FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

Transkrypt

1 i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17

2 Transformata Fouriera Transformata Fouriera wyraża się wzorem x(f ) = x(t)e 2πixf dt, M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 2 / 17

3 Transformata Fouriera Transformata Fouriera wyraża się wzorem x(f ) = x(t)e 2πixf dt, dla której odwrotna transformata wyraża się wzorem: x(t) = 1 x(f )e 2πixf df. 2π M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 2 / 17

4 Transformata Fouriera Transformata Fouriera wyraża się wzorem x(f ) = x(t)e 2πixf dt, dla której odwrotna transformata wyraża się wzorem: x(t) = 1 x(f )e 2πixf df. 2π Transformata Fouriera pozwala na rozłożenie sygnału ma poszczególne składowe częstotliwościowe sygnału. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 2 / 17

5 DFT Dla dyskretnego sygnału określonego w N punktach x i, i = 0,..., N 1 transformata Fouriera przyjmuje postać X k = N 1 kn 2πi x n e N, M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 3 / 17

6 DFT Dla dyskretnego sygnału określonego w N punktach x i, i = 0,..., N 1 transformata Fouriera przyjmuje postać X k = N 1 a transformata do niej odwrotna x n = 1 N N 1 kn 2πi x n e N, kn 2πi X k e N. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 3 / 17

7 DFT Dla dyskretnego sygnału określonego w N punktach x i, i = 0,..., N 1 transformata Fouriera przyjmuje postać X k = N 1 a transformata do niej odwrotna x n = 1 N N 1 kn 2πi x n e N, kn 2πi X k e N. Tak zdyskretyzowana tranformata Fouriera nazywa się DFT (Discrete Fourier Transform). M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 3 / 17

8 DFT Aby móc wykorzystać DFT w przetwarzaniu sygnałów potrzebny jest algorytm pozwalający na stosunkowo szybkie obliczenie DFT. Algorytm 1 DFT(x,N) (algorytm brutalny) Input: x : tablica zmiennych typu complex o długości N Output: x : tablica zmiennych typu complex o długości N 1: for k = 0 to N 1 do 2: sum 0 3: for n = 0 to N 1 do 4: ω e 2πi kn N 5: sum sum + ωx n 6: end for 7: x k sum 8: end for 9: return x M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 4 / 17

9 Jednak jego złożoność takiego algorytmu jest rzędu Θ(n 2 ). M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 5 / 17

10 Jednak jego złożoność takiego algorytmu jest rzędu Θ(n 2 ). Stosunkowo łatwe spostrzeżenie pozwola na zredukowanie tego czasu do Θ(n log n). Wzór na DFT można zapisać jako X k = N 1 kn 2πi x n e N M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 5 / 17

11 Jednak jego złożoność takiego algorytmu jest rzędu Θ(n 2 ). Stosunkowo łatwe spostrzeżenie pozwola na zredukowanie tego czasu do Θ(n log n). Wzór na DFT można zapisać jako X k = N 1 kn 2πi x n e N N 2 1 = x 2n e 2πi k(2n) N + N 2 1 k(2n+1) 2πi x 2n+1 e N M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 5 / 17

12 Jednak jego złożoność takiego algorytmu jest rzędu Θ(n 2 ). Stosunkowo łatwe spostrzeżenie pozwola na zredukowanie tego czasu do Θ(n log n). Wzór na DFT można zapisać jako X k = N 1 kn 2πi x n e N N 2 1 N 2 1 = x 2n e kn 2πi N x 2n e 2 +e 2πi k N 2πi k(2n) N + N 2 1 N 2 1 kn 2πi N x 2n+1 e 2 k(2n+1) 2πi x 2n+1 e N M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 5 / 17

13 Jednak jego złożoność takiego algorytmu jest rzędu Θ(n 2 ). Stosunkowo łatwe spostrzeżenie pozwola na zredukowanie tego czasu do Θ(n log n). Wzór na DFT można zapisać jako X k = N 1 kn 2πi x n e N N 2 1 N 2 1 = x 2n e kn 2πi N x 2n e 2 +e 2πi k N 2πi k(2n) N + N 2 1 N 2 1 kn 2πi N x 2n+1 e 2 = X e k + e 2πi k N X o k, k = 0,..., N 1 k(2n+1) 2πi x 2n+1 e N M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 5 / 17

14 Pozostaje jeszcze zauważyć, że X k = Xk e + e 2πi k N Xk o = Xk e e 2πi k N Xk o X k+ N 2 0 k < N 2 Bez straty ogólności załóżmy, że N = 2 m, m N. Jeżeli tak nie jest to do ciągu x i, i = 0,..., N 1 można dopisać zera, aż do najbliżej potęgi 2. Ponadto DFT ciągu składającego się z jednej próbki to identyczność. Wobec tego można sformułować poniższy algorytm. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 6 / 17

15 Algorytm 2 (x,n) Input: x : tablica zmiennych typu complex o długości N = 2 m Output: x : tablica zmiennych typu complex o długości N 1: if N=1 then 2: return x 3: end if 4: ω, ω N 1, e i 2π N 5: x e, x o (x 0, x 2,..., x N 2 ), (x 1, x 3,..., x N 1 ) 6: x e, x o (x e, N 2 ), (x o, N 2 ) 7: for k = 0 to N 2 1 do 8: x k x k e + ω x k o 9: x k+ N x k e ω x k o 10: ω ωω N 11: end for 12: return x 2 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 7 / 17

16 Złożoność powyższego algorytmu to Θ(n log n). M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 8 / 17

17 Złożoność powyższego algorytmu to Θ(n log n). Zauważmy że działania wykonywane w liniach 7 11 mają złożoność liniową. Wobec tego złożoność całego algrytmu wynosi T (n) = 2T ( n 2 ) + Θ(n). M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 8 / 17

18 Złożoność powyższego algorytmu to Θ(n log n). Zauważmy że działania wykonywane w liniach 7 11 mają złożoność liniową. Wobec tego złożoność całego algrytmu wynosi T (n) = 2T ( n 2 ) + Θ(n). Po rozwikłaniu tej rekurencji (np. za pomocą tw. o rekurencji uniwersalnej) dostajemy T (n) = Θ(n log n). M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 8 / 17

19 Złożoność powyższego algorytmu to Θ(n log n). Zauważmy że działania wykonywane w liniach 7 11 mają złożoność liniową. Wobec tego złożoność całego algrytmu wynosi T (n) = 2T ( n 2 ) + Θ(n). Po rozwikłaniu tej rekurencji (np. za pomocą tw. o rekurencji uniwersalnej) dostajemy T (n) = Θ(n log n). Jest to szybka metoda na obliczenie DFT, co pozwala na wykonywanie operacji na sygnale w dziedzinie częstotliwości. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 8 / 17

20 Splot dwóch funkcji x i h definiujemy wzorem (x h)(t) = x(τ)h(t τ)dτ. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 9 / 17

21 Splot dwóch funkcji x i h definiujemy wzorem (x h)(t) = x(τ)h(t τ)dτ. Jeśli sygnał określony jest w punktach x i, i = 0,..., N 1, to dyskretnym analogiem powyższej definicji jest (x h) n = N 1 m=0 x m h n m. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 9 / 17

22 Splot dwóch funkcji x i h definiujemy wzorem (x h)(t) = x(τ)h(t τ)dτ. Jeśli sygnał określony jest w punktach x i, i = 0,..., N 1, to dyskretnym analogiem powyższej definicji jest (x h) n = N 1 m=0 x m h n m. Bezpośrednie obliczenie takiej sumy ma złożoność Θ(n 2 ). Istnieje jednak szybszy sposób na obliczenie dyskretnego splotu dwóch funkcji. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 9 / 17

23 Korzystając z faktu, że x h = xĥ dyskretny splot można obliczyć w czasie Θ(n log n). M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 10 / 17

24 Konwersja sygnału analogowego na cyfrowy Wartości występujące w przyrodzie są na ogół ciągłe (analogowe). Aby móc korzystać z metod cyfrowego przetwarzania w celu ich obróbki należy dokonać wcześniejszej konwersji sygnału analogowego na cyfrowy. Odbywa się to w trzech etapach: M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 11 / 17

25 Konwersja sygnału analogowego na cyfrowy Wartości występujące w przyrodzie są na ogół ciągłe (analogowe). Aby móc korzystać z metod cyfrowego przetwarzania w celu ich obróbki należy dokonać wcześniejszej konwersji sygnału analogowego na cyfrowy. Odbywa się to w trzech etapach: próbkowania; M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 11 / 17

26 Konwersja sygnału analogowego na cyfrowy Wartości występujące w przyrodzie są na ogół ciągłe (analogowe). Aby móc korzystać z metod cyfrowego przetwarzania w celu ich obróbki należy dokonać wcześniejszej konwersji sygnału analogowego na cyfrowy. Odbywa się to w trzech etapach: próbkowania; kwantyzacji; M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 11 / 17

27 Konwersja sygnału analogowego na cyfrowy Wartości występujące w przyrodzie są na ogół ciągłe (analogowe). Aby móc korzystać z metod cyfrowego przetwarzania w celu ich obróbki należy dokonać wcześniejszej konwersji sygnału analogowego na cyfrowy. Odbywa się to w trzech etapach: próbkowania; kwantyzacji; kodowania; M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 11 / 17

28 Konwersja sygnału analogowego na cyfrowy M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 12 / 17

29 Próbkowanie Próbkowanie polega na pobieraniu próbek z sygnału analogowego z częstotliwością próbkowania, w wyniku którego z sygnału ciągłego uzyskuje się ciąg próbek w postaci impulsów o wartościach określonych w dyskretnych punktach i o amplitudach równych amplitudom sygnału analogowego w tych punktach. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 13 / 17

30 Kwantyzacja Kwantyzacja dyskretnego sygnału otrzymanego w procesie próbkowania polega na podziale zakresu amplitud, jakie mogą przybierać próbki, na określoną liczbę przedziałów i przyporządkowanie każdej próbce numeru poziomu, do którego sięga jej amplituda. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 14 / 17

31 Kodowanie Kodowanie skwantowanego sygnału polega na przekształceniu go w sygnał cyfrowy przez przyporządkowanie poszczególnym poziomom tego sygnału, wyrażonym w liczbach układu dziesiętnego, numerów wyrażonych w systemie binarnym. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 15 / 17

32 Kodowanie Kodowanie skwantowanego sygnału polega na przekształceniu go w sygnał cyfrowy przez przyporządkowanie poszczególnym poziomom tego sygnału, wyrażonym w liczbach układu dziesiętnego, numerów wyrażonych w systemie binarnym. Na ogół zakres amplitud dzieli się na (2 16 1) przedziałów, pozwala to na zapisanie do 16-bitowych integerów. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 15 / 17

33 Filtry splotowe Operacji na sygnałach można dokonywać za pomocą filtrów cyfrowych. W tym celu wyobraźmy sobie układ, który po podaniu na wejście sygnału na wyjściu podaje sygnał przetworzony przez ten układ. W teorii przetwarzania sygnałów stosuje się m.in. takie układy, które splatają sygnał z innym, określonym przez układ ciągiem. Jeśli taki układ jest filtrem splotowym, to ciąg ten będziemy nazywać współczynnikami filtra splotowego. M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 16 / 17

34 Filtry FIR M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 17 / 17