MODEL DWUCZYNNIKOWY w ARYTMETYCE FINANSOWEJ PROBLEM BADAWCZY 1.MODEL APRECJACJI KAPITAŁU

Transkrypt

1 Krzyszof Paseck Akadema Ekonomczna w Poznanu MODEL DWUCZYNNIKOWY w ARYTMETYCE FINANSOWEJ PROBLEM BADAWCZY W [7] przedsawono aksjomayczno-dedukcyjną eorę arymeyk fnansowej oparą na pojęcu warośc przyszłej denyfkowanej z modelem jednoczynnkowym zaproponowanym w [] [6]. Ops aprecjacj kapału przy pomocy modelu jednoczynnkowego nese w sobe e same nformacje co ops aprecjacj kapału przy pomocy sopy spo. Z ego powodu model jednoczynnkowy nazywamy modelem spo aprecjacj kapału. Sopa spo sanow jedno z najważnejszych narzędz maemayk fnansowej. Z drugej srony, przebeg dyskusj na ema problemów modelowana sóp procenowych wykazuje soną rolę, jaką odgrywa w maemayce fnansowej sopa forward. Sopa forward przedsawa ak sam obraz rendu aprecjacj kapału co model dwuczynnkowy nazywany dalej modelem forward ewolucj warośc kapału. Sposrzeżene o sanow zachęę do poszerzena zboru defncj aksjomaycznodedukcyjnej eor arymeyk fnansowej o defncję modelu dwuczynnkowego, a nasępne do zbadana konsekwencj akego poszerzena. Wynk ych rozważań zosały przedsawone w nnejszym rozdzale..model APRECJACJI KAPITAŁU Na wsępe zaprezenowane zosaną podsawowe własnośc modelu jednoczynnkowego opsującego proces przyrosu warośc (aprecjacj kapału w czase. 0,T Rozważana rozpocznemy od jednoznacznego wyróżnena przedzału czasowego [ ] analzy kapałowej. Przedmoem naszych docekań będze nsrumen fnansowy o warośc nomnalnej C w momence 0. Warość C nazywamy waroścą począkową. Przyjmujemy uaj umowę, że neujemne warośc fnansowe odpowadać będą przychodom, należnoścom lub pozosałym akywom, podczas gdy ujemne warośc fnansowe opsywać będą wydak, zobowązana lub nne pasywa. Warośc począkowej C dowolnemu momenow czasowemu [ 0,T ] przypsujemy warość przyszłą spo s C,. Podsawowe własnośc warośc przyszłej spo opsuje ponższa defncja. (

2 Krzyszof Paseck Defncja.: Waroścą przyszłą spo nazywamy funkcję s : R [0, T ] R spełnającą - dla dowolnych warośc począkowych C, C R momenów czasowych, [ 0, T ] warunk: s ( C + C, s( C, + s( C, ; (. ( > C > 0 s( C, s( C, ; (. s C, C. (.3 ( 0 Warunek (. zakłada, że dowolne wyznaczana warość przyszła spo jes funkcją addyywną warośc począkowej. Warunek (. nformuje nas, że wraz z upływem czasu warość przyszła akywów ne może zmaleć. Inaczej mówąc, na oszczędzanu ne można sracć. Warunek (.3 denyfkuje warość przyszłą przypsaną chwl beżącej z waroścą począkową. Twerdzene. [7]: Warunk (. (.3 są warunkam dosaecznym konecznym na o, aby warość przyszła spo s : R [ 0, T ] R spełnała ożsamość s C, C ς (.4 ( ( gdze czynnk aprecjacj ϕ : [ 0, T ] [,+ jes nemalejącą funkcją spełnającą warunek ς ( 0. (.5 Pojedynczy srumeń fnansowy jes reprezenowany przez parę (, C [ 0, T ] R, gdze symbol oznacza momen przepływu srumena, zaś symbol C opsuje warość nomnalną ego przepływu. Przesrzeń wszyskch możlwych srumen fnansowych oznaczamy symbolem Ξ. Odpowedzą na pyane jaka jes warość beżąca srumena fnansowego ( C Ξ PV, C, kórej warość przyszła, będze aka warość począkowa ( w momence przepływu srumena jes równa warośc nomnalnej C ego przepływu. Ta defncja w równoważny sposób może być zapsana przy pomocy ożsamośc s PV, C,. (.6 ( ( C Twerdzene.[5]: Tożsamość (.6 jes równoważna ożsamośc PV, s C,. (.7 ( ( C Twerdzene.3[7]: Warunk (., (., (.3 (.6 są warunkam dosaecznym konecznym na o, aby warość beżąca PV spełnała ożsamość PV (, C C [ ς ( ] C ν ( (.8 ν : 0, T 0; jes nerosnącą funkcją spełnającą warunek gdze czynnk dyskona [ ] ] ] ν ( 0. (.9 Proces wyznaczana warośc beżącej nazywamy pooczne dyskonowanem warośc kapału. Dwa srumene fnansowe są równoważne wedy ylko wedy, gdy ch warośc beżące są równe. Waroścą końcową srumena fnansowego (, C Ξ jes warość C T, FV, C. Ta nomnalna FV (, przepływu równoważnego srumena fnansowego ( ( defncja w formalny sposób może być zapsana przy pomocy ożsamośc

3 Model dwuczynnkowy w arymeyce fnansowej PV T, FV, C PV, C, (.0 ( ( ( Twerdzene.5 [7]: Warunk (., (., (.3 (.0 są warunkam dosaecznym konecznym na o, aby warość końcowa FV spełnała ożsamość FV (, C C [ ς ( ] ς ( T C φ( (. gdze czynnk waloryzacj φ : [ 0, T ] ] 0; ] jes nerosnącą funkcją spełnającą warunek φ T. (. ( Twerdzene.6 [7]: Warość beżąca PV spełna ożsamość PV, C C φ 0 φ C ν. (.3 ( [ ( ] ( ( Proces wyznaczana warośc końcowej nazywamy pooczne waloryzacją warośc kapału. Przedsawone uaj wynk pozwalają na wysnuce nasępujących wnosków o dowolnym modelu waroścowana kapału: - warośc przyszłe można określć jedyne przy pomocy ożsamośc (.4 ; - warośc beżące można określć jedyne przy pomocy ożsamośc (.8 ; - warośc końcowe można określć jedyne przy pomocy ożsamośc (.; - dla jednoznacznego zdefnowana modelu spo aprecjacj kapału wysarczy jednoznaczne określć meryoryczne uzasadnone warość przyszłą albo warość beżącą albo warość końcową. Opsany powyżej model spo aprecjacj kapału odpowada opsanemu w [] [6] modelow jednoczynnkowemu aprecjacj kapału. Sosowane model jednoczynnkowych pozwala na wykorzysane w analze kapałowej jedyne dwóch punków odnesena: począku przedzału analzy kapałowej 0 końca przedzału analzy kapałowej T. Jeśl analza kapałowa wymagać będze usalene punków wewnąrz jej przedzału czasowego, o analza aka będze wymagać zasosowana bardzej złożonych model zmany warośc kapału model dwuczynnkowych nazywanych eż modelam forward. Modelom akm będze pośwecony kolejny rozdzał..model FORWARD EWOLUCJI KAPITAŁU Zajmemy sę uaj budową modelu opsującego proces ewolucj warośc kapału w 0,T analzy kapałowej. Przedmoem czase. Nech dany będze przedzał czasowy [ ] naszych docekań będze nsrumen fnansowy o warośc C w momence wyceny [ 0,T ]. Warość ego nsrumenu ewoluuje w en sposób, że w momence zapadalnośc [ 0,T ] nsrumen en osąga warość wyjścową forward f ( C,,. W przypadku mówmy o procese aprecjacj kapału, zaś w przypadku < mówmy o procese 3

4 Krzyszof Paseck dyskonowana kapału. Podsawowe własnośc wyjścowej warośc forward opsuje ponższa defncja. Defncja.: Waroścą wyjścową forward nazywamy funkcję f : R [0, T ] R spełnającą - dla dowolnych warośc począkowych C, C R momenów czasowych,, 3 [ 0, T ] warunk: f ( C + C,, f ( C,, + f ( C,, ; (. > C > 0 f C,, s C, ; (. ( 3 ( 3 (, ( C,, f ( f ( C,,, f. (.3 3 3, Warunek (. zakłada, że dowolne wyznaczana warość wyjścowa forward jes funkcją addyywną warośc ocenanego kapału. Warunek (. nformuje nas, że wraz z upływem ermnu zapadalnośc warość wyjścowa forward akywów ne może zmaleć. Inaczej mówąc, na oszczędzanu ne można sracć. Warunek (.3 wskazuje na pośredn rekurencyjny sposób wyznaczana szeregu czasowego warośc wyjścowych forward. Lema.: Dowolna warość wyjścowa forward f : R [0, T ] R spełna ożsamość f ( C,, C. (.4 Dowód: Z (.3 mamy f ( C,, f ( f ( C,,,,. Podsawając eraz C f ( C,, orzymujemy (.4. Twerdzene.: Warunk (. (.3 są warunkam dosaecznym konecznym na o, aby warość wyjścowa forward f : R [ 0, T ] R spełnała ożsamość f C,, C ϕ (.5 ( (, gdze czynnk forward : [ 0, T ] [,+ ϕ jes nemalejącą funkcją drugego argumenu spełnającą warunk ϕ, ϕ, ϕ, (.6 ( ( 3 ( 3, (, ϕ. (.7 Dowód: Z (. (.4 dla dowolnej rójk ( [ ] orzymujemy f C, f C,, C. ( ( 0, > C 4 C, + T akej, że, R 0, C >, o z (. dla dowolnego usalonej pary ( [ ] Sąd jeśl, 0, T akej, że mamy f ( C,, f ( C C,, + f ( C,, > f ( C,,. Osana nerówność wraz z (. dowodzą, że funkcja f (,, : R R jes addyywną funkcją monoonczną. Zgodne z lemaem o addyywnej funkcj monooncznej dla dowolnej rójk ( C, [ ], R + 0, T akej, że mamy f ( C,, C f (,, C ϕ(. (*,

5 Model dwuczynnkowy w arymeyce fnansowej Jeśl naomas mamy uaj >, o wedy z (.3, (.4 (* orzymujemy f C,, ϕ, f f C,,,, f C,, ( ( ( ( ( C, co kończy dowód ożsamośc (.5 wraz z warunkem (.6. Warunek (.7 jes bezpośredna konsekwencją (.4. Wymenone w dowodzonym werdzenu własnośc czynnka forward ϕ wynkają bezpośredno z (. (.4. Dowód mplkacj odwronej jes oczywsy. Warość wyjścową forward łączy z waroścą przyszłą spo szereg neresujących własnośc. Twerdzene.: Dla dowolnej warośc wyjścowej forward f : R [ 0, T ] R funkcja s : R [ 0, T ] R określona przy pomocy ożsamośc s C, f C,0, C ϕ 0, C ς (.8 ( ( ( ( jes waroścą przyszłą spo. Dowód: Warunek (. mplkuje warunek (.. Warunek (. jes bezpośredna konsekwencją warunku (.. Warunek (.3 wynka z warunku (.4. Posać czynnka aprecjacj ς : [ 0,T ] R wynka bezpośredno z zależnośc (.5. É Twerdzene.3: Dla dowolnej warośc wyjścowej forward f R [ 0, T ] R : funkcja PV : Ξ R określona przy pomocy ożsamośc PV, C f C,,0 C ϕ, 0 C ν (.9 ( ( ( ( jes waroścą beżącą. Dowód: Posać czynnka dyskonującego [ ] R ν : 0,T wynka bezpośredno z (.5 (.6. Porównane Twerdzena. z Twerdzenem.3 kończy dowód.é Twerdzene.4: Dla dowolnej warośc wyjścowej forward f : R [ 0, T ] R funkcja FV : Ξ R określona przy pomocy ożsamośc FV C, f C,, T C ϕ, T C φ (.0 ( ( ( ( jes waroścą końcową. Dowód: Zgodne (.3, (.5 (.9 mamy C ς ( T s( C, T f ( C,0, T f ( f ( C,0,,, T s( C, ϕ(, T C ς ( φ(. Czynnk waloryzacj φ : [ 0,T ] R spełna zaem zależność (., co kończy dowód ego werdzena.é Twerdzene.5: Dla dowolnej warośc przyszłej spo s R [ T ] R pomocy ożsamośc (.4 funkcja f R [ 0, T ] R f ( C,, C [ ς ( ] ς ( C ϕ(, : 0, danej przy : określona przy pomocy ożsamośc jes jedyną waroścą wyjścową forward spełnającą warunek (.8. Dowód: Z (.3, (.8 (.9 mamy f C,, f f C,,0,0, s PV, C C ς ς ( ( ( ( ( [ ( ] (,. (. 5

6 Krzyszof Paseck Funkcja (. jes zaem jedyną funkcją spełnająca warunk (.3 (.8. Bezpośredno z (. wynka warunek (.. Warunek (. jes konsekwencją monooncznośc czynnka aprecjacj. Funkcja (. jes zaem waroścą wyjścową forward. É Szczególnym zaneresowanem analyków fnansowych ceszy sę aka funkcja warośc wyjścowej, dla kórej czynnk forward zależy jedyne od okresu czasu, jak upłynął od momenu wyceny do momenu zapadalnośc. Formalnym odzwercedlenem ego posulau jes opsana ponżej własność jednorodnośc funkcj warośc wyjścowej. Defncja.: Warość wyjścową f : R [ 0, T ] R nazywamy jednorodną, jeśl sneje aka funkcja γ : [ T, T ] R, że spełnona jes ożsamość f ( C,, C γ (. (. Posula wyznaczena jednorodnej warośc wyjścowej narzuca slne ogranczena, gdyż mamy wedy: Twerdzene.6: Warość wyjścowa f : R [ 0, T ] R jes jednorodna wedy ylko wedy, gdy spełnający warunek (.8 czynnk aprecjacj ς : [ 0,T ] R jes dany w posac ( [ ς ( ] ς. (.3 Dowód: Korzysając z (.8 (., dla każdej pary (, [ 0, T ] ς ( ϕ( 0, γ ( ϕ( τ, τ + [ ζ ( τ ] ς ( τ +. Logarymując obusronne osane równane orzymujemy ln ς τ + ln ς ln ς τ +. ( ( ( ( ( ( τ mamy Logarym czynnka aprecjacj jes funkcją monoonczną. Z Lemau o monooncznej funkcj addyywnej [7] mamy zaem ln ς ln ς, ( ( ( ( co prowadz wpros do (.3. Implkacja odwrona jes oczywsa. É Zgodne z (. bezpośredna konsekwencją osanego werdzena jes ponższa eza. Twerdzene.7: Warość wyjścowa f : R [ 0, T ] R jes jednorodna wedy ylko wedy, gdy jes wyznaczona przy pomocy czynnka forward : [ 0, T ] [,+ ϕ danego w posac ϕ, + ϕ 0,. (.4 ( [ ( ] Nech będze dana funkcja warośc wyjścowej f R [ 0, T ] R :. Przygoowując sę do wykorzysana w analze rynku kapałowego modelu forward, wyróżnamy ak cąg { } n momenów czasowych, że spełnony jes warunek 0 0 < < < K < n T. (.5 0 6

7 Model dwuczynnkowy w arymeyce fnansowej Dla każdego,, K, n względne empo ewolucj warośc kapału w przedzale forward [, [ charakeryzujemy przy pomocy q określonej dla dowolnej warośc kapału C 0 w nasępujący sposób q f ς ( ( C,, f ( C,, ϕ(, ς (. (.6 f ( C,, ( ( ( q określa przecęne empo ewolucj warośc kapału w przedzale [, [ Sopa forward 7 merzone względem warośc kapału odnesonej do począku przedzału forward. W en sposób orzymujemy srukurę ermnową forward {( [ [ } n, q Φ., Z drugej srony welokrone spoykamy sę z syuacją, kedy prowadzona analza kapałowa wymaga dokładnejszej znajomośc empa ewolucj warośc kapału w pewnym blskm horyzonce czasowym. Bez obawy o uraę ogólnośc rozważań, en krók przedzał bardzej dokładnej analzy kapałowej możemy denyfkować z przedzałem ˆ momenów czasowych, że spełnony [ 0, [ 0. W przedzale ym wyróżnamy ak cąg { } m są warunk 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 < 0 < < K < m, (.7 Dla każdego,, K, m empo ewolucj warośc kapału w przedzale [ ˆ, ˆ [ charakeryzujemy przy pomocy sopy forward pˆ określonej dla dowolnej warośc kapału C 0 w nasępujący sposób f ( C, 0, ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ 0 ( ˆ f C,, ϕ 0, ϕ 0, ς ς qˆ. (.8 f ( C, 0, 0 ( Sopa forward qˆ określa przecęne empo ewolucj warośc kapału w przedzale [ ˆ, ˆ [ merzone względem warośc kapału odnesonej do począku 0 przedzału forward. W en sposób orzymujemy srukurę ermnową forward Φ {( [ ˆ [ } m, ˆ, qˆ. W raze porzeby rozróżnena srukury Φ Φ nazywać będzemy odpowedno welookresową srukurą ermnową forward jednookresową srukurą ermnową forward Pokazane jes uaj, że każda srukura ermnowa forward jes unwersalnym nośnkem nformacj o rynku fnansowym zarówno dla model forward, jak dla model spo aprecjacj kapału.. Opsane przez (.6 (.8 srukury ermnowe forward są denyczne z analogcznym srukuram opsanym mędzy nnym w [4] [5]. Oznacza o, że w arykule zaproponowano rafną defncję aksjomayczną model forward. W zasosowanach maemayk fnansowej przyjmuje sę, że srukura ermnowa forward jes kszałowana przez procesy gospodarczo-polyczne zachodzące akże na rynku kapałowym. Dobja swerdza, że empo wzrosu warośc kapału zależy od sosunków panujących na rynku fnansowym jego realnym ooczenu gospodarczym [3]. W ej

8 Krzyszof Paseck syuacj srukurę ermnową forward rakujemy jako san śwaa zewnęrznego opsujący nauralne empo aprecjacj kapału. Oznacza o, że jeśl jes dana srukura ermnowa T q Φ ˆ, ˆ, q, o klasę rozparywanych model Φ T, lub {( [ [ ˆ } m forward {( [ [ } n, forward ewolucj warośc kapału należy ogranczyć do warośc wyjścowych spełnających odpowedno jeden z warunków (.6 lub (.8. ZAKOŃCZENIE Oba dyskuowane powyżej narzędza opsu rynku kapałowego; model spo model forward sanową pewną nezmennczą unwersalną bazę, na kórej buduje sę bardzej szczegółowe modele ewolucj warośc kapału. Pokazano uaj, że rynek kapałowy może być w równoważny sposób opsany przy pomocy modelu spo aprecjacj kapału lub przy pomocy modelu forward ewolucj warośc kapału. Oba modele z jednakowa dokładnoścą opsują en rynek. Wybór właścwego modelu zależy jedyne od posac perwonych nformacj o ym rynku oraz wymagań sawanych przez narzędza analzy rynku kapałowego. Budując układ aksjomaów defnujący modele forward uzyskano obnżane złożonośc logcznej eor dynamcznej oceny warośc srumen fnansowych. Take obnżena złożonośc logcznej rozważanej eor ma sone znaczene uylarne, gdyż w dalszej perspekywe pozwala o na dalsze podnesene zawarośc nformacyjnej ej eor, co pozwala ją uczynć bardzej unwersalną. Wraz ze wzrosem unwersalzmu dowolnej eor opsującej rynk fnansowe wzrasają możlwośc syneyzowana faków obserwowanych na ym rynku. LITERATURA. Calz M.L. (990. Towards a general seng for fuzzy mahemacs of fnance. Fuzzy Ses & Sysems 35, s Casagnol E. (986. Appun d Maemaca Fnanzara, Uncopl, Mlano. 3. Dobja M. (00 Źródła warośc jednosk penądza w: Tarczyńsk W. (red. Rynek kapałowy- skueczne nwesowane, Unwersye Szczecńsk, Szczecn. s Karazas I., Shreve S.E. (998 Mehods of Mahemacal Fnance, Sprnger, New York 5.Meron R.C. (990 Connuous Tme Fnance, Blackwell, Oxford. 6. Pecca L. (97. Su d una caraerzzazone del prncpo del crero dell aualzzazone, Sudum Parmense, Parma. 7. Paseck K. (005 Od arymeyk handlowej do nżyner fnansowej, Wydawncwo Naukowe AE w Poznanu, Poznań. 8

9 Model dwuczynnkowy w arymeyce fnansowej TWO-FACTORIAL MODEL n FINANCIAL ARITMHMETIC SUMMARY Classcal formal approach o fnancal arhmec s based on a one-facoral model of capal apprecaon whch s called a model spo. In hs arcle a model forward s nroduced no he heory of fnancal arhmec as he wo-facor model of capal apprecaon. General relaonshps beween models forward and spo were shown. All consderaons are gven n he conex of axomac deducve approach o fnance arhmec. 9