Filtracja. Krzysztof Patan

Transkrypt

1 Filtracja Krzysztof Patan

2 Wprowadzenie Działanie systemu polega na przetwarzaniu sygnału wejściowego x(t) na sygnał wyjściowy y(t) Równoważnie, system przetwarza widmo sygnału wejściowego X(jω) na widmo sygnału wyjściowego Y (jω) czyli Y (jω) = H(jω)X(jω) Y (jω) e jϕ Y = H (jω) e jϕ H X(jω) e jϕ X (1) Równanie (1) dzieli się na dwie zależności 1 relacja modułów Y (jω) = H(jω) X(jω) 2 relacja faz Y (jω) = H(jω) + X(jω)

3 Przekształcenie widma amplitudowego sygnału wejściowego ma charakter multiplikatywny Przekształcenie widma fazowego sygnału wejściowego ma charakter addytywny Filtracja uzyskanie pożądanych parametrów sygnału wyjściowego w dziedzinie częstotliwości Układy liniowe realizujące filtrację nazywamy filtrami Przykładem filtru może być układ korekcyjny (korektor) występujący w sprzęcie audio; w zależności od upodobań użytkownika może on wzmacniać niskie bądź wysokie częstotliwości w sygnale wyjściowym

4 Filtr różniczkowy Transmitancja częstotliwościowa filtru różniczkującego H(jω) = jω Charakterystyki filtru H(ω) ϕ(ω) ω ω Zastosowanie filtru odbiorniki sygnałów z modulacją częstotliwości dwuwymiarowe filtry stosowane do wyostrzaniu krawędzi przedmiotów w obrazie cyfrowym

5 Filtry selektywne (pasmowe) W zależności od kształtu chrakterystyki rozróżnia się kilka typów filtrów selektywnych Kluczowe znaczenie ma pulsacja graniczna ω g Zbiór pulsacji ω takich, że ω < ω g nazywamy pasmem przepustowym Zbiór pulsacji ω takich, że ω > ω g nazywamy pasmem zaporowym Jako pulsację graniczną przyjmuje się pulsację, przy której H(jω) H(jω) max = 3dB Filtr dolnoprzepustowy dla określonej pulsacji granicznej ω g, moduł H(jω) przybiera dla pulsacji ω < ω g wartości dużo większe niż dla pulsacji ω > ω g

6 Przykład 1 Układ RC pierwszego rzędu przykład filtru dolnoprzepustowego, R = 1kΩ, C = 1µF x(t) R C y(t) x(t) = RC dy(t) + y(t) dt H(jω) = jωrc H(jω) = jω = 1000 ω e jarctg(ω/1000) Zakładamy że H(jω) max = H(j0) = 1 i ω g = 1000rad/s DEMO: filtr1.m

7 Typy filtrów Dla systemów drugiego rzędu filtr dolnoprzepustowy filtr środkowoprzepustowy filtr środkowozaporowy filtr górnoprzepustowy 1 H LP (jω) = K a 2 0 ω2 + ja 1 ω jω H BP (jω) = K a 2 0 ω2 + ja 1 ω b 0 ω 2 H BS (jω) = K a 2 0 ω2 + ja 1 ω ω 2 H HP (jω) = K a 2 0 ω2 + ja 1 ω

8 Przykład 2 Filtr środkowoprzepustowy rzędu drugiego jω H BP (jω) = K a 2 0 ω2 + ja 1 ω Załóżmy K = 1000, a 0 = 100, a 1 = 1000 Właściwości filtru H(jω) max = 1, przy ω max = ±100rad/s częstotliwości graniczne ω 1 i ω 2 H(jω 1,2 ) = 1 2 H(jω) max = = przy ω 1 10 i ω DEMO: filtr2.m 2 20

9 Projektowanie filtrów Często stosowaną techniką jest transformacja częstotliwości Punktem wyjśćia jest filtr dolnoprzepustowy o transmitancji H LP (jω) i częstotliwości górnej pasma 3dB równej ω g Stosując odpowiednie transformacje częstotliwości można z danej transmitancji H LP (jω) uzyskać transmitancje innych filtrów selektywnych Na bazie transmitancji filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej ω g1 można otrzymać transmitancję filtru dolnoprzepustowego o pulsacji ω g2 poprzez zamianę zmiennej ω przez ω = v ω g1 ω g2

10 Na bazie transmitancji filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej ω g można otrzymać transmitancję filtru środkowoprzepustowego o pulsacjach granicznych ω 1 i ω 2 poprzez podstawienie ω = ω g v 2 ω 1 ω 2 jv(ω 2 ω 1 ) Na bazie transmitancji filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej ω g można otrzymać transmitancję filtru środkowozaporowego o pulsacjach granicznych ω 1 i ω 2 poprzez podstawienie ω = ω g v(ω 2 ω 1 ) ω 1 ω 2 v 2 Na bazie transmitancji filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej ω g można otrzymać transmitancję filtru górnoprzepustowego o pulsacji granicznych ω d poprzez podstawienie ω = ω gω d v

11 Przykład 3 Rozpatrzmy filtr drugiego rzędu o transmitancji H(jω) i parametrach a 0 = 10 3, a 1 = 2a 0 i K = Na bazie tego filtru zbudować filtr dolnoprzepustowy o pulsacji dwukrotnie większej. 1 H(jω) = K a 2 0 ω2 + j 2a 0 ω charakterystyka amplitudowa H(jω) = pulsacja graniczna ω g1 = 1000rad/s stosujemy podstawienie ω = v ωg1 ω g2 Ĥ(jv) = K 1 = v 2 a 2 0 ( v 2 )2 + j 2a 0 v 2 K a 4 0 +ω 4 transmitancja nowego filtru 4K = 4a 2 0 v2 + j2 2a 0 v DEMO: filtr3.m

12 Przykład 4 Rozpatrzmy filtr bazowy z przykładu 3. Na bazie tego filtru zbudować filtr górnoprzepustowy o pulsacji dolnej ω d = 10rad/s. Transmitancja filtru bazowego stosujemy podstawienie 1 H(jω) = K a 2 0 ω2 + j 2a 0 ω ω = ω gω d v = 104 v transmitancja nowego filtru Ĥ(jv) = K a ( v )2 + j 2a 0 ( 104 v ) = Kv2 a 2 0 v j10 4 2a 0 v DEMO: filtr4.m

13 Filtry o liniowej fazie Filtry tego typu mają charakterystykę fazową o liniowym przebiegu Ważnym modelem jest filtr wszechprzepustowy filtr, który posiada stałe wzmocnienie równe jedności Filtr o transmitancji H AP (jω) = K a2 0 ω2 jωa 1 a 2 0 ω2 + jωa 1 jest filtrem wszechprzepustowym drugiego rzędu Właściwości filtru wszechprzepustowego są całkowicie determinowane przez charakterystykę fazową

14 Rozważmy filtr o następującej transmitancji H(jω) = e jωt 0 Jest to filtr wszechprzepustowy ( H(jω) = 1) Filtr posiada liniową fazę arg H(jω) = ωt 0 Widmo sygnału na wyjściu filtru Y (jω) = X(jω)e jωt 0 Uwzględniając właściwość przesunięcia w dziedzinie czasu otrzymujemy y(t) = x(t t 0 )

15 Sygnał wyjściowy jest opóźnioną wersją sygnału wejściowego Przejście sygnału przez filtr wszechprzepustowy nie powoduje zniekształcenia sygnału, ale jego przesunięcie Gdy filtr posiada charakterystykę fazową nieliniową to wtedy różne składowe widma sygnału wejściowego będą miały różne opóźnienia Składowe zgodnie z zasadą superpozycji zostają dodane do siebie i pomimo stałości chrakterystyki amplitudowej kształt sygnału na wyjściu filtru może znacznie różnić się od kształtu sygnału wejściowego

16 Filtry idealne Filtry idealne są abstrakcyjnymi modelami Filtr idealny posiada takie charakterystyki częstotliwościowe, że dla pewnego zakresu częstotliwości składowe sygnału przechodzą przez filtr bez żadnych zniekształceń, a dla pozostałych są całkowicie tłumione Filtry idealne nie są realizowalne praktycznie Idealny filtr dolnoprzepustowy e jωt ( ) 0 dla ω < ω g ω H(jω) = = Π 0 dla ω > ω g 2ω g e jωt 0

17 Idealny filtr górnoprzepustowy ( ( )) ω H(jω) = 1 Π 2ω g Idealny filtr środkowoprzepustowy gdzie e jωt 0 ( ) ω ωs H(jω) = Π e jωt 0 W ω s = ω g1 + ω g2, W = ω g1 ω g2, ω g1 < ω g2 2 Idealny filtr środkowozaporowy H(jω) = ( 1 Π ( ω ωs W )) e jωt 0

18 Przykład 5 Charakterystyki idealnego filtru dolnoprzepustowego: ω g = 2, t 0 = 0, H(jω) 0.5 ϕ(jω) ω ω DEMO: filtr5.m

19 Przykład 6 System uśredniający/wygładzający y[n] = 1 (x[n 1] + x[n] + x[n + 1]) 3 Transimtancja częstotliwościowa H(e jω ) = 1 3 e jω ejω = cos(ω) H(jω) 0.5 ϕ(jω) ω ω DEMO: filtr6.m

20 Przykład 7 Toolbox Signal Processing pakietu Matlab fdatool narzędzie do projektowania i analizy filtrów fvtool narzędzie do wizualizacji działania filtrów filter projektowanie jednowymiarowego filtru cyfrowego butter projektowanie filtrów Butterwortha cheby1, cheby2 projektowanie filtrów Chebyszewa freqz odpowiedź filtru w dziedzinie częstotliwości