PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE

Transkrypt

1 STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36 Krzysztof Dmytrów * Marusz Doszyń ** Unwersytet Szczecńsk PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE STRESZCZENIE W artykule zbadano efektywność prognoz sprzedaży dużej lczby wyrobów otrzymanych za pomocą dwóch metod: 1) prognozowana na podstawe medany rozkładu gamma oraz 2) medany rozkładu gamma z wahanam sezonowym. Dokładność prognoz zbadano za pomocą błędów ex post, takch jak błąd średnokwadratowy (MSE mean squared error) wraz z jego dekompozycją oraz współczynnk Thela. Otrzymane wynk wskazują, że z punktu wdzena obcążonośc oraz elastycznośc lepsze prognozy otrzymano na podstawe medany rozkładu gamma z wahanam sezonowym. Słowa kluczowe: prognozowane sprzedaży w przedsęborstwe, prognozowane na podstawe rozkładu gamma, wahana sezonowe. Wprowadzene W gospodarowanu zapasam w przedsęborstwe jedną z najważnejszych rzeczy jest prawdłowa ocena welkośc rozkładu zapotrzebowana. W zależnośc od * Adres e-mal: krzysztof.dmytrow@wnez.pl. ** Adres e-mal: marusz.doszyn@wnez.pl.

2 28 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII tego, czy planuje sę zapasy dystrybucyjne, czy zapasy produkcyjne, należy stosować metody prognozowana popytu nezależnego bądź popytu zależnego [Sarjusz- -Wolsk, 2000]. Popyt zależny wynka z planów produkcyjnych najczęścej jest prognozowany za pomocą różnych systemów planowana potrzeb materałowych podobnych (MRP, MRP II, ERP, etc). Z kole popyt nezależny wynka z zapotrzebowana zgłaszanego przez odborców ustala sę go za pomocą metod prognozowana sprzedaży 1. Można je podzelć na trzy duże grupy: prognozowane na podstawe metod analzy szeregów czasowych, prognozowane z wykorzystanem ekonometrycznych model przyczynowo- -opsowych, prognozowane z użycem rozkładów. O le w przypadku pojedynczych produktów zasadne jest podejśce ndywdualne, o tyle dla przedsęborstw mających w oferce tysące produktów koneczne jest zaprojektowane systemu prognoz, który będze automatyczne klasyfkował szereg statystyczne przyporządkowywał m odpowedną metodę prognozowana. Zaletą takego podejśca jest możlwość szybkego wyznaczena prognoz welkośc sprzedaży dla welu produktów, główną zaś jego wadą fakt stosowana podobnych metod dla welu produktów w danej klase, co w ndywdualnych przypadkach może pogarszać prognozy. Do prognozowana najczęścej stosowane są metody oparte na analze szeregów czasowych (modele trendu, modele wygładzana wykładnczego) oraz modele ekonometryczne. Stosunkowo rzadko prognozuje sę na podstawe rozkładów, co w welu przypadkach jest uzasadnone. Z analzy sprzedaży produktów wynka, że często występują sytuacje, w których obserwuje sę necągłość sprzedaży (czyl stneje wele okresów, w których zapotrzebowane ne występuje, a po nch są okresy występowana sprzedaży). Kształtowane sę sprzedaży w czase często ne wykazuje stotnych prawdłowośc, poneważ ne można zazwyczaj znaleźć na tyle dobrych zmennych objaśnających, aby zbudować model ekonometryczny o pożądanych własnoścach prognostycznych. W takch sytuacjach w sukurs przychodz analza rozkładów welkośc sprzedaży produktów. Prognozy można sporządzać na podstawe pewnych parametrów rozkładów, zarówno emprycznych, jak teoretycznych. 1 Przegląd zastosowań wybranych metod prognozowana zawerają m.n. następujące prace [Batóg, Foryś, 2009; Gnat, 2008; Thel, 1961].

3 KRZYSZTOF DMYTRÓW, MARIUSZ DOSZYŃ PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA W artykule do budowy prognoz welkośc sprzedaży wykorzystano rozkład gamma. Powodem takego wyboru jest fakt, że jest to najczęścej występujący rozkład zapotrzebowana w gospodarce zapasam [Całczyńsk, 2000]. Nawet w sytuacjach, gdy rozkład zapotrzebowana ne jest znany, to rozkład gamma jest wskazywany ze względu na swoją unwersalność. Za jego pomocą można opsać zarówno rozkłady zblżone do symetrycznych, jak najczęścej występujące rozkłady prawostronne asymetryczne. Ponadto wele rozkładów to szczególne przypadk rozkładu gamma [Tadkamalla, 1984]. 1. Ops wykorzystanych danych procedur W przeprowadzonym badanu porównano efektywność prognoz ex post sprzedaży na dwanaśce mesęcy wyznaczonych na podstawe medany rozkładu gamma z tym samym prognozam, skorygowanym dodatkowo w każdym mesącu o wahana sezonowe. Wykorzystane dane statystyczne odnoszą sę do przedsęborstwa, w którego oferce znajduje sę ponad 12 tys. produktów. Zbudowana baza danych zawera nformacje o mesęcznych welkoścach sprzedaży za okres od maja 2009 roku do serpna 2013 roku (52 mesące). Należy zaznaczyć, że długość szeregów czasowych dla poszczególnych produktów często jest różna. Nektóre produkty były w oferce przez cały analzowany okres, a nektóre wprowadzono późnej. Badano tylko te produkty, które znajdują sę obecne w oferce przedsęborstwa. Ostatne 12 mesęcy (od wrześna 2012 roku do serpna 2013 roku) były okresem emprycznej weryfkacj prognoz. Spośród produktów wybrano jedyne te, które były w oferce przynajmnej przez 24 mesące, do serpna 2012 roku włączne (czyl przynajmnej od wrześna 2010 roku) oraz te, dla których mesęczna częstość sprzedaży (udzał mesęcy z dodatną welkoścą sprzedaży we wszystkch mesącach badanego okresu) była równa 1. Produkty były węc sprzedawane w każdym mesącu od pojawena sę sprzedaży. Dla mnejszej częstośc sprzedaży rozkłady charakteryzowały sę slną asymetrą prawostronną, a każda dodatna wartość znajdowała sę praktyczne w ogone rozkładu.

4 30 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Do danych wybranych w przedstawony sposób dopasowano dwuparametrowy rozkład gamma opsany następującą funkcją gęstośc [Krysck, Bartos, Dyczka, Królkowska, Waslewsk, 2000]: λ = (1) Γ η η 1 λx f( x; λη, ) x e ( η ) gdze x 0, λ 0, η 0. Parametry kształtu (λ) oraz skal (η) wylczono następująco: 2 λ = x S 2 ( x) (2) S 2 ( x) η λ = (3) x Zgodność rozkładu sprzedaży z rozkładem gamma weryfkowano na podstawe neparametrycznego testu Locke a, w którym przyjmuje sę, że parametry rozkładu ne są znane. Test ten odwołuje sę do następującej zasady: jeżel zmenne X Y są nezależne to zmenne X/Y X + Y są nezależne wtedy tylko wtedy, gdy mają rozkład gamma [Locke, 1976; Shapro, Chen, 2001]. W teśce tym próba dzelona jest losowo na dwe podpróby o takej samej lczebnośc n. W przypadku neparzystej lczby obserwacj jedna z nch jest losowo pomjana, co może przyczynać sę do tego, że kolejne zastosowana tego testu mogą prowadzć do neznaczne różnących sę wynków. W kolejnym etape tworzone są pary następujących zmennych: U X2 1 X 2 = X X 2 ; V = max,;. Nezależność zmennych U X2 X V bada sę na 2 1 podstawe współczynnka korelacj rang Kendalla [Locke, 1976]. Prognozowane na pozome medany rozkładu gamma ma tę wadę, że dla danego szeregu czasowego wartość zmennej jest taka sama w każdym prognozowanym okrese. Mmo że tak wyznaczone prognozy są na ogół neobcążone, to są neelastyczne. Postanowono zatem porównać prognozy wyznaczone na podstawe medany rozkładu gamma z tą samą medaną skorygowaną w każdym mesącu o wskaźnk sezonowośc wyznaczony dla dwóch ostatnch lat (wrzeseń 2010 roku serpeń 2012 roku), na podstawe następującego wzoru:

5 KRZYSZTOF DMYTRÓW, MARIUSZ DOSZYŃ PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA W x =, = 1, 2,, 12 (4) M S gdze x średna welkość sprzedaży w -tym mesącu w okrese wrzeseń 2010 roku serpeń 2012 roku, M s medana sprzedaży w okrese wrzeseń 2010 roku serpeń 2012 roku. Wylczone za pomocą wzoru (4) wskaźnk oczyszczono współczynnkem korygującym, tak ażeby ch suma wynosła 12. Współczynnk korygujący k oblczono według następującego wzoru: k = = 1 W Oczyszczone wskaźnk sezonowośc oblcza sę za pomocą następującego wzoru: W o (5) = Wk (6) Następne prognozę wyznaczoną na podstawe medany rozkładu gamma (M) koryguje sę o oczyszczony wskaźnk sezonowośc następująco: o xˆ = W M (7) Dokładność prognoz zbadano za pomocą współczynnka Thela U oraz dekompozycj błędu średnokwadratowego prognoz (MSE). Współczynnk Thela lczy sę następująco [Thel, 1966]: U = n+ k 1 y PT, + 1 T+ 1 T= n+ 1 T n+ k 1 y y T+ 1 T= n+ 1 T y y y T 2 2 (8) gdze: T numer okresu prognozowanego, k lczba prognozowanych okresów, n długość przedzału czasowego próby,

6 32 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII y P,T+1 prognoza w okrese T + 1, y T, y wartośc empryczne zmennej prognozowanej w okresach T oraz T+1 T + 1. Współczynnk U ma wartośc dodatne. Jeżel jego wartość przekroczy 1, to lepsze prognozy od analzowanego modelu dawałby model nawny (tak, że y T + 1 = y T ). Średnokwadratowy błąd prognoz lczy sę następująco: MSE = n+ k ( y ) 2 T ypt T= n+ 1 Błąd ten ulega dekompozycj na trzy współczynnk [Thel, 1966]: k (9) obcążoność (10) gdze: y PT, wartość średna prognoz, y T wartość średna welkośc emprycznych zmennej prognozowanej, s P odchylene standardowe prognoz, s T odchylene standardowe welkośc emprycznych zmennej prognozowanej, r współczynnk korelacj mędzy prognozam a welkoścam emprycznym zmennej prognozowanej. Dzeląc obe strony równana (10) przez MSE, otrzymamy udzał błędów wynkających z obcążena (U M ), regresj (U R ) oraz zakłóceń (U D ) w średnokwadratowym błędze prognoz: ( y, y ) ( s rs ) ( 1 ) r s PT T P T T + + = 1 (11) MSE MSE MSE Ze względu na specyfkę prognoz wyznaczonych za pomocą rozkładu gamma (bez korekty o wahana sezonowe) ne można polczyć odchylena standardowego prognoz (s P ) oraz współczynnka korelacj mędzy prognozam welkoścam emprycznym zmennej prognozowanej (r) (warancja prognoz jest równa zeru).

7 KRZYSZTOF DMYTRÓW, MARIUSZ DOSZYŃ PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Oznacza to, że ne można oblczyć udzałów regresj (U R ) oraz zakłóceń (U D ) w błędze MSE. Z tego powodu w przypadku dekompozycj, dla każdej z metod wyznaczono jedyne obcążene prognoz. 2. Wynk prognozowana rozkładów W przykładze emprycznym wstępnej analze poddano mesęczną sprzedaż produktów w okrese od maja 2009 roku do serpna 2013 roku. Prognozy budowano na podstawe rozkładu gamma oraz rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość, z wykorzystanem danych dla perwszych 40 mesęcy, a następne wyznaczano prognozy ex post na kolejne 12 mesęcy. Jak wspomnano, długośc szeregów czasowych mogą być różne (krótsze), jeśl produkt był wprowadzany do oferty w późnejszym okrese nż maj 2009 roku. Prognozy budowano tylko dla tych produktów, dla których ne było podstaw do odrzucena hpotezy o zgodnośc rozkładu zmennej z rozkładem gamma. Zastosowano neparametryczny test Locke a (pozom stotnośc α = 0,1). Jednocześne brano pod uwagę tylko produkty o częstośc sprzedaży równej 1, co oznacza, że od momentu pojawena sę produktu w oferce sprzedano go w każdym mesącu. Mnmalna przyjęta lczba obserwacj to 24 mesące, czyl popyt na poszczególne produkty był dodatn przez co najmnej ostatne dwa lata. Wskaźnk sezonowośc wyznaczano na podstawe danych z ostatnch 24 mesęcy jako średną sprzedaż w danym mesącu podzeloną przez medanę. Po uwzględnenu tych kryterów do analzy przyjęto 448 produktów. Do porównana efektywnośc prognoz ex post posłużono sę średnokwadratowym błędem absolutnym MSE oraz współczynnkem Thela (U). Dokonano równeż dekompozycj błędu MSE, porównując obcążene każdej z metod oraz analzując udzały pozostałych rodzajów błędów jedyne dla prognoz wyznaczonych na podstawe medany z korekcją ze względu na sezonowość. Jak powedzano, ze względu na zerową warancję prognoz wyznaczanych na podstawe medany (bez korekcj o wahana sezonowe), dokonane pełnej dekompozycj błędów prognoz dla tej metody ne jest możlwe. Kształtowane sę rozkładów błędów ex post wyznaczone na podstawe każdej z metod przedstawono na rysunkach 1 5, natomast statystyk pozycyjne błędów zestawono w tabel 1. Ze względu na slną asymetrę rozkładów analzowano tylko mary pozycyjne. Kwartyle lczono na podstawe szeregów szczegółowych.

8 34 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Tabela 1. Statystyk opsowe błędów charakteryzujących efektywność prognoz ex post wyznaczonych na podstawe rozkładu gamma oraz rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość Rodzaj modelu Rodzaj błędu MSE U U M U R U D Gamma Q ,168 0,615 0,003 Gamma z sezonowoścą brak możlwośc oblczena. M 1301,295 0,790 0,014 Q ,929 1,017 0,033 Q 1937,880 0,201 0,015 V Q 1,489 0,254 1,046 A 2 0,592 0,129 0,253 Q ,664 0,274 0,002 0,008 0,034 M 1756,806 0,549 0,010 0,022 0,049 Q ,337 1,247 0,026 0,034 0,066 Q 2416,337 0,487 0,012 0,013 0,016 V Q 1,375 0,887 1,179 0,605 0,317 A 2 0,546 0,435 0,341-0,041 0,020 Źródło: opracowane własne. Perwszy kwartyl, medana trzec kwartyl rozkładu błędu MSE mały nższe wartośc w prognozach wyznaczonych na podstawe rozkładu gamma. Można zatem stwerdzć, że z punktu wdzena błędu MSE neco korzystnejsze prognozy daje medana rozkładu gamma (bez korekcj ze względu na wahana sezonowe). Pozycyjny współczynnk zmennośc oraz asymetra rozkładu były natomast nższe dla rozkładu błędu MSE odpowadającego prognozom z wykorzystanem rozkładu gamma z korekcją ze względu na wahana sezonowe, przy czym różnce były tutaj newelke. Rozkłady błędu MSE w każdym przypadku cechowały sę slną asymetrą prawostronną z powodu występowana wartośc ekstremalnych, czyl dużych wartośc błędu prognoz dla pojedynczych produktów (zob. rysunek 1).

9 KRZYSZTOF DMYTRÓW, MARIUSZ DOSZYŃ PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Rysunek 1. Rozkład błędu MSE wyznaczonego na podstawe rozkładu gamma oraz rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość lczebno gamma gamma+sez. + sezonowość 31, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 w cej Źródło: opracowane własne. Za podstawowe kryterum do porównywana efektywnośc prognoz ex post przyjęto perwastek ze współczynnka Thela (U). Jest to nna nż zazwyczaj stosowana wersja tego współczynnka, przedstawona w pracy [Thel, 1966]. Współczynnk ten zastosowano dlatego, że jego własnośc są korzystnejsze nż właścwośc najczęścej używanego współczynnka, opsanego w pracy [Thel, 1961]. Parametry emprycznego rozkładu współczynnka Thela U ne prowadzą do jednoznacznych wnosków co do efektywnośc porównywanych metod. Perwszy kwartyl medana były nższe w prognozach oblczanych na podstawe rozkładu gamma z uwzględnenem wahań sezonowych. Trzec kwartyl był natomast nższy w prognozach sporządzonych na podstawe rozkładu gamma. Zmenność błędów ex post oraz asymetra rozkładu błędów były nższe równeż wtedy, gdy prognozy ne były korygowane o wskaźnk sezonowośc. Śwadczą o tym pozycyjne mary przedstawone w tabel 1. Wykresy rozkładów błędów porównano na rysunku 2.

10 36 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Rysunek 2. Rozkład współczynnka Thela (U) wyznaczonego na podstawe rozkładu gamma oraz rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość gamma gamma+sez. + sezonowość lczebno ,114 0,525 0,936 1,347 1,758 2,169 2,580 2,991 3,402 3,813 4,224 4,635 5,046 5,457 5,868 6,279 6,690 7,101 7,512 7,923 8,334 w Źródło: opracowane własne. Po dekompozycj błędu MSE porównano udzały błędów wynkających z obcążena prognoz. Z punktu wdzena tego rodzaju błędów neco korzystnej kształtują sę prognozy oblczone na podstawe rozkładu gamma z uwzględnenem wahań sezonowych, przy czym różnce te ne są zbyt duże. Wszystke wyznaczone kwartyle rozkładu błędów są nższe dla prognoz z korekcją ze względu na sezonowość. Zmenność asymetra rozkładu błędów natomast mają nższe wartośc dla prognoz na podstawe medany rozkładu gamma. Wnosk te potwerdza rozkład współczynnka obcążena (rysunek 3). Jak wspomnano, prognozy wyznaczane na podstawe medany rozkładu gamma w całym okrese prognozowanym mają stałe wartośc, a węc są neelastyczne (warancja prognoz jest równa zeru). Dla tego typu prognoz ne można wyznaczyć błędów wynkających z regresj zakłóceń prognoz (wzór (10)). Tego rodzaju błędy natomast poddano analze dla prognoz korygowanych o wskaźnk sezonowośc. Rozkłady ch udzałów w MSE przedstawono na rysunku 4 5. Na podstawe analzy rozkładu współczynnka U R wyznaczonego na podstawe rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość można stwerdzć, że domnują przedzały o nskm pozome tego wskaźnka, co należy uznać za zjawsko

11 KRZYSZTOF DMYTRÓW, MARIUSZ DOSZYŃ PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA pozytywne. Z kole rozkład współczynnka U D śwadczy o dość znacznej jednorodnośc błędów prognoz wynkających z zakłóceń. Rysunek 3. Rozkład współczynnka obcążena (U M ) wyznaczonego na podstawe rozkładu gamma oraz rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość gamma + sezonowość gamma+sez. gamma lczebno ,000 0,004 0,008 0,011 0,015 0,019 0,023 0,026 0,030 0,034 0,038 0,042 0,045 0,049 0,053 0,057 0,061 0,064 0,068 0,072 0,076 w Źródło: opracowane własne. Rysunek 4. Rozkład współczynnka regresj (U R ) wyznaczonego na podstawe rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość lczebno ,000 0,003 0,007 0,010 0,014 0,017 0,021 0,024 0,027 0,031 0,034 0,038 0,041 0,045 0,048 0,052 0,055 0,058 0,062 0,065 0,069 w cej Źródło: opracowane własne.

12 38 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Rysunek 5. Rozkład współczynnka zakłóceń (U D ) wyznaczonego na podstawe rozkładu gamma z korekcją ze względu na sezonowość lczebno ,003 0,007 0,011 0,015 0,020 0,024 0,028 0,032 0,036 0,041 0,045 0,049 0,053 0,057 0,061 0,066 0,070 0,074 0,078 0,082 0,087 w cej Źródło: opracowane własne. Podsumowane Porównane efektywnośc prognoz ex post wyznaczonych na podstawe medany rozkładu gamma oraz medany rozkładu gamma korygowanej o wskaźnk sezonowośc ne prowadz do jednoznacznych wnosków. Z punktu wdzena błędu średnokwadratowego (MSE) neco lepsze prognozy wyznaczono na pozome medany rozkładu gamma. Z kole współczynnk Thela neznaczne faworyzuje metodę z korekcją ze względu na wahana sezonowe, szczególne z punktu wdzena obcążena prognoz. Na korzyść tej metody przemawa równeż ch wększa elastyczność zazwyczaj mnejsza nezgodność kerunków prognoz wartośc emprycznych. Reasumując, efektywność każdej z opsywanych metod zależy od właścwośc zboru danych (własnośc szeregów czasowych) w każdym przypadku pownna być analzowana na przykład za pomocą stosowanych w nnejszym artykule mar efektywnośc prognoz ex post. Należy także zauważyć, że przedstawone metody można wykorzystać do prognozowana ne tylko zmennych charakteryzujących sprzedaż.

13 KRZYSZTOF DMYTRÓW, MARIUSZ DOSZYŃ PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Lteratura Batóg B., Foryś I. (2009), Prognozowane zużyca cepłej zmnej wody w spółdzelczych zasobach meszkanowych, w: Metody loścowe w ekonom, Studa Prace WNEZ nr 2, Szczecn. Całczyńsk A. (red.) (2000), Elementy badań operacyjnych w zarządzanu, t. 1, Radom. Gnat S. (2008), Prognozowane dochodów ze sprzedaży tygodnków lokalnych wybrane podejśca, w: Metody loścowe w ekonom, Studa Prace WNEZ nr 2, Szczecn. Krysck W., Bartos J., Dyczka W., Królkowska K., Waslewsk M. (2000), Rachunek prawdopodobeństwa statystyka matematyczna w zadanach, cz. I. Rachunek prawdopodobeństwa, Wydwnctwo Naukowe PWN, Warszawa. Locke C. (1976), A Test for the Composte Hypothess that Populaton Has a Gamma Dstrbuton, Communcatons n Statstcs 4. Sarjusz-Wolsk Z. (2000), Sterowane zapasam w przedsęborstwe, PWE, Warszawa. Shapro S.S., Chen L. (2001), Composte Test for the Gamma Dstrbuton, Journal of Qualty Technology Vol. 33, No. 1. Tadkamalla P.R. (1984), A Comparson of Several Approxmatons to the Lead Tme Demand Dstrbuton, Internatonal Journal of Management Scence, Vol. 12, No. 6. Thel H. (1966), Appled Economc Forecastng, North-Holland, Amsterdam. Thel H. (1961), Economc Forecastng and Polcy, North-Holland, Amsterdam. SALES FORECASTING BASED ON GAMMA DISTRIBUTION WITH SEASONAL ADJUSTMENTS Abstract In the artcle effcency of forecasts obtaned by means of two types of method was analysed. Forecasts were based on both medan of gamma dstrbuton and medan of gamma dstrbuton wth seasonal adjustments. To evaluate forecasts effectveness such ex post errors of forecasts as MSE (mean squared error) and Thel coeffcent were appled. Decomposton of MSE was also ntroduced. Accordng to emprcal results, wth respect to unbasedness and elastcty, forecasts based on medan of gamma dstrbuton wth seasonal adjustments seem to be more effcent. Translated by Marusz Doszyń Keywords: sales forecastng, forecastng based on gamma dstrbuton, seasonal adjustments. Kod JEL: C53, C12, C13.

14