PAiTM. materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż.

Transkrypt

1 PAiTM materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Mazyn Roboczych tudia inżynierkie prowadzący: mgr inż. Sebatian Korczak Poniżze materiały tylko dla tudentów uczęzczających na zajęcia. Zakaz rozpowzechniania i powielania bez zgody autora. PODSTAWY AUTOMATYKI CZĘŚĆ I Zakre materiału na 3 kolokwium lub pracę domową 1. Równania elementów automatyki i ich tranmitancje operatorowe. Elementy: proporcjonalny, inercyjny I-go rzędu, całkujący, różniczkujący, ocylacyjny i opóźniający. Odpowiedzi na wymuzenie kokowe oraz charakterytyki czętotliwościowe. 2. Algebra chematów blokowych. Połączenia elementów automatyki zeregowe, równoległe i ze przężeniem zwrotnym. WSTĘP TEORETYCZNY Prozę w pierwzej kolejności zapoznać ię z materiałem z wykładu Przed przytąpieniem do zadania automatycznego terowania obiektami lub proceami należy zapoznać ię ze poobem opiu toowanym w teorii automatyki i terowania. W przedmiocie kupimy ię na rozważaniu obiektów, dla których wyróżniamy jedną zmienną wejściową (ygnał wejściowy, wymuzenie układu, zazwyczaj będziemy mogli je zmieniać) oraz jedną zmienną wyjściową (ygnał wyjściowy, wpływamy na niego poprzez zmianę ygnału wejściowego). Single Input Single Output (SISO) x(t) wejście input Obiekt lub proce y(t) wyjście output Podtawowa teoria terowania zajmuje ię układami liniowymi niezależnymi od czau (ozn. LTI od linear time-invariant ytem). Jeśli x(t) to ygnał wejściowy, a funkcja h( ) opiuje działanie układu, tak że wyjście możemy obliczyć jako y(t)=h( x(t)), to układ nazywamy liniowym, gdy pełnia właność kalowalności α y(t)=αh(x(t ))=h(α x(t)). Układ jet niezależny od czau jeśli dla zależności wyjście/wejście y(t)=h(x(t)) pełniona jet

2 również zależność y(t τ)=h( x(t τ)) dla dowolnego τ (czyli funkcja h( ) nie zależy jawnie od czau). Badając zachowanie obiektów poługujemy ię kilkoma typowymi funkcjami wejściowymi: ygnał zerowy (brak ygnału wejściowego): x(t)=0 impul jednotkowy (delta Dirac'a, należy kojarzyć to bardzo krótkim pobudzeniem układu, np. uderzeniem układu młotkiem): { 0, t <0 δ(t )=, t=0 0, t >0 kok jednotkowy (funkcja Heaviide'a): 1(t)= { 0, t<0 1, t>0 liniowy przyrot ygnału (funcka Ramp): x(t)= { 0, t<0 t, t >0 funkcja harmoniczna: x(t)=a x in(ωt) oznaczana też: H (t), 1 + (t) Tranformata Laplace'a Dana jet ciągła funkcja x(t) lokalnie całkowalna dla t 0, ) i taka, że dla t< 0 x(t)=0 Tranformatę Laplace'a funkcji x(t) definiujemy jako x(t)e t i oznaczamy 0 L{x(t)}=X (), gdzie C jet liczbą zepoloną ( =σ + j ω, j= 1 ) Przykład 1 x(t)=e 2t, t 0. X ()=? Rozwiązanie: X ()=L {e 2 t }= 0 e 2 t e t = e (2+ )t =lim 0 T [ e (2+ )t (2+)]0 T = 1 +2 (>-2)

3 TABELA TRANSFORMAT LAPLECE'A f (t), t 0 δ(t ) impul jednotkowy 1 1(t) kok jednotkowy gn(t ) ignum t F () t n n! n+1 e b t 1 +b b 1 e b t (+b) ω in(ω t ) 2 +ω 2 co(ω t) inh(ω t) coh(ωt) ω 2 ω 2 ω 2 ω a f (t) x(t)+ y(t ) x(t) y(t) plot dy(t) d 2 y(t) 2 d n y(t) n a F () X ()+Y () X () Y () Y ( ) y(0) 2 Y () y(0) dy(0) n Y () d n 1 y(0) n 1 d n 2 y(0)... n 1 y(0) n 2

4 Przykład 2 Rozwiązać równianie różniczkowe z zatoowaniem Tranformaty Laplace'a. d 2 y (t ) 2 3 dy (t ) +2y (t )=1(t ), dy (0) =2, y (0)=3, t 0 Po tranformacie całego równania równanie różniczkowe zmienia ię w wielomian ze zmienną zepoloną, możemy od razu napiać napiać Y ()= ( 1)( 2) Aby otrzymać rozwiązanie w dziedzinie czau korzytamy z odwrotnej tranformaty Laplace'a. Aby wykorzytać tabelę gotowych wzorów rozkładamy Y() na czynniki Y ()= Po wykorzytaniu tabeli otrzymujemy rozwiązanie y(t)= 1 2 1(t)+3et 1 2 e2t. Tranmitancja (funkcja przejścia układu, tranfer function) Dla układu liniowego niezależnego od czau, o jednym wyjściu i wejściu opianego równaniem ogólnym d n y(t) d n 1 y(t) dy(t ) +a n a n 1 n 1 +a n y (t )= dm x(t) d m 1 x (t) dx(t) +b m b m 1 m 1 +b m x(t) po tranformacie Laplac'a przy zerowych warunkach początkowych n Y ()+a 1 n 1 Y ()+...+a n 1 Y ()+a n Y ()= m X ()+b 1 m 1 X ()+...+b m 1 X ()+b m X () możemy napiać zależność między tranformatą wyjścia i wejścia, którą nazywamy tranmitancją G()= Y () X () = m +b 1 m b m 1 +b m n +a 1 n a n 1 +a n Znając tranmitancję możemy zybko obliczyć ygnał wyjściowy z układu przy dowolnym ygnale wejściowym (odpowiedź układu na dowolne wymuzenie) korzytając z zależności Y ()=G() X () (tranformata wyjścia = tranmitancja * tranformata wejścia) y(t)=l 1 {Y ()} Ryunek obok pokazuje dwie drogi liczenia odpowiedzi układu y(t) na wymuzenie x(t). Droga krótza wymaga konieczności rozwiązania równania źródło: wikipedia różniczkowe lub dokonania operacji plotu (ozn. gwiazdką), droga dłużza wymaga korzytania z tablic i operowania na wielomianach.

5 Tranmitancję zapiać możemy również w potaci G()= Y () X () = ( z 1 )( z 2 )...( z m ) ( p 1 )( p 2 )...( p n ) I wtedy z 1, z 2,..., z m nazywamy zerami tranmitancji, a p 1, p 2,..., p n biegunami (uwaga, zera i bieguny mogą być liczbami zepolonymi). Przykład 3 Obejrzyjmy przykładową tranmitancję G()= Po znalezieniu pierwiatków wielomianu z mianownika możemy tranmitancję zapiać w formie 2 G()=, gdzie bieguny p ( 1)( + j+ 1)( i+1) 1 =1, p 2 = 1 i, p 3 = 1+i i zero z 1 =2. Ponieważ jet to funkcja zepolona, aby przedtawić ją na wykreie muiałby być to wykre czterowymiarowy. Wykreślimy zatem wykre modułu tranmitancji w funkcji parametru zepolonego w kali logarytmicznej (kala log. konieczna ze względu na bardzo duży zakre wartości). 20 log G() Dla =z 1 wartość modułu tranmitancji wynoi zero (czyli dla kali log.), dla = p 1, p 2 lub p 3 (czyli w biegunach) tranmitancja ma wartość +. Ponieważ potraktowaliśmy jako niewiadome zarówno wejście jak i wyjście do układu, to tranmitancja operatorowa w pełni opiuje jego działanie dla dowolnych ygnałów. Zachęcam do przypomnienia obie o liczbach zepolonych np. z wikipedii.

6 Tranmitancja widmowa Tranmitancja widmowa charakteryzuje zachowanie utalone układu liniowego przy wymuzeniu harmonicznym (inuoidalnym), przy czym moduł tranmitancji wyznacza tounek amplitud ygnału wyjściowego do wejściowego, a argument tranmitancji wyznacza przeunięcie fazowe ygnału wyjściowego względem wejściowego. Tranmitancję widmową wyznaczamy poprzez podtawienie do tranmitancji operatorowej =jω. Tranmitancję widmową przedtawiamy na wykreie nazywanym charakterytyką amplitudowoczętościową (wykreem Nyquita). Aby porządzić ten wykre tranmitancję widmową rozkładamy na część rzeczywitą i urojoną: G ( jω)=p (ω)+jq (ω) i przyjmując za parametr czętość wejściowego ygnału harmonicznego ω za wpółrzędne punktów wykreu przyjmujemy części rzeczywitą i urojoną tranmitancji, np.: G(jω) G(jω) Wiele informacji nioą też inne wykrey: amplitudowo-czętościowy A(ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) logarytmiczna charakterytyka amplitudowo-czętościowa L (ω)=20log A (ω) fazowo-czętościowy δ(ω)=arg G( j ω)=arctg Q(ω) P (ω) Zatem dla ygnału harmonicznego wejściowego x(t)=x 0 in ωt wyjście układu ma potać y(t)=x 0 A (ω)in(ω t+δ(ω)) Charakterytyka amplitudowo-czętościowa odzwierciedla wzmocnienie ygnału po przejściu przez układ, a charakterytyka fazowo-czętościowa opiuje opóźnienie ygnału wyjściowego względem wejściowego. W ramach podtaw teorii automatyki niezwykle ważne jet poznanie kilku podtawowych tranmitancji i ich charakterytyk, gdyż wykorzytuje ię je do opiu bardzo wielu układów/proceów/zjawik. W oparciu o te podtawowe tranmitancje buduje ię również układy terowania automatycznego.

7 Element Równanie elementu Tranmitancja Wykre Nyquit'a proporcjonalny (proportional) y (t ) =ku (t ) k inercyjny I-go rzędu (firt order) T dy (t ) +y (t ) =ku(t ) k T+ 1 całkujący (integrator) dy (t ) =ku (t ) lub t y (t ) =k 0 u (t ) k różniczkujący idealny (derivative) y (t ) =k du (t ) k różniczkujący rzeczywity (derivative with inertia) T dy (t ) +y (t ) =k du (t ) k T+ 1 opóźniający (delay) y (t ) =u(t τ ) e τ inercyjny II-go rzędu, ocylacyjny (econd order, ocillator) 2 d 2 y (t ) dy (t ) T 1 +T y (t ) =ku(t ) k T T 2 +1

8 Wykre Nyquit'a Przykładowa charakterytyka Bodego