NARASTANIE USZKODZEŃ W MATERIALE SPRĘŻYSTO- KRUCHYM W UJĘCIU PROBABILISTYCZNYM *

Transkrypt

1 ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 7/007 Komisja Inżynierii Budolanej Oddział olskiej Akademii Nauk Kaoicach NARASTANIE USZKODZEŃ W MATERIALE SRĘŻYSTO- KRUCHYM W UJĘCIU ROBABILISTYCZNYM * Zbignie ERKOWSKI oliechnika Opolska, Opole. Wproadzenie W pracy przedsaiono przykładoe sformułoania problemó mechaniki uszkodzenia przy jednoosioym sanie naprężenia, kórych przyjęo, że część z ielkości niezbędnych do zdefinioania procesu jes zmiennymi lub procesami losoymi. Do modeloania eolucji opisu uszkodzeń przyjęo najbardziej prosy opis skalarny. Dla znacznego uproszczenia rozażań zaproponoano da ujęcia zagadnienia. W pierszym przyjęo, iż ielkości charakeryzujące łaściości maeriału są zmiennymi losoymi, naomias resza ielkości opisujących proces jes deerminisyczna. Z kolei drugim ujęciu założono, że obciążenie zenęrzne jes procesem losoym, a pozosałe paramery są deerminisyczne. Należy zaznaczyć, że aki opis problemu zaęża sosoalność modelu do ściśle oeślonych przypadkó prakycznych. iersze zagadnienie może być przydane edy, kiedy znany jes dokładnie charaker oddziałyań zenęrznych na układ, naomias niemożlie jes dokładne oszacoanie łaściości maeriału, z kórego en układ ykonano np. przez niemożność narzucenia ścisłych reżimó na produkcję ego maeriału z uagi na przyjęą echnologie. Drugi przypadek, odronie, odnosi się do syuacji, kórej jakość maeriału jes ysoka i można z dużą penością oeślić jego łaściości, naomias oddziałyanie ooczenia na układ ykonany z ego orzya jes zmienne czasie sposób przypadkoy. Niezależnie od rozażanego przypadku przyjęo, że geomeria układu jes oeślona deerminisycznie.. Jednoosioe rozciąganie pręa sprężyso-uchego z paramerami maeriałoymi jako zmiennymi losoymi Rozażmy prę o sałym polu przeoju F, rozciągany sałym obciążeniem, jak na rys. a. Niech uszkodzenia pręcie podlegają eolucji zgodnie z praem sformułoanym przez Kačanova, gdzie prędkość narasania uszkodzeń uzależniona jes od naprężeń efekynych g relacji [3,4] B &, B > 0, dla > 0 () ( 0 ) +, ( ) 0. () r * raca posała ramach seminarium Kaedry Fizyki Maeriałó WB O z ermomechaniki

2 cons BB(e) a) b) Ψ cons Ψ k r Rys.. a) Schema pręa rozciąganego z uszkodzeniami. b) Zmiany parameru ciągłości uszkodzenia czasie. Fig. a) Scheme of damaged bar during ension. b) Time-change of he damage coninuiy paramer. o przyjęciu, że /F cons orzymamy nasępujące roziązanie rónania () ( ) + () B ( + ). (3) Załóżmy, że ineresuje nas czas yyczny porzebny do osiągnięcia maeriale dopuszczalnego poziomu uszkodzenia opisanego przez arość parameru ciągłości uszkodzenia (rys. b), kóry może być ybrany arbiralnie, zależności od rozparyanego przypadku, np. 0,. (4) ( ) 3 Wóczas na podsaie roziązania (3) można oeślić czas yyczny dla rozparyanego pręa g relacji B + ( + ). (5) Jeśli eraz przyjmiemy, że paramer B jes zmienna losoą o rozkładzie pradopodobieńsa p B, jak na rys., o możemy obliczyć jego q-kanyl B q. odsaiając B q do zoru (5) za B orzymamy yrażenie na czas porzebny do osiągnięcia przez prę dopuszczalnego poziomu uszkodzenia przez nie ięcej, niż (- q)*00% próbek, zn. q B q + ( + ) B q q, gdzie q p dx (6) 0 B p B B q p 0 B dx q B q Rys.. Rozkład gęsości pradopodobieńsa parameru B i inerpreacja geomeryczna jego q-kanylu B q Fig. robabiliy densiy disribuion of he parameer B and a geomerical inerpreaion of is q-quanile B q x

3 3. Jednoosioe rozciąganie/ściskanie pręa sprężyso-uchego z obciążeniem jako procesem losoym Rozażmy idenyczny prę, jak punkcie, z ym, że jego obciążenie jes procesem sochasycznym, a łaściości maeriału są deerminisyczne (rys. 3a, 3b). rę obec ego może być zaróno ściskany, jak i rozciągany zależnie od realizacji procesu obciążenia. Wobec ego rónanie eolucji uszkodzenia () należy uzupełnić o dodakoy arunek przypadku ściskania, gdzie zgodnie z eorią uszkodzeń maeriałó uchych rakcie ściskania miopęknięcia maeriału rozijają się nikłym zaesie (np. [5,6,7]), ak, że można pominąć ich pły na przebieg procesu, zn. a) B &, dla > 0 oraz & 0 dla 0. (7) Bcons (,e) (,e) b) () x p ( ) ( ) + ( ) ( ) x p ( ) c) () ( ) ( ) ( ) d) () ( ) Rys. 3. a) Schema pręa rozciąganego z uszkodzeniami. b) rzykładoy przebieg arości średniej obciążenia z zaznaczeniem jego odchyleń sandaroych oraz rozkładó pradopodobieńsa ybranych chilach i. c) rzykłady realizacji olnozmiennego obciążenia. d) rzykłady realizacji szybkozmiennego obciążenia. Fig. 3 a) Scheme of he damaged bar during ension. b) An example of change of mean load ih is sandard deviaion and probabiliy densiy a momens and. c) Examples of realisaion of slo-changeable load. d). Examples of realisaion of quick-changeable load.

4 Załóżmy, że znamy podsaoe charakerysyki probabilisyczne procesu obciążenia: gęsość pradopodobieńsa p, arość oczekianą, ariancję D, odchylenie sandardoe dla każdej chili procesu (rys. 4b) oraz funkcje koariancji procesu cov i unormoaną funkcję koariancji ρ(, ) dla każdych dóch ybranych chil procesu. Są one dane zależnościami: cov ( ) x p ( ) dx, D ( ) x ( ) p dx, ( ) D ( ) (, ) x ( ) ( ) ( ) ( )( x ( )) p(,,x,x ) dx dx, p, (, ) (, ) ( ) ( ) cov ρ. (8) Znajomość osaniej z ymienionych charakerysyk procesu jes szczególnie ażna, gdyż informuje ona czy proces obciążenia jes olnozmienny (rys. 3c), czy szybkozmienny (rys. 3d) []. Ten osani, z uagi na przyjęy model narasania uszkodzeń maeriału i pominięcie sił bezładności nie może być opisyany przez prezenoane rónania () i (7). Oznacza o, że analizoanym zagadnieniu ρ dla dóch nieodległych chil i musi mieć arości bliskie jedności. rzeanalizujmy eraz szczególny przypadek losoego przebiegu obciążenia olnozmiennego, gdzie rakcie rónych inerałó czasoych zmienia się ono linioo, przy czym arości na począku i na końcu inerału są zmiennymi losoymi. rzykład pojedynczej realizacji akiego procesu pokazano na rys. 4. Wóczas dla doolnej pary chil i yznaczających począek i koniec inerału czasoego, na kórym zlinearyzoano przebieg obciążenia, będą zachodziły relacje ( ) () ( ), F ( ), F &. (9) ( ) ( ) Rys. 4. rzykład realizacji losoego procesu obciążenia zlinearyzoanego poszczególnych przedziałach czasoych Fig. 4 An example of realizaion of random load process afer linearizaion in paricular ime inervals Wedy, zależności od znaku naprężenia na począku i końcu inerału można orzymać opcjonalnie nasępujące roziązania rónań (7): d &, jeśli > 0 i > 0, (0) ) ( ) + ( ( )) B( + ) ( + ( )) +

5 d * &, * jeśli < 0 i > 0, () ) ( ) + ( ( )) B( + ) ( + ( )) * d * &, + jeśli 0 i 0, () 3) ( ) + ( ( )) B( + ) ( + ( )) > 4) ( ) ( ) <, jeśli 0 i 0. (3) < < + + onieaż arości parameru ciągłości uszkodzenia Ψ dla doolnej chili procesu orzymane na podsaie zesau rónań (0)-(3) zależą ściśle od ylosoanej realizacji obciążenia, o funkcje aproksymujące gęsości pradopodobieńsa ego parameru dla poszczególnych chil procesu można orzymać ylko na drodze symulacji kompueroych (np. meodą Mone Carlo []). Wóczas dla usalonego dopuszczalnego poziomu uszkodzenia yrażonego arością Ψ można usalić czas yyczny q, poniżej kórego ylko q*00% próbek ulegnie zniszczeniu. Można ego dokonać na podsaie arunku ( ) q q ( q ) Ψ, gdzie q p ( ) 0 q dx q (4) Inerpreację geomeryczną poyższego arunku przedsaiono na rys. 5, gdzie symbolem oznaczono arość oczekianą parameru ciągłości uszkodzenia. x p ( q ) q ( q ) ( ) q q 0 p ( ) q dx q Ψ Rys. 5. Inerpreacja geomeryczna arunku (4) na oeślenie czasu yycznego dla pręa zależności od przyjęcia dopuszczalnej arości parameru ciągłości uszkodzenia. Fig. 5 A geomerical inerpreaion of he requiremen (4) for a deerminaion of criical ime for he bar in dependence on admissible value of damage coninuiy parameer. q 4. odsumoanie Na podsaie przeproadzonych rozażań można sierdzić, że meody i założenia konynualnej mechaniki uszkodzenia dają podsay do dokładnego szacoania czasu yycznego bezpiecznej eksploaacji konsrukcji i jej elemenó poddanych olnozmiennym procesom obciążenia o ile znane są charakerysyki losoe parameró opisujących rozażany proces. r

6 Oznaczenia symboli cov y - koariancja zmiennej losoej y, covariance of random variable y, p y - rozkład gęsości pradopodobieńsa zmiennej losoe y, probabiliy densiy disribuion of random variable y, - czas, ime, [s], r - czas zniszczenia pręa, failure ime for bar, [s], y - arość średnia zmiennej y, mean value of random variable y, y q - q-kanyl zmiennej losoej y, q-quanile of random variable y, B - paramer maeriałoy, maerial parameer, [/(s a )], D y - ariancja zmiennej losoej y, variaion of random variable y, F - pole przeoju pręa, area of bar cross-secion, [m ], - obciążenie, load, [N], - naprężenie, sress, [a], Ψ - paramer ciągłości uszkodzenia, damage coninuiy parameer, [-], Ψ - yyczna arość parameru ciągłości uszkodzenia, criical value of damage coninuiy parameer, [-]. Lieraura [] Brand S., Analiza danych, WN WN, Warszaa, 998 [] Chmieleski T., Meody probabilisyczne dynamice konsrukcji, WSI Opolu, Sudia i Monografie,, Opole, 98 [3] Jakoluk A., rocesy pełzania i zmęczenia maeriałach, WNT, Warszaa, 993 [4] Kačanov L.M., O vremeni razrušenija v uslovijach polzučesi. Izv. AN SSSR OTN, 8, 6-3, 958 [5] Kubik J., erkoski Z., Narasanie uszkodzeń maeriałach poroaych, OW oliechniki Opolskiej, Sudia i Monografie, 78, Opole 005 [6] Lieka A., Uszkodzenie i pękanie meali arunkach pełzania, Wyd. oliechniki oznańskiej, Rozpray, 50, oznań, 99 [7] Murakami S., Kamiya K., Consiuive and damage evoluion equaions of elasic brile maerials based in irreversible hermodynamics, In. J. Solids Srucures, 39, , 997 ROBABILISTIC DESCRITION OF DAMAGE EVOLUTION IN ELASTIC-BRITTLE MATERIAL Summary A general sochasic formulaion of coninuum damage mechanics problems for uniaxial sae of sress as presened in he ork. To simplify he problem one assumed ha damage as described by he scalar parameer. Especially one considered o cases only maerial parameers ere random variables in he firs case and only a load applied o he bar had a random characer in he second case.