego manem un-lnked, es powązane go z wydzelonym funduszem lub funduszam, w kóre nwesowane są środk pochodzące ze składek, przy czym klenc sam dokonuą wyboru funduszu. W zwązku z ym o właśne ubezpeczony ponos ryzyko nwesycyne, a ym samym ponos odpowedzalność za ewenualne negaywne skuk swoch decyz. W Polsce konraky ego ypu umożlwaą ubezpeczonemu gromadzene oszczędnośc w ndywdualne uworzonym przez nego porfelu nwesycynym, składaącym sę z różnych funduszy nwesycynych prowadzonych przez nezależne od ubezpeczycela zewnęrzne owarzyswa funduszy nwesycynych. Isone es równeż o, że poneważ polsy UFK maą owarą srukurę są ransparenne, daą możlwość ubezpeczonym dososowywana na beżąco składu porfela w zależnośc od zmenaące sę syuac rynkowe. Jes o bardzo sony elemen w syuac nesablne gospodark rynkowe. 2. Porfel nwesycyny wypłaa w ubezpeczenu z funduszem kapałowym Ze względu na charaker ochronno-oszczędnoścowy ubezpeczena UFK zakład ubezpeczeń zobowązue sę do wypłay śwadczena zarówno w przypadku śmerc w okrese rwana ubezpeczena, ak równeż w ermne zapadalnośc, czyl dożyca ubezpeczonego do końca rwana ubezpeczena. W przecweńswe do radycynych ubezpeczeń na życe w ubezpeczenach UFK losowy es ne ylko momen wypłay, ale akże welkość wypłacanego śwadczena zależna od warośc porfela ubezpeczenowego. Poawa sę zaem koneczność uwzględnana przy wycene kalkulacach zwązanych z UFK ne ylko ryzyka ubezpeczenowego (np. ryzyka śmerc), ale równeż ryzyka fnansowego porfela zwązanego z ym ubezpeczenem. Wypłaa z UFK es węc odpowedną funkcą zakumulowane nwesyc, czyl warośc porfela ubezpeczenowego: gdze: B = f ( FV ), FV warość porfela ubezpeczenowego (referencynego) w chwl. Naczęśce w prakyce ubezpeczeń UFK funkca f ma edną za nasępuących posac [Moller 27]: f ( FV ) = FV lub f ( FV ) = max { G, FV }, gdze: G Π suma gwaranowana zależna od opłacane składk ubezpeczenowe. W perwszym przypadku wypłaa zależy edyne od warośc porfela referencynego, naomas w przypadku drugm ubezpeczycel gwaranue mnmalną sumę ubezpeczena. Wówczas bowem ubezpeczycel wypłaca ubezpeczonemu w mo- Π

6 8 Magdalena Homa mence zaśca zdarzena obęego umową wększą z warośc, zn. mnmalne gwaranowane sumy ubezpeczena (rakowana częso ako część ochronna) oraz warośc rynkowe porfela ubezpeczenowego. Zgodne z aką konsrukcą ubezpeczena wypłaa z yułu UFK es równa: { } B = G + max, FV G. Π Zaem warość porfela orzymuemy poprzez zanwesowane częśc składk ubezpeczenowe płacone w momenach,,1,2,, n 1, aż do momenu wygaśnęca polsy n = T. Inwesowana w momence część składk oznaczona es Π nazywa sę premą nwesycyną. Srukura ubezpeczena UFK sprawa, że ubezpeczony narażony es ne ylko na ryzyko wysąpena zdarzena obęego umową, ale dodakowo na ryzyko fnansowe. Dlaego eż pownen on konrolować o dodakowe ryzyko wynkaące z częśc składk, kóra budue warość porfela nwesycynego. Wysok e pozom prowadz do zwększena warośc porfela nwesycynego, a ubezpeczony orzymue rekompensaę wynkaącą z nadwyżk powsałe z warośc porfela nwesycynego. Tak węc ubezpeczony, nwesuąc w wybrane akywa (fundusze nwesycyne lub akce) z ceną określoną ako proces S, budue warość porfela referencynego. Blans warośc w chwl (zn. na konec roku ) wyraża sę wzorem: S S 1 FV = FV + FV 1 + Π 1 S warość porfela w chwl 1 1 Π zysk z nwesyc w ym roku zmany na rachunku w ym roku Zaem warość porfela es sumą warośc porfela w okrese poprzedzaącym powększoną o zysk z nwesyc oraz zmany na rachunku. Ubezpeczony w każde chwl za kwoę Π S ednosek akywów. W chwl porfel składa sę z Π zakupue odpowedno ( ) S Π ednosek, a każda z nch ma warość 1 Zaem warość porfela referencynego w chwl wynos: FV 1. 1 S = Π Równoważne w momence wygaśnęca polsy warość porfela es równa: FV S n 1 ST T = Π S, 1. S. co oznacza, że zdyskonowana (względem S) warość porfela es równa zdyskonowane warośc wszyskch nwesyc. W zwązku z ym warość porfela referencynego w dowolne chwl określa wzór: mn{ > } 1 S FV = Π. = S ( )

7 Rozkład wypłay w ubezpeczenu na życe z funduszem kapałowym a ryzyko fnansowe 81 Zaem wypłaę w momence wygaśnęca ubezpeczena można określć nasępuąco: n 1 S T max { FVT, GΠ} = GΠ + max{, FVT GΠ} = GΠ + Π GΠ. S Sąd perwszy wnosek, że konrak ypu UFK może być nerpreowany ako radycyne ubezpeczene z sumą ubezpeczena G Π z poencalną nadwyżką zależną od ceny akywów. Uwzględnaąc zmanę warośc penądza w czase, mamy warość rynkową w chwl wypłaconego śwadczena równą: n 1 υ( T) υ( T) S T V( BT, ) = GΠ + Π GΠ υ() υ(). S Jes o funkca wypłay europeske opc kupna o ermne wygaśnęca T oraz cene wykonana równe sume gwaranowane [Balloa 26]. Ze względu na o, że wypłaa może nasąpć z yułu zaśca zdarzena obęego umową równeż w okrese e rwana, np. 1, ), analogczny wzór przyberze posać: 1 υ( ) υ( ) S V( B, ) = GΠ + Π GΠ υ() υ(). S Tym razem es o funkca wypłay amerykańske opc kupna z ceną wykonana równą sume gwaranowane, kóra może być wykonana w dowolnym momence do chwl T. Zaem wypłaa z yułu ubezpeczena UFK es sumą dwóch składnków: zakualzowane sumy gwaranowane, opc kupna z ceną wykonana G Π. W zwązku z powyższym osoba ubezpeczona może oczekwać nadwyżk nad gwaranowaną sumę ubezpeczena ylko wedy, gdy opca kupna es w cene ( n he money ), co oznacza, że warość porfela ubezpeczenowego przewyższa warość gwaranowaną. Poprawna wycena opc pozwol ne ylko na osągnęce przewag konkurencyne, ale równeż na skueczne zarządzane ryzykem. Dokonuąc wyceny, należy uwzględnć ne ylko cenę rynkową, ale równeż ryzyko zwązane z przedmoem ubezpeczena. W przypadku ubezpeczena na życe dożyce es o ryzyko umeralnośc. Przy założenu nezależnośc obu ych ryzyk wyceny wypłay na konec rwana ubezpeczena dokonue sę w nasępuący sposób: + n 1 υ( T) υ( T) S E V B = E g Π Ι + E Π G Ι x υ() υ( ) S (, ) ( ) T T [ K > T] Π [ K > T] + n 1 υ( T) υ( T) S T = T px+ g( Π ) + T px E + Π GΠ υ() υ( ). S x

8 82 Magdalena Homa Gdy należy wycenć wypłaę z yułu śmerc ubezpeczonego w okrese 1, ), uwzględna sę odpowedno prawdopodobeńswo śmerc równe 1 px q + 1 x+. Jeszcze pełneszą nformacę uzyskamy, analzuąc ne ylko 1 możlwą welkość wypłay z ubezpeczena UFK, ale równeż prawdopodobeńswo, z aką może ona wysąpć, czyl rozkład wypłay w ubezpeczenu UFK oraz nadwyżk nad sumę gwaranowaną Meoda Mone Carlo Zaem w przypadku wyceny konraków ubezpeczenowych UFK usalena welkośc wypłay sona sae sę kwesa poprawne wyceny nsrumenu fnansowego, akm es opca. W zależnośc od waranu ubezpeczena es o odpowedno europeska lub amerykańska opca kupna [Glasserman 24]. Opca europeska może być wykonana edyne w momence wygaśnęca T, naomas opca amerykańska w dowolnym czase, dlaego eż w pracy skoncenrowano sę na meodach symulacynych wykorzysano meodę Mone Carlo (MC) do wyznaczana ch ceny. W klasycznym podeścu, czyl modelu Blacka Scholesa, cena opc europeske wyraża sę analycznym wzorem, naomas wycena opc amerykańske ne es uż aka prosa, dlaego eż osaeczne użyo meody MC. W meodze e rozkład warośc nsrumenu bazowego w dnu wygaśnęca opc es zdeermnowany przez pewen proces sochasyczny. W pracy przyęo naprosszy model ewoluc cen, akm es geomeryczny ruch Browna, zaem cenę ednosk funduszu akc S opsue sę geomerycznym ruchem Browna, z odpowednm współczynnkem dryfu, co można zrobć, korzysaąc ze schemau Eulera [Weron 1998]. Przy zasosowanu akego aparau maemaycznego orzymue sę wzór symuluący przyszłą warość nsrumenu bazowego (cenę opc): 2 = σ S S exp r ( ) + k k k k k 1 σ k 1ε k, 1 2 gdze ε k o nezależne warośc wygenerowane z rozkładu normalnego, r o wolna od ryzyka sopa procenowa, naomas σ określa zmenność cen nsrumenu. Proces cen akc symuluemy w skończone lczbe punków czasu: k. Przymuemy eż, że funkca wypłay zależy ylko od cen akc w ych punkach. Dla poedyncze raekor cen akc zdyskonowana cena dowolne opc wynos: υ( T ) C = ( S, S,..., S ) υ( ) 1 1 naomas dla N raekor: N υ( T ) 1 C = f( S, S,..., S ) 1 n. υ ( ) N 1 Zaem cenę opc można wyznaczyć, symuluąc zdyskonowaną warość proflu wypłay, a nasępne średną po wszyskch realzacach.

9 Rozkład wypłay w ubezpeczenu na życe z funduszem kapałowym a ryzyko fnansowe Przykład ubezpeczena UFK Jako przykład przeanalzowano konrak ermnowy UFK na życe, zgodne z kórym eśl ubezpeczony umrze w momence Θ / { }, ubezpeczycel wypłac mu gwaranowaną sumę ubezpeczena plus nadwyżkę wynkaącą z zakualzowane warośc wypłay. Zaem ego wypłaa w momence wyraża sę wzorem: 1 υ( ) υ( ) S V( B, ) = G 1 Π + Π υ() υ(). S Przyęo, że ubezpeczony płac składk sałe wysokośc w momenach T, T = = <... < n = T z każde z nch część nwesycyna es równa Π, co gdze { } + Rys. 1. Rozkład warośc porfela ubezpeczena UFK w z okresem n = 1 zmenną premą nwesycyną Źródło: opracowane własne.

10 84 Magdalena Homa sanow odpowedn procen całkowe składk bruo. Ponado uwzględnono kapalzacę cągłą zgodną ze scenaruszem: υ() υ( ) ln(1,6) =. e Naomas do wyznaczena prawdopodobeńswa przeżyca śmerc wykorzysano ablce umeralnośc opare na prawe Makehama, zgodne z kórym: 2 1, l = 141,71, , x Wykorzysuąc meodę MC, wyznaczono warość wypłay dla ubezpeczena UFK (z porfelem ubezpeczenowym oparym na ndekse WIG 2) z kapalzacą zgodną z przyęym scenaruszem przy lczbe erac równe 1 4. Zbadano węc rozkład warośc porfela referencynego dla 1-2-lenego konraku UFK w zależnośc od wysokośc prem nwesycyne, czyl częśc nwesowane składk. Wynk z ermnem wykonana T = n przedsawono na rys x Rys. 2. Rozkład warośc porfela ubezpeczena UFK w z okresem n = 2 zmenną premą nwesycyną Źródło: opracowane własne.

11 Rozkład wypłay w ubezpeczenu na życe z funduszem kapałowym a ryzyko fnansowe 85 Powyższe hsogramy wskazuą, że procen nwesowane składk, czyl prema nwesycyna, w sony sposób deermnue warość porfela ubezpeczenowego. Zarówno w 1-, ak 2-lenm ubezpeczenu UFK średna warość porfela wzrosła rzykrone, naomas asymera rozkładu es coraz mnesza. Kuroza we wszyskch przypadkach przymue warość dodaną, co oznacza, że rozkład es bardze smukły nż normalny, nemne ednak warość a wraz ze wzrosem prem nwesycyne malee. Przedsawone wynk wskazuą, że w przypadku ubezpeczeń na życe z funduszem kapałowym zdecydowane wększego znaczena nabera okres ubezpeczena wpływaący na warość porfela. W zwązku z ym o ubezpeczenach ego ypu należy myśleć w perspekywe długoermnowe. Własnośc e powerdzaą wykresy pudełkowe przedsawone na rys. 3. Rys. 3. Wykresy pudełkowe rozkładu warośc porfela ubezpeczena UFK z okresem n = 1 2 Źródło: opracowane własne. Isone es ednak o, że nezależne od okresu rwana ubezpeczena UFK nawększy odseek sanow warość porfela neprzekraczaąca sumy gwaranowane. A zaem w syuac, gdy ubezpeczycel gwaranue wypłaę usalone sumy ubezpeczena, ubezpeczony pownen być zaneresowany kszałowanem sę nadwyżk, aką wypłac mu ubezpeczycel ponad sumę gwaranowaną. Nadwyżka a, ak wykazano, o warość opc kupna z ceną wykonana G Π, kóre ubezpeczony może oczekwać, gdy opca a es w cene. Korzysaąc z przedsawonego wzoru, zbadano rozkład nadwyżk wynkaące z warośc porfela nwesycynego w ermne wykonana T. Orzymane wynk wskazuą ednoznaczne na skraną asymeryczność rozkładu nadwyżk z ubezpeczena UFK koneczność zasosowana odpowedne sraeg nwesycyne gwaranuące wypłaę. Na podsawe powyższych wynków można swerdzć, że ubezpeczony może konrolować nadwyżkę, a ym samym wysokość wypłay z yułu ubezpeczena un-lnked, doberaąc odpowedną sraegę awers do ryzyka, usalaąc częśc składk buduące warość porfela nwesycynego

12 86 Magdalena Homa Rys. 4. Rozkład nadwyżk w ubezpeczenu UFK z sumą gwaranowaną 1.p. z okresem n = 2 ermnem wykonana T = n Źródło: opracowane własne. Rys. 5. Rozkład nadwyżk w ubezpeczenu UFK w z okresem n = 1 2 w zależnośc od awers do ryzyka (prema nwesycyna na pozome 2%, 4%, 6% 8%) Źródło: opracowane własne.

13 Rozkład wypłay w ubezpeczenu na życe z funduszem kapałowym a ryzyko fnansowe 87 w zależnośc od swoch oczekwań. Wpływ sraeg awers do ryzyka na rozkład nadwyżk zarówno w 1-, ak w 2-lenm ubezpeczenu UFK przedsawono na rys. 5. Nezależne od przyęe sraeg nadwyżka nad sumą gwaranowaną poawa sę dopero w połowe rwana okresu ubezpeczena, a procen nwesowane częśc składk wpływa na e dynamkę. Przeprowadzona analza rozkładu warośc porfela nadwyżk, aką wypłaca ubezpeczycel ponad sumę gwaranowaną, ednoznaczne powerdza, ak sonym elemenem ubezpeczeń UFK es śwadomość osób ubezpeczaących sę. To ubezpeczony, doberaąc odpowedną sraegę do okresu rwana ubezpeczena, może konrolować warość porfela, a ym samym wypłacaną nadwyżkę fnansową. Leraura Balloa L., Habermann S., The far valuaon problem of guaraneed annuy opons: The sochasc moraly envronmen case, Insurance Mahemacs&Economcs 26, no. 38. Bowers N.L., Gerber H.U., Hckman J.C., Jones D.A., Nesb C., Acuaral Mahemacs, The Socey of Acuares, Schaumburg Glasserman P., Mone Carlo mehods n fnancal engneerng, Sochasc Modellng and Appled Probably, vol. 53, Sprnger-Verlag, New York 24. Moller T., Indfference prcng of nsurance conracs In a producs pace model: Applcaons, Insurance Mahemacs&Economcs 23, no. 32. Moller T., Seffensen M., Marke Valuaon Mehods n Lfe and Penson Insurance, Cambrdge Unversy Press, Cambrdge 27. Weron A., Weron R., Inżynera fnansowa. Wycena nsrumenów pochodnych, symulace kompuerowe, saysyka rynku, Wydawncwo Naukowo-Technczne, Warszawa DISTRIBUTION OF THE PAYMENTS IN THE UNIT-LINKED LIFE INSURANCE AND FINANCIAL RISK Summary: Insurance whch connecs he proecve naure and savngs s he developmen of radonal lfe nsurance. Lfe nsurance lnked o nvesmen funds (un-lnked) so-called UFK s geng more and more popular n Poland. Conracs of hs ype are a combnaon of wo producs: nsurance and nvesmens. These are combned wh an nvesmen of nsurance premum of nvesmen funds n seleced fnancal nsuons. However, hs combnaon creaes a problem: correc valuaon of UFK conrac wh boh nsurance and fnancal rsks. An mporan elemen of hs nsurance s ha he nsured shall decde whch asses o nves and wha par of he premum o spend on nvesmens. Ths was he premse for he proposon of he correc valuaon of he un-lnked nsurance porfolo and deermnaon of he dsrbuon of s value, and hus an ndcaon of how he nsured can conrol he value of he porfolo and nsurance paymen. Therefore was analzed f he sraegy adoped by he nsured, and referrng o rsk averson and he level of nvesmen premum deermnes he changes n he dsrbuon of he nsurance porfolo. Keywords: un-lnked nsurance, European opon, valuaon of nsurance, Mone Carlo mehods.