SYSTEMY DYSKRETNE LTI

Transkrypt

1 CPS 6/7 SYSTEMY DYSKRETNE LTI Odpoiedź impuloa UOdpoiedź impuloau h[] ytemu jet to ygał a yjściu ytemu, gdy a jego δ. ejściu ymuzoo chili = impul jedotkoy δ[] Sytem dykrety h[] Odpoiedź impuloa h[] jet kompletą charakterytyką ytemu LTI, pozalającą określić odpoiedź ytemu a doole ie ymuzeie. Iloczy ygału x[] oraz impulu δ [ ] możemy zapiać jako: δ = [ ] δ x x Ogólie zależość ta dla impulu przeuiętego czaie jet atępująca: δ [ ] = δ [ ] x k x k k gdzie reprezetuje idek czau, x[] opiuje ygał. Moża zauażyć, że możeie ygału i impulu przeuiętego daje yiku impul przeuięty o polu róym artości fukcji miejcu przeuięcia impulu. Ta łaściość pozala zapiać ymuzeie x[] jako: [ ] δ [ ] [ ] δ[ ] [ ] δ [ ] δ[ ] [ ] δ[ ] x= + x + + x + + x + x + x +

2 CPS 6/7 lub krócoej formie : = δ [ x x k k k = ] Wykorzytując Uliioość i tacjoarośću ytemu odpoiedź yoi: [ ] [ y = x k h k] k = Tz. jeżeli ymuzeiem ytemu LTI x[] jet uperpozycja ażoych impuló przeuiętych czaie to jego odpoiedzią będzie uperpozycja idetyczie ażoych odpoiedzi h[] impuloych idetyczie przeuiętych czaie. Operację pozalającą yzaczyć odpoiedź ytemu a doole ymuzeie azya ię UplotemU i ozacza giazdką * jak yrażeiu: UPrzykład: Odpoiedź impuloa ytemu LTI yoi: h = = [ ] y x h xk h k, =± =, =, ie k = h[]

3 CPS 3 6/7 Należy yzaczyć odpoiedź ytemu a ymuzeie: URoziązaie: x, = 3, = =, =, ie Wymuzeie yoi: = δ + 3 δ[ ] δ[ ] x Odpoiedź będzie uperpozycją odpoiedzi impuloych: = + 3 [ ] [ ] y h h h Poieaż odpoiedź impuloa yoi: Zatem odpoiedź ytemu = δ [ + ] + δ + δ[ ] h = ( δ[ + ] + δ + δ[ ] ) 3 ( δ[ ] δ[ ] δ[ ] ) ( δ[ ] δ[ ] δ[ 3] ) y = δ[ + ] + 4δ + δ[ ] 3δ[ ] 6δ[ ] 3δ[ ] δ[ ] 4δ[ ] δ[ 3] y Stąd otateczie odpoiedź yoi: y = δ [ + ] + 7δ[ ] + 6δ[ ] δ[ ] δ[ 3] Matlab (plot dóch ygałó) h=[ ]; x=[ 3 ]; y=cov(h,x))

4 CPS 4 6/7 Roziązaie graficzie: x[] v [] x[] 3 v [] x[] 3 v [] x[] y[]

5 CPS 5 6/7 Właości plotu: UPrzemieość x[ ] h[ ] = h[ ] x[ ] UŁączość ( x[ ] h[ ] ) h[ ] = x[ ] ( h[ ] h[ ] ) URozdzielość { + } = + x h h x h x h Korzytając z przemieości plotu moża odpoiedź ytemu obliczać jako: Odpoiedź jedotkoa. = [ ] y hk x k k = Odpoiedź jedotkoa ytemu dykretego, jet do odpoiedź k[] a ymuzeie potaci koku jedotkoego [], może być yzaczoa ze plotu: = = [ ] = k h h k k h k k= k= Zależość między odpoiedzią impuloą i jedotkoą: = [ ] h k k Właości ytemu dykretego LTI: UPamięć ytemó W ytemach bez pamięci odpoiedź ytemu y[] zależy tylko od teraźiejzych artości ymuzeia x[]. Poieaż ytemach LTI zależość między odpoiedzią i ymuzeiem opiuje róaie: = [ ] y hk x k k =

6 CPS 6 6/7 zatem mui być pełioy aruek dla odpoiedzi impuloej: = dlak hk UPrzyczyoość ytemó: Odpoiedź układu przyczyoego zależy tylko od przezłych i teraźiejzych artości ygału ejścioego. Przezłe i teraźiejze artości ymuzeia k plotu x, x, x,... ą ziązae z idekem = [ ] y hk x k k = atomiat przyzłe artości ymuzeia ą ziązae z k <. Zatem dla ytemó przyczyoych mui być pełioy aruek dla odpoiedzi impuloej: Wtedy plot a atępującą potać: = dlak< hk = [ ] lub alteratyie y = xk h [ k] y hk x k k = k = UStabilość ytemó: Układ jet tabily ( eie BIBO), jeżeli przy ograiczoym ygale ejścioym ygał yjścioy jet także ograiczoy: x M < y M < x Możemy yzaczyć aruki jakie mui pełiać odpoiedź impuloa, aby garatoała tabilość ytemu. y y = h x = y hk x k k =

7 CPS 7 6/7 Poieaż a+ b a + b oraz a b = a b [ ] y hkx k k = [ ] y hk x k k = Jeżeli ymuzeie jet ograiczoe, x M < oraz x k M < x x to odpoiedź y M hk x k = Zatem aby odpoiedź była ograiczoa mui być pełioy aruek ograiczoej abolutej umy odpoiedzi impuloej: k = hk < Róaia różicoe x[] Sytem dykrety y[] Rolę róań różiczkoych opiujących ytemy aalogoe ytemach dykretych pełią róaia różicoe.

8 CPS 8 6/7 Zależości między ymuzeiem x[] i odpoiedzią y[] ytemach liioychtacjoarych (LTI) opiują Uróaia różicoeu ogólie N-tego rzędu, liioe potaci: N M ay k k = bx l l k= l= gdzie półczyiki ak, bl ą rzeczyite i tałe, a N określający rząd róaia, jet ajiękzym opóźieiem odpoiedzi y[]. Róaia, różicoe moża roziązyać metodą klayczą ykorzytując aalogie do metod roziązujących róaia różiczkoe. UPrzykład: Należy obliczyć odpoiedź dóch różych ytemó (dykretego i ciągłego) metodą klayczą przy zadaych róaiach opiujących ytemy, arukach początkoych, i ymuzeiach (aalogie metodzie klayczej). Sytem dykrety Sytem ciągły Róaie różicoe: [ ] α y[ ] = + β, y[ ] y + + = γ Róaie różiczkoe t ( ) α ( ) = +, ( ) d β y t + y t e y = γ dt Roziązaie potaci kładoych: y y y = + y ( t) = y ( t) + y ( t) Składoa oboda pełia róaie jedorode: y α y [ + ] + = d y ( ) α ( ) + t y dt t Róaie charakterytycze: + α = + α = Pieriatek róaia charakterytyczego = α = α Składoa oboda y [ ] = A ( α ) αt y( t) = Ae =

9 CPS 9 6/7 Składoa ymuzoa: y[ + ] + α y[ ] = + β d βt y( t dt ) + α y( t) = + e jet potaci (charakter ymuzeia): y A B β t = + y ( t) = A+ B e β ( ) + β + + α ( + β ) = + β d t t ( e ) + α dt ( e ) A B A B A A = + α β B = αβ + ( + α) + B α + β = + β β y β + α αβ + t A+ B β A+ B β = + e β βt βt ( ) αa B α β e e + + = + A = α B = α + β α α + β [ ] = + β t y () t = + e β Stała całkoaia z arukó początkoych: y [ ] = A = y[ ] y [ ] y ( ) = A = y( ) y ( ) A β = γ + α αβ + A = γ α Zatem odpoiedź ytemu: β β β + α αβ + + α αβ + = + + γ ( α ) βt αt y() t = + e + γ e y odp. ymuzoa odp. oboda α α + β α odp. ymuzoa odp. oboda UPrzykład: Obliczaie odpoiedzi jedotkoej ytemu Sytem dykrety opiay jet róaiem różicoym [ + ].9 = y y x x= i y = ależy obliczyć przebieg yjścioy y[], jeżeli [ ]

10 CPS 6/7 UI. Roziązaie przez bezpośredie podtaieie: Dla kolejych artości : y [] = +.9 y [ ] = + ( +.9).9 = ( ) y = = Stąd ogólie: yk = k 3 Korzytając z zależości a umę czątkoą ciągu geometryczego: k +.9 = =.9, k=,,,....9 k + ( ) yk MATLAB clear; % % obliczae rekurecyjie y=; y=y; for k=: y=+.9*y; yy(k)=y; ed y=[y yy]; figure(); tem(y); % % ykorzytaie roziązaia i=:; yu=*(-.9.^(i+)) figure(); tem(yu)

11 CPS 6/7 UII. Roziązaie metodą klayczą: [ ].9, [ ] y+ y= y = Spodzieae roziązaie jet umą kładoych ymuzoej i obodej = + y y y Składoa oboda jet roziązaiem ogólym róaia jedorodego: Róaie charakterytycze: [ ].9 y + y =.9 = Pieriatek róaia charakterytyczego yoi =.9 Składoa oboda ma zatem potać zeregu ykładiczego: = A.9 y Składoa ymuzoa ma charakter ymuzeia (fukcja tała) i jet zczególym roziązaiem róaia iejedorodego y [ ] = A ( cot) Wartość A obliczymy z róaia różicoego poprzez poróaie półczyikó z leej i praej troy dla kładoej ymuzoej: [ ].9 y + y = A.9A = A = y [ ] =

12 CPS 6/7 Stałą A obliczamy z arukó początkoych, dla = = + y y y [ ] = [ ] + y y y = + A.9 Roziązaie końcoe: A = 9 ( 9).9 = + = + = (.9.9 ) y y y + ( ) y =.9, =,,,... Schematy blokoe Sytemy LTI moża przedtaić potaci chematu blokoego, który jet graficzym zapiem róaia różicoego. UMożeie kalare x[] y[]=cx[] UDodaaie x[] + y[]=x[]+[] [] UPrzeuaie czaie x[] z - y[]=x[-]

13 CPS 3 6/7 UPołączeie róoległe: h [] x[] + y[] h [] + x[] h []+ h [] y[] + = ( + ) x h x h x h h UPołączeie kakadoe: x[] h [] h [] y[] x[] h []* h [] y[] { x[ ] h[ ] } h[ ] = x[ ] { h[ ] h[ ] } UPrzykład: Wyzacz odpoiedź ytemu dykretego a ymuzeie: = δ δ [ ] x h [] x[] h [] + + h 3 [] + - y[] h 4 []

14 CPS 4 6/7 jeżeli odpoiedzi impuloe pozczególych ytemó yozą: 3 4 = [ ] = [ + ] = δ [ ] = h h h h a URoziązaie: = ( + ) 3 4 h h h h h = + [ + ] = [ + ] h h [ ] = [ + ] δ [ ] = [ ] 3 Odpoiedź impuloa całego ytemu yoi: = ( ) h a Odpoiedź a zadae ymuzeie: y = x h = ( δ δ[ ] ) y h = [ ] y h h = ( ) ( ) [ ] y a a

15 CPS 5 6/7 UPrzykład: Wyzaczyć odpoiedź układu (dla zeroych arukó początkoych) -6 x[] y[+] y[+] + Z - Z - y[] 5 a ymuzeie potaci koku jedotkoego. URoziązaie: Róaie różicoe ze chematu blokoego: lub [ + ] = [ + ] y x y y [ + ] 5 [ + ] + 6 = y y y x Wtaiając do róaia ymuzeie: [ ] 5 [ ] 6 y+ y+ + y= UMetoda klaycza: Zakładamy roziązaie z potaci kładoych: = + y y y Dla kładoej obodej: y + 5y + + 6y =

16 oblicza CPS 6 6/7 Róaie charakterytycze 5 + 6= Pieriatki róaia charakterytyczego: =, = 3 Składoa oboda będzie miała potać: *) y [ ] = A + A 3 Składoa ymuzoa ma charakter ymuzeia: Stałe AB Bi ABB y [ ] = A [ ] 5 [ ] 6 y + y + + y = A 5A+ 6A= A 5A+ 6A= y = A= ię z arukó początkoych dla = i =: = + y y y [ ] = [ ] + [ ] [] = [] + [] y y y y y y Stąd tałe: = + A + A 3 = + A + A 3 A = A =

17 CPS 7 6/7 Otateczie odpoiedź ytemu yoi: y = 3 + kl. ymuzoa kl. oboda USchemat blokoy układu rzędu Schemat przedtaia typoy dykrety ytem LTI opiay róaiem różicoym rzędu: x[] b [] + + y[] z - z - x[-] b + + -a y[-] z - z - x[-] b -a y[-] Sygał ejścioy jet da razy przeuięty czaie, a yjściach blokó opóźiających otrzymuje ię ygały x[-] i x[-]. Sygały te ą kaloae oraz umoae yiku czego otrzymuje ię ygał: = + [ ] + [ ] bx bx bx Natępie możemy apiać dla ygału yjścioego y[] zależości od []: = [ ] [ ] y ay ay Stąd: y = bx + bx [ ] + bx [ ] ay [ ] ay [ ] y + ay [ ] + ay [ ] = bx + bx [ ] + bx [ ] lub k l [ ay k = bx l k= l= ]

18 CPS 8 6/7 UAlteratyy chemat blokoy dla układu rzędu x[] b + + f[] y[] z - -a b + + f[-] z - -a f[-] b UPrzykład: Sytem opiay róaiem ależy przedtaić potaci chematu blokoego: + 3 [ 3] = + [ ] y y y x x Roziązaie x[] + + y[] z - z - z - + -/ z - z - /3

19 CPS 9 6/7 Róaia tau Opi ytemu przetrzei tau polega a utorzeiu Uukładu róań różicoych pierzego rzęduu opiujących przebiegi zmieych tau ytemu oraz zależości odpoiedzi ytemu od zmieych tau i ymuzeia. Róaia te przedtaia ię formie macierzoej. Na chemacie blokoym ygały f[-], f[-], które zajdują ię a yjściach blokó opóźiających ozaczymy odpoiedio qbb[] oraz qbb[]. Wielkości te azya ię Uzmieymi tauu. x[] y[] + + z - -a b + + q [] z - -a q [] b Wartości zmieych tau zgodie ze chematem blokoym yozą: [ + ] = + q aq a q x q [ + ] = q [ ] Ze chematu możemy także yzaczyć zależość odpoiedzi od ymuzeia i zmieych tau: = + + y x aq aq bq bq W formie macierzoej poyżze róaia: [ + ] q a a q = + x q + q [ ] q = + q [] y b a b a x

20 CPS 6/7 Defiiując ektor tau jako : Q [ ] [ ] q = q Róaia tau zapizemy: Q[ + ] = AQ[ ] + b x[ ] = cq + y Dx gdzie: a a A=, b = [ b a b a ] c=, D = Opi ytemu przetrzei tau ykorzytuje ię częto obliczeiach umeryczych. UPrzykład: Sytem opiay jet róaiem różicoym. Wyzacz macierze tau tego ytemu: URoziązaie + 3 [ ] = + [ ] y y y x x Potać ogóla róaia różicoego: zatem: y + ay [ ] ay [ ] = bx + bx [ ] + bx [ ] 3 A=, = b c= [ 3], D = [ ]