Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego

Transkrypt

1 Wprwadzenie d metd sterwania ptymalneg Literatura pdstawwa T. Kaczrek i inni, Pdstawy terii sterwania, WNT, Warszawa T. Kaczrek, Teria sterwania i systemów, PWN, Warszawa T. Kaczrek, Teria sterwania, PWN Warszawa t.1,1977, t.2,1981. H. Górecki, Optymalizacja systemów dynamicznych, PWN, Warszawa J. Zabczyk, Zarys matematycznej terii sterwania,pwn, Warszawa M.D. Cann, C.D. Cullum, E. Plak, Sterwanie ptymalne i prgramwanie matematyczne, WNT, Warszawa H. Nijmeijer, A. van der Schaft, Nnlinear Dynamical Cntrl Systems, Springer-Verlag, New Yrk R. Vinter, Optimal Cntrl, Birkhauser, Bstn Praktyczna implementacja metd sterwania ptymalneg pdana jest w ćwiczeniach labratryjnych w systemie Mathematica Ster-1 - Ster-11. Zadanie ptymalneg sterwania dcelweg plega na minimalizacji wskaźnika jakści z uwzglȩdnieniem równania stanu prcesu g(x(t), u(t), t)dt warunków dwugranicznych ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [, t 1 ], x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1, raz graniczeń chwilwych sterwania u(t) U, t [, t 1 ], gdzie x(t) R n, x 0, x 1 R n, u(t) R m, U R m. 1

2 Przyk lad 1. Minimalnenergetyczne nagrzewanie zbirnika z ciecz a: zminimalizwać straty energetyczne 1 0 u 2 (t)dt prcesu nagrzewania pisywaneg równaniem stanu z warunkami dwugranicznymi ẋ(t) = ax(t) + bu(t), t [0, 1] x(0) = x 0, x(1) = x 1, gdzie x(t) jest temperatur a cieczy w zbirniku w chwili t, x 0 jest jeg zadan a temperatur a pcz atkw a, x 1 jest jeg zadan a temperatur a kńcw a, u(t) jest natȩżeniem pr adu bwdu grzejneg, a jest wspó lczynnikiem stygniȩcia cieczy, zaś b jest wspó lczynnikiem nagrzewania cieczy. Przyk lad 2. Minimalnenergetyczne sterwanie tarcz a brtw a: zminimalizwać straty energetyczne u 2 (t)dt prcesu przestawiania tarczy brtwej pisywanej równaniami stanu z warunkami dwugranicznymi ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = bu(t), t [, t 1 ], x i ( ) = x i (0), x i (t 1 ) = x i (1) (i = 1, 2), gdzie x 1 (t) znacza p lżenie k atwe tarczy, x 2 (t) znacza prȩdkść k atw a tarczy, zaś u(t) jest napiȩciem bwdu steruj aceg silnika. W zadaniach tych pminiȩt graniczenia chwilwe sterwania zak ladaj ac, że pstać wskaźnika jakści autmatycznie graniczy chwilw a wartść sterwania. 2

3 Przyk lad 3. Minimalnczaswa stabilizacja scylatra: sprwadzić scylatr d p lżenia równwagi w minimalnym czasie z uwzglȩdnieniem równań stanu scylatra dt = t 1 ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = ax 1 (t) + bu(t), t [, t 1 ], warunków dwugranicznych x i ( ) = x i0, x i (t 1 ) = x i1, i = 1, 2, raz graniczeń chwilwych sterwania u(t) 1, t [, t 1 ], gdzie x 1 (t) jest p lżeniem scylatra w chwili t, x 2 (t) jest prȩdkści a scylatra, u(t) jest jeg si l a stabilizuj ac a, a jest wspó lczynnikiem amrtyzatra sprȩżynweg, zaś b jest wspó lczynnikiem ddzia lywania si ly stabilizuj acej. Przyk lad 4. Minimalnczaswa stabilizacja scylatra z t lumieniem w lasnym: sprwadzić scylatr d p lżenia równwagi w minimalnym czasie z uwzglȩdnieniem równań stanu scylatra dt = t 1 ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) a 2 x 2 (t) + bu(t), t [, t 1 ], warunków dwugranicznych x i ( ) = x i0, x i (t 1 ) = x i1, i = 1, 2, raz graniczeń chwilwych sterwania u(t) 1, t [, t 1 ], gdzie x 1 (t) jest p lżeniem scylatra w chwili t, x 2 (t) jest prȩdkści a scylatra, u(t) jest jeg si l a stabilizuj ac a, a 1 jest wspó lczynnikiem amrtyzatra 3

4 sprȩżynweg, a 2 jest wspó lczynnikiem t lumika, zaś b jest wspó lczynnikiem ddzia lywania si ly stabilizuj acej. Sprwadzanie zadań sterwania ptymalneg d zadań wariacyjnych dla przypadku jednwymiarweg. Rzważymy w pierwszej klejnści przypadek jednwymiarwy pjedynczej krzywej (n = 1, m = 1). Za lóżmy, że równanie stanu pzwala jednznacznie kreślić sterwanie u(t) w funkcji stanu x(t), pchdnej stanu ẋ(t) raz czasu t tj. ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) u(t) = F (x(t), ẋ(t), t). Pdstawiaj ac uzyskane wyrażenie d wskaźnika jakści sprwadzamy prblem ptymalneg sterwania dcelweg d zadania rachunku wariacyjneg: zminimalizwać funkcjna l zależny d krzywej x, jej pchdnej ẋ i czasu t G(x) = g(x(t), ẋ(t), t)dt z wiȩzami ustalaj acymi p lżenie pcz atkwe i kńcwe krzywej x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1. Zadanie wariacyjne plega wiȩc na wybrze krzywej l acz acej punkty (, x 0 ) raz (t 1, x 1 ) i minimalizuj acej funkcjnal G. Aby kreślić warunki knieczne ptymalnści krzywej w zadaniu wariacyjnym zak ladamy, że krzywa jest elementem przestrzeni funkcji różniczkwalnych w spsób ci ag ly tj. x C 1 ([, t 1 ]; R n ), x C1 = max t [t0,t 1 ] x(t) + max t [t0,t 1 ] ẋ(t). Definicja: Funkcjna l G si aga na krzywej x lkalne s labe ekstremum, jeżeli istnieje takie ɛ > 0, że ( x x C1 ɛ) ( G(x) G(x ))) tj. dla wszystkich krzywych C 1 -tczenia krzywej x wartści funkcjna lu G nie s a mniejsze d G(x ). 4

5 Mówimy w tym przypadku s labym ekstremum, gdyż rzwi azanie ekstremalne prównujemy z s asiednimi krzywymi różniczkwalnymi w spsób ci ag ly (czyli z krzywymi z C 1 -tczenia) w dróżnieniu d prównania z s asiednimi krzywymi ci ag lymi (czyli z krzywymi z C-tczenia). Niech x + αδx C 1 ([, t 1 ]; R n ) bȩdzie zaburzeniem krzywej ekstremalnej x spe lniaj acym równania wiȩzów (czyli warunki graniczne) δx( ) = 0, δx(t 1 ) = 0, przy czym α R jest parametrem rzeczywistym. Funkcjna l G traktwany jak funkcja parametru α przybierze pstać G(α) = g(x + αδx(t), ẋ + αδẋ(t), t)dt. Pnieważ funkcja G z za lżenia si aga dla α = 0 ekstremum, t d G dα α=0 = 0. Zak ladaj ac, że funkcja g ma ci ag le pchdne cz astkwe g x i gẋ uzyskujemy raz d G(α) t1 dα = ( gx (x + αδx(t), ẋ (t) + αδẋ(t), t)δx(t)+ gẋ(x (t) + αδx(t), ẋ (t) + αδẋ, t)δẋ(t) ) dt gdzie d G(α) t1 dα α=0 = ( g x (t)δx(t) + g x(t)δẋ(t) ) ȯ dt, g x(t). = g x (x (t), ẋ (t), t), g ȯ x(t). = gẋ(x (t), ẋ (t), t). Zastswanie wzru na ca lkwanie przez czȩści i uwzglȩdnienie wiȩzów krzywej prwadzi d zależnści g ȯ x(t)δẋ(t)dt = g ȯ x(t)δx(t) t 1 t0 = g ȯ x(t 1 )δx(t 1 ) g ȯ x(t)δx( ) = d dt gȯ x(t)δx(t)dt. d dt gȯ x(t)δx(t)dt d dt gȯ x(t)δx(t)dt 5

6 Mamy wiȩc d G(α) t1 dα α=0 = ( g x (t) d dt gȯ x(t) ) δx(t) = 0. Aby statnie wyrażenie by l równe zeru dla dwlnych wariacji δx(t) krzywej x (t) wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru tj. spe lnine musi być równanie Eulera-Lagrange a g x(t) d dt gȯ x(t) = 0, t [, t 1 ]. Twierdzenie: Warunkiem kniecznym s labeg lkalneg ekstremum funkcjna lu G(x) na zbirze krzywych x C 1 z wiȩzami x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 jest spe lnienie równania Eulera-Lagrange a na krzywej ekstremalnej x. Krzywe spe lniaj ace równanie Eulera-Lagrange a nazywamy ekstremalami. Aby stwierdzić czy dana ekstremala stanwi minimum funkcjna lu (a nie maksimum lub punkt przegiȩcia) stsujemy warunki ptymalnści wyższych rzȩdów. W szczególnści warunki ptymalnści drugieg rzȩdu uzyskujemy bliczaj ac drug a pchdn a d 2 G(α) t1 dα 2 α=0 = ( g xx (t)δx 2 (t) + 2 g xẋ(t)δx(t)δẋ(t) + g xẋ(t)δẋ ȯ 2 (t) ) dt. Pnieważ zawsze mżna dbrać wariacjȩ δx(t) krzywej x (t) ma l a c d mdu lu lecz z dwlnie duż a pchdn a. Tak wiȩc znaku drugiej pchdnej decyduje wyrażenie g ȯ xẋ(t). Wynika st ad, że warunkiem kniecznym drugieg rzȩdu si agania minimum przez ekstremalȩ x jest nierównść Legengre a g ȯ xẋ(t) 0, t [, t 1 ]. Warunkiem dstatecznym drugieg rzȩdu si agania minimum przez ekstremalȩ x jest stra nierównść Legengre a g ȯ xẋ(t) > 0, t [, t 1 ], pd warunkiem, że ekstremala nie psiada tzw punktów sprzȩżnych. Dla zadania z przyk ladu 1 z parametrami a = 2, b = 1 i wiȩzami x(0) = 1, x(1) = 2 uzyskujemy u(t) = ẋ(t) + 2x(t) 6

7 i sprwadzamy zadanie ptymalneg sterwania dcelweg d zadania wariacyjneg pstaci: zminimalizwać funkcjna l uwzglȩdniaj ac wiȩzy krzywej G(x) = 1 0 (ẋ(t) + 2x(t)) 2 dt x(0) = 1, x(1) = 2. W tym przypadku g(x(t), ẋ(t), t) = (ẋ(t)+2x(t)) 2 i równanie Eulera-Lagrange a przybiera pstać czyli g x(t) d dt gȯ x(t) = 4(ẋ + 2x(t)) d 2(ẋ(t) + 2x(t)) dt = 4ẋ(t) + 8x(t) 2ẍ(t) 4ẋ(t) = 2ẍ(t) + 8x(t) = 0 ẍ(t) 4x(t) = 0. Tak wiȩc równanie Eulera-Lagrange a ma dla badaneg przyk ladu pstać liniweg stacjnarneg równania różniczkweg, któreg rzwi azanie kreślamy wyznaczaj ac pierwiastki równania charakterystyczneg r 2 4 = 0 r 1,2 = ±2 x(t) = c 1 e 2t + c 2 e 2t u(t) = 2c 1 e 2t 2c 2 e 2t + 2c 1 e 2t + 2c 2 e 2t = 4c 1 e 2t. Sterwanie ptymalne jest wiȩc dla rzważaneg prcesu nagrzewania funkcj a ekspnencjaln a. Sta le c i kreślamy z warunków granicznych uzyskuj ac statecznie u (t) = 8e2 4 e 4 1 e2t. Sprawdzamy warunek ptymalnści drugieg rzȩdu g xẋ(t) ȯ = 2(ẋ(t) + 2x(t)) = 2 > 0. ẋ Wyznaczne sterwanie jest wiȩc lkalnym minimum. Sprwadzanie zadań sterwania ptymalneg d zadań wariacyjnych dla przypadku wielwymiarweg. Uzyskane warunki ptymalnści ugólniamy bezpśredni na przypadek zadania wielwymiarweg n > 1, m > 1. Zak ladamy, że wektrwe sterwanie 7

8 u(t) R m mżna jednznacznie kreślić z równań stanu w funkcji stanu x(t), jeg pchdnej ẋ(t) i czasu t. Przechdzimy nastȩpnie d wielwymiarweg zadania wariacyjneg: zminimalizwać funkcjna l zależny d wielwymiarwej krzywej x z wiȩzami G(x) = gdzie x(t) R n, x 0, x 1 R n. g(x(t), ẋ(t), t)dt, x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1, W tym przypadku badamy wariacje wektrwej trajektrii stanu x i (t) + α i δx i (t), δx i ( ) = 0, δx i (t 1 ) = 0, i = 1,..., n, gdzie α i R jest parametrem wariacji i-tej wspó lrzȩdnej stanu. Wskaźnik jakści zadania wariacyjneg przybierze pstać funkcji n skalarnych argumentów α 1,..., α n tj. G(α 1,..., α n ). = g(x 1(t) + α 1 δx 1 (t), ẋ 1(t) + α 1 δẋ 1 (t),..., x n(t) + α n δx n (t), ẋ n(t) + α n δẋ n (t), t)dt. Pnieważ funkcja G(α1,..., α n ) si aga z za lżenia minimum, wiȩc musz a być spe lnine warunki knieczne ptymalnści pierwszeg rzȩdu funkcji wielu zmiennych tj. Uzyskujemy wiȩc G α i (0) = 0, i = 1,..., n. G t1 (0) = ( g α xi (t)δx i (t) + g x ȯ i (t)δẋ i (t) ) dt i ( g xi (t) d dt gȯ x i (t) ) δx i (t) = 0. Tak wiȩc warunek knieczny ptymalnści pierwszeg rzȩdu krzywej wielwymiarweg zadania wariacyjneg mżna zapisać w pstaci uk ladu równań Eulera-Lagrange a g x i (t) d dt gȯ x i (t) = 0, t [, t 1 ], i = 1,..., n. 8

9 Celem kreślenia czy krzywa ekstremalna wyznaczna na pdstawie warunków ptymalnści rzȩdu pierwszeg stanwi minimum funkcjna lu G (a nie jeg maksimum lub punkt przegiȩcia) stsujemy warunki ptymalnści drugieg rzȩdu tj. badamy macierz pchdnych cz astkwych drugieg rzȩdu funkcjna lu G. Pchdne te przybieraj a pstać 2 G(α) t1 α=0 = ( g α i α xi x j (t)δx i (t)δx j (t) + 2 g x i ẋ j (t)δx i (t)δẋ j (t) j + g ȯ x i ẋ j (t)δẋ i (t)δẋ j (t) ) dt. Warunki ptymalnści drugieg rzȩdu sprwadzaj a siȩ d badania ddatniej pó lkreślnści lub ddatniej kreślnści macierzy pchdnych cz astkwych drugieg rzȩdu ( 2 G(α) α i α j α=0 ) i,j=1,...,n. Stsuj ac analgiczne rzumwanie jak w przypadku warunków drugieg rzȩdu dla krzywej jednwymiarwej wniskujemy, że ddatniej (pó l)kreślnści analizwanej macierzy decydwać bȩdzie macierz drugich pchdnych cz astkwych pstaci Przyk lad 1a. ȯ ( g xi ẋ j (t) ) 0 (> 0). i,j=1,...,n Minimalnenergetyczne nagrzewanie uk ladu dwóch zbirników z ciecz a: zminimalizwać sumaryczne straty energetyczne 1 0 (u 2 1(t) + u 2 2(t))dt prcesu nagrzewania pisywaneg za pmc a równań stanu z warunkami granicznymi ẋ i (t) = a i x i (t) + u i (t), t [0, 1], i = 1, 2 x i (0) = 1, x i (1) = 2, i = 1, 2. Sprwadzamy zadanie d pstaci wariacyjnej u i (t) = x i (t) + a i x i (t), G(x) = (ẋ i (t) + a i x i (t)) 2 dt, i=1 9

10 a wiȩc g = raz 2 (ẋ i (t) + a i x i (t)) 2, g xi = 2a i (ẋ i (t) + a i x i (t)) i=1 gẋi = 2(ẋ i (t) + a i x i (t)). Zestawiamy uk lad równań Eulera-Lagrange a 2a i (ẋ i (t) + a i x i (t)) d dt 2(ẋ i(t) + a i x i (t)) = 0, i = 1, 2. St ad a i ẋ i (t) + a 2 i (t)x i (t) ẍ i (t) a i ẋ i (t) = 0 i ẍ i (t) = a 2 i x i (t), ri 2 = a 2 i, r i,1,2 = ±a i. Optymalna trajektria stanu ma wiȩc pstać x i (t) = c i1 e ait + c i2 e ait, zaś sterwanie ptymalne jest kreślne jak nastȩpuje u i (t) = 2a i (t)c i1 e ait, t [0, 1], i = 1, 2, przy czym sta le c i1, c i2 kreślamy z warunków granicznych. Warunki ptymalnści drugieg rzȩdu sprwadzaj a siȩ d badania macierzy ( ) ( ) g x ȯ 1 ẋ 1 g x ȯ 1 ẋ = g x ȯ 2 ẋ 1 g x ȯ 2 ẋ Pnieważ minry g lówne tej macierzy s a ddatnie, wiȩc wyznaczne rzwi azanie jest rzwi azaniem minimalizuj acym. Sprwadzanie zadań sterwania ptymalneg d zadań wariacyjnych z pchdnymi wyższych rzȩdów. W niektórych przypadkach z równań stanu ẋ i (t) = f i (x(t), u(t), t), i = 1,..., n mżna jednznacznie wyznaczyć sterwanie w funkcji pewneg pdwektra x(t) R k (k < n) wektra stanu x(t) R n i jeg pchdnych ẋ(t), ẍ(t),..., x (n) (t) raz czasu t tj. u(t) = F (x(t), ẋ(t), ẍ(t),..., x (n) (t), t), 10

11 przy czym warunki graniczne wektra stanu x(t) implikuj a dpwiednie warunki graniczne pdwektra stanu x(t) x i (t κ ) = x iκ (i = 1..., n; κ = 0, 1) x (l) (t κ ) = x (l) κ (l = 0, 1,..., n 1; κ = 0, 1). Rzpatrzmy przypadek k = 1, n > 1 i funkcjna l zadania wariacyjneg w pstaci G(x) = i wariacjȩ krzywej z parametrem α R g(x(t), ẋ(t),..., x (n) (t), t)dt x (t) + αδx(t), δx (l) (t κ ) = 0 (l = 0, 1,..., n 1; κ = 0, 1). Przechdzimy d α-parametryzacji funkcjna lu G tj. d funkcji G(α) = ( g(x (t) + αδx(t), ẋ (t) + αδẋ(t),..., x (n) (t) + αδx (n) (t), t)dt. czyli Zapisujemy warunek knieczny ptymalnści rzȩdu pierwszeg funkcji G(α) d G(α) dα = 0 ( g x (t)δx(t) + g ȯ x(t)δẋ(t) g x (n)(t)δx (n) (t) ) dt = 0. D wyrażeń typu t 1 g x (l)(t)δx (l) (t)dt stsujemy l-krtnie wzór na ca lkwanie przez czȩści z uwzglȩdnieniem zerwania siȩ wariacji krzywej w wiȩzach, c prwadzi d wyrażenia ( ( g x (t) d dt gȯ x(t) + d2 dt 2 gö x(t) ( 1) n dn dt n g(n) x (t))δx(t) ) dt Uzyskujemy w ten spsób warunek knieczny ptymalnści pierwszeg rzȩdu dla s labeg ekstremum zadania wariacyjneg z pchdnymi wyższych rzȩdów w pstaci równania Eulera-Pissna g x(t) d dt gȯ x(t) + d2 dt 2 gö x(t) ( 1) n dn dt n g x (n) (t) = 0, t [, t 1 ]. Warunki ptymalnści drugieg rzȩdu przybieraj a w tym przypadku pstać g x (n) x (t) 0 (> 0). (n) 11

12 Przyk lad 2. Minimalnenergetyczne sterwanie tarcz a brtw a: zminimalizwać straty energetyczne 1 0 u 2 (t)dt prcesu przestawiania tarczy brtwej pisywanej równaniami stanu z warunkami dwugranicznymi ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = bu(t), t [0, 1], x i (1) = 1, x i (1) = 0 (i = 1, 2), gdzie x 1 (t) znacza p lżenie k atwe tarczy, x 2 (t) znacza prȩdkść k atw a tarczy, zaś u(t) jest napiȩciem bwdu steruj aceg silnika. Przeprwadzamy redukcjȩ prblemu zadania wariacyjneg z pchdn a drugieg rzȩdu. Wyróżniamy pdwektr wektra stanu w pstaci x(t). = x 1 (t) i z równań stanu uzyskujemy ẍ = ẋ 2 (t) = u(t). Zadanie wariacyjne przyjmuje pstać: zminimalizwać funkcjna l kreślny na krzywej x pstaci G(x) = z uwzglȩdnieniem wiȩzów krzywej 1 0 ẍ 2 (t)dt x(0) = 1, ẋ(0) = 1, x(1) = 0, ẋ(1) = 0. W tym przypadku g = ẍ 2, g x = 0, gẋ = 0, gẍ = 2ẍ i równanie Eulera- Lagrange a przybiera pstać d 2 dt g 2 ẍ = 0 2 d4 x(t) = 0. dt4 Równanie ch-ne różniczkweg równanie E.-L. zapisujemy jak r 4 = 0. Psiada n czterkrtny pierwiastek zerwy. Rzwi azanie równania E.-L. jest pstaci i x(t) = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + c 3 t 3 u(t) = 6c 3 t + 2c 2. Sta le wyznaczamy z wiȩzów krzywej uzyskuj ac c 2 = 5, c 3 = 3 i u (t) = 18t 10, t [0, 1]. Warunek ptymalnści drugieg rzȩdu daje w wyniku gẍẍ = 2 > 0, a wiȩc wyznaczne rzwi azanie jest pszukiwanym minimum. 12