Idea metody LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA. Idea metody. Przykład. 1 s1,2 k

Transkrypt

1 LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA Idea metody Definicja linii pierwiatowych. Silni terowany napięciowo. PRz Idea metody Atualne zatoowanie metody linii pierwiatowych: amotrojenie w regulatorach przemyłowych (automatyczne trojenie) Zaady reślenia linii pierwiatowych Alternatywne definicje. Wyorzytanie warunu fazy. Bieguny i zera. Linie na oi rzeczywitej. Punty rozwidlenia/potania. Kąty wyjścia z biegunów wielorotnych. Wybór wzmocnienia na podtawie linii pierwiatowych Dane. To projetowania. Przeregulowanie a ąt nachylenia protej. Punt przecięcia protej z linią pierwiatową. Wzmocnienie dla puntu przecięcia. Przyłady linii pierwiatowych Silni terowany prądowo. Cztery różne tałe czaowe. Oreślanie puntu rozwidlenia, czau regulacji i wzmocnienia. W( - Regulator r( Obiet o( L Obiet jet dany w formie tranmitancji ( (( o jao toune dwóch wielomianów M ) W związu z tym opóźnienie e, o ile wytępuje, należy zatąpić rozwinięciem Pade go (do projetowania wytarczy I rząd, a do prawdzenia ymulacyjnego wyżze rzędy) Tranmitancję o ( otrzymuje ię na podtawie modelu matematycznego lub na podtawie identyfiacji metodą odpowiedzi oowej Y( Idea metody Tranmitancja uładu otwartego Tranmitancja uładu niętego ro ro rom ( otw M ( M ( otw rohr ( o ( H ( M ( r ( rr (, o ( oo ( H( H H ( gdzie bieguny uładu niętego (mianowni decyduje o dynamice) r o H Przyład Silni terowany napięciowo: - dla uładu podanego na ryunu wyreślić linie pierwiatowe - przy jaim przeregulowanie wynieie.? - iedy przebiegi będą aperiodyczne rytyczne? - ( ) Wyre linii pierwiatowych otw gdzie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )? Pierwiati wielomianu M( (bieguny uładu niętego) oreślają charater przebiegów przejściowych. Evan podał, ja porządzić wyrey tych pierwiatów na płazczyźnie zmiennej zepolonej dla (, ) nie obliczając amych pierwiatów. Definicja Liniami pierwiatowymi nazywamy zbiór pierwiatów mianownia tranmitancji uładu niętego dla zmieniającego ię : : :,,, j Δ( ) ( ),

2 Przyład Dla jaich biegunów uł.. przeregulowanie wynieie. ( n n n P e n jn, p ln p ln Im tg Re. tg Im Re tg Re Im, j D n Re( D ) Im n Im( D ) p.. Przeregulowanie jednoznacznie oreśla biegun uładu niętego na liniach pierwiatowych Re Przyład Dla jaiego przeregulowanie wynieie. Inaczej: dla jaiego bieguny uładu niętego wynioą: H ( otw otw - ( ) j, j - równanie pełnione na linii pierwiatowej ( ) j j ( ) Ile wynieie cza regulacji Re, otw otw 8 =; L=; M=[ ]; t=:.:; y=tep(l,m,t); Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*..8 P preal Przyład Równania linii pierwiatowych Dla jaiego uzyuje ię przebiegi aperiodyczne rytyczne, Re Ile wynieie cza regulacji, =/; L=; M=[ ]; t=:.:; y=tep(l,m,t); ( ) dy biegun dominujący jet podwójny rzeczywity to cza regulacji równy jet -ciu tałym czaowym.8... M ( M ( M( Na podtawie linii pierwiatowych można przewidzieć zachowanie uładów nie ymulując odpowiedzi oowej, ponieważ wiadomo w jaim obzarze pierwiati ą rzeczywite, a w jaim zepolone M ( ocylacje przebieg aperiodyczny rytyczny Przebiegi aperiodyczne rytyczne uzyuje ię wybierając bieguny uładu niętego ta, aby były one rzeczywite i aby było ja najwięcej biegunów wielorotnych przebieg aperiodyczny zwyły

3 Zaady reślenia linii pierwiatowych Przyład Alternatywne definicje linii pierwiatowych Linia pierwiatowa jet zbiorem wartości, tóre pełniają równanie ( dla (, ) Linia pierwiatowa jet zbiorem wartości, dla tórych faza wynoi ( 8 (tzw. warune fazy) Jeśli pewna liczba zepolona jet ta zczęśliwie wybrana, że gdy policzymy fazę tranmitancji uładu otwartego dla tej liczby czyli i otrzymamy 8, to znaczy, że trafiliśmy na pierwiate leżący na linii pierwiatowej e e j tąd 8 dla leżącego na linii pierwiatowej o j8 Wzór Eulera: ( liczba rzeczywita dodatnia) e j co j in Czy można dobrać taie, aby miała biegun w puncie j? Inaczej, czy punt j leży na linii pierwiatowej? ( Zero: z = - ( )[( ) ] Bieguny: p,, j Należy obliczyć j) Jeśli ąt ten wynieie 8, to oznacza, że uda ię znaleźć dające biegun w j j j) ( j)( j)[( j) ] i i 8 i ąty wetorów wyprowadzonych z zer () i wetorów wyprowadzonych z biegunów () 9 8 arctg. arctg. arctg 7 9 (.. 7 ) 9. 8 Zatem punt j nie leży na linii pierwiatowej! Matlab Warune fazy - Matlab =-+i* =(+)/(*(+)*((+)^+)) angle()*8/pi Wyreślanie linii pierwiatowych - Matlab L=[ ] M=conv([ ],[ 8]) =::; r=rlocu(l,m,); plot(r,*);grid [ r] ( ( )[( ) j ] Zaady reślenia linii pierwiatowych. Bieguny i zera Wyreślić oie Re, Im zaznaczając bieguny i zera o dla uładu otwartego Linie pierwiatowe rozpoczynają ię w biegunach uładu otwartego a ończą w jego zerach, a( b( bądź dążą do nieończoności (, ) Uład III rzędu: M ( M( = - bieguny uładu otwartego = zera uładu otwartego - dla = linie ię zaczynają M( M( M ( - dla linie ię ończą :, j [( ) ] : nie ma

4 Zaady reślenia linii pierwiatowych. Linie na oi rzeczywitej Punt na oi rzeczywitej należy do linii pierwiatowej, jeżeli umaryczna liczba biegunów i zer rzeczywitych uładu otwartego leżących na prawo od niego jet nieparzyta. [( ) ] Czy punty = i =- należą do linii pierwiatowej? 8 : ( ) 8 : ( 8) 8 Zatem punt =- leży na linii pierwiatowej, a = nie leży na linii pierwiatowej. Aymptoty Zaady reślenia linii pierwiatowych n:, m n : Linii pierwiatowych jet n, z tego m ończy ię w zerach uładu otwartego. Pozotałe n-m zmierza do nieończoności wzdłuż aymptoozpoczynających ię na oi rzeczywitej w puncie pi z 8 l j a, wyreślonych pod ątami a dla l,,,... n m, n m [( ) ] j j 8 a.7 M ( :, j : nie ma 8 l a, 8,,, aymptoty,, n, m Im 8 Re - - aymptoty Zaady reślenia linii pierwiatowych Zaady reślenia linii pierwiatowych. Przecięcie z oią urojoną Punt przecięcia linii pierwiatowych z oią urojoną oreśla ię podtawiając j do równania linii pierwiatowych np. M( i rozwiązując je względem. M ( [( ) ] M( [( ) ] 8, 8 rów. linii pierw.. Punty rozwidlenia/potania (breapoint) - ( ) ( ( ) ( ) maymalne (etremum) 8 j : j j Im Re 8 r. 8( ) r d Punozwidlenia oreśla ię z warunu etremalizacji czyli pozuiwania max a więc d ponieważ prowadza ię to do pozuiwania miejc zerowych pochodnej d d ( ) (warune onieczny) d d Hurwitz granica tabilności: 8 Spośród otrzymanych rozwiązań tego równania należy wybrać to, tóre leży w dopuzczalnym przedziale na oi rzeczywitej

5 Zaady reślenia linii pierwiatowych Wybór wzmocnienia na podtawie linii pierwiatowych. Kąty wyjścia z biegunów wielorotnych (lub wejścia do zer) Z podwójnego bieguna lub puntu rozwidlenia linie pierwiatowe wychodzą pod ątami różniącymi ię o 8, z potrójnego pod ątami różniącymi ię o z poczwórnego o 9 itd Wybór wzmocnienia jet podtawowym problemem projetowym Przyład Dane: otw Szuane: (, p - ( ) To projetowania Wyre linii pierwiatowych Ręczny wyznaczyć punty charaterytyczne według zaad - wyreślić linie doonując aproymacji Matlab funcje rlocu() i plot(). Oreślić ąt (toune Im /Re bieguna) na podtawie przeregulowania p p ln p ln arctg Wybór wzmocnienia na podtawie linii pierwiatowych Wybór wzmocnienia na podtawie linii pierwiatowych. Utworzyć linie pierwiatowe dla Ręcznie według zaad - Matlab r=rlocu(l,m,); plot(r, * ). Wyznaczyć punt przecięcia D protej z linią pierwiatową i oreślić wzmocnienie Ręcznie - D z wyreu (w przybliżeniu) dla = D. Oreślić podziewany cza regulacji dla = Re D. Kontrola odpowiedzi oowej uładu niętego Matlab Przyład ( [( ) ] p. p.. Matlab - wybór olumny r(:,i), w tórej Re<, Im> (i =,,,...) [ r(:,i) 8-angle(r(:,i))*8/pi ] - tablica -olumnowa - wybór wierza z wartością ąta najbliżzą tzn. wierza [ D ] - zgodność ąta L=; M=conv([ ],[ 8 ]); =::; r=rlocu(l,m,); plot(r,*);grid r -. +.i -. -.i i i i i i i i i [ r(:,) 8-angle(r(:,))*8/pi]

6 L=; Wybór wzmocnienia na podtawie linii pierwiatowych M=conv([ ],[ 8 ]); = Lz=*L; Mz=M+[ *L]; t=:.:; y=tep(lz,mz,t); [ r(:,) 8-angle(r(:,))*8/pi] i i i i i i. Preal=(max(y)-y(end))/y(end)* p real = D =-.+.i Re( D) =-. Nie należy oczeiwać, że otrzymane przeregulowanie będzie wynoić doładnie., ponieważ uład jet III rzędu. Na ogół jedna rozbieżności nie ą nadmierne. Ewentualne zbliżenie ię do zadanych wymagań jet możliwe metodą olejnych prób (orygowanie wzmocnienia) Przyłady linii pierwiatowych Silni terowany prądowo ze przężeniem pozycyjnym i tachometrycznym oraz terowniami mocy o różnych tałych czaowych. Wymagane ą przebiegi aperiodyczne rytyczne. Sterowni idealny - T = Punozwidlenia d d? otw ( Bieguny: p, Zero: z ( ) =, - W uładzie -go rzędu mającego jedno zero jet ono środiem oręgu będącego linią pierwiatową Przyłady linii pierwiatowych Przyłady linii pierwiatowych Wzmocnienie dla D = - Re Cza regulacji D Aymptoty ( ) ( ) a. Punozwidlenia Bieguny: p,, p Zero: z 8 l a 9, 7 l, pi z j a n m 8 l a n m Sterowni o znacznej tałej czaowej T =. - T + otw ( ( ) T T ( p) T p T. T. ( ) Bieguny: p,, p Zero: z d ( ) d ( ) ( )( 8 ( 7 8) Nie itnieje punozwidlenia na oi rzeczywitej Nie uda ię więc uzyać przebiegów aperiodycznych rytycznych L=[ ] M=[ ] =:.:; r=rlocu(l,m,); plot(r,*),grid ,.7 j.98 Sterowni o znacznej tałej czaowej (tani, przeciętna jaość) nie jet w tanie zapewnić wymagań projetowych

7 Przyłady linii pierwiatowych Przyłady linii pierwiatowych Sterowni o małej tałej czaowej - T.8 Wzmocnienia dla puntów rozwidlenia 8 p.8.8 p ( ) a. L=[ ] M=conv([ ],[ ]) =::; r=rlocu(l,m,); plot(r,*),grid d ( ) d ( ) ( ) root([ ]) Itnieją zatem dwa punty rozwidlenia ( ) ( ) Dla (9.7,.78) przebiegi dynamiczne będą aperiodyczne Sterowni o małej tałej czaowej (oztowny, dobra jaość) zapewni wymagania projetowe Wartości, można taże otrzymać na podtawie intrucji [ r(:,) 8-angle(r(:,))*8/pi ] Przyłady linii pierwiatowych Przyłady linii pierwiatowych Sterowni o średniej tałej czaowej - 9 p 9 ( 9) T. 9 pi z j a n m 8 l a n m L=7*[ ] M=[ 9 ] t=:.:; y=tep(7,l+m,t); ( ) p 9 a. d ( 9) d ( 9) ( ) Punozwidlenia jet podwójny (linie ię chodzą i rozchodzą) ( 9) 7. L=[ ] M=conv([ ],[ 9]) =:.:; r=rlocu(l,m,); plot(r,*),grid, Odpowiedź na załócenie 7 Yz z Yz ( 9 9 Z( 7 ( ) ( 9) 7( ) l m L=[ 9] M=[ 9 7 7] t=:.:; y=tep(l,m,t);.... Powodem niepełnej eliminacji załócenia jet bra całowania w regulatorze, tórym tutaj jet 7 9 7