Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Transkrypt

1 Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011

2 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata Fouriera f (t) F(ω) widmo F (ω) - średnia po czasie; tracimy informacje czasowe funkcja czasu - doskonała lokalizacja w czasie, brak danych częstotliwościowych potrzebna łaczna analiza (przykład - partytura utworu muzycznego)

3 STFT pierwsza próba: STFT dzielimy czas na odcinki o długości T dokonujemy transformat każdego odcinka osobno - dostajemy informację o przybliżonym czasie n.p. wystapienia danej składowej częstotliwościowej problem - zniekształcenia (efekty graniczne) wyjście - zastosowanie funkcji okna g(t); to prowadzi do formuły: F(ω, τ) = f (t)g (t τ)e jωt dt problem STFT - stały rozmiar okna by dostać składowa dolnopasmowa - rozmiar okna przynajmniej t 0 ale takie okno - słaba rozdzielczość czasowa

4 Problemy STFT rozważmy dyskretna wersję SFTF (częstość ω oraz przesunięcie τ - dyskretne) jednego przedziału F(m, 0) = f (t)g (t)e jmω 0t dt interpretacja - rozkład funkcji na składowe bazowe postaci: b 0 (t) = g(t), b 1 (t) = g(t)e jω 0t, b 2 (t) = g(t)e 2jω 0t okno o stałym rozmiarze, wewnatrz coraz więcej oscylacji inne rozwiazanie - stała ilość oscylacji, zmienny rozmiar okienka

5 Idea falek ilość oscylacji - stała rozmiar okna maleje częstotliwość rośnie funkcje o niższych częstotliwościach - pokrywaja dłuższy przedział czasu funkcje wyższych częstotliwości - pokrywaja krótsze okresy czasu

6 Skalowanie i przesunięcia falki - rodzina funkcji uzyskanych z falki macierzystej przez skalowania: f (t) f ( t a ) przesunięcia f (t) f (t b) jeżeli norma funnkcji f (t) 2 = f 2 (t)dt to skalowanie zmienia normę funkcji: f (t/a) 2 = a f (t) 2 dlatego przyjmujemy definicję falki pochodnej: ψ a,b (t) = 1 ψ( t b (a) a )

7 Rozwinięcia falkowe współczynniki rozwinięcia: w a,b = ψ a,b (t), f (t) = ψ a,b (t)f (t)dt rekonstrukcja gdzie: C ψ = ψ(t) f (t) = 1 0 C ψ w a,b ψ a,b (t) dadb a 2 Ψ(ω) 2 ω dω, Ψ(ω) transformata Fouriera falki warunek odwracalności: skończoność C ψ ; to jest możliwe, gdy Ψ(0) = ψ(t) = 0

8 Falki - warunki dopuszczalności skończoność C ψ = wartość średnia falki macierzystej = 0 skończoność energii: Ψ(ω) 2 dω < ostatnia nierówność: Ψ(ω 2 znika dla ω ; lokalizacja w częstotliwości rodzina falek z ciagłymi wartościami a i b - ciagła transformacja falkowa (CWT) CWT - reprezentacja mocno nadmiarowa; zwykle stosujemy wersję dyskretna w której parametry a, b przyjmuja ściśle określone, dyskretne wartości a n,m, b n,m ; sygnał - opisywany poprzez szereg falkowy konieczność powiazania dyskretnych parametrów (musimy utrzymać relację między skala a przesunięciem; waskie funkcje bazowe - mały krok przesunięcia)

9 Dyskretna transformata falkowa najczęściej stosowany wybór: a = a m 0, b = nb 0 a m 0 co daje zbiór falek ψ m,n (t) = a m/2 0 ψ(a 0 t nb 0 ) gdy położymy a 0 = 2 oraz b 0 = 1, co dostajemy diadyczny układ falek: ψ m,n (t) = 2 m/2 ψ(2 m t n) rola parametrów - m określa skalę rozwinięcia a 2 m ), n - przesunięcie funkcji ψ m,n względem ψ m,0 (= n a) wzrost m o 1 funkcje bazowe staja się dwa razy krótsze, ich częstotliwości - dwa razy większe kostka lokalizacji zmienia kształt

10 Falki i funkcje skalujace funkcje stosowane w rozwinęciu falkowym: chcemy opisywać zarówno funkcje o wartości średniej zero (zawierajace harmoniczna f = 0) oraz bardziej zmienne, o wartości średniej różnej od zera (czyli nie zawierajacej małych harmonicznych); to wymusza, by w rozwinięciu falkowym były: funkcje skalujace ϕ m,n (t), uzyskiwane przez skalowanie i przesuwanie podstawowej funkcji skalujacej ϕ(t); falki ψ m,n (t) - uzyskiwane przez skalowanie i przesuwanie falki macierzystej ψ(t) przykład - reprezentacja Haara

11 Analiza wielorozdzielcza typowe podejście do reprezentacji sygnału przy użyciu falek - analiza wielorozdzielcza na każdym poziomie sygnał to suma reprezentacji zgrubnej (aproksymacja) i szczegółowej (detal) każdy następny poziom rozkład aproksymacji poprzedniego poziomu podlega na część zgrubna i szczególowa; zerowe przyblizenie (m = 0, skala zmienności a 0 = 1), przestrzeń Ω 0 - zbiór sygnałów, które da się uzyskać jako kombinacja liniowa poprzesuwanych funkcji skalujacych (zbiór funkcji stałych kawałkami na odcinkach o długości 1) lepsze przyblizenie (m = 1, skala zmienności 2 1 = 1/2, przestrzeń Ω 1 : funkcje bazowe - poprzesuwane funkcje skalujace na skali 1/2, (funkcje stałe kawałkami na odcinkach o długości 1/2)

12 Analiza wielorozdzielcza - c.d. jezeli f Ω 0 to f Ω 1 dopełnienie zbioru Ω 0 do Ω 1 - zbiór Π 0 w którym bazę stanowia falki na skali 1, mamy więc relację: Ω 1 = Ω 0 Π 0, iterujac powyzsza relacje dostajemy:... Ω 0 Ω 1 Ω 2 Ω 3..., Ω j+1 = Ω 0 Π 0 Π 1 Π 2 Π j dla diadycznej transformacji falkowej nie musimy znać funkcji macierzystej falki ani funkcji skalujacej zamiast tego wystarczy znajomość zwiazków wiaż acych te funkcje na różnych poziomach rozdzielczości dla dwóch kolejnych poziomów n.p. (0 i 1) mamy: funkcja skalujaca poziomu 0 Ω 1, czyli da się wyrazić jako kombinacja pewnej ilości funkcji bazowych z Ω 1 ϕ(t) = k h 0 (k)ϕ 1,k (t) = k h 0 (k) 2ϕ(2t k) (MRA)

13 Implementacja poprzez filtry podobnie jest dla falki z poziomu 0: ψ(t) = k h 1 (k)ϕ 1,k (t) = k h 1 (k) 2ϕ(2t k) (WMRA) h 0, h 1 można potraktować jak filtry; h 0 dolnorzepustowy, h 1 górnoprzepustowy