Zbigniew Skup. Podstawy automatyki i sterowania

Transkrypt

1 Zbigniew Skup Podawy auomayki i erowania Warzawa

2 Poliechnika Warzawka Wydział Samochodów i Mazyn Roboczych Kierunek "Edukacja echniczno informayczna" -54 Warzawa, ul. Narbua 84, el () , () ipbmvr.imr.pw.edu.pl/pin/, o@imr.pw.edu.pl Opiniodawca: dr inŝ. Krzyzof FALKOWSKI Projek okładki: Norber SKUMIAŁ, Sefan TOMASZEK Projek układu graficznego eku: Grzegorz LINKIEWICZ Skład eku: Magdalena BONAROWSKA Publikacja przeznaczona je dla udenów kierunku "Edukacja echniczno informayczna" Copyrigh Poliechnika Warzawka Uwór w całości ani we fragmenach nie moŝe być powielany ani rozpowzechniany za pomocą urządzeń elekronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez piemnej zgody poiadacza praw auorkich. ISBN Druk i oprawa: STUDIO MULTIGRAF SP. Z O.O., ul. Ołowiana, Bydgozcz

3 Spi reści Węp Wprowadzenie do podaw auomayki Pojęcia podawowe..... Klayfikacja układów auomayki..... Właściwości liniowych układów auomayki Sygnały w układach auomaycznej regulacji Zaady rachunku operaorowego Tranmiancja operaorowa i jej właściwości...7. Charakeryyki liniowych elemenów i układów auomayki..... Wprowadzenie..... Charakeryyki czaowe (kokowe)..... Charakeryyki częoliwościowe Charakeryyki logarymiczne...7. Właściwości dynamiczne podawowych liniowych elemenów auomayki Wprowadzenie Elemeny proporcjonalne (bezinercyjne) Elemeny inercyjne pierwzego rzędu Elemeny inercyjne drugiego rzędu (ocylacyjne) Elemeny całkujące Elemeny róŝniczkujące Elemeny opóźniające Opi układów auomayki za pomocą chemaów rukuralnych Schemay konrukcyjne i blokowe (rukuralne) Przekzałcenia chemaów blokowych...84

4 5. Rodzaje regulaorów oraz ich charakeryyki Wprowadzenie Podawowa klayfikacja regulaorów Regulaory proporcjonalne Regulaory całkujące Regulaory proporcjonalno-całkujące Regulaory proporcjonalno- róŝniczkujące Regulaory proporcjonalno-całkująco-róŝniczkujące Wybór ypu i naaw regulaorów Sabilność liniowych układów auomayki Ogólne warunki abilności Kryerium Hurwiza oceny abilności układów auomayki Kryerium Nyquia oceny abilności układów auomayki Ocena abilności układów auomayki poprzez kryerium zapau modułu i fazy Wprowadzenie do układów auomaycznego erowania Pojęcia podawowe Rodzaje regulacji Elemeny proego i złoŝonego układu auomaycznej regulacji Charakeryyki kokowe obieków aycznych Charakeryyki kokowe obieków aaycznych Kryeria oceny jakości liniowych układów auomayki Opi liniowych układów regulacji w przerzeni anów Wprowadzenie Klayfikacja modeli maemaycznych opiujących układy dynamiczne acjonarne ciągłe (DLSC) Przerzeń zmiennych anu, wybór zmiennych anu Opi układów DLSC we wpółrzędnych anu (równania anu i wyjścia, zapiane poaci ogólnej i macierzowo-wekorowej) Wyznaczenie ranmiancji operaorowej układu DLSC opianego równaniem anu i równaniem wyjścia...99

5 8.6. Wyznaczenie równania anu i równania wyjścia dla układów opianych równaniem róŝniczkowym zwyczajnym wyŝzego rzędu Meoda bezpośrednia, równoległa i ieracyjna opiu układu DLSC we wpółrzędnych anu Rozwiązywanie równań anu układów auomayki DLSC Serowalność i oberwowalność układów auomayki DLSC Układy wielowymiarowe... Lieraura Ćwiczenia laboraoryjne Badanie układu dwupołoŝeniowej regulacji emperaury Badanie regulaorów Efronik X i układu erowania z regulaorem PID LB Charakeryyki czaowe i częoliwościowe układów auomayki...98 Srona 5

6

7 Węp Niniejzy kryp zoal opracowany w ramach realizacji Programu Rozwojowego Poliechniki Warzawkiej wpółfinanowanego ze rodków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczony je dla udenów udiów inzynierkich na kierunku Edukacja echniczno-informayczna na Wydziale Samochodów i Mazyn Roboczych Poliechniki Warzawkiej. KOncepcja opracowania rozdziałów -6 zakłada opniowe opanowywanie zagadnień niezbędnych do znajomości i zrozumienia podaw auomayki jako bazy wyjściowj do podaw erowania układów regulacji auomaycznej, przedawionych w rozdziałach 7 i 9. Rozdział 9zawiera opracowanie zeawu ćwiczeń laboraoryjnych jako podumowanie i zaoowanie opracowanych w krypcie zagadnień. Opracowanie ma na celu uławienie udenom łuchanie wykładów z Podaw auomayki i erowania oraz uwolnienie ich od przenozenia do włanych noaek niekórych ryunków i wykreów oraz ablic. Maeriał zawary w krypcie doyczy zagadnień eoreycznych, podaje przykłady zadań rozwiązanych, a akŝe opracowanie podawowych ćwiczeń laboraoryjnych. Wzyko o będzie anowić ioną pomoc w przygoowaniu łuchaczy do egzaminu, jeŝeli zoanie uzupełnione włanymi noakami i komenarzami podcza wykładów. NaleŜy pamięać, Ŝe wykład połączony z moŝliwością wyjaśnienia powałych wąpliwości, daje, zane dobrego opanowania przedmiou. Skryp opracowany zoał na podawie wykładów, ćwiczeń audyoryjnych i laboraoryjnych wcześniej prowadzonych na Wydziale. W więkzości przypadków, kryp będzie łuŝył udenom, dla kórych znajomość zagadnień z podaw auomayki i erowania je w przyzłej prakyce inŝynierkiej konieczna do właściwej wpółpracy z auomaykami pecjaliami. Na echnologach i konrukorach poczywać będzie obowiązek doarczania niezbędnych informacji o włanościach aycznych i dynamicznych auomayzowanych obieków, nadzoru nad przebiegiem zauomayzowanych róŝnych proceów. Spełnienie ych zadań wymaga znajomości układów auomayki,

8 ich zaad działania, operowania chemaami blokowymi i podawowymi charakeryykami elemenów i układów auomayki. Całość maeriałów pomocniczych podanych w niniejzym krypcie uzupełniają jezcze opracowane przez pracowników Zepołu Mechaniki i Teorii Mazyn Wydziału SiMR krypy Podawy eorii mazyn i auomayki (auor: Tadeuz Kołacin, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Warzawkiej, 5), Ćwiczenia laboraoryjne z podaw auomayki i eorii mazyn (praca zbiorowa pod redakcją Tadeuza Kołacina, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Warzawkiej, 999), Zbiór zadań do ćwiczeń z podaw auomayki i eorii mazyn (auorzy: Tadeuz Kołacin, Andrzej Koior, Wydawnicwa Poliechniki Warzawkiej, 99). Zadaniem auora niniejzego krypu nie je nauczenia udenów projekowania układów auomayki, czy projekowania mazyn i urządzeń, bowiem umaryczny cza zajęć z ego przedmiou (h) je ograniczony, a jedynie jak juŝ wpomniano zapoznanie ich z podawowymi pojęciami doyczącymi podaw auomayki i erowania. Je o niezbędny warunek, aby uden po wyłuchaniu wykładu porafił poawić roządnie problem pecjaliście inŝynierowi auomaykowi. Auor będzie wdzięczny za wzelkie uwagi doyczące poobu ujęcia reści i emau niniejzego krypu.

9 Wprowadzenie do podaw auomayki

10 ROZDZIAŁ.. Pojęcia podawowe Podawy auomayki ze względu na bardzo zeroki zakre zaoowań ą wyodrębnioną dycypliną naukową o włanych pojęciach podawowych doyczących ej dziedziny wiedzy. Pojęcia e ą ogólne, wynikające ze pecyfiki rozwaŝanych zagadnień jak ygnał, jego przeyłanie, informacja, elemen auomayki, obiek erowania, regulaor, układy kakadowe, bilanowe i wiele innych. Aby więc moŝna było omawiać układy erowania auomaycznego, naleŝy podać waŝniejze z ych pojęć. Elemen auomayki je o układ, w kórym wyróŝniamy jeden lub wiele ygnałów wejściowych i wyjściowych (ryunek.). Ryunek.. Elemen auomayki: a) jednowymiarowy, b) wielowymiarowy Sygnał je o wielkość fizyczna wyępująca w proceie erowania, będąca nośnikiem informacji (ryunek.). Informacja je o warość lub kzał przebiegu ygnału. Srona

11 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI Sygnał zakłócający je o ygnał, kóry moŝe być generowany wewnąrz układu i wywiera niekorzyny wpływ na ygnał wyjściowy. Zakłócenie zewnęrzne je generowane poza układem i je ygnałem wejściowym. Obiek erowania (ryunek.) je o kaŝdy obiek fizyczny, kóry ma być erowany (układ zailania ilnika, piec harowniczy, reakor, aek, amolo ip.). Obiekem erowania moŝe być akŝe proce prowadzący do konkrenego wyniku (proce chemiczny, echnologiczny, biologiczny ip.) Ryunek.. Schema obieku regulacji Zmienne naawiane ą o wielkości lub warunki, kóre mogą być zmieniane przez erownik ak, aby oiągnąć warość zmiennej erowanej (ygnał wyjściowy). Zmienne erowane ą o wielkości lub warunki, kóre mogą być mierzone i erowane. Układ auomayki je o zepół wzajemnie połączonych elemenów biorących udział w erowaniu auomaycznym proceu. Serowanie auomayczne je o oddziaływanie na obiek lub proce w poób zamierzony, kórego przebieg chcemy orzymać bez udziału człowieka. Zamierzony cel moŝna uzykać za pomocą urządzeń zwanych aparaurą auomayki. WyróŜniamy dwa zaadnicze pooby erowania: erowanie w układzie owarym (oware układy erowania), erowanie w układzie zamknięym (przęŝenie zwrone ujemne lub dodanie). Ogólny chema owarego układu erowania przedawia ryunek.. Srona

12 ROZDZIAŁ Ryunek.. Schema blokowy owarego układu erowania w warość zadana wielkości erowanej (ygnał wymuzający), US urządzenie erujące, OS obiek lub proce podlegający erowaniu, u ygnał erujący, (ygnał naawiający), y wielkość erowana, wyjściowa (ygnał erowany), z, z ygnały zakłócające (zakłócenia). W owarym układzie erowania ygnał wyjściowy nie je porównywany, mierzony ani podawany zwronie, dla porównania z ygnałem wejściowym. W przypadku zakłóceń układ nie będzie wykonywał Ŝadnego zadania. KaŜdy układ działający na bazie czaowej je układem owarym (zwykła pralka, układ erowania świałami ulicznymi ip.). Urządzenie erujące je elemenem, w kórym wywarza ię ygnał naawiający nie orzymując informacji o warości wielkości regulowanej. Serowanie w układzie owarym ma en wedy, gdy na podawie znajomości ygnału erującego moŝna dokładnie przewidzieć przebieg wielkości erowanej. Do akich układów owarych naleŝą układy z kompenacją zakłóceń, gdzie urządzenie erujące moŝe orzymać pewne informacje o zakłóceniach. Zamknięy układ erowania (układ regulacji auomaycznej), nazywany częo układem ze przęŝeniem zwronym, ma naępujący ogólny chema blokowy przedawiony na ryunku.4. Srona

13 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI Ryunek.4. Schema blokowy zamknięego układu erowania (układu regulacji) e w y, je uchybem regulacji (odchyłka erowania), węzeł informacyjny, kórego wzykie wejścia i wyjścia ą obie równe, węzeł umacyjny, kóry ma ylko jedno wyjście i co najmniej dwa wejścia, przy czym ygnał wyjściowy je umą ygnałów wejściowych z uwzględnieniem odpowiednich znaków. Tor główny wkazuje zawze zaadniczą wielkość wejściową układu (w ym przypadku - w) i wielkość wyjściową y. Tor en iluruje zwykle przepływ głównego rumienia energii lub maeriału w układzie. Tor przęŝenia zwronego łuŝy do przekazywania informacji. Serowanie ze przęŝeniem zwronym nazwane je regulacją, zaś układy regulacji lub układy erowania w układzie zamknięym ą układami erowania ze przęŝeniem zwronym. Przykładem moŝe być regulacja emperaury w pokoju, amochodzie, wagonie ip. niezaleŝnie od warunków zewnęrznych. W układzie zamknięym odpowiedź układu je ounkowo niewraŝliwa na zewnęrzne zakłócenia i wewnęrzne zmiany paramerów układu auomayki... Klayfikacja układów auomayki Kryeria podziału układów auomayki mogą być bardziej lub mniej ogólne ze względu na zadania, jakie pełniają układy auomaycznego erowania, w zaleŝności od warości zadanej w, ze względu na liczbę Srona

14 ROZDZIAŁ Srona 4 zmiennych erowanych, ze względu na rodzaj elemenów, z jakich układ ię kłada, ze względu na poób pomiaru wielkości erowanej oraz regulacji, przekazywania ygnałów i inne (ekremalne, amorajalne, amoopymalizujące). Ze względu na realizowane zadania układy dzielimy na: układy abilizacji, układy programowe, układy nadąŝne (śledzące), adapacyjne (ekremalne, amorajalne, amoopymalizujące). Ad a). Układy abilizujące (układy regulacji ałowarościowej), wcon. Zadaniem układu je urzymanie moŝliwie ałej, podanej warości wielkości wyjściowej oraz minimalizacja wpływu zakłóceń na ę wielkość. Główne zakłócenia mogą wchodzić wraz ze rumieniem energii lub maeriału na obiek, worząc or główny od z do y (ryunek.4). Ad b). Układy programowe (regulacji programowej, erowania programowego), warość zadana w w() je z góry określoną funkcją czau, czyli zmieniającą ię według pewnego programu. Układy ego ypu częo oowane ą w obróbce cieplnej, obrabiarkach erowanych numerycznie i wielu innych mazynach oraz urządzeniach. Zadaniem układu je uzykanie przewidzianych określonym programem czaowym zmian wielkości regulowanej (erowanej). Dla powolnych zmian w(), moŝe być np. regulacja emperaury w budynku. Ad c). Układy nadąŝne (erwomechanizmy), ww[f()]. Zadaniem układu je nadąŝanie wielkości wyjściowej y za zmieniającą ię w nieznany nam poób warością zadaną w. Przykłady: erowanie połoŝeniem y dział przeciwloniczych wg wkazań radaru określającego połoŝenie amolou, erowanie połoŝeniem anen radiowych. Ad d). Serowanie adapacyjne (ekremalne, auorojące, auopymalizujące) je o erowanie obiekem o zmieniających ię właściwościach dynamicznych i zakłóceń, w rakcie, kórego przeprowadza ię eymację paramerów modelu obieku i zakłóceń w celu uakualnienia paramerów algorymu erowania.

15 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI Ze względu na rodzaj elemenów, z jakich kłada ię układ, wyróŝniamy: Układy liniowe zbudowane ylko z elemenów liniowych, opianych liniowymi równaniami róŝniczkowymi o ałych wpółczynnikach. Elemeny e mają prooliniowe charakeryyki ayczne. Układy nieliniowe zawierają, co najmniej jeden elemen nieliniowy i moŝna je opiać równaniem róŝniczkowym nieliniowym. Przykładem układu nieliniowego mogą być przekaźniki i regulaory dwu i rójpołoŝeniowe. Ze względu na poób pomiaru wielkości regulowanej, układy dzielimy na: Układy analogowe wielkość regulowana mierzona je w poób ciągły, zaś wynik pomiaru przedawiany je w poaci ciągłej zmiany wielkości fizycznej, związanej z wielkością regulowaną, określoną jednoznaczną zaleŝnością funkcyjną. Przykładem ą przyrządy wkazówkowe, manomery, ermomery. Układy cyfrowe wielkość zadana podawana je w poaci cyfrowej. W proceach fizycznych wielkości regulowane zmieniają ię w poób ciągły w czaie, a więc w układach cyfrowych wyępują elemeny przekzałcające ygnał analogowy na ygnał cyfrowy (przeworniki analogowo-cyfrowe AC i cyfrowo-analogowe CA). Ze względu na poób przekazywania ygnałów, układy dzielimy na: Układy regulacji ciągłej wzykie elemeny układu działają w poób ciągły i mogą przyjmować kaŝdą warość z przedziału zmienności ygnału. Takimi elemenami ą mierniki wkazówkowe (ciśnieniomierze, volomierze, amperomierze, manomery, ermomery). Układy regulacji dykrenej (przerywanej) układy, w kórych co najmniej jeden elemen pracuje w poób dykreny. Wyłane ygnały przez aki elemen mogą przyjmować ylko wybrane warości i wyępować w pewnych chwilach czau. Układy ego ypu moŝna opiać równaniami róŝnicowymi. Przykładem ego ypu układu ą układy impulowe, przekaźnikowe (np. erowanie przerywaną pracą wycieraczek amochodowych). Srona 5

16 ROZDZIAŁ.. Właściwości liniowych układów auomayki Jak juŝ powiedziano, właściwości dynamiczne liniowych elemenów lub układów auomayki moŝna opiać liniowym równaniem róŝniczkowym o ałych wpółczynnikach. Doyczy o ylko układów acjonarnych (niezmiennych w czaie). Układy rzeczywie zwykle ą nieliniowe, ale dla uprozczenia opiu maemaycznego przeprowadza ię ich linearyzację, co pozwala na formułowanie przybliŝonego opiu liniowego, odnozącego ię do ooczenia wybranego punku pracy na charakeryyce aycznej. Po linearyzacji układy opiywane ą za pomocą liniowych równań róŝniczkowych o ałych wpółczynnikach a i b. i i Maemayczne modele opiu zjawik fizycznych ą zawze przybliŝeniem ich rzeczywiego charakeru. W przypadku elemenów i układów auomayki, kóre charakeryzują przebieg proceu, zachodzącego w rozparywanym elemencie lub układzie w poaci zaleŝności pomiędzy ygnałem wejściowym i wyjściowym ą równaniami orzymanymi w wyniku analizy zjawik zachodzących w danym elemencie. Równania e ą równaniami liniowymi algebraicznymi, róŝniczkowymi, róŝnicowymi lub mogą być równaniami nieliniowymi, kóre moŝna zlinearyzować, czyli zaąpić je przybliŝonymi równaniami liniowymi. Tego rodzaju przybliŝenie dla celów prakycznych moŝe być wyarczające. Proce linearyzacji je, więc worzeniem modelu liniowego, kóry poprzez aprokymację zaępuje model nieliniowy. WyróŜniamy dwie podawowe linearyzacje j. linearyzację ayczną (linearyzacja równań algebraicznych) i linearyzację dynamiczną (linearyzacja równań róŝniczkowych). Jedną ze znanych meod linearyzacji je rozwinięcie nieliniowych funkcji w zereg Taylora w ooczeniu punku pracy odpowiadającemu anowi ualonemu (równowagi). Dla anu ualonego, pochodne cząkowe ą ałe. Ogólna poać równania róŝniczkowego układu liniowego: Srona 6

17 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI n n n d y d y d y an a a y n n... n n d d d m m d u d u bm bm b u m... m d d n m (.) gdzie: y ygnał wyjściowy, u ygnał wejściowy, a i b - ałe wpółczynniki równania róŝniczkowego ( i n, j m ) Dla wzykich układów rzeczywiych wzykie elemeny rzeczywie mają charaker inercyjny, ąd n m. Równanie charakeryyki aycznej (wzykie pochodne funkcji wejścia i wyjścia ą zerowe) wynikające z równania róŝniczkowego (.) ma poać b y u (.) a Charakeryyka ayczna układu liniowego lub zlinearyzowanego w ooczeniu nominalnego punku pracy (u,y ą odchyłkami od ego punku) ma poać: i j Ryunek.5. Charakeryyka ayczna Począek układu wpółrzędnych oznacza nominalny punk pracy, a ygnały wejścia u i wyjścia y ą odchyłkami ygnałów od ego punku. Aby ocenić właściwości dynamiczne na podawie przebiegów przejściowych (nieualonych) naleŝy rozwiązać równanie (.). Po rozwiązaniu orzymamy odpowiedź na wyjściu y() na zadany ygnał na wej- u. ściu u(). Najczęściej je o kok jednokowy ( ) ( ) Srona 7

18 ROZDZIAŁ.4. Sygnały w układach auomaycznej regulacji Przekazywanie informacji pomiędzy elemenami układu w kaŝdym układzie erowania odbywa ię za pośrednicwem ygnałów w poaci przebiegów zmian określonej wielkości fizycznej (wielkość nośna). Wielkością nośną moŝe być emperaura, iła, ciśnienie, napięcie, przemiezczenie id. Do przekazywania informacji zawarej w ygnale mogą być wykorzyywane róŝne cechy wielkości nośnej jak częoliwość, zerokość pama impulów, warość ampliudy ip. Do badania właściwości dynamicznych i porównywania ze obą róŝnych układów auomayki ouje ię na wejściu róŝnego rodzaju wymuzenia u(). Najczęściej uŝywanymi ygnałami wymuzającymi, podawanymi na wejściu układu ą ygnały dykrene, impulowe i ciągłe. Sygnały dykrene (ryunek.6) ą ygnałami określonymi ylko dla pewnego przeliczalnego ciągu chwil czaowych (,,,... n ). Zmienna nazywana je zmienną dykreną. Wymuzenie jednokowe () (kok jednokowy, lub funkcja Heaviide a) (ryunek.6a) definiuje ię naępująco dla, ( ). (.) dla JeŜeli wymuzenie jednokowe przełoŝone je w chwili (ryunek.6b), wówcza definicja je naępująca ( ) dla, (.4) dla. Srona 8

19 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI Ryunek.6. Sygnały dykrene (wymuzenia kokowe) a) kok jednokowy, b) kok jednokowy z przeunięciem, c) kok o dowolnej warości, d) impulowa funkcja jednokowa (funkcja Diraca) Wymuzenie kokowe o dowolnej warości (ryunek.6c) definiuje ię naępująco u ( ) ( ) dla, u (.5) u dla. Wymuzenie kokowe o dowolnej warości moŝe być akŝe przeunięe w czaie jak kok jednokowy (ryunek.6b). Wymuzenie w poaci funkcji Diraca (ryunek.6d) Impul Diraca (impul jednokowy) moŝna zdefiniować jako granicę jednej z przedawionych na ryunku.8 funkcji impulowych przy α. Zaem ( ) lim i ( ) α δ, dla, δ ( ) (.6) nieokreśiene dla. ( ) d δ, (.7) Srona 9

20 ROZDZIAŁ Sąd ( ) d δ ( ). (.8) d A więc kok jednokowy moŝna rakować jako funkcję pierwoną impulu jednokowego ( ) ( τ ) dτ. δ (.9) Ryunek.7. Sygnały ciągłe: e) ygnał liniowy (wymuzenie liniowe), f) ygnał wykładniczy określony dla i α (wymuzenie wykładnicze) Ryunek.8. Sygnały impulowe: g) określony dla α, h) określony dla α α Wymuzenie liniowe (ryunek.7e) moŝemy zdefiniować naępująco dla, u ( ) (.) a dla. Nazwę uzaadnia pierwza pochodna ej funkcji względem czau i je wymuzeniem kokowym o warości a. Srona

21 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI Wymuzenie wykładnicze (ryunek.7 f) definiujemy w naępujący poób u ( ) ξe α dla, dla. (.) Korzyając z zapiu koku jednokowego, wzór (.) moŝna zapiać naępująco u α ( ) e ( ) ξ. (.) Podcza proceów przejściowych równieŝ, gdy wyępuje zakłócenie lub zmiana warości zadanej, pojawiają ię ygnały, kóre moŝna uwaŝać za równe zeru przy <. Sygnał aki określa wzór (.) i przedawiony je na ryunku.7 f). Wymuzenie impulowe (ryunek.8) definiujemy naępująco Wzykie ygnały impulowe ( ) ( ) d, dla kaŝdego α (ryunek.8) i.5. Zaady rachunku operaorowego mają naępujące właściwości i dla, lim i( ) α (.) dla. Do opiu właściwości elemenów i układów auomayki łuŝą równania róŝniczkowe. Rozparywać będziemy ylko układy liniowe opiywane równaniami róŝniczkowymi o ałych wpółczynnikach (elemeny i układy acjonarne). Do rozwiązywania równań róŝniczkowych wykorzyamy rachunek operaorowy wykorzyując przekzałcenia Laplace a. Dzięki ej meodzie orzymamy równania algebraiczne będące funkcją zmiennej zepolonej ajb (a część rzeczywia, b część urojona). Po dokonaniu ych przekzałceń, moŝemy powrócić do dzie- Srona

22 ROZDZIAŁ dziny czaowej orzymując rozwiązania wyjściowego równania róŝniczkowego. Przekzałcenie Laplace a funkcji f() zwanej oryginałem, przyporządkowujemy uŝywając odpowiednich maemaycznych przekzałceń, nową funkcję F() zmiennej zepolonej zwanej ranformaą funkcji f(). Relacja pomiędzy ranformaą a oryginałem je naępująca F ( ) f ( ) e d, (.4) Tranformacji odwronej dokonujemy korzyając ze wzoru f Πj ( ) F( ) e d L [ F( ) ] F( ) L[ f ( ) ] ω je częością kołową. (.5) PoniŜej podamy kilka podawowych, najczęściej uŝywanych wzorów z rachunku operaorowego, oparego na przekzałceniu Laplace a. Tranformaa iloczynu ałej przez funkcję Tranformaa umy L Tranformaa pochodnych [ af ( ) ] af( ) L [ f( ) f ( ) f( )... f n ( ) ] F ( ) F ( ) F ( )... F ( ) d f L d df L d ( ) ( ) F F ( ) f ( ), (.6) ' ( ) f ( ) f ( ) n, (.7), (.8), (.9) Srona Wzór ogólny ma poać n d f L d ( ) n n F n n ' n ( ) f ( ) f ( )... f ( ).(.)

23 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI Prakycznie najczęściej przyjmujemy zerowe warunki począkowe, wówcza korzyamy ze wzoru (.) w uprozczonej poaci n d f L d ( ) Twierdzenie o warości począkowej Twierdzenie o warości końcowej n n F ( ) ( ) lim F( ). (.) lim f, (.) lim f ( ) lim F( ). (.) Z podanych wzorów (.6-.) wynika, Ŝe równania róŝniczkowo całkowe po dokonaniu ranformacji zoają zaąpione równaniami algebraicznymi zmiennej zepolonej. Znając ranformaę dzięki wierdzeniu o warości począkowej i końcowej, (kiedy inieją granice) moŝna określić niekóre właności oryginału bez wykonywania ranformacji odwronej. Najczęściej poykane funkcje f() i odpowiadające im ranformay ą zeawione w ablicy ranforma. Trudność anowić moŝe doprowadzenie złoŝonych funkcji do poaci umy prozych kładników, mających woje odpowiedniki w ablicy. Wówcza funkcję naleŝy rozłoŝyć na ułamki proe i po obliczeniu wpółczynników korzyać z ablicy. Przykład. Rozwiązać równanie róŝniczkowe y& y& y ( ) warunki począkowe dla, y( ) 5, y( ) rozwiązanie w anie ualonym ( ). Rozwiązanie Soując przekzałcenie Laplace a orzymamy ( ) dy d ( ) y( ) y, & uwzględniając &. Określić równieŝ y d ( ) d y ( ) y( ) [ y( ) 5] [ y( ) ] y( ) dy d ( ). Srona

24 ROZDZIAŁ Wyznaczając z powyŝzego równania ranformaę orzymamy ( ) 5, y Orzymana funkcja je dość złoŝona, więc z ablic Laplace a nie moŝna bezpośrednio określić ranformay. NaleŜy y ( ) rozłoŝyć na ułamki proe, zaem, y ( ) 5 A ( A B C) (.5A.5B C) ( )(.5).5. B C.5.5A ąd porównując liczniki obu ron równań orzymamy układ równań algebraicznych, czyli 5 A B C.5 A.5B C 5.5 A ( A B C) (.5A.5B C).5, Rozwiązując powyŝzy układ rzech równań algebraicznych orzymamy Oaecznie funkcję ( ) y moŝemy przedawić w poaci ułamków proych A, B 8, C 8, y ( ) 8 8,.5 Z ablic Laplace a orzymamy oryginał funkcji y ( ) y.5.5 ( ) 8e 8e [ 4( e e )] W anie ualonym orzymamy. Srona 4

25 y.5 ( ) lim[ 4( e e )] u. Tablica ranforma WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI. Srona 5

26 ROZDZIAŁ c.d. ablicy ranforma Srona 6

27 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI.6. Tranmiancja operaorowa i jej właściwości Właściwości dynamiczne iluruje ię zwykle wyznaczając przebieg wielkości wyjściowej y() po wprowadzeniu na wejście jednego z ypowych wymuzeń u() (ryunek.-.4). Meoda operaorowa pozwala zaąpić równanie róŝniczkowe zw. ranmiancją operaorową. Tranmiancja operaorowa (funkcja przejścia) je definiowana jako ounek ranformay Laplace a ygnału wyjściowego (funkcji odpowiedzi) do ranformay Laplace a ygnału wejściowego (funkcji wymuzającej), przy zerowych warunkach począkowych. Tranmiancja elemenu lub układu ma poać [ y] [ ] L G ( ), (.4) L u Dokonując przekzałceń Laplace a równania (.) orzymamy n n n ( an an an... a a ) y( ) m m ( b b... b b ) u( ) m m, (.5) ąd G ( ) a n y u n ( ) ( ) bm a b m m m n n n an... b b... a a. n m (.6) PoniewaŜ ranmiancja operaorowa opiuje właściwości elemenu, obieku lub układu auomayki, przyjęo wpiywać ją wewnąrz prookąów (ryunek.9). Srona 7

28 ROZDZIAŁ Srona 8 Ryunek.9. Symbol graficzny elemenu, obieku lub układu auomayki Przy zerowych warunkach począkowych i zerowej warości z równania (.6) orzymamy końcowe równanie charakeryyki aycznej dla układów o jednym wejściu i jednym wyjściu, czyli ( ) ( ) b b y u ( ) a a y. (.7) G u Równanie (.7) odpowiada dokładnie równaniu (.). Tranmiancję operaorową oujemy ylko do równań róŝniczkowych liniowych i niezmiennych w czaie. Właściwości ranmiancji operaorowej ą naępujące: je właściwością amego układu, niezaleŝną od wielkości i rodzaju ygnału wejściowego, ranmiancje dla wielu fizycznie róŝnych układów mogą być idenyczne, ranmiancja zawiera niezbędne kładniki do przedawienia związku pomiędzy ygnałami wyjściowymi i wejściowymi nie doarczając Ŝadnej informacji doyczącej fizycznej rukury układu, jeŝeli znamy ranmiancję układu o moŝemy określić ygnał wyjściowy (odpowiedź) dla róŝnych ygnałów wejściowych, ranmiancja operaorowa opiuje układ ak amo dokładnie jak równanie róŝniczkowe, równanie charakeryyki aycznej moŝna orzymać z ranmiancji operaorowej przez podawienie w miejce, mianownik ranmiancji operaorowej przyrównany do zera je równaniem charakeryycznym układu auomayki.

29 WPROWADZENIE DO PODSTAW AUTOMATYKI n n n an an an... a a. (.8) Przykład. Do układu elekrycznego, kórego ranmiancja je ( ) G do- u co4. Obliczyć napięcie wyjściowe prowadzone je napięcie ( ) w funkcji czau Rozwiązanie Sygnał wyjściowy moŝna wyznaczyć z zaleŝności y Tak, więc. 4 ( ) G( ) u( ), u( ) L[ co4] y ( ), 4 Po rozłoŝeniu prawej rony powyŝzego równania na ułamki proe orzymamy A B C 6 ( A C) ( A B 6) ( 6)( ) ( A B)( ) C( 6) ( 6)( ) B, A C, A B 6, A 6, B. B, C 6. Zaem Srona 9

30 ROZDZIAŁ Srona ( ) ( ) ( ) e L y y co ,

31 ` Charakeryyki liniowych elemenów I układów auomayki

32 ROZDZIAŁ.. Wprowadzenie Analizę układu erowania rozpoczyna ię zwykle od budowy maemaycznego modelu układu. Analizując i projekując układy erowania naleŝy pamięać o porównywaniu ich właściwości poprzez wykorzyanie ygnałów eowych z ego względu, Ŝe inieje korelacja pomiędzy odpowiedziami układu na ypowy ygnał wejściowy a zdolnością układu do radzenia obie z rzeczywiymi ygnałami wejściowymi. Podawowe ygnały eowe ą omówione w podrozdziale.4. Dla ygnałów eowych, z racji ich proego opiu oraz wygenerowania, moŝna ławo przeprowadzić analizę maemayczną i ekperymenalną układów erowania. O właściwościach układu decyduje charakeryyka ayczna (an ualony wzykie pochodne równania (.) ą zerowe) i dynamiczna (an nieualony). Dla elemenów linearyzowanych je o równanie ycznej do charakeryyki rzeczywiej, gdzie począkiem układu wpółrzędnych je punk yczności zwany punkem pracy, wokół kórego przeprowadzono linearyzację. Właściwości dynamiczne określa ię zwykle na podawie przebiegu ygnału wyjściowego y() (odpowiedzi), zaleŝnego od ygnału wejściowego u() (wymuzenia). Wyznaczenie przebiegu dynamicznego, wymaga rozwiązania równania róŝniczkowego, częo nieliniowego. Je o meoda bardzo kłopoliwa, dlaego w prakyce ouje ię aprokymację poprzez linearyzację orzymując równanie liniowe. Meoda a je jednak uciąŝliwa, polega na wyprowadzeniu równania charakeryycznego układu, obliczeniu pierwiaków ego równania, wyznaczeniu ałych całkowania z warunków począkowych. W auomayce oowana je powzechnie meoda operaorowa, pozwalająca zaąpić równania róŝniczkowo-całkowe zwykłymi równaniami algebraicznymi przy wykorzyaniu przekzałcenia Laplace a. Srona

33 CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI.. Charakeryyki czaowe (kokowe) Przez charakeryykę czaową naleŝy rozumieć wykre powały z rozwiązania równania róŝniczkowego (.) przy wymuzeniu kokowym (pochodne ej funkcji ą zerowe) i zerowych warunkach począkowych (połoŝenie równowagi). Wówcza równanie róŝniczkowe (.) przyjmuje poać n d y n d n n d y d y an... a y b u. (.) n n d d an W odnieieniu do układów jednowymiarowych, charakeryyki czaowe dają moŝliwość bezpośredniej oceny układu erowania, poniewaŝ charakeryyka czaowa je przebiegiem w czaie odpowiedzi układu dynamicznego y() na określone wymuzenie u(). Przejście układu abilnego od połoŝenia równowagi y po przyłoŝeniu na wejściu układu wymuzenia jednokowego, powoduje zajęcie nowego połoŝenia równowagi y zaleŝy od paramerów układu, czyli b a od wpółczynników równania (.). Charakeryyka czaowa opiuje więc an przejściowy układu, kóry moŝe mieć charaker ocylacyjny zaleŝnie od wpółczynników równania (.)... Charakeryyki częoliwościowe JeŜeli na wejście elemenu lub układu liniowego abilnego wprowadzone zoanie wymuzenie inuoidalne o ałej częoliwości, o na wyjściu, po zaniknięciu przebiegu przejściowego, uali ię odpowiedź inuoidalna o ej amej częoliwości, ale w ogólnym przypadku, o innej ampliudzie i fazie niŝ wymuzenie. Analizę układu erowania rozpoczyna ię zwykle od budowy maemaycznego modelu układu. Na ry- Srona

34 ROZDZIAŁ unku. przedawiono przypadek, gdy odpowiedź je przeunięa w kierunku ujemnym względem wymuzenia, zn. ϕ (ω ) <. Srona 4 Ryunek.. Przechodzenie ygnału inuoidalnego przez elemen liniowy ZaleŜności na ygnał wymuzający u (wejściowy) i odpowiedzi (wyjściowy) y ą naępujące ( ω) in u A ω, (.) ( ω ) in[ ω ϕ( ω) ] y A. (.) Charakeryyki częoliwościowe określają zachowanie ię elemenu lub układu przy wzykich częoliwościach wymuzenia, poprzez ounek ampliud odpowiedzi do wymuzenia oraz przeunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuzeniem jako funkcje częoliwości. Teoreyczną podawę charakeryyk częoliwościowych anowi ranmiancja widmowa, kórą moŝna uwaŝać za zczególny przypadek ranmiancji operaorowej: j ( ω ) ( ) G( jω) A( ω) e ϕ G kórą częo ię definiuje naępująco jω, (.4) y G ( jω ), (.5) u gdzie y je warością zepoloną kładowej ualonej odpowiedzi układu wywołanej wymuzeniem inuoidalnym, a u warością zepoloną ego wymuzenia.

35 CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI Wykorzyamy wierdzenie Eulera dla liczb zepolonych, mianowicie e j ω co ω j inω, (.6) JeŜeli na wejście elemenu lub układu liniowego wprowadzimy wymuzenie harmoniczne j ( ω ) e ω A ( ω )[ co ω j in ] u A ω o na wyjściu uali ię odpowiedź harmoniczna, (.7) y A j[ ω ϕ ( ω )] A ( ω) e ( ω) co[ ω ϕ( ω) ] j in[ ω ϕ( ω) ] { }, (.8) Zaem podawiając za u i y parę odpowiadających obie funkcji harmonicznych zapianych w poaci wykładniczej orzymamy ( jω) jω j ( ω ) ( ω) e e ϕ jω A ( ω) e A G. (.9) gdzie: ( ) A ( ω) A ( ω) ω j ( ω ) ( ω) ϕ M e M je modułem charakeryyki częoliwościowej (ounkiem ampliud odpowiedzi do wymuzenia). Wykre G( jω) nazywamy charakeryyką ampliudowo-fazową (ryunek.a) lub wykreem ranmiancji widmowej. Wykre en je miejcem geomerycznym końców wekorów, kórych długość reprezenuje ounek ampliud odpowiedzi do wymuzenia, a ką ϕ ( ω) je przeunięciem fazowym między odpowiedzią a wymuzeniem. Zamia wykreu G ( jω) moŝna podać oddzielne wykrey jego wpółrzędnych jω ϕ j ω, kóre nazywają ię: biegunowych M ( ) i ( ) ( ω) G( jω) M charakeryyka ampliudowa (ryunek.b) (wykre modułu charakeryyki częoliwościowej), ( ω) arg G( jω) ϕ charakeryyka fazowa (ry..c) (wykre argumenu charakeryyki częoliwościowej). Srona 5

36 ROZDZIAŁ Ryunek.. Charakeryyki częoliwościowe: a) charakeryyka ampliudowo-fazowa, b) charakeryyka ampliudowa, c) charakeryyka fazowa PoniewaŜ G( jω) je funkcją zepoloną, moŝna rozłoŝyć ją na część rzeczywią i część urojoną (wpółrzędne prookąne G( jω)), czyli gdzie ( jω) P( ω) jq( ω) G P ( ω) Re[ G( jω) ] część rzeczywia ( jω) Q ( ω) Im[ G( jω) ] część urojona ( jω) G, G., (.) Z ryunku.a) wynikają naępujące związki, bardzo ione przy analiycznym wyznaczaniu charakeryyk częoliwościowych elemenów i układów auomayki ( ω) A( ω) G( jω) [ P( ω) ] [ Q( ω )] M poykane oznaczenia w lieraurze ϕ ( ω) G( jω) ( ω) ( ω) (.) Q arg arcg (.) P Srona 6

37 CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI.4. Charakeryyki logarymiczne DuŜe znaczenie prakyczne logarymicznych charakeryyk ampliudowej i fazowej wynika z ławości ich budowania oraz wyznaczania charakeryyki wypadkowej układu auomayki, złoŝonego ze znanych elemenów liniowych połączonych zeregowo. Wypadkowa ranmiancja widmowa G ( jω) akiego układu je równa iloczynowi ranmiancji elemenów kładowych. Wówcza logarymiczna charakeryyka ampliudowa i fazowa ą algebraiczną umą charakeryyk elemenów kładowych. Wprowadzenie logarymicznych charakeryyk umoŝliwia zaąpienie mnoŝenia przez ławiejzą operację dodawania. Zaleą oowania ych charakeryyk je akŝe o, Ŝe dla duŝej grupy elemenów liniowych moŝna je zaępować aympoycznymi (przybliŝonymi) kładającymi ię z odcinków linii proej. L przedawia wykre zaleŝności między logarymem dzieięnym modułu ranmiancji widmowej M ( ω) i częości ω. Logarym z modułu ranmiancji widmo- M ω przyjęo podawać w db. Charakeryyki logarymiczne mają Logarymiczna charakeryyka ampliudowa ( ω) wej ( ) oś odcięych wyraŝoną w kali logarymicznej i nazywają ię: L ( ω) logarymiczna charakeryyka ampliudowa, ϕ ( ω) logarymiczna charakeryyka fazowa. Ryunek.. Wpółrzędne logarymicznych charakeryyk: ω ϕ ω a) ampliudowej L ( ), b) fazowej ( ) Wpółrzędne ych charakeryyk przedawiono na ryunku.. Podziałka oi ω je logarymiczna, dekadowa, zn. kaŝdej dekadzie Srona 7

38 ROZDZIAŁ ω przyporządkowany je odcinek o jednakowej długości na oi ω. Po- L ω je liniowa, kalowana w decybelach (db). działka oi ( ) M. Częo na ej oi odkłada ię bezpośrednio ounek ampliud ( ω) Podziałka oi M ( ω) je wówcza logarymiczna. Warości L ( ω) obliczamy według wzoru Przykład. ( ω) M ( ω) L lg. (.) Wyznaczyć równanie charakeryyki ampliudowo-fazowej elemenu inercyjnego pierwzego rzędu, moduł i argumen ranmiancji widmowej oraz rzeczywie przebiegi logarymicznych charakeryyk ampliudowej i fazowej dla T. ek, k. Tranmiancja operaorowa k elemenu inercyjnego je naępująca G( ). T Rozwiązanie NaleŜy obliczyć część rzeczywią P( ω) Re[ G( jω) ] Q( ω) I [ G( jω) ] i urojoną m ranmiancji widmowej wawiając do ranmiancji operaorowej zamia wielkość j ω, a więc Ryunek.4. Charakeryyka częoliwościowa (ampliudowo-fazowa) elemenu inercyjnego pierwzego rzędu Srona 8

39 CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI G ( jω) k( Tjω ) k ktω j ( Tjω )( Tjω ) T ω T ω k, Tjω Ogólne równanie charakeryyki ampliudowo-fazowej je naępujące [ P( )] [ Q( ω) ] ± f ( k, ω,t ) ω, Zaem jak na ryunku.4 część rzeczywia i część urojona je P Q ( ω) R [ G( jω) ] e ( ω) I [ G( jω) ] m k, T ω ktω. T ω Sąd korzyając z powyŝzego równania orzymamy [ P( ω) ] [ Q( ω) ] kp( ω) k k ω, 4 4 [ P( )] [ Q( ω) ] kp( ω) PowyŜze równanie moŝna zapiać w poaci k k ω. 4 [ Q( )] P( ω) Je o równanie okręgu o promieniu układu wpółrzędnych o k. k r i przeunięego od począku PoniewaŜ część urojona je ujemna dla ω >, więc charakeryyka ampliudowo-fazowa elemenu inercyjnego pierwzego rzędu je P ω. półokręgiem i leŝy pod oią ( ) Moduł ranmiancji widmowej. M ( ω) G( jω) [ P( ω) ] [ Q( ω) ] k. T ω k T ω ktω T ω Srona 9

40 ROZDZIAŁ Ryunek.5. Charakeryyka ampliudowo-fazowa elemenu inercyjnego pierwzego rzędu, linia ciągła charakeryyka rzeczywia, linia przerywana charakeryyka eoreyczna Argumen ranmiancji widmowej ϕ ( ω) arg G( jω) ( ω) ( ω) Q arcg arcg Tω. P Aby mierzyć moduł w decybelach, o charakeryykę ampliudową zapiujemy naępująco L ( ω) lg M ( ω) lg k lg lg k T ω ( T ω) [ db].. Charakeryykę przybliŝoną orzymamy, gdy i dla ω < ω T L db [ ] lg k ω > ω L[ db] lg k lgtω. T ω częość drgań włanych Srona 4

41 CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI Ryunek.6. Logarymiczna charakeryyka ampliudowa elemenu inercyjnego pierwzego rzędu, - rzeczywia, - przybliŝona Ryunek.7. Logarymiczna charakeryyka fazowa elemenu inercyjnego pierwzego rzędu, - rzeczywia, - przybliŝona Przykład. k Mając układ auomayki z elemenem o ranmiancji G( ) T gdzie k 6,T ek, określić częość ω począwzy, od kórej ounek ampliudy ygnału wyjściowego y ( ) do wejściowego u ( ) nie będzie więkzy niŝ. Ryunek.8. Schema układu z elemenem inercyjnym pierwzego rzędu Rozwiązanie Moduł (ampliuda) ranmiancji operaorowej moŝna wyrazić wzorem Srona 4

42 ROZDZIAŁ ( ) ( ) y M ( ω ) G( jω) [ P( ω) ] [ Q( ω) ], x NaleŜy wyznaczyć część rzeczywią i urojoną z ranmiancji widmowej G jω. ( ) Tranmiancja widmowa ( jω) je naępująca P G ( jω) k T ω k( Tjω ) k jkt ( Tjω ) ( Tjω ) T ω k ω, Tjω ktω. T ω ( ω), Q( ω) A więc k T ω ktω k T T ω ω, Podawiając warości za k i T orzymamy Przykład. ( 4 ) [ ] 6 9 ω ω, Wyznaczyć charakeryyki ampliudowo-fazową, logarymiczne ampliudową i fazową dla elemenu ocylacyjnego opianego ranmiancją operaorową G( ). T ξt Rozwiązanie JeŜeli wpółczynnik łumienia ξ >, wówcza pierwiaki równania charakeryycznego (mianownik) ą rzeczywie i ujemne zaś przebieg odpowiedzi je aperiodyczny, dąŝący aympoycznie do ualonej warości. Gdy ξ (warość graniczna), wedy mamy przypadek zczególny zw. łumienia kryycznego. Charaker odpowiedzi je równieŝ aperiodyczny, ale najkrócej rwający. Srona 4

43 CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI Srona Zajmiemy ię przypadkiem charakeryycznym dla elemenów ocylacyjnych, dla kórego pierwiaki mianownika ą liczbami zepolonymi i przęŝonymi. Tranmiancja widmowa orzymana z operaorowej je naępująca ( ) ( ) ( ) [ ] ( ), j T T j T T j T T j T T j G ω ξ ω ω ξ ω ω ξ ω ω ξ ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) T 4 T T j T 4 T T j G ω ξ ω ω ξ ω ξ ω ω ω. Sąd ( ) ( ) ( ) T 4 T T P ω ξ ω ω ω, ( ) ( ) T 4 T T Q ω ξ ω ω ξ ω. Moduł ranmiancji widmowej ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ω ξ ω ω ξ ω ω ξ ω ξ ω ω ω ω ω ω T T T T T T T T Q P j G M Argumen ranmiancji widmowej ( ) ( ) ( ) ( ) T T arcg P Q arcg j arg G ω ω ξ ω ω ω ω ϕ. Logarymiczna charakeryyka ampliudowa

44 ROZDZIAŁ L ( ω) lg M ( ω) lg lg ( T ω ) [( T ω ) 4ξ T ω ] [db]. 4ξ T ω Wykrey charakeryyki ampliudowo-fazowej przedawia ryunek.9, zaś charakeryyk logarymicznych, ampliudowej i fazowej przedawiają ryunki. i.. Ryunek.9. Charakeryyka ampliudowo-fazowa elemenu ocylacyjnego dla róŝnych warości ξ Ryunek.. Logarymiczna charakeryyka ampliudowa elemenu ocylacyjnego dla róŝnych warości ξ Srona 44

45 CHARAKTERYSTYKI LINIOWYCH ELEMENTÓW I UKŁADÓW AUTOMATYKI Ryunek.. Logarymiczna charakeryyka fazowa elemenu ocylacyjnego dla róŝnych warości ξ Przykład.4 Naryować, dla układu auomayki opianego ranmiancją zaępczą G( ), charakeryykę ampliudowo-fazową. Rozwiązanie Tranmiancja widmowa wyznaczona z ranmiancji operaorowej je naępująca G G ( jω) ( jω) ( jω) jω [( ω ) jω( ω )] [( ) ( )]( [ ) ( )], ω jω ω ω jω ω ( ) ( ω ) ω( ω ) jω j ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) [ ] P ( ω) ω, ( ω ) ω ( ω ) [ ], Srona 45

46 ROZDZIAŁ Q ω ( ) ( ω ) ω ( ω ) ω ( ω ). Charakeryyka ampliudowo-fazowa je przedawiona na ryunku. Ryunek.. Charakeryyka ampliudowo-fazowa układu auomayki Srona 46

47 ` Właściwości dynamiczne podawowych liniowych elemenów auomayki

48 ROZDZIAŁ.. Wprowadzenie Srona 48 DuŜa ilość proych mechanizmów, mazyn i urządzeń daje ię prowadzić w maemaycznym opiie do elemenów (członów) podawowych. Ma o zaadnicze znaczenie przy rozparywaniu właściwości układów auomayki. Więkzość elemenów rzeczywiych moŝe być uwaŝana za liniowe przy naępujących załoŝeniach uprazczających: a. w odnieieniu do elemenów mechanicznych wyępuje jedynie arcie lepkie (wikoyczne), a nie arcie uche (Coulomba), iła arcia je proporcjonalna do prędkości, zywności elemenów pręŝyych ą ałe, a pozoałych elemenów oraz ich połączeń i zamocowań niekończenie wielkie. b. w odnieieniu do elemenów płynowych (hydraulicznych i pneumaycznych) opór przepływu je ały, zn. naęŝenie przepływu płynu je proporcjonalne do róŝnicy ciśnień, moduł pręŝyości objęościowej płynu (odwroność wpółczynnika ściśliwości) je ały, c. w odnieieniu do elemenów elekrycznych rezyancje, indukcyjności i pojemności ą ałe, niezaleŝne od prądu i napięcia. Oprócz powyŝzych załoŝeń naury ogólnej, w pozczególnych przypadkach naleŝy jezcze uwzględnić załoŝenia zczególne, np. idealna zczelność elemenów hydraulicznych lub pomijalna maa niekórych części ruchomych. NaleŜy, więc pamięać, Ŝe równania i charakeryyki elemenów liniowych ą uprozczone i częo moŝna je oować ylko do obliczeń wępnych. Podawowe elemeny (człony) auomayki zgrupowane ą według właściwości dynamicznych, gdyŝ określają poób przenozenia ygnałów.

49 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI NiezaleŜnie od akiego amego opiu maemaycznego mogą róŝnić ię między obą konrukcją i zaadami działania. Mogą być elemeny mechaniczne pneumayczne, hydrauliczne i elekryczne. Ze względu na właściwości dynamiczne wyróŝniamy naępujące grupy podawowych elemenów auomayki. proporcjonalne (bezinercyjne),. inercyjne pierwzego rzędu,. inercyjne drugiego rzędu, 4. ocylacyjne drugiego rzędu, 5. całkujące (idealne, rzeczywie), 6. róŝniczkujące (idealne, rzeczywie), 7. opóźniające. PoniŜej zoaną omówione podawowe elemeny auomayki za wyjąkiem elemenu całkującego rzeczywiego i inercyjnego drugiego rzędu. Właności ayczne wzykich elemenów będziemy określać podając równanie i wykre charakeryyki aycznej y f ( u), a właności dynamiczne podając równanie róŝniczkowe i odpowiadającą mu ranmiancję operaorową oraz wykre odpowiedzi y() na wymuzenie kokowe (charakeryyka czaowa) i charakeryyki ampliudowo-fazowe, logarymiczne ampliudową oraz fazową. KaŜdą grupę elemenów będziemy ilurować przykładami, przy czym w ramach danej grupy ą o przykłady urządzeń konrukcyjnie odmiennych, aby podkreślić, Ŝe podział ze względu na właności dynamiczne nie je zaleŝny od naury fizycznej elemenów i Ŝe np. elemenem inercyjnym moŝe być zarówno urządzenie mechaniczne, jak i hydrauliczne, pneumayczne lub elekryczne. Srona 49

50 ROZDZIAŁ. Elemeny proporcjonalne (bezinercyjne) Ogólna poać równania elemenu bezinercyjnego jako zaleŝność między u je naępująca ygnałem wyjściowym y ( ) a wejściowym ( ) ( ) ku( ) y, (.) gdzie k je wpółczynnikiem wzmocnienia). proporcjonalności (wpółczynnikiem Tranmiancja operaorowa elemenu bezinercyjnego je równa wpółczynnikowi proporcjonalności, a więc ranformując równanie (.) orzymamy ( ) ku( ) y, (.) ąd ( ) ( ) y G ( ) k. (.) u Równanie charakeryyki aycznej elemenu ma poać y ku. (.4) Charakeryykę czaową, czyli odpowiedź na wymuzenie kokowe u u orzymamy z równania ( ) ( ) y ku. (.5) Srona 5

51 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Ryunek.. Wykrey charakeryyk: a) czaowej, b) ampliudowofazowej, c) logarymicznej ampliudowej, d) logarymicznej fazowej Elemen proporcjonalny odwarza ygnał wejściowy bez Ŝadnych opóźnień, wzmacniając ygnał do warości k. Tranmiancję widmową wyznaczamy z równania (.), zaem ( j ) k. G ω (.6) Część rzeczywia ranmiancji P ( ω ) k, a część urojona Q ( ) ω. Wykre charakeryyki ampliudowo-fazowej prowadza ię do punku o wpółrzędnych (k,) (ryunek.b). Logarymiczna charakeryyka ampliudowa je linią proą (ryunek.c). (,db) lg [ P( ω) ] [ Q( ω) ] lg k L ω. (.7) Logarymiczna charakeryyka fazowa akŝe je linią proą leŝącą na oi odcięych (ryunek.d). ϕ ( ω) ( ω) ( ω) Q arcg. (.8) P Srona 5

52 ROZDZIAŁ Przykład. Dla róŝnych modeli układów auomayki określić ranmiancje operaorowe Ryunek.. Schema układu mechanicznego układu auomayki Ryunek.. Schema układu elekrycznego Rozwiązanie Ryunek.4. Schema układu pneumaycznego dla modelu układu mechanicznego (ryunek.) Sygnałem wejściowym je przemiezczenie x pręŝyny górnej, ygnałem wyjściowym je przemiezczenie y końca belki. Srona 5

53 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Z równowagi ił w liniowej pręŝynie górnej i dolnej orzymamy F, pr Fpr [ x( ) x ( ) ] k x ( ) k, Z powyŝzego równania naleŝy wyeliminować wpółrzędną pośrednią x, czyli ( ) zaem x a ( ) y( ) a x( ) y( ), b b a a a k x( ) k y( ) k y( ) kx( ) ( k k ) y( ), b b b Tranmiancja operaorowa je G ( ) ( ) k b ( ) a( k k ) y k. x dla modelu układu elekrycznego (ryunek.) Sygnałem wejściowym je napięcie U, ygnałem wyjściowym je napięcie U. Z równości prądów dla równoległego połączenia obwodu elekrycznego orzymamy zaleŝność pomiędzy ygnałami napięciowymi wejścia i wyjścia i ( ) i ( ) U ( ) U ( ) ( ) U ( ) U, R R R R R Tranmiancja operaorowa rozwaŝanego układu elekrycznego je G ( ) y x ( ) ( ) U U ( ) ( ) R R R k. R Srona 5

54 ROZDZIAŁ dla modelu układu pneumaycznego (ryunek.4) Sygnałem wejściowym je ciśnienie zewnęrzne p, ygnałem wyjściowym je przemiezczenie y membrany, rzpienia i pręŝyny. Z równowagi ił w anie równowagi układu, kiedy ciśnienie działające na membranę zrównowaŝy iłę pręŝyny orzymamy ( ) A k y( ) p, Tranmiancja operaorowa rozwaŝanego układu pneumaycznego je G ( ) y p ( ) ( ) A k k... Elemeny inercyjne pierwzego rzędu Ogólna poać równania róŝniczkowego opiującego elemen inercyjny pierwzego rzędu je naępująca ( ) dy T y( ) ku( ), (.9) d Równanie charakeryyki aycznej orzymamy dla z równania (.9), czyli ( ) ku( ) ( ) dy d y. (.) Soując do równania (.9) ranformację Laplace a orzymamy ranmiancję operaorową ( ) y( ) ku( ) Ty G ( ) ( ) k ( ) T. (.) y. (.) u Srona 54

55 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI gdzie: k wpółczynnik proporcjonalności, T ała czaowa (ma wymiar czau, []) Charakeryykę czaową orzymamy jako odpowiedź na wymuzenie kokowe u ( ) ( ) u u( ) u orzymamy przekzałcając równanie (.), a więc y ( ) G( ) u( ) L k T ( T ) u [ y( ) ] u T ( e ). T k k T u T y ( ) (.) Równanie (.) je rozwiązaniem równania róŝniczkowego (.9) przy zerowych warunkach począkowych. Wykre y() w poaci charakeryyki czaowej przedawia ryunek.5. Ryunek.5. Odpowiedź elemenu inercyjnego pierwzego rzędu na wymuzenie kokowe. Sałą czaową T moŝna określić wyawiając yczną w dowolnym punkcie krzywej wykładniczej y() i wyznaczając odcinek podycznej na aympocie (ryunek.5) Podyczna ( ) dy ku y T gα ku T e, T Tp. (.4) d T p Srona 55

56 ROZDZIAŁ Sałą czaową T moŝna równieŝ określić jako cza od chwili do chwili, kiedy y() oiąga 6,% wej końcowej warości ualonej ku. Podawiając za T orzymujemy ( ) ku ( e ).6ku y. (.5) Dla elemenu inercyjnego pierwzego rzędu charakeryyki ą podane w przykładzie. rozdziału (charakeryyka ampliudowo-fazowa ryunek.5, logarymiczna ampliudowa ryunek.6, logarymiczna fazowa ryunek.7). Przykład. Wyznaczyć ranmiancje operaorowe układów auomayki podanych na ryunkach.6 i.7. Ryunek.6. Schema mechanicznego układu auomayki Ryunek.7. Schema czwórnika RC układu elekrycznego Rozwiązanie (przykład ryunek.6) Sygnałem wejściowym je zewnęrzna iła F, ygnałem wyjściowym je przemiezczenie y łoka, łoczyka i pręŝyny. Srona 56

57 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Zewnęrzna iła działająca na układ mui równowaŝyć iły pochodzące od łumika i pręŝyny. Równanie równowagi ił je naępujące ( ) k y( ) F( ) ly& Soując przekzałcenie Laplace a i zerowe warunki począkowe orzymamy ( ) k y( ) F( ) y( )( l k ) F( ), cy ąd ranmiancja operaorowa badanego układu je G ( ) y F ( ) ( ) l k l k k k T,, gdzie: k wpółczynnik wzmocnienia, T ała czaowa Rozwiązanie (przykład ryunek.7) l k, T. k k Sygnałem wejściowym je napięcie U, ygnałem wyjściowym je napięcie U. Równanie obwodu elekrycznego ( ) i( ) R U ( ), i( ) ( ) du C, d U zaem ( ) du U ( ) C R U d ( ) Tranmiancja obwodu je U ( ) CU ( ) R U ( ), G( ) ( ) ( ) T U, T RC. U Srona 57

58 ROZDZIAŁ.4. Elemeny ocylacyjne drugiego rzędu Ogólna poać równania róŝniczkowego opiującego zaleŝność między ygnałem wyjściowym y() a wejściowym u() elemenu ocylacyjnego je naępująca przy czym T < 4 T ( ) dy( ) d y T y( ) ku( ), (.6) d d T (warunek powawania drgań ocylacyjnych). Soując ranformację Laplace a do równania (.6) ( ) T y( ) y( ) ku( ) T y orzymamy ranmiancję operaorową w poaci G ( ) ( ) k ( ) T T y. (.7) u gdzie k je wpółczynnikiem proporcjonalności (wzmocnienia), T i T ą ałymi czaowymi elemenu. NaleŜy podkreślić, Ŝe o nie poać równania (.6) lub (.7) decyduje o ym, Ŝe elemen je ocylacyjny ( T < 4T ) (aka ama moŝe być poać równań elemenu inercyjnego drugiego rzędu, w kórym Ŝadne ocylacje odpowiedzi kokowej nie wyępują). Wówcza mamy do T. czynienia z elemenem inercyjnym drugiego rzędu ( ), T Częo poyka ię równieŝ naępującą poać równania róŝniczkowego uŝywanego w eorii drgań, kóra uławia inerpreację przebiegów przejściowych elemenu ocylacyjnego, czyli y d ( ) dy( ) d ( ) kω u( ) ξω ω y. (.8) d przy czym ξ <. Wówcza ranmiancja operaorowa je opiana równaniem Srona 58

59 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI G ( ) ( ) kω ( ) ξω ω y. (.9) u gdzie: k wpółczynnik proporcjonalności, ω T częość drgań włanych elemenu ocylacyjnego, ξ T T zredukowany (względny) wpółczynnik łumienia. Równanie charakeryyki aycznej orzymamy z równania wyjściowego (.6) po przyrównaniu pochodnych funkcji do zera, a więc ( ) ku( ) y Wykrey charakeryyki aycznej pokazuje ryunek.8.. (.) Ryunek.8. Charakeryyka ayczna elemenu ocylacyjnego Korzyając ze wzoru (.7) odpowiedź na wymuzenie kokowe u ( ) ( ) u ( ) u u obliczamy według wzoru y ( ) L [ y( ) ] L ( T T ) k u, (.) Pierwiakami równania charakeryycznego (mianownik wzoru (.7) przyrównany do zera) ą T T ( ), m T T T ω ξ m ξ, (.) Odpowiedź na wymuzenie kokowe będzie mieć charaker ocylacyjny, jeŝeli pełniony je podany na wępie warunek T < 4T lub, co je jednoznaczne ξ <, wówcza pierwiaki zapizemy w poaci, Srona 59

60 ROZDZIAŁ T T m ω ( ξ ξ ) T T T. (.), j m orzymujemy z ablic ranforma y ( ) ku L T ( T T ) ku e e ( ) T ( ) a± jω a Soując wzory Eulera ( e e ( coω ± j inω), (.4) ) oraz wcześniej przyjęe oznaczenia, moŝna przedawić y() w poaci y ξω e ( ) ku in( ω ξ ϕ). (.5) ξ gdzie ξ ϕ arcg. (.6) ξ Ryunek.9. Odpowiedź elemenu ocylacyjnego na wymuzenie kokowe ()u, ) ocylacyjna, ) aperiodyczna Wykre odpowiedzi y() na wymuzenie kokowe przedawiono na ryunku.9 ( przebieg ocylacyjny, przebieg aperiodyczny). JeŜeli pierwiaki równania charakeryycznego ą rzeczywie i ujemne oraz gdy wyępuje łumienie kryyczne ( ξ ), o orzymujemy aperiodyczny przebieg odpowiedzi. Srona 6

61 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Składowa ualona przebiegu wynoi ku, a kładowa przejściowa je ganącą inuoidą, kórej okre je ały i wynoi T π. (.7) ω ξ W przypadku zczególnym, kiedy ξ (zn. T ), wyępują drgania zachowawcze (nie łumione) o częości włanej o ( ) ku [ in( ω 9 )] ku [ coω ] y ω. Wedy. (.8) Dla elemenu inercyjnego drugiego rzędu charakeryyki częoliwościowe podane ą w przykładzie. rozdziału (charakeryyka ampliudowo-fazowa ryunek.9, logarymiczna ampliudowa ryunek., logarymiczna fazowa ryunek.). Przykład. Dla układu auomayki złoŝonego z łumika, may i pręŝyny (ryunek.) wyznaczyć ranmiancję operaorową. Sygnałem wejściowym je zewnęrzna iła F, ygnałem wyjściowym je przemiezczenie y łoka, łoczyka i pręŝyny. Rozwiązanie Ryunek.. Schema mechanicznego układu auomayki Równanie równowagi ił dla badanego układu mechanicznego je naępujące ( ) ly& ( ) k y( ) F( ) m& y. Srona 6

62 ROZDZIAŁ Korzyając z rachunku operaorowego (przekzałceń Laplace a) przy zerowych warunkach począkowych powyŝze równanie przyjmuje poać ( ) ly( ) k y( ) F( ) m y Sąd ranmiancja operaorowa je G Przykład.4 ( ) ( ) k ( ) m l k T T y, F m l T, T, k. k k k Wyznaczyć ranmiancję operaorową układu auomayki przedawionego na ryunku. przy załoŝeniu, Ŝe zczoka znajduje ię na począku opornika w połoŝeniu równowagi. Wielkością wejściową je ciśnienie p, wyjściową zaś napięcie wyjściowe y. Przemiezczenie dźwigni o maie m, łumika o wpółczynniku łumienia l, pręŝyny o zywności k je x., Srona 6 Rozwiązanie Ryunek.. Schema mechanicznego układu auomayki ZaleŜność pomiędzy przemiezczeniem x a napięciem y je naępująca

63 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI ( ) x ( ) y U Równanie ruchu układu l x ( ) y( ) l U, ( ) l x& ( ) k x ( ) p( )A m&& x Soując rachunek operaorowy Laplace a orzymamy ( ) l x ( ) k x ( ) p( )A m x Podawiając w miejce x powyŝej wyznaczoną zaleŝność orzymamy ( )( ml ll k l) p( )AU y,,, Tranmiancja operaorowa je G ( ) T y p ( ) ( ) k T ml AU ll k l kl m k AU l k, UA m l k, T, T. k l k k Przykład.5 Schema elemenu auomayki pokazano na ryunku.. Sygnałem wejściowym je napięcie U, wyjściowym napięcie U. Ryunek.. Schema czwórnika RC układu elekrycznego Srona 6

64 ROZDZIAŁ Rozwiązanie Równanie obwodu elekrycznego pokazanego na ryunku je naępujące ( ) i( ) ( ) di R L d U U ( ) du du U ( ) i( ) d, i( ), i( ) C C d C d di d ( ) d U ( ) C d, ( ) ( ) d U ( ) du U ( ) RC LC U d d, ( ), Korzyając z rachunku operaorowego i powyŝzego równania wyznaczamy ranmiancję operaorową, zaem U ( ) RCU ( ) LC U ( ) U ( ) U ( )( LC RC ) G ( ) ( ) ( ) T T U. U T ( ) LC, T RC..,.5 Elemeny całkujące idealne Srona 64 Są o elemeny, w kórych wielkość wyjściowa je proporcjonalna do całki wielkości wejściowej. Ogólna poać równania róŝniczkującego elemenu całkującego o ygnałach róŝnoimiennych (e ame miana) je naępująca ( ) dy d ( ) ku, (.9) lub po całkowaniu, przy zerowych warunkach począkowych, ( ) k y ud. (.) Z równania (.9) wynika ranmiancja operaorowa

65 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI ( ) k ( ) y G ( ). (.) u Równanie charakeryyki aycznej orzymamy z równania (.9). Dla dy, y con., wówcza u a jej wykre pokazuje ryunek d.. Charakeryykę czaową jako odpowiedź na wymuzenie kokowe u u wyznaczamy z ranmiancji operaorowej, zaem ( ) ( ) y k ( ) G( ) u( ) u y( ) L [ y( ) ] ku. (.) Ryunek.. Charakeryyka ayczna elemenu całkującego Wykre y() podano na ryunku.4a. W zczególnym przypadku, kiedy wejście i wyjście ą ygnałami jednoimiennymi, wpółczynnik k wzmocnienia elemenu całkującego ma wymiar odwroności czau. Wówcza ogólna poać równania róŝniczkowego elemenu całkującego przyjmuje poać kórej odpowiada ranmiancja ( ) dy T u( ). (.) d ( ) ( ) T y G ( ). (.4) u gdzie T je ałą czaową lub krócej ałą całkowania. Srona 65

66 ROZDZIAŁ Sałą ę moŝna określić na wykreie odpowiedzi kokowej zgodnie z ryunkiem.4b. Tranmiancję widmową orzymamy z równania (.) G ( jω) ąd P ( ω ), Q( ω) k ω. k kjω k j, (.5) jω jω jω ω Ryunek.4. Charakeryyka czaowa elemenu całkującego: a) wg wzoru (.), b) wg wzoru (.4) Srona 66 Ryunek.5. Charakeryyki częoliwościowe elemenu całkującego: a) ampliudowo-fazowa, b) logarymiczna ampliudowa, c) logarymiczna fazowa

67 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Logarymiczne charakeryyki ampliudową i fazową orzymamy ze znanych juŝ wzorów j. L ( db) lg M ( ω ) lg [ P( ω) ] [ Q( ω) ], ( ω) ( ω) Q o ϕ( ω) arcg arcg( ) 9. P Dla ygnałów róŝnoimiennych orzymamy zaś dla jednoimiennych k L ( db) lg. (.6) ω L. (.7) Tω ( db) lg lg Tω ZauwaŜmy, Ŝe dla ω ω T L(dB). Przykład.6 Wyznaczyć równanie erwomooru hydraulicznego przedawionego na ryunku.6 jeŝeli wielkością wejściową je przeunięcie x końca rurki rumieniowej o przekroju prookąnym, zaś wyjściową przemiezczenie y łoka iłownika powające na wkuek ciśnienia p oleju płynącego z prędkością v. Rozwiązanie Ryunek.6. Zepół rozdzielacz iłownik hydrauliczny Srona 67

68 ROZDZIAŁ Z równania ciągłości rugi, naęŝenie przepływu Q w cylindrze wynoi ( ) dy Q l A, d Wydaek oleju przez zczelinę o przekroju A x( )b wynoi zcz x( )bv. Q. Porównując oba wydaki orzymamy ( ) dy Qzcz A x( )bv, d Q l. Sąd ranmiancja operaorowa je ( ) ( ) y Ay ( ) bvx( ) G( ) x bv A PoniewaŜ ygnały na wejściu i wyjściu ą jednoimienne o gdzie A G ( ). T. T bv T ała czaowa elemenu całkującego Przykład.7 Dla układu mechanicznego (ryunek.7) wyznaczyć ranmiancję operaorową, jeŝeli ygnałem wejściowym je przemiezczenie liniowe u koła o promieniu r, ygnałem wyjściowym je jego ką obrou α., Srona 68 Ryunek.7. Przekładnia cierna bezopniowa w poaci elemenu auomayki

69 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Rozwiązanie Zakładając, Ŝe nie ma poślizgu kół, równanie prędkości w punkcie ich yku je naępujące ω x ωr, Tranmiancja operaorowa je dα( ) ω, ąd ( ) d ( ) dα ω x r, d ( ) ω ( ) r α ω x( ) rα( ) G( ), x PoniewaŜ ygnały na wejściu i wyjściu ą róŝnoimienne o k G( ) ω. r ω. r k.6. Elemeny róŝniczkujące Elemen róŝniczkujący idealny Idealny elemen róŝniczkujący je o aki elemen, w kórym wielkość wyjściowa je proporcjonalna do pochodnej wielkości wejściowej. Równanie idealnego elemenu róŝniczkującego dla ygnałów róŝnoimiennych je naępujące kąd wynika ranmiancja Wpółczynnik k definiuje ię jako du y ( ) k. (.8) d ( ) ( ) y G ( ) k. (.9) u Srona 69

70 ROZDZIAŁ ( ) y k. (.4) du d Ryunek.8. Charakeryyki idealnego elemenu róŝniczkującego: a) ayczna, b) czaowa, c) ampliudowo-fazowa Odpowiedź na wymuzenie kokowe (charakeryyka czaowa ryunek.8b) je funkcją Diraca pomnoŝoną przez k oraz przez ampliudę koku u. Zaem ( ) G( ) u( ) ku( ) ku y. (.4) y ( ) L [ y( ) ] ku δ ( ). (.4) y ( ) dla <, dla, dla >. W przypadku zczególnym, kiedy wejście i wyjście ą ygnałami jednoimiennymi, równanie idealnego elemenu róŝniczkującego zapiuje ię w poaci kórej odpowiada ranmiancja du y ( ) T. (.4) d ( ) ( ) y G ( ) T. (.44) u gdzie T je wpółczynnikiem, kóry moŝna zdefiniować jak (.4). Tranmiancja widmowa orzymana z równania (.44) je Srona 7

71 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI G ( jω) jtω. (.45) ąd część rzeczywia P ( ω ), część urojona Q ( ω) Tω. Ławo zauwaŝyć, Ŝe wykre charakeryyki ampliudowo-fazowej je dla idealnego elemenu róŝniczkującego dodanią półoią urojonych (ryunek.8c). JeŜeli na wejście idealnego elemenu róŝniczkującego podamy ygnał o małej warości częości, o jego ampliudy będą mocno zmniejzone. Sygnał będzie filrowany. Gdy zaś częości będą roły o ampliudy będą równieŝ wzmacniane. Odpowiedź na wymuzenie kokowe je w ym przypadku funkcją Diraca pomnoŝoną przez Tu. Logarymiczną charakeryykę ampliudową i fazową orzymamy obliczając L ( db) lg [ P( ω) ] [ Q( ω) ] lg Tω, Q ( ) ( ω) o ϕ ω arc g arcg( ) 9. P( ω) (.46) Charakeryyki e przedawia ryunek.9. Ryunek.9. Logarymiczne charakeryyki idealnego elemenu róŝniczkującego: a) ampliudowa, b) fazowa Idealnego elemenu róŝniczkującego nie moŝna zrealizować prakycznie, ale poznanie jego właności je celowe z ego względu, Ŝe częo w elemenach złoŝonych wyodrębnia jako jeden ze kładników idealne działanie róŝniczkujące. Ponado, idealny elemen róŝniczkujący rakuje ię czaami jako pierwze przybliŝenie rzeczywiego elemenu róŝniczkującego. Srona 7

72 ROZDZIAŁ Elemeny róŝniczkujące rzeczywie Ogólna poać równania rzeczywiego elemenu róŝniczkującego dla ygnałów róŝnoimiennych je naępująca ( ) z ego równania wynika ranmiancja ( ) dy du T y( ) k. (.47) d d G ( ) ( ) k ( ) T y. (.48) u gdzie k wpółczynnikiem proporcjonalności, a T ałą czaową elemenu. JeŜeli wejście i wyjście ą ygnałami jednoimiennymi, równanie róŝniczkowe zapiuje ię w poaci ( ) kórej odpowiada ranmiancja ( ) dy du T y( ) T. (.49) d d G ( ) ( ) T ( ) T y. (.5) u Charakeryyka ayczna będzie idenyczna z podaną na ryunku.8a), naomia charakeryykę czaową jako odpowiedź na wymuzenie kokowe wyznaczamy z ogólnej poaci ranmiancji (.48), czyli y k ku k u, (.5) T T T T ( ) u( ) y k. (.5) T T ( ) L [ y( ) ] u e Wykre y() przedawiono na ryunku.. Srona 7

73 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Ryunek.. Charakeryyka czaowa dla rzeczywiego elemenu róŝniczkującego jako odpowidź na wymuzenie kokowe Tranmiancję widmową oraz część rzeczywią i urojoną wyznaczymy z równania (.48) podawiając za jω, a więc G ( jω) ąd ( ) ( ) kjω( Tjω ) ktω jk ( Tjω )( Tjω ) T ω y kjω ω. (.54) u Tjω P ktω T ω ( ω), Q ( ω ) kω. (.55) T ω MoŜna wykazać jak w przykładzie. rozdziału drugiego, Ŝe częoliwościowa charakeryyka ampliudowo-fazowa je półokręgiem o wpółrzędnych środka w punkcie ( k T, j) i o dodaniej części urojonej (ryunek.a). Logarymiczna charakeryyka ampliudowa i fazowa wyraŝa ię wzorem L ϕ kω, (.56) T ω ( db) lg [ P( ω) ] [ Q( ω) ] lg ( ω) arcg Q P ( ω) ( ω) arcg 9 Tω arcg ( Tω) Wykrey ych charakeryyk przedawia ryunki. b) i c). o (.57) Srona 7

74 ROZDZIAŁ Ryunek.. Charakeryyki częoliwościowe dla rzeczywiego elemenu róŝniczkującego: a) Charakeryyka ampliudowo-fazowa, b) logarymiczna ampliudowa, c) logarymiczna fazowa Przykład.8 Schema elekrycznego elemenu auomayki złoŝonego z oporności i indukcyjności podano na ryunku.. Wielkością wejściową je napięcie U, wyjściową napięcie U. Wyznaczyć ranmiancję operaorową. Ryunek.. Schema elekrycznego elemenu auomayki Rozwiązanie Równanie obwodu elekrycznego je U ( ) U ( ) U ( ) R ( ) i( )R U R L,, Srona 74

75 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI ( ) ( ) U ( ) di di U L ( ) L U ( ) d d L. Sąd ( ) i( ) R U ( ) U, RóŜniczkując powyŝze równanie orzymamy G ( ) ( ) di( ) du ( ) ( ) du R du R U ( ) d d d L, d ( ) T ( ) R R L T U. U L L R L T. R T je ałą czaową rzeczywiego elemenu róŝniczkującego. Orzymana zaleŝność na ranmiancję doyczy ygnałów jednoimiennych. Przykład.9 Schema łumika hydraulicznego ze pręŝyną jako elemenu auomayki podano na ryunku.. Wielkością wejściową je przemiezczenie x cylindra, wyjściową je przemiezczenie y łoczyka łumika. Wyznaczyć ranmiancję operaorową przyjmując, Ŝe naęŝenie przepływu oleju przez opór R je Q k p. Ryunek.. Schema elemenu auomayki złoŝonego z łumika hydraulicznego i pręŝyny Srona 75

76 ROZDZIAŁ Rozwiązanie Ugięcie pręŝyny o y powoduje róŝnicę ciśnień ( ) y p k, A Z równania ciągłości rugi orzymamy p na oporze R ( ) d y A [ x( ) y( ) ] pk kk, d A Wprowadzając do powyŝzego równania rachunek operaorowy oraz uwzględniając zerowe warunki począkowe orzymamy k k k k Ax A A ( ) Ay( ) y( ) y( ) A Tranmiancja operaorowa badanego układu je G ( ) ( ) A A T ( ) k k T y. x A kk A A A kk A T. k k T je ałą czaową rzeczywiego elemenu róŝniczkującego. Orzymana zaleŝność na ranmiancję doyczy akŝe ygnałów jednoimiennych..7. Elemeny opóźniające Srona 76 Równanie elemenu opóźniającego ma poać kąd wynika ranmiancja G y ( ) u( τ ) ( ) y u ( ) ( ). (.58) τ e. (.59)

77 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Ryunek.4. Wymuzenie kokiem jednokowym ( ) i odpowiedź y( ) ( ) u ( ) u u (a) τ elemenu opóźniającego (b) Z podanych równań wynika, Ŝe elemen opóźniający nie zniekzałca ygnału wejściowego, lecz jedynie przeuwa go w czaie. Charakeryyka ayczna będzie, zaem y u. (.6) a odpowiedź na wymuzenie kokowe będzie akim amym ygnałem kokowym przeunięym w czaie o wielkość opóźnienia τ. Wykrey wymuzenia i odpowiedzi kokowej pokazano na ryunku.4. Elemenami opóźniającymi ą w zczególności urządzenia łuŝące do przemiezczania ubancji (przenośniki aśmowe), jeŝeli miejce wprowadzania ygnału wejściowego u i miejce odbioru ygnału wyjściowego y znajdują ię w pewnej odległości od iebie. Tranmiancję widmową wyznaczymy z równania (.59), a więc G ( jω) y u ( jω) ( jω) τjω e. (.6) jω Ze wzoru Eulera wynika e coωτ j inωτ, ąd orzymamy część rzeczywią i urojoną ranmiancji widmowej, czyli ( ω) coωτ, Q( ω) inωτ P. (.6) Ze wzorów ych wynika, Ŝe wykre charakeryyki ampliudowofazowej przedawionej na ryunku.5 je okręgiem o promieniu r. Srona 77

78 ROZDZIAŁ Ryunek.5. Charakeryyka ampliudowo-fazowa elemenu opóźniającego Logarymiczna charakeryyka ampliudowa je niezaleŝna od częości i równa ię zero. Wynika o z naępującego wzoru L ( db) lg [ P( )] [ Q( ω) ] lg ω, (.6) Inereujący je przebieg logarymicznej charakeryyki fazowej. ZaleŜy ona od czau opóźnienia i częości kołowej. Obliczamy ją ze wzoru ϕ ( ω) ( ω) ( ω) Q arc g arcg( gωτ ) ωτ (.64) P Wykrey ych charakeryyk ą pokazane na ryunku.6. Ryunek.6. Logarymiczne charakeryyki elemenu opóźniającego: a) ampliudowa, b) fazowa Srona 78

79 WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE PODSTAWOWYCH LINIOWYCH ELEMENTÓW AUTOMATYKI Przykład. Wyznaczyć ranmiancję elemenu opóźniającego, kórego chema przedawia ryunek.7. Rozwiązanie Ryunek.7. Schema przenośnika aśmowego Rozparzmy układ regulacji grubości warwy maeriału na przenośniku aśmowym przedawionym na ryunku.7. Zmiana grubości warwy zachodzi w zbiorniku zaypowym. Zmiana a wiąŝe ię ze zmianą may ranporowanego maeriału w czaie i zarejerowana je przez czujnik, zaem l τ, v m ( ) m ( τ ) m k, Na podawie wierdzenia o przeunięciu rzeczywiym L τ [ f ( τ )] e F( ), orzymamy G ( ) ( ) ( ) m m τ e. k Srona 79

80 ROZDZIAŁ Srona 8

81 ` 4 Opi układów auomayki za pomocą chemaów rukuralnych

82 ROZDZIAŁ Schemay konrukcyjne i blokowe (rukuralne) Srona 8 W prakyce do złoŝonych dynamicznych układów auomayki najczęściej ouje ię chemay blokowe pokazujące rukurę dowolnego elemenu lub układu auomayki w poaci bloków. Dla kaŝdego z bloków je określony związek między ygnałem wejściowym i wyjściowym oraz kierunek przepływu ygnałów w poaci ranmiancji. Przekzałcając złoŝony chema blokowy układu, moŝna zredukować go do jednego bloku o ranmiancji zaępczej całego układu. Elemenarne bloki zawierają pozczególne fragmeny lub kładowe elemeny układu auomayki ą ryowane w poaci prookąów, z umiezczonymi wewnąrz informacjami doyczącymi ich właściwości w poaci ranmiancji. Zaadę działania układu auomayki moŝna przedawić na chemacie konrukcyjnym i na jego podawie zbudować chema rukuralny. Schema konrukcyjny budujemy opierając ię na konrukcji układu (obieku) poprzez przedawienie pozczególnych jego elemenów i ich połączeń. NaleŜy jednak pamięać, aby wprowadzając uprozczenia konrukcyjne nie zmienić działania badanego układu. Na podawie chemau konrukcyjnego moŝemy zbudować chema rukuralny (blokowy) układu. Schema blokowy pokazuje poób łączenia pozczególnych elemenów układu, przebiegi i zmianę ygnałów. Schemay blokowe moŝemy podzielić na chemay funkcjonalne i chemay ze znanymi ranmiancjami. Schemay funkcjonalne pokazują przemiezczanie ię ygnałów między pozczególnymi blokami. Kierunek przepływu ygnałów wynika ze chemau konrukcyjnego. W kaŝdym fizycznym układzie je przynajmniej jeden elemen jednokierunkowy, w kórym ygnał moŝe przechodzić w określonym kierunku wyznaczającym kierunek przepływu dla całego układu np. w iłowniku hydraulicznym. W ym układzie ygnał moŝe ylko przechodzić z rozdzielacza do cylindra iłownika. Aby ze chemau funkcjonalnego zbudować chema rukuralny z ranmiancjami, naleŝy określić, kóra z wielkości je wielkością regulowaną. Naępnie naleŝy ualić jej warość zadaną i elemen wprowadzający ę warość oraz znaleźć dla kaŝdego elemenu zaleŝności funkcjonalne między wielkościami wyjściowymi i wejściowymi.

83 OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH Sporządzanie chemaów blokowych elemenów lub układów auomayki na podawie ich chemaów konrukcyjnych prawia zwykle począkowo wiele rudności. Przyczyną ego je konieczność dokładnego zrozumienia działania rozparywanego urządzenia lub układu, rozróŝnienia wejść i wyjść, a zaem kolejności oddziaływania jednych zepołów na drugie, uwzględnienia naury fizycznej wyępujących ygnałów id. Proe elemeny przedawiane ą na chemaach blokowych przez jeden blok prooką, wewnąrz kórego wpiuje ię ranmiancję lub wryowuje ię charakeryykę danego elemenu, najczęściej odpowiedź kokową dla elemenów liniowych lub charakeryykę ayczną dla elemenów nieliniowych. ZłoŜone elemeny lub układy mają włane chemay blokowe, w kórych pozczególne bloki reprezenują z reguły kolejne zepoły (elemeny podawowe) wchodzące w kład elemenu złoŝonego. Schemay blokowe układów, zwłazcza zawierających złoŝone elemeny mogą być rozbudowane. Dla zwiękzenia ich czyelności częo przekzałcamy chema złoŝonych elemenów do poaci pojedynczego bloku i dopiero wówcza wawiamy je do chemau całego układu. PoniewaŜ w kaŝdym układzie wyępuje, co najmniej jeden elemen kierowany, zn. elemen o działaniu jednokierunkowym o kierunek przepływu ygnałów je jednoznaczny. Węzły informacyjne (zaczepowe) przedawiają na chemaach blokowych urządzenia, kóre pozwalają pobierać ę amą informację do kilku gałęzi układu auomayki. Symbol graficzny podawowego węzła informacyjnego, w kórym pobiera ię informację, co najmniej do dwóch gałęzi układu (wyjście), je naępujący Ryunek 4.. Przykład węzła informacyjnego Przykładem węzła informacyjnego moŝe być zbiornik ciśnieniowy, w kórym znajduje ię medium o ciśnieniu p, odprowadzane rurociągiem do dalzych części inalacji. JeŜeli załoŝymy, Ŝe w całym zbiorniku i wychodzących z niego przewodach panuje o amo ciśnienie p, o orzymany ypowy przypadek węzła informacyjnego, z kórego wychodzi yle gałęzi o ygnałach p, ile je wyprowadzeń ego ciśnienia ze zbiornika. Srona 8

84 ROZDZIAŁ 4 Drugim przykładem moŝe być łoczyko iłownika hydraulicznego, na kórego wejściu je zainalowane urządzenie wykonujące ruch poępowy. Przeunięcie łoczyka przed łokiem jak i pod łokiem związanym na zywno z łoczykiem je akie amo. Węzły umacyjne reprezenują na chemaach blokowych urządzenia, w kórych zachodzi algebraiczne umowanie ygnałów (z uwzględnieniem znaków). Symbol graficzny podawowego węzła umacyjnego, w kórym zachodzi umowanie dwóch ygnałów, je naępujący: Ryunek 4.. Przykład węzła umacyjnego W elemencie lub urządzeniu reprezenowanym przez en węzeł realizowany je związek x u y. W chemaach blokowych węzły informacyjne i umacyjne, anowiące z elemenami decydującymi o zaleŝnościach dynamicznych wpólną część konrukcyjną, zawze ryowane ą poza blokami. 4.. Przekzałcenia chemaów blokowych Srona 84 Pierwona poać chemau blokowego je niekiedy doyć uwikłana i nie moŝna bezpośrednio zaoować do niej Ŝadnego ze wzorów określających ranmiancje połączeń podawowych. Przekzałcenie chemaów blokowych umoŝliwia określenie ranmiancji zaępczej (wypadkowej) całego układu auomayki, akŝe liniowego równania róŝniczkowego opiującego cały układ. MoŜemy o zrobić dzięki emu, Ŝe układy liniowe ą jednorodne i addyywne. Przekzałcone układy muzą być układami równowaŝnymi w odnieieniu do zaleŝności funkcyjnych między wielkością wyjściową a wejściową. Układy, kórych ranmiancje ą akie ame nazywamy układami równowaŝnymi. Biorąc pod uwagę powyŝzą definicję moŝemy przekzałcić układy blokowe do proych i przejrzyych chemaów ych układów. Przy rozbudowanych chemaach blokowych, wzykie rodzaje wyępujących połączeń

85 OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH w układach erowania w zaleŝności od poobu oddziaływania przepływających ygnałów moŝna prowadzić do połączeń zeregowych, równoległych i ze przęŝeniem zwronym. PoniŜej omówimy przekzałcanie ych podawowych połączeń w układy równowaŝne. Szeregowe (kakadowe) połączenie elemenów przedawia ryunek 4.. Je o akie połączenie elemenów, w kórym ygnał wyjściowy jednego bloku je jednocześnie ygnałem wejściowym do naępnego. Ryunek 4.. Schema zeregowego połączenia bloków: a) chema pierwony, b) chema równowaŝny Z definicji ranmiancji układu wynika G ( ) ( ) ( ) ( ) b( ) a( ) ( ) a( ) u( ) n y y G ( ) G( ) G( ) Gi ( ). (4.) u b z Π i Wynika ąd, Ŝe ranmiancja zeregowego połączenia elemenów rów- G i pozczególnych elemenów. na ię iloczynowi ranmiancji ( ) Równoległe połączenie elemenów przedawia ryunek 4.4. Je o akie połączenie elemenów, w kórym ygnał wejściowy działa równocześnie na kilka bloków, a ygnał wyjściowy akiego połączenia je algebraiczną umą ygnałów wyjściowych z pozczególnych bloków. Srona 85

86 ROZDZIAŁ 4 Ryunek 4.4. Schema równoległego połączenia bloków: a) chema pierwony, b) chema równowaŝny Z równania węzła umacyjnego wynika ( ) a( ) b( ) c( ) y zaś z definicji ranmiancji układu mamy G z G ( ) y u ( ) ( ) a ( ) b( ) c( ) u( ) a u ( ) G ( ) G ( ) Gi ( ) n i ( ) ( ) G i ( ) ranmiancje elemenów kładowych., (4.) b u ( ) ( ) c u ( ) ( ). (4.) Połączenie ze przęŝeniem zwronym dodanim lub ujemnym przedawia ryunek 4.5. Je o połączenie elemenów, w kórym ygnał wyjściowy z bloku w orze głównym oddziałuje wecznie na ygnał wejściowy ego bloku. Srona 86

87 OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH Ryunek 4.5. Schema blokowy połączenia ze przęŝeniem zwronym dodanim i ujemnym: a) chema pierwony, b) chema równowaŝny SprzęŜenie zwrone je ujemne, jeŝeli równanie węzła umacyjnego przyjmuje poać ( ) u( ) b( ) u( ) a( ) b( ) a Z definicji ranmiancji układu wynika G z ( ) ( ) ( ) ( ) y( ) ( ) a( ), (4.4) y y( ) y( ) a G( ), (4.5) u( ) a( ) b( ) b G ( ) G( ) y W przypadku dodaniego przęŝenia zwronego, równanie węzła umacyjnego przyjmuje poać a ( ) u( ) b( ) u( ) a( ) b( ), (4.6) Fizycznie znaczy o, Ŝe zmiana wielkości regulowanej powodowana zewnęrznym zakłóceniem wywołuje aką reakcję układu, kóra wzmacnia kuki ego zakłócenia. Poępując analogicznie jak powyŝej przy uwzględnieniu zaleŝności (4.6) orzymamy G z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G ( ) y G, (4.7) u G Ogólny wzór na ranmiancję zaępczą dla połączenia ze przęŝeniem zwronym je Srona 87

88 ROZDZIAŁ 4 G z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G ( ) y G. (4.8) u m G gdzie G ( ) ranmiancja układu w orze głównym, G ( ) ranmiancja układu w orze przęŝenia zwronego, Znak w mianowniku równania (4.8) doyczy ujemnego przęŝenia zwronego, a znak dodaniego przęŝenia zwronego. JeŜeli G ( ) i cały ygnał wyjściowy je podawany na wejście, o akie przęŝenie nazywamy przęŝeniem bezpośrednim inaczej jednokowym. Wówcza G z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y G. (4.9) u m G JeŜeli w orze przęŝenia zwronego wyępuje człon proporcjonalny G ( ) k, o akie przęŝenie nazywamy przęŝeniem zywnym. JeŜeli w orze przęŝenia zwronego wyępuje człon róŝniczkujący G ( ) T, o orzymujemy układ z podanym przęŝeniem elaycznym. Dodanie podane przęŝenie zwrone powoduje przypiezenie proceu, zaś ujemne powalnia proce. Korzyając z definicji ranmiancji zaępczej oraz z równań węzłów umacyjnych moŝna określić (wyznaczyć) ranmiancje podawowych układów równowaŝnych. Z układów ych zbudowane ą dowolne układy auomayki. Takie podawowe układy ą zeawione w ablicy 4.. Dla elemenów o wielu wejściach i wyjściach (wielowymiarowych) odpowiednie zaleŝności mają idenyczną poać, jedynie zamia ranmiancji G() wyępują wzędzie macierze ranmiancji G(). W iloczynie (4.) nie wolno zmieniać kolejności macierzy. Przekzałcenia prowadzające chema blokowy do poaci pozwalającej na zaoowanie wzorów (4.) i (4.8) polegają na przeunięciach węzłów informacyjnych lub umacyjnych. W kaŝdym przypadku przekzałcania chemau blokowego mui być pełniony warunek, Ŝe w części układu nie podlegającej przekzałceniu, Ŝadna wielkość nie ulega zmianie. Oznacza o, Ŝe wejścia i wyjścia przekzałconej części chemau muzą pozoać nie zmienione. Srona 88

89 OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH Reguły kilku najczęściej oowanych przekzałceń chemaów blokowych lub ich części zawierających wyłącznie elemeny liniowe zeawiono w ab. 4.. Przekzałcenia nr do 4 polegają na przeunięciach węzłów informacyjnych lub umacyjnych w przód lub w ył, zn. z wejścia bloku o ranmiancji G() na jego wyjście lub odwronie. Przekzałcenia e pozoają waŝne równieŝ dla elemenów o wielu wejściach i wyjściach, z ym zarzeŝeniem, Ŝe przekzałcenia nr i 4 ą wykonalne ylko dla macierzy kwadraowych nieoobliwych (o wyznaczniku róŝnym od G. zera), gdyŝ ylko wówcza inieje macierz odwrona [ ( )] Tablica 4. Srona 89

90 ROZDZIAŁ 4 cd. ablicy 4. Przekzałcenia nr 5 i 6 pokazują, Ŝe moŝna zmieniać kolejność węzłów jednego rodzaju (informacyjnych lub umacyjnych), a nr 7 i 8 podają zaady zmiany kolejności węzłów róŝnego rodzaju, zn. przeuwania węzła informacyjnego przed umacyjny lub odwronie. NiŜej podane zoaną przykłady wyznaczania ranmiancji złoŝonych układów auomayki na podawie ich chemaów blokowych. Wybrano akie przypadki, w kórych konieczne ą obydwa eapy poępowania, zn. najpierw doprowadzenie chemau za pomocą przekzałceń podanych w abl. 4. do poaci połączeń podawowych, a naępnie zwijanie ych połączeń za pomocą zaleŝności (4.) do (4.8), oraz do poaci pozwalającej na wyznaczenie ranmiancji całego układu. Srona 9

91 OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH Przykład 4. Wyznaczyć ranmiancję zaępczą układu auomayki, kórego chema blokowy przedawia ryunek 4.6a) Rozwiązanie Do wyznaczania ranmiancji zaępczych układów auomayki oujemy wzory na połączenia zeregowe, równoległe, dodanie i ujemne przęŝenia zwrone, węzły informacyjne i umacyjne, odpowiednie operacje doyczące przeuwania węzłów, a więc zaępowania układów pierwonych układami równowaŝnymi (wórnymi). Ryunek 4.6. Wyznaczanie ranmiancji zaępczej ze chemau funkcjonalnego układu auomayki Przykład 4. Wyznaczyć ranmiancję zaępczą układu auomayki, kórego chema blokowy przedawia ryunek 4.7 a) Srona 9

92 ROZDZIAŁ 4 Rozwiązanie Srona 9 Ryunek 4.7. Wyznaczanie ranmiancji zaępczej ze chemau funkcjonalnego układu auomayki Przykład 4. Wyznaczyć ranmiancję zaępczą układu auomayki, kórego chema blokowy przedawia ryunek 4.8 a) Rozwiązanie Przekzałcamy kolejno na chemay równowaŝne

93 OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH Ryunek 4.8. Wyznaczanie ranmiancji zaępczej ze chemau funkcjonalnego układu auomayki Przykład 4.4 Wyznaczyć ranmiancję zaępczą układu auomayki, kórego chema blokowy przedawia ryunek 4.9 a) Rozwiązanie Przekzałcamy chema funkcjonalny kolejno na chemay równowaŝne Srona 9

94 ROZDZIAŁ 4 Ryunek 4.9. Wyznaczanie ranmiancji zaępczej ze chemau funkcjonalnego układu auomayki Srona 94

95 OPIS UKŁADÓW AUTOMATYKI ZA POMOCĄ SCHEMATÓW STRUKTURALNYCH Przykład 4.5 Wyznaczyć ranmiancję zaępczą układu auomayki, kórego chema blokowy przedawia ryunek 4. a) Ryunek 4.. Wyznaczanie ranmiancji zaępczej ze chemau funkcjonalnego układu auomayki Srona 95

96 ROZDZIAŁ 4 Rozwiązanie Przekzałcamy kolejno na chemay równowaŝne. Aby moŝna było oować wzory podawowe doyczące przekzałcania układu auomayki do coraz prozej poaci naleŝy chema pierwony przedawiony na ryunku 4.a) zaąpić innym poprzez wyznaczenie G z (ryunek 4. b). ranmiancji ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b x Gz ( ) G ( ) a x a G ( ) G G ( ) ( ) Dalze przekzałcenia przedawiają ryunki 4. c), d), e) i f) Srona 96

97 ` 5 Rodzaje regulaorów oraz ich charakeryyki

98 ROZDZIAŁ Wprowadzenie W ym rozdziale przedawimy ranmiancje oraz charakeryyki czaowe i częoliwościowe podawowych liniowych regulaorów o działaniu ciągłym (algorymów erowania) wykorzyywanych w przemyłowych układach erowania. Przemyłowe układy erowania zawierają regulaory elekroniczne, hydrauliczne i pneumayczne. Zaoowanie regulaora ze przęŝeniem zwronym w układzie regulacji powinno powodować opymalną pracę ego układu. Regulaor je urządzeniem formującym ygnał erujący według określonego algorymu, wchodzącym w kład układu auomaycznej regulacji, kóry ma dwa wejścia. Jedno łuŝy do wprowadzania informacji o bieŝącej warości wielkości regulowanej y(), drugie łuŝy do wprowadzania informacji o warości zadanej w(), ak jak na ryunku 5. a). Ryunek 5.. Schemay blokowe: a) układu regulacji auomaycznej, b) fragmenu układu z regulaorem R o ranmiancji G(), O obiek, R - regulaor Uyuowanie regulaora w układzie regulacji auomaycznej pokazano na powyŝzym ryunku. Sygnałem wyjściowym regulaora je ygnał erujący u(), ygnałem wejściowym uchyb regulacji e() (ryunek 5.a). Aby regulaor mógł wypełnić woje zadanie o mui zmierzyć wielkość Srona 98

99 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI regulowaną, porównać jej warość z warością zadaną w() i wyworzyć uchyb regulacji e() oraz przeworzyć ygnał uchybu w ygnał erujący. W konkrenych rozwiązaniach konrukcyjnych regulaorów przyrządy e realizują oprócz algorymów wiele dodakowych funkcji. W zczególności w regulaorach wyznaczane ą zawze odchyłki regulacji e()y()-w() lub e()w()-y() (działanie proe lub odwrone) oraz generowany je wewnęrzny ygnał warości zadanej w(). 5.. Podawowa klayfikacja regulaorów Regulaor jako jeden z podawowych elemenów układu auomaycznej regulacji, decyduje o charakerze i właściwości całego układu. Zadania i wymagania awiane układowi mają znaczący wpływ na dobór ypu regulaora. Przemyłowy układ erowania (ryunek 5.) zawiera: regulaor z wbudowanym algorymem regulacji, elemen wykonawczy, obiek, elemen pomiarowy. Ryunek 5.. Regulaor w układzie auomaycznej regulacji gdzie ( ) i z ( ) z ą zakłóceniami (zaburzeniami) zewnęrznymi. Srona 99

100 ROZDZIAŁ 5 e o nikim poziomie mocy, wzmacniając go do wyarczająco wyokiego poziomu. Sygnał wyjściowy z regulaora u ( ) podawany je do elemenu wykonawczego, kórym moŝe być ilnik elekryczny, hydrauliczny, iłownik hydrauliczny, zawór. Elemen pomiarowy (czujnik) przewarza zmienną wyjściową y ( ) na inną odpowiednią zmienną np. przemiezczenie, ciśnienie napięcie, iła, ak, aby mogła być oowana do porównania ygnału wyjściowego z ygnałem wejściowym zadającym. Sygnał wchodzący do regulaora mui być w ych amych jednokach, co ygnał od przęŝenia zwronego z czujnika lub elemenu pomiarowego. Regulaor pobiera ygnał uchybu ( ) Według poobu budowy uwzględniającej energię zailania, regulaory dzielimy na dwie podawowe grupy: regulaory o działaniu bezpośrednim (nie korzyające z energii pomocniczej), regulaory o działaniu pośrednim (korzyające z energii pomocniczej), czyli wymagające elemenu wykonawczego. W regulaorach o działaniu bezpośrednim (nie korzyające z energii pomocniczej) energia porzebna do oddziaływania na obiek najczęściej je czerpana z urządzenia pomiarowego. Sanowi o ione uprozczenie konrukcji regulaora. Regulaory o działaniu pośrednim, korzyające z energii pomocniczej, czyli wymagające elemenu wykonawczego dzielimy według rodzaju nośnika energii, uŝyego do zailania znajdującego ię w regulaorze wzmacniacza. Najczęściej ą o regulaory elekroniczne, rzadziej pneumayczne i hydrauliczne. Regulaory e wykorzyują jako źródła mocy prąd elekryczny, pręŝone powierze, olej pod ciśnieniem. Ze względu na rodzaj przewarzanych w regulaorze ygnałów regulaory dzielimy na: regulaory analogowe, regulaory cyfrowe, regulaory działania nieciągłego (impulowe, przekaźnikowe) Srona

101 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI Regulaory przekaźnikowe przewarzają ciągły ygnał wejściowy uchybu regulacji na kokowy ygnał naawczy, kóry pojawia ię przy określonych warościach uchybu regulacji. W regulaorach impulowych (praca wycieraczek w pojazdach mechanicznych) ciągły ygnał uchybu regulacji je przewarzany na zereg krókorwałych impulów wyjściowych oddziaływujących na obiek regulowany w określonych i powarzających ię chwilach czaowych. Podziałem podawowym, określającym właściwości dynamiczne regulaorów je ich ranmiancja operaorowa. Tak, więc ze względu na właściwości dynamiczne regulaory dzielimy na naępujące rodzaje: regulaory proporcjonalne (P), regulaory całkujące (I), regulaory proporcjonalno-całkujące (PI), regulaory proporcjonalno-róŝniczkujące (PD), regulaory proporcjonalno-całkująco-róŝniczkujące (PID), Ogólną rukurę regulaora PID (równieŝ cyfrowego) da ię prowadzić do równoległego połączenia rzech członów podawowych P, I, oraz D, kórą przedawia ryunek Regulaory proporcjonalne W regulaorze pokazanym na ryunku 5. z proporcjonalnym algorymem erowania (P), zaleŝność (prawo regulacji) ygnału wyjściowego u() od wejściowego e() (uchybu regulacji) je naępująca u ( ) k e( ). (5.) Po zaoowaniu ranformacji Laplace a orzymamy ranmiancję operaorową regulaora P, zaem p ( ) k p ( ) u u ( ) k pe( ) G( ). (5.) e Srona

102 ROZDZIAŁ 5 gdzie k p je wzmocnieniem proporcjonalnym. Ryunek 5.. Schema blokowy fragmenu układu regulacji auomaycznej z regulaorem P o ranmiancji G() Regulaor proporcjonalny ma ałą ranmiancję i je zawze wzmacniaczem z naawianym wzmocnieniem. Czaami zamia wpółczynnika wzmocnienia, podaje ię zw. zakre proporcjonalności wyraŝony w procenach, czyli P % k p Charakeryykę czaową oraz charakeryyki częoliwościowe orzymuje ię analogiczne jak w rozdziale. o znaczy naleŝy nadać wielkości wejściowej (uchybowi regulacji e()) ygnał w poaci koku jednokowego. Wyznaczamy charakeryykę widmową regulaora P i orzymujemy wykrey charakeryyk częoliwościowych pokazanych na ryunku 5.4. Ryunek 5.4. Charakeryyki regulaora P: a) czaowa, b) ampliudowofazowa, c) logarymiczna ampliudowa, d) logarymiczna fazowa Srona

103 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI 5.4. Regulaory całkujące W regulaorze całkowym I przyro warości ygnału wyjściowego u() zmienia ię proporcjonalnie do ygnału uchybu e(), czyli prawo regulacji je naępujące lub u du d ( ) ki e( ) e( ), (5.) T ( ) k e( ) d e( )d i i T. (5.4) Sąd ranmiancja regulaora całkowego (ryunek 5.5) ma poać G ( ) i ( ) ki ( ) u. (5.5) e lub G ( ) ( ) ( ) T u. (5.6) e i gdzie k i je ałą naawną, czaem zdwojenia, k i. T i T i je ałą czaową całkowania zwaną nazywa ię zybkością działania całkującego Ti Schema blokowy fragmenu układu z regulaorem I przedawiony je na ryunku 5.5. Ryunek 5.5. Schema blokowy fragmenu układu regulacji auomaycznej z regulaorem I o ranmiancji G() Srona

104 ROZDZIAŁ 5 Zaoowanie regulaora I abilizuje pracę układu i zmniejza uchyb ualony. Zapa abilności je duŝy, ale nieznacznie pogarzają ię właności dynamiczne poprzez obniŝenie górnej granicy pama przenozenia. W regulaorze P, w odpowiedzi na wejściowy ygnał kokowy wyępuje na wyjściu uchyb w poaci ygnału ualonego. Uchyb aki moŝna wyeliminować, jeŝeli do regulaora dodamy algorym erowania całkowego. JeŜeli warość uchybu e je ała w czaie T i, o warość odpowiedzi u() podwoi ię po upływie ego czau. Odpowiedź na wymuzenie kokowe e ( ) ( ) e orzymamy w poób idenyczny jak w rozdziale.5. Charakeryyki czaowe i częoliwościowe regulaorów I ą zeawione na ryunkach 5.6 i 5.7. Ryunek 5.6. Charakeryyka czaowa elemenu całkującego: a) opianego wzorem (5.5), b) opianego wzorem (5.6) Aby uchyb w anie ualonym dąŝył do zera (był równy zero), o w orze głównym lub w regulaorze mui być całkowanie. Sprowadzenie uchybu do zera je najwaŝniejzą cechą regulaora I (ryunek 5.8). Uchyb połoŝenia inieje wedy, gdy układ erowania połoŝeniem pobudzony ygnałem kokowym w anie ualonym ( ) będzie wykazywał ały uchyb (ryunek 5.8 b). W niekórych układach erowania nie moŝe być ałego uchybu np. or lou amolou, rakiey ip. Srona 4

105 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI Ryunek 5.7. Charakeryyki częoliwościowe regulaora I: a) ampliudowo-fazowa, b) logarymiczna ampliudowa, c) logarymiczna fazowa Ryunek 5.8. Iluracja uchybu połoŝenia: a) brak uchybu połoŝenia, b) inieje uchyb połoŝenia 5.5. Regulaory proporcjonalnocałkujące Właściwości regulaorów (PI) ą połączeniem właściwości regulaorów P oraz I. Schema blokowy fragmenu układu z regulaorem PI przedawiony je na ryunku 5.9 oraz jego ogólna rukura na ryunku 5.. Srona 5

106 ROZDZIAŁ 5 Ryunek 5.9. Schema blokowy fragmenu układu regulacji auomaycznej z regulaorem PI o ranmiancji G() Ryunek 5.. Ogólna rukura regulaora PI Algorym pracy akiego regulaora definiujemy wzorem u k p, (5.7) T p ( ) k e( ) e( )d Soując ranformację Laplace a orzymamy u p ( ) k e( ) e( ) a ranmiancja operaorowa regulaora G ( ) i k p, (5.8) T u e ( ) ( ) k Ti Odpowiedź na wymuzenie kokowe je naępująca u u ( ) k p e i p. (5.9) Ti, (5.) ( ) L [ u( ) ] k e p Ti. (5.) Srona 6

107 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI Charakeryyka czaowa na podawie równania (5.) pokazana je na ryunku 5.a). Z powyŝzego równania wynika, Ŝe przy T warość ( ) k e p u z czego wynika pojęcie czau zdwojenia T i po upływie, kórego kładowa działania całkującego równa ię kładowej działania proporcjonalnego. Charakeryyki częoliwościowe orzymamy z ranmiancji widmowej wykorzyując wzór (5.9), a więc G Sąd część rzeczywia i urojona p. (5.) ( jω) k Ti jω p P ( ω ) k p, Q( ω). k Tω Charakeryyki logarymiczne ampliudową i fazową orzymamy ze wzorów i i ϕ ( db) lg [ P[ ω ] [ Q( ω) ] L ( lg k p lg Ti ω lgtiω ). ( ω) Q arcg P ( ω) ( ω) o 9 arcgtω. i arcg Tiω (5.) (5.4) Na podawie wzorów (5.) i (5.4) zbudowano charakeryyki częoliwościowe regulaora PI (ryunek 5.). Zmiana warości k p wpływa na część proporcjonalną, jak i na część całkową algorymu erowania. Srona 7

108 ROZDZIAŁ 5 Przykład 5. Ryunek 5.. Charakeryyki regulaora PI: a) czaowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymiczna ampliudowa, d) logarymiczna fazowa Na podanym na ryunku 5. układzie auomayki w rezonanie ounek ygnału wejściowego do wyjściowego wynoi 5. Przy T i T określić wzmocnienie regulaora PI oraz dla o ϕ 45 wyznaczyć częość. Ryunek 5.. Schema układu auomayki Srona 8

109 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI Rozwiązanie Tranmiancja zaępcza układu auomayki je G z ( ) G G Tranmiancja regulaora PI Zaem G z ( ) G reg ob ob ( ) ( ) G ( ) reg y u ( ) k T p i T T T k p T Ti Dla rezonanu T >>, T T, ( ) ( ) Czyli wpółczynnik wzmocnienia regulaora k p je G z k ( ). k 4 p p. T ( T )( k ) Aby wyznaczyć częość, naleŝy przejść z ranmiancji operaorowej na widmową, zaem G z ( jω) Tω ( k ) ( jtω ) p j T ω ( jtω ) ( jtω ) ( k ) ( T ω ) jtω Tω ( )( ) ( )( ). k T ω k T ω p Część rzeczywia i urojona ranmiancji widmowej P ( ω) T ω ( k )( T ω ) p p, p p Tω j Srona 9

110 ROZDZIAŁ 5 Q ( ω) Częość wyznaczamy ze wzoru Tω ( k )( T ω ) p ( ω) o an 45 ( ω) Tω T an ϕ Q ω. P Regulaory proporcjonalnoróŝniczkujące Regulaor PD wykonuje operacje działania proporcjonalnego i róŝniczkującego. Podcza róŝniczkowania warość wielkości wyjściowej u() je proporcjonalna do zmian uchybu e() regulacji. Schema blokowy fragmenu układu z regulaorem PD przedawia ryunek 5. oraz jego ogólną rukurę ryunek 5.4. Ryunek 5.. Schema blokowy fragmenu układu regulacji auomaycznej z idealnym regulaorem PD o ranmiancji G() Srona Ryunek 5.4. Ogólna rukura idealnego regulaora PD Dla ego ypu regulaora prawo regulacji moŝemy zapiać w poaci u ( ) k e( ) ( ) de p k ptd. (5.5) d

111 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI gdzie T d je czaem wyprzedzenia ygnału wyjściowego regulaora PD w ounku do ygnału wyjściowego regulaora P przy zakłóceniu liniowym i ych amych warościach k. Soując ranformację Laplace a orzymamy wzór na ranmiancję operaorową G ( ) ( ) ( ) p u k p ( Td ), (5.6) e Aby uzaadnić nazwę T d naleŝy zbadać odpowiedź regulaora PD na za- kłócenie liniowo naraające e ( ). Sąd ( ) e, zaem na podawie wzoru (5.6) orzymamy u ( ) G( ) e( ) k p( Td ) k ptd k p, (5.7) czyli z oryginału funkcji ( ) u orzymamy charakeryykę czaową jako odpowiedź regulaora PD na wymuzenie liniowe (ryunek 5.5) Ryunek 5.5. Odpowiedź idealnego regulaora PD na zakłócenie liniowo naraające W prakyce idealny elemen róŝniczkujący nie wyępuje. Regulaor PD generuje odpowiedź z wyprzedzeniem zn. wyprzedza regulaor P o T d ekund dla wzraającego liniowo błędu e ( ) (ryunek 5.5). Cza wyprzedzenia powoduje wzro warości ygnału w ounku do regulaora P i zybze prowadzenie obieku do połoŝenia równowagi. Je o waŝne przy erowaniu obiekami o duŝej inercji. Sąd regulaory PD mają zerokie zaoowanie. Srona

112 ROZDZIAŁ 5 Odpowiedź na kok jednokowy o dowolnej warości (wymuzenie e e orzymamy z ranformay (wzór 5.6) kokowe) ( ) ( ) kórej oryginał przyjmuje poać u ( ) G( ) e( ) k e ( T ), (5.8) u p ( ) k e [ T δ ( ) ] p d d. (5.9) Je o równanie charakeryyki czaowej, kórą przedawia ryunek 5.6.a). Charakeryyki częoliwościowe orzymamy z ranmiancji widmowej wykorzyując wzór (5.6), a więc G Sąd część rzeczywia i urojona ( jω) k ( T jω). (5.) p P ( ω ) k p, Q ( ω) k p Tdω. Charakeryyki logarymiczne ampliudową i fazową orzymamy ze wzorów L ( db) lg [ P[ ω ] [ Q( ω) ] lg k T ω. (5.) ϕ ( ω) ( ω) ( ω) d Q arcg arcgtdω. (5.) P Na podawie wzorów (5.-5.) zbudowano charakeryyki częoliwościowe regulaora PD (ryunek 5.6). WyŜej opiany regulaor był pozbawiony inercyjności, czyli je regulaorem idealnym, kórego w rzeczywiych konrukcjach nie moŝna zrealizować. W rzeczywiości urządzenia mają bezwładność (inercyjność), dlaego opi regulaora rzeczywiego modelujemy poprzez przybliŝenie opiem modelu zbliŝonego do inercyjności pierwzego rzędu. Zaem ranmiancja akiego regulaora przyjmuje poać p d Srona

113 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI G ( ) u e ( ) ( ) Td k p, (5.) T Ryunek 5.6. Charakeryyki czaowe i częoliwościowe idealnego regulaora PD: a) czaowa z idealnym elemenem D, a) czaowa z elemenem rzeczywiym D, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymiczna ampliudowa, d) logarymiczna fazowa Charakeryykę czaową orzymamy ze wzoru (5.) jako odpowiedź na wymuzenie (kokowe) jednokowe o dowolnej warości j. e e, zaem ( ) ( ) Srona

114 ROZDZIAŁ 5 u ( ) G( ) e( ) T d k p e. (5.4) T T Srona 4 Ryunek 5.7. Charakeryyki czaowe i częoliwościowe rzeczywiego regulaora PD: a) ampliudowo-fazowa, b) logarymiczna ampliudowa, c) logarymiczna fazowa Na podawie ablic orzymamy oryginał ranformay w poaci T ( ) ( ) ( ) d u G e k T pe e. (5.5) T PowyŜzy wzór przedawia krzywą wykładniczą dąŝącą do aympoy o warości k e p przy (ryunek 5.6a)). Tranmiancję widmową orzymamy ze wzoru (5.) wawiając za j ω, zaem G Td jω ( j ) k ω p, (5.6) Tjω

115 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI Poępując jak wcześniej orzymamy z ranmiancji widmowej część rzeczywią i urojoną, czyli P ( ω) k T( Td T ) ω p, Q( ω) T ω k Tdω T ω p. Q moŝemy wyznaczyć charakeryyki częoliwościowe przedawione na ryunkach 5.7. Ze wzorów (5., 5.) i powyŝzych zaleŝności P ( ω) i ( ω) Przykład 5. o ω i opóźnienia fazowego ϕ 5 dobrać cza wyprzedzenia regulaora T D i ałą czaową T obieku, ak, aby T T D. Schema układu auomayki złoŝonego z obieku i regulaora przedawia ryunek 5.8. Dla częości 7 [ ] Ryunek 5.8. Schema układu auomayki Rozwiązanie Tranmiancja zaępcza układu auomayki je G z ( ) Tranmiancja regulaora PD G ob( ) ( ) G ( ) G, G ob reg ( ) k ( T ), reg p D Srona 5

116 ROZDZIAŁ 5 Zaem gdzie G z ( ) T k p T ( T ) a b D, a T k T, p D b k p. Aby wyznaczyć cza wyprzedzenia regulaora i ałą czaową obieku przy zadanych paramerach, naleŝy przejść z ranmiancji operaorowej na widmową, zaem G z ( jω) b ( b ajω) ( b ajω)( b ajω) ( b a ω ) j aω ( ) ( ), b a ω b a ω b jaω Część rzeczywia i urojona ranmiancji widmowej P b ( ω), Q( ω) ( b a ω ) T D i ałą czaową T obieku wyzna- Cza wyprzedzenia regulaora czymy ze wzoru anϕ an5 Przy naawie o Q.7 P T TD orzymamy aω. ( b a ω ) ( ω) ( ω) aω ω b ω T T. ω 7 Tak, więc, aby były pełnione warości paramerów T TD. [ ]. ( T k T ) [ ] k p p D ϕ i ω, muzą być, Srona 6

117 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI Przykład 5. Dla układu auomayki jak na ryunku 5. wyznaczyć ką przeunięcia fazowego ϕ między odpowiedzią a wymuzeniem dla T D. [ ], k p, ω [ ]. k Schema układu auomayki złoŝonego z obieku i regulaora przedawia ryunek 5.. Ryunek 5.. Schema układu auomayki Rozwiązanie Tranmiancja zaępcza układu auomayki je G z ( ) Tranmiancja regulaora PD G ob( ) ( ) G ( ) G, G ob reg ( ) k ( T ), reg p Zaem k Gz ( ) T k k p T T Podawiając dane orzymamy D ( ) kk p ( TDkk p ) D k, k G z ( ), k k. Aby wyznaczyć ką przeunięcia fazowego ϕ przy zadanych paramerach, naleŝy przejść z ranmiancji operaorowej na widmową, zaem Srona 7

118 ROZDZIAŁ 5 ( jω) ( jω) k k k ω G z j, ( jω)( jω) ( ω ) ( ω ) Część rzeczywia i urojona ranmiancji widmowej k P ( ω), ( ω) ( ω ) k ω Q. ( ω ) Sąd ką wyprzedzenia fazowego wyznaczymy ze wzoru ( ω) ( ω) Q o ' anϕ ω ϕ 4. P 5.7. Regulaory proporcjonalnocałkująco-róŝniczkujące Podawowe rodzaje regulaorów o działaniu ciągłym lub quai-ciągłym realizują funkcje PID (działania: P proporcjonalne, I całkujące, D róŝniczkujące). W celu zmniejzenia błędów anów ualonych i przejściowych, zachowując jednocześnie abilność i łumienie na doaecznym poziomie, moŝemy połączyć erowanie proporcjonalne, całkowe i róŝniczkowe, kóre nazywane je algorymem erowania proporcjonalno-całkoworóŝniczkowego, w krócie PID. Ten połączony algorym ma zaley w ounku do wcześniej omawianych algorymów. Dla liniowych regulaorów o działaniu ciągłym z idealnym elemenem róŝniczkującym, równanie regulaora PID jako prawo regulacji ma poać u p Ti ( ) k e( ) e( ) d T d de d ( ). (5.7) gdzie k p wzmocnienie proporcjonalne, T i ała czaowa całkowania, zwana czaem zdwojenia, T d ała czaowa róŝniczkowania, zwana czaem wyprzedzenia. Srona 8

119 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI Soując przekzałcenie Laplace a orzymamy ranformaę u ( ) k e( ) e( ) T e( ) p d, (5.8) Tranmiancja operaorowa regulaora idealnego PID je naępująca G ( ) ( ) ( ) k p Td Ti u. (5.9) e Schema blokowy fragmenu układu z regulaorem PID przedawiony je na ryunku 5. oraz jego ogólna rukura na ryunku 5.. Ryunek 5.. Schema blokowy fragmenu układu regulacji auomaycznej z regulaorem PID o ranmiancji G() Ryunek 5.. Ogólna rukura regulaora PID uworzonego z członów podawowych (P, I, D) Wprowadzając na wejście układu ygnał w poaci funkcji Diraca (wymuzenie impulowe), orzymamy charakeryykę czaową opianą równaniem u ( ) k e T δ ( ) p d. (5.) Ti Srona 9

120 ROZDZIAŁ 5 Tranmiancja widmowa ma poać G ( jω) ( jω) ( ) k p Td j jω Ti jω u ω, (5.) e ąd część rzeczywia i urojona ej ranmiancji je P ( ω ) k, ( ) p Q ω k ω ω p Td Ti. (5.) Na podawie powyŝzych równań orzymamy charakeryykę czaową (kokową) i charakeryyki częoliwościowe (ryunek 5.). Ryunek 5.. Charakeryyki czaowe i częoliwościowe regulaora PID z idealnym elemenem róŝniczkującym: a) czaowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymiczna ampliudowa, d) logarymiczna fazowa JeŜeli do idealnego działania róŝniczkującego wprowadzimy elemen inercyjny pierwzego rzędu połączony zeregowo (rzeczywiy elemen róŝniczkujący), o orzymamy przybliŝone charakeryyki rzeczywiego regulaora PID. Tranmiancja akiego regulaora przyjmuje poać Srona

121 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI G ( ) u e ( ) T ( ) d k Ti T p. (5.) gdzie T je ałą czaową elemenu inercyjnego pierwzego rzędu Wprowadzając na wejście ygnał w poaci koku jednokowego, orzymamy na wyjściu charakeryykę czaową regulaora rzeczywiego j. u T d ( ) k e e T p. (5.4) Ti T Tranmiancję widmową rzeczywiego regulaora PID orzymamy z równania (5.), zaem G ( jω) u e ( jω) T ( ) d jω k jω Ti jω Tjω p. (5.5) Część rzeczywia i urojona ej ranmiancji je naępująca P ( ω) k T ( Td T ) ω p, ( ) ( TdTi T ) Q ω k T ω ω p.(5.6) T ω ( T ω ) Na podawie powyŝzych równań orzymamy charakeryykę czaową (kokową) i charakeryyki częoliwościowe regulaora rzeczywiego (ryunek 5.4). Wzykie rzy orzymane ałe k p, T i, T d moŝna regulować w zerokich granicach, w zaleŝności od rodzaju regulaora. Porównując charakeryyki regulaorów moŝna zauwaŝyć, Ŝe w regulaorach rzeczywiych inercyjności zmieniają przede wzykim począkową refę charakeryyk czaowych. Regulaory PI powodują zmniejzanie warości ampliud w funkcji częości oraz mają ujemne przeunięcie fazowe (elemen całkujący) w przypadku małych warości częości. Z charakeryyk logarymicznych wynika, Ŝe elemeny róŝniczkujące T d (regulaory PD i PID) wywarzają dodanie kąy fazowe, zczególnie dla więkzych warości częości oraz generują więkze warości ampliud. Srona

122 ROZDZIAŁ 5 Ryunek 5.4. Charakeryyki czaowe i częoliwościowe regulaora PID z rzeczywiym elemenem róŝniczkującym: a) czaowa, b) ampliudowo-fazowa, c) logarymiczna ampliudowa, d) logarymiczna fazowa 5.8. Wybór ypu i naaw regulaorów A) Dobór ypu regulaora Srona O wyborze ypu regulaora naleŝy zadecydować na podawie właności fizycznych obieku, narzuconych kryeriami jakości regulacji, uwzględniając niezawodność, dokładność, wagę, bezpieczeńwo, kozy, doępność. Aby oiągnąć zamierzony rezula zaprojekowanego układu regulacji, projekan mui jedynie dobrać ałe k p, T i, T d. Dołączenie elemenu róŝniczkującego powoduje zmniejzenie poziomu ocylacji oraz pozwala na pełniejze kzałowanie jego dynamiki. Dodanie zaś elemenu całkującego przyczynia ię do wzrou ocylacji odpowiedzi układu. Tak, więc, połączenie regulaora PID moŝe zmniejzyć poziom błędu, zachowując jednocześnie łumienie na wymaganym poziomie i abilność układu. Proce doboru ałych nazywany je rojeniem regulaora. Zwiękzenie warości k i T powoduje zmniejzanie błędu układu p i

123 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI auomayki, ale moŝe pogorzyć jego abilność, naomia wzro warości T d prowadzi do poprawy abilności. Kryeria rojenia bazują na róŝnych zaadach. Niekóre z nich omówimy. Dopuzczalne ą ocylacje w normalnym rybie pracy (np. proe procey ermiczne, załączaniewyłączanie). W zaleŝności od porzeby moŝemy dokonać naępującego wyboru ypu regulaora: Regulaory, dwuawne (P) obieky ayczne, τ T., dopuzczalne ocylacje w normalnym rybie pracy (np. proe procey ermiczne j. załączanie, wyłączanie). Serowanie dwupołoŝeniowe je proe, a więc i niedrogie. Z ego powodu je zeroko oowane w domowych, jak i w przemyłowych układach erowania. W erowaniu dwupołoŝeniowym ygnał wyjściowy u() je na minimalnym lub makymalnym poziomie warości, w zaleŝności od ego, czy ygnał uchybu e() je dodani czy ujemny. Regulaory dwupołoŝeniowe najczęściej ą urządzeniami elekrycznymi, a zawór elekryczny uruchamiany je poprzez cewkę. Regulaory P pneumayczne z bardzo duŝymi wzmocnieniami działają jak erowniki dwupołoŝeniowe. Regulaory rójawne (P) - zepoły wykonawcze z rójawnym elemenem napędowym, np. ilnikiem nawronym ( - - w lewo, - op, - w prawo) lub z dwoma orami działania, np. w układach klimayzacyjnych ( - - chłodzenie, - op, - grzanie). Regulaory ciągłe (P, I, PI, PD, PID) - najzerzy obzar zaoowań, obieky ayczne i aayczne, τ T. Regulaory impulowe - obieky z duŝymi opóźnieniami ranporowymi lub zaępczymi, τ T >. Regulaory cyfrowe o algorymach pecjalnych, np.: minimalnowariancyjne, - predykcyjne, - Smih a Regulaory ciągłe lub quai-ciągłe (cyfrowe) o algorymach P, PI, PID ą najbardziej rozpowzechnione. Przy wyborze jednego z ych algorymów naleŝy pamięać o kilku podawowych zaleceniach: dla uzykania odchyłek aycznych blikich zeru (eoreycznie równych zeru) niezbędne je całkowanie (w algorymach PI, PID) Srona

124 ROZDZIAŁ 5 w przypadku obieków opiujących np. procey ermiczne, zalecane je róŝniczkowanie, gdyŝ pozwala na wyworzenie ilnego oddziaływania korekcyjnego regulaora juŝ przy małych odchyłkach regulacji regulaor PI zapewnia dobrą jakość regulacji ylko przy zakłóceniach o małych częoliwościach regulaor PD zapewnia zerze pamo regulacji niŝ regulaor PI, jednak przy zakłóceniach wolnozmiennych warości wkaźników jakości regulacji ą gorze regulaor PID łączy zaley obu poprzednich regulaorów Według zaleceń E. Kollmana (Regelungechnik, 99), dla proceów o włanościach blikich bezinercyjnym (np. przepływ), inercyjnych pierwzego rzędu lub całkujących właściwe ą zwykle regulaory P, PI, czaami I, naomia dla proceów inercyjnych wyŝzego rzędu, lub całkujących z inercją (aaycznych) naleŝy wybierać regulaory PD lub PID. B) Dobór naaw regulaora Srona 4 B) Meoda Zieglera-Nichola WyróŜnia ię meody analiyczne i doświadczalne doboru naaw, dla regulaorów o jednym wejściu i jednym wyjściu ygnału (regulaory jednowymiarowe SISO; ingle inpu ingle oupu) i dla regulaorów wielowymiarowych MIMO (muli inpu muli oupu). W niniejzym punkcie omówione będą ylko dwie meody dla regulaorów o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO). Meoda Zieglera-Nichola oowana je wówcza, gdy regulaor i inne elemeny układu ą juŝ zainalowane, ich funkcjonowanie je prawdzone, naleŝy ylko dobrać naawy regulaora. Reguły doboru regulaora PID zoały formułowane na podawie prowadzonych badań doświadczalnych. Reguły e prowadzą do minimalizacji całki z modułu uchybu (kryerium całkowe). Soowanie ych reguł wymaga wępnego wprowadzenia dwóch pojęć: Wzmocnienie kryyczne k pkr je o wzmocnienie regulaora P połączonego zeregowo z obiekem, kóre powoduje, Ŝe układ zamknięy znajdzie ię na granicy abilności i wówcza pojawią ię nieganące

125 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI drgania okreowe (ocylacje) o okreie nazywanym okreem drgań kryycznych T oc. Bezpośredni pomiar ych wielkości na drodze doświadczalnej je niemoŝliwy, dlaego eŝ opracowano meody pośrednie wyznaczania ych paramerów. Procedura: d. pozoawiamy ylko działanie P regulaora (wyłączamy regulaory I i D poprzez zerowe naawy warości paramerów T i T ) i d e. zwiękzamy opniowo wpółczynnik wzmocnienia k p aŝ do oiągnięcia granicy abilności (ocylacje o ałej ampliudzie) f. mierzymy okre ocylacji T oc (na rejeraorze lub ekranie moniora) i noujemy warość k pkr, przy kórej wyąpiły nieganące ocylacje g. zaleŝnie od ypu regulaora, naleŝy przyjąć naawy: W układzie z ak dobranymi naawami regulaora będą wyępować przebiegi przejściowe j. ocylacyjne z przeregulowaniem κ %. Mając warości obu zmierzonych wielkości, naleŝy naawić regulaor według ych wielkości, jak naępuje: dla regulaora P : k p.5k pkr dla regulaora PI : k p.45k pkr, T i.8toc dla regulaora PID : k p.6k pkr, T i.5toc, T d.5t oc Meody doboru paramerów regulaorów opare ą na przybliŝeniu odpowiedzi kokowej obieku aycznego wyŝzego rzędu (ryunek 5.5). Według Zieglera i Nichola paramery T T k pkr, k pkr i T oc wyraŝone ą wzorami T oc 4T. (5.8 ) Srona 5

126 ROZDZIAŁ 5 Ryunek 5.5. PrzybliŜenie odpowiedzi kokowej obieku aycznego: a) charakeryyka kokowa elemenu inercyjnego pierwzego rzędu, G b) z opóźnieniem o ranmiancji ( ) Przyjęcie podanych powyŝej naaw regulaorów, pozwala uzykać przebiegi przejściowe o charakerze zbliŝonym do przedawionego na ryunku 5.6. Wówcza przeregulowanie je rzędu 5-%, zaś liczba ocylacji nie przekracza dwóch. Srona 6 Ryunek 5.6. Odpowiedź kokowa układu regulacji przy naawach regulaora wg reguły Zieglera-Nichola B) Meoda charakeryyk częoliwościowych ChociaŜ zaady Zieglera i Nichola uwzględniają właściwości regulaorów, o nie zawze dają doaecznie zadowalające wyniki regulacji. Dlaego w lieraurze fachowej częo poyka ię róŝne zaady naawiania np. według Peena, Cypkina, meody linii pierwiakowych. Dobór regulaora, bądź elemenu korekcyjnego moŝemy akŝe przeprowadzić na podawie analizy charakeryyk częoliwościowych układu. Z ych charakeryyk moŝemy określić: zapa abilności (zapa modułu i fazy),

127 RODZAJE REGULATORÓW ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKI cza regulacji, przeregulowanie (ocena na podawie zapau fazy), czyli podawowe paramery przebiegu odpowiedzi kokowej. NaleŜy dokonać naępującego oku poępowania:. Wykreślić charakeryyki częoliwościowe obieku,. Wyznaczyć minimalną warość wzmocnienia akiego, aby zapewniał ograniczenie uchybu ualonego,. Wyznaczyć minimalne warości zapau modułu i fazy, konieczne ze względu na ograniczenie przeregulowania, 4. Wyznaczyć minimalną warość częości ω (pulacji) przecięcia układu korygowanego, konieczną ze względu na ograniczenie czau regulacji, 5. Wybrać yp regulaora pośród będących do dypozycji i nazkicować charakeryykę układu z regulaorem, pełniającego warunki Sprawdzić, czy warunki -4, ą pełnione, 7. JeŜeli wybrany yp regulaora nie pełnia podawowych warunków, bez względu na odpowiedni dobór naaw, naleŝy wybrać inny yp regulaora oraz powórzyć poępowanie. Srona 7

128 ROZDZIAŁ 5 Srona 8

129 ` 6 Sabilność liniowych układów auomayki

130 ROZDZIAŁ Ogólne warunki abilności Sabilność je cechą układu, polegającą na zdolności zachowania pewnego anu równowagi ałej po zaniku działania zakłócenia (wymuzenia), kóre wyrąciło układ z ego anu. KaŜdy układ erowania powinien być ak zbudowany, aby mógł właściwie wykonywać poawione zadania pomimo zakłóceń. Na ryunku 6.. a) je pokazane zachowanie ię układu polegające na powrocie do anu równowagi ałej po uaniu działania wymuzenia, kóre wyrąciło układ z ego anu, lub na oiągnięciu nowego anu równowagi ałej, jeŝeli wymuzenie zoało na ałym poziomie. W układach erowania abilność charakeryzuje właściwości dynamiczne układu, kóre ą warunkiem jego prawidłowej pracy. Srona Ryunek 6.. Przykładowe charakeryyki czaowe układów dynamicznych: a) układów abilnych, b) układów nieabilnych Zamknięy układ liniowy (ryunek 6.) będziemy uwaŝać za abilny, jeŝeli przy kaŝdej kończonej warości zakłócenia z() i warości zadanej w() oraz dla dowolnych warunków począkowych ygnał wyjściowy y() dąŝyć będzie do kończonej warości ualonej dla czau dąŝącego do niekończoności. Gdy po zaniknięciu zakłócenia układ powraca do ego amego anu równowagi jakie poprzednio zajmował, wówcza je abilny aympoycznie (ryunek 6. a)). Zakłócenie z() moŝe być wprowadzone w dowolnym miejcu układu. W zczególności zakłóceniem moŝe być równieŝ zmiana warości zadanej w(). Koniecznym i doaecznym warunkiem abilności aympoycznej (w enie Lapunowa) układu (wobodnego) je, aby wzykie pierwiaki rzeczywie oraz części rzeczywie pierwiaków urojonych równania charakeryycznego układu zamknięego (mianownika ran-

131 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI miancji operaorowej przyrównanego do zera) były ujemne, a kroność pierwiaków rzeczywiych równych zeru, jak i kroność par pierwiaków urojonych, powinna być co najwyŝej równa jedności. Naępuje wedy zanik przebiegów y() w czaie (ryunek 6. a)). Ryunek 6.. Schema zamknięego układu regulacji auomaycznej ( ) R e i, (6.) ( ) A zw lim y. (6.) gdzie A je wpółczynnikiem o warości kończonej i układ je abilny, z w je warością zakłócenia. Składowe przejściowe wielkości wyjściowej zanikają wówcza do zera przy, a pozoaje jedynie kładowa ualona, określona aycznymi włanościami układu. Doychczaowe rozwaŝania doyczą ogólnie abilności jednowymiarowego układu liniowego, kórego an wobodny je opiany jednorodnym liniowym równaniem róŝniczkowym o ałych wpółczynnikach j. n n ( ) d y( ) d y( ) n d y n a... a y( ) n n, (6.) n n d d d a Na podawie rozwiązań ego równania badamy abilność układu wobodnego. Poać ych rozwiązań zaleŝy od pierwiaków równania charakeryycznego. n n n an an an... a a, (6.4) PoniewaŜ rodzaj ygnału wejściowego nie ma znaczenia przy badaniu abilności, o układ opiany równaniem (6.) będzie abilny, gdy Srona

132 ROZDZIAŁ 6 lim y ( ). (6.5) JeŜeli pierwiaki,,... n ą pierwiakami rzeczywiymi równania charakeryycznego (6.4) o rozwiązanie ma poać n n i C e...c e n C e i i y ( ) C e, (6.6) gdzie C,C,... C ą ałymi całkowania, kóre moŝna wyznaczyć z warunków n począkowych. JeŜeli rozwiązanie równania (6.4) ma pierwiaki zepolone przęŝone α ± jω, α ± jω o rozwiązanie je naępujące,,4 α ( ) e α ( A coω A inω ) e ( A coω A in ω ) y 4. (6.7) JeŜeli chociaŝby jedna z części rzeczywiych je dodania, o odpowiednia kładowa rozwiązania określonego wyraŝeniem (6.7) ma kład- i nik e α, co przy α i powoduje, Ŝe y() zmierza do niekończoności, czyli układ je nieabilny (ryunek 6. b)). Z reguły Ŝąda ię, aby układ liniowy był abilny aympoycznie, poniewaŝ wedy wyępuje globalna abilność aympoyczna (dla dowolnych warunków począkowych). Zaem układ liniowy je abilny w enie Lapunowa, jeŝeli pierwiaki jego równania charakeryycznego leŝą w lewej półpłazczyźnie liczb zepolonych. Wówcza kładowa wobodna ma charaker zanikający zmierzając do zera. Naomia na oi urojonej wyępują pierwiaki pojedyncze w ym, co najwyŝej jeden równy zeru. Srona Ryunek 6.. Rozkład warości włanych pierwiaków równania charakeryycznego

133 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Podumowując ogólne kryerium badania abilności naleŝy zauwaŝyć, Ŝe ocena abilności układu na podawie znajomości rozkładu pierwiaków (warości włanych) wymaga rozwiązania równania charakeryycznego, czyli wyznaczenia miejc zerowych wielomianu. W przypadku równania wyokiego rzędu je o kłopoliwe. Z ego względu, do badania abilności oowane ą inne kryeria pozwalające ominąć ę rudność. Najbardziej ą znane i najczęściej oowane kryeria analiyczne Hurwiza, Rouha, analiyczno-graficzne Nyquia. Kryeria e wymagają znajomości ranmiancji układu w poaci analiycznej. 6.. Kryerium Hurwiza oceny abilności układów auomayki Przedawimy prakyczne formułowanie algebraicznego kryerium abilności Hurwiza, oparego na badaniu wpółczynników równania charakeryycznego (6.4). Kryerium o pozwala na prawdzenie, czy równanie algebraiczne dowolnego opnia ma wyłącznie pierwiaki ujemne lub o ujemnych częściach rzeczywiych. Warunkiem koniecznym i wyarczającym, aby układ liniowy acjonarny ciągły był abilny aympoycznie, je, aby wzykie pierwiaki równania charakeryycznego (6.4) miały części rzeczywie ujemne, muzą być pełnione naępujące warunki h. wzykie wpółczynniki równania (6.4) inieją i ich warości ą więkze od zera (je o warunek konieczny, ale nie doaeczny) a i, i,,,,..., n i. podwyznaczniki, od i do i n, wyznaczone z i wyznacznika głównego ą więkze od zera (warunek n doaeczny). Wyznacznik, uworzony ze wpółczynników równania (6.4), ma n n wierzy i n kolumn Srona

134 ROZDZIAŁ 6 (6.8) Przedawiliśmy prakyczne formułowanie kryerium Hurwiza. (6.9) a n n Ze wzoru (6.8) widać, Ŝe wyznacznik główny Hurwiza worzymy umiezczając na głównej przekąnej kolejne wpółczynniki wielomianu od an do a. Naępnie w pozczególnych kolumnach wpiujemy powyŝej wyrazu na głównej przekąnej wyznacznika wpółczynniki o in- dekach kolejno zmniejzających ię o jeden, zaś poniŝej wyrazu na głównej wpółczynniki o indekach kolejno zwiękzających ię o jeden. Wzykie wpółczynniki, kórych indeky ą więkze od n i mniejze od zera zaępujemy zerami. JeŜeli rozwaŝany układ je nieabilny, o kryerium Hurwiza nie daje odpowiedzi ile pierwiaków równania charakeryycznego ma dodanią część rzeczywią. JeŜeli kóryś z podwyznaczników je zerowy o równanie charakeryyczne zawiera pierwiaki w dziedzinie urojonej (zepolone o zerowej części rzeczywiej). W układzie wyępują drgania nieganące o ałej ampliudzie. Świadczy o, Ŝe układ znajduje ię na granicy abilności o charakerze przebiegu ocylacyjnego Srona 4

135 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI 6.. Kryerium Nyquia oceny abilności układów auomayki Kryerium Nyquia ma duŝe znaczenie prakyczne, poniewaŝ pozwala badać abilność układu zamknięego na podawie przebiegu charakeryyki częoliwościowej układu owarego, kórą moŝna wyznaczyć zarówno analiycznie, jak i doświadczalnie. Rozparzmy układ liniowy o chemacie blokowym przedawionym na ryunku 6.4. Ryunek 6.4. Schema blokowy owarego układu auomayki Tranmiancja układu owarego je naępująca ( ) ( ) u G ( ) G ( ) G ( ), (6.) o w Przedawiając ę ranmiancję w poaci ilorazu wielomianów zmiennej orzymamy przy czym ( ) ( ) M o G ( ) o, (6.) N o N o ( ), (6.) je równaniem charakeryycznym układu owarego; zakładamy, Ŝe opień ego równania równa ię n. Tranmiancja układu zamknięego (ryunek 6.4) je Srona 5

136 ROZDZIAŁ 6 G z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) ( ) y G G. (6.) w G G Równanie charakeryyczne ego układu przyjmuje poać ( ) G. (6.4) o W en poób określiliśmy równanie charakeryyczne układu zamknięego poprzez ranmiancję układu owarego. Mając opi maemayczny funkcji G o ( ) moŝna prawdzić abilność układu zamknięego rozwiązując równanie (6.4). JeŜeli równanie (6.4) zapizemy w poaci ( ) o na płazczyźnie, na kórej naryujemy wykre G o ( ) G o, wzykie zera równania (6.4) odwzorowują ię w punkcie A (-,j). Równanie charakeryyczne układu zamknięego moŝna akŝe zapiać w poaci ( ) M ( ) N ( ) N z. (6.5) je równieŝ opnia n, poniewaŝ opień M ( ) nie je nigdy więkzy od opnia N ( ). Zbadajmy zmianę argumenu funkcji ( jω) ( jω) N z G ( jω), (6.6) N [ G ( jω) ] arg N ( jω) arg N ( ω) z j ω ω ω o arg, (6.7) o Przypadek. Układ owary je abilny. Równanie charakeryyczne układu owarego ma wzykie pierwiaki w lewej półpłazczyźnie zmiennej. Zgodnie z kryerium Michajłowa arg N ω ( jω) Układ zamknięy będzie abilny, jeŝeli π n, Srona 6

137 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI arg N z ω ( jω) π n, Warunek abilności układu zamknięego moŝna, więc zapiać [ G ( jω) ] arg. (6.8) ω Oznacza o, Ŝe wykre krzywej [ G ( jω) ] nie moŝe obejmować począku układu wpółrzędnych. Mui ię zaczynać i kończyć na jednej proej wychodzącej z począku układu. Ten am warunek odnieiony do charakeryyki częoliwościowej (ampliudowo-fazowej) układu G jω formułujemy naępująco owarego ( ) JeŜeli charakeryyka ampliudowo-fazowa owarego układu regulacji auomaycznej ( jω) G dla częości ω od do nie obejmuje punku (-,j), o wedy i ylko wedy po zamknięciu będzie on równieŝ abilny. Przykładowe wykrey krzywych [ G ( jω) ] układu abilnego i nieabilnego (po zamknięciu) pokazują wykrey na ryunku 6.5. Ryunek 6.5. Charakeryyki ampliudowo-fazowe układów aycznych [ G ( jω) ], kóre po zamknięciu ą : a) abilne, b) nieabilne (podawowe kryerium Nyquia) G układu abilnego i nieabilnego (po zamknięciu) pokazują wykrey na ryunku 6.6. Wykrey krzywych ( jω) Srona 7

138 ROZDZIAŁ 6 Ryunek 6.6. Charakeryyki ampliudowo-fazowe układów aycznych G ( jω), kóre po zamknięciu ą : a) abilne, b) nieabilne (podawowe kryerium Nyquia) G rudno je ocenić, czy charakeryyka ampliudowo-fazowa układu owarego obejmuje punk A (-,j), czy nie. DuŜa rudność zachodzi w przypadku, gdy punk dla ω leŝy w niekończoności. Wówcza wygodnie je poługiwać ię wynikającą bezpośrednio z podanego kryerium zw. regułą lewej rony, kóra mówi, Ŝe W przypadku złoŝonego kzału krzywych ( jω) Układ zamknięy je abilny wedy, kiedy punk (-,j) znajduje ię w obzarze leŝącym po lewej ronie charakeryyki G jω, idąc od począku w ronę ronących częości ω. ( ) Zaoowanie ej reguły moŝna prawdzić na przykładzie charakeryyk podanych na ryunkach 6.7 i 6.8. Ryunek 6.7. Charakeryyki ampliudowo-fazowe układów aycznych, kóre po zamknięciu ą : a) abilne, b) nieabilne (reguła lewej rony) Układamy aaycznymi nazywamy akie układy, kóre oprócz ujemnych pierwiaków części rzeczywiej mają, co najmniej jeden pierwiaek zerowy. Srona 8

139 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Ryunek 6.8. Charakeryyki ampliudowo-fazowe układów aaycznych, kóre po zamknięciu ą : a) abilne, b) nieabilne (podawowe kryerium Nyquia) Reguła lewej rony je łuzna w zaoowaniu jedynie w przypadku, gdy badany owary układ auomayki je abilny. W innych przypadkach naleŝy oować ogólne kryerium Nyquia. Więkzość układów auomayki je zbudowana ak, Ŝe układ owary je abilny i wedy moŝna oować bez zarzeŝeń regułą lewej rony Ocena abilności układów auomayki poprzez kryerium zapau modułu i fazy W przypadku dynamicznych acjonarnych liniowych i ciągłych układów auomayki (DLSC) pełnienie kryerium Nyquia oznacza, Ŝe równanie charakeryyczne nie ma pierwiaków w prawej półpłazczyźnie. Mogą jednak inieć pierwiaki ujemne, połoŝone bliko oi urojonej. Wykre charakeryyki widmowej przechodzi bliko punku kryycznego A (-,j) (granicy abilności). Sopień abilności (zapa) moŝe być określony przez odległość wykreu charakeryyki widmowej G ( jω) od punku A (-, j). W ym celu wprowadzono pojęcie zapau modułu M (zapa wzmocnienia) i zapau fazy ϕ. Z ryunku 6.9. wynika ( ) M G j. (6.9) ω π Srona 9

140 ROZDZIAŁ 6 G ( jω π ) je modułem wekora ranmiancji widmowej dla częości ω odpowiadającej przeunięciu fazowemu -8. Dla układów abilnych M >, dla nieabilnych M < π. Zapa modułu wkazuje o ile mogłaby ię zwiękzyć ampliuda drgań układu zamknięego, aby przeał być abilny. Czaami zapa modułu nazywany je zapaem wzmocnienia, poniewaŝ ampliudę moŝna zwiękzyć przez zwiękzenie wzmocnienia układu auomayki. Zapaem fazy nazywa ię ką zawary między ujemną oią liczb rzeczywiych a wekorem G ( jω ). Aby ką en był dodani o definiujemy go w naępujący poób ( ω ) π ϕ ϕ. (6.) a ϕ ( ω a ) - argumen wekora ranmiancji widmowej dla częości ω (częość przecięcia okręgu o promieniu jednokowym z ampliudowo-fazową), przy kórej G a ( jω ). Zapa fazy je o dodakowe przeunięcie fazowe, kóre moŝe powodować przejście wykreu G jω do punku kryycznego. Dla układów abilnych ϕ >. ( ) Srona 4 Ryunek 6.9. Charakeryyka ampliudowo-fazowa układu auomayki Z ryunku 6.9 wynika, Ŝe zapa fazy moŝna zdefiniować naępująco ( ω) ( ω) Q ϕ arcg. (6.) P Zapa abilności wyraŝony przez zapa modułu i fazy anowi zabezpieczenie, Ŝe gdy przy pewnych zmianach paramerów układu, kóre mogą

141 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI zachodzić podcza pracy lub z upływem czau i powodować przeunięcia charakeryyk w niekorzynym kierunku, układ dalej pozoanie abilny. Prakycznie przyjmuje ię za wyarczający zapa modułu od. do.5, zaś zapa fazy od do 5. Przykład 6. Zbadać abilność układu auomayki, kórego chema przedawia ryunek 6. korzyając z ogólnego warunku abilności oraz z kryeriów Hurwiza i Nyquia. Określić zapa modułu. Ryunek 6.. Schema układu auomayki Rozwiązanie a) Kryerium ogólne dla układu zamknięego Tranmiancja zaępcza zamknięego układu auomayki je G ( ) ( ) G z, G ( ) G ( ) G ( ) 5 4 Pierwiaki równania charakeryycznego ą i.46,.45,.77 i.46, Kryerium ogólne je pełnione, poniewaŝ wzykie części rzeczywie pierwiaków Hurwiza ą pełnione i leŝą w lewej półpłazczyźnie liczb zepolonych. Srona 4

142 ROZDZIAŁ 6 Ryunek 6.. Rozkład pierwiaków równania charakeryycznego b) Kryerium Hurwiza dla układu zamknięego Kryerium koniecznym Hurwiza je, aby wzykie wpółczynniki równania charakeryycznego były więkze od zera, zaem a 4, a 5, a, a Jak widać kryerium o je pełnione ( a i > ) Kryerium doaecznym Hurwiza je, aby wzykie podwyznaczniki uworzone z wyznacznika głównego były więkze od zera, j. Wyznacznik główny., Srona 4 a a [ a ] [ ] >,, 4 5 > a a a a 4 5 a a a 44 >, a 4

143 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI lub a a 4 44 n n,. Według obydwu kryeriów Hurwiza układ zamknięy je abilny c) Kryerium Nyquia dla układu owarego Według kryerium Nyquia, charakeryyka ampliudowo-fazowa układu owarego nie moŝe obejmować punku o wpółrzędnych (-,j). NaleŜy, więc określić ranmiancję operaorową G o ( ) układu owarego i przejść do ranmiancji widmowej G o ( jω) wydzielając część rzeczywią P ( ω) i urojoną Q ( ω). G o ( jω) G ( ) o 5, ( jω) ( jω) 5( jω) ( ω ) jω( 5 ω ) ( ω ) jω( 5 ω ) [ ( ω ) jω( 5 ω )][ ( ω ) jω( 5 ω )] ( ω ) jω( 5 ω ) 9( ) ( 5 ). ω ω ω ( ) ( ω ) ω 9( ω ) ω ( 5 ω ) P, ω ( ) ( 5 ω ) ω 9( ω ) ω ( 5 ω ) Q. ( ) ω( 5 ω ) ω, ω 5 [ ] Q ω. ( ω ) P 5, ( ).8. 9 M P ω. π Srona 4

144 ROZDZIAŁ 6 Ryunek 6.. Charakeryyka ampliudowo-fazowa układu auomayki Według obydwu kryeriów Hurwiza dla układu owarego je Równanie charakeryyczne 5, a, a 5, a, a. a >. lub [ a ] [ ] >, a a, 5 > a a a a 5 a a a 6 >, a a 6 n a n. Oba kryeria Hurwiza ą równieŝ pełnione, a więc układ auomayki je abilny. Przykład 6. Dla układu auomayki, kórego chema przedawia ryunek 6.. Określić wpółczynnik wzmocnienia, dla kórego inieje zapa modułu. i Srona 44 Ryunek 6.. Schema układu auomayki

145 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Rozwiązanie Tranmiancja zaępcza układu auomayki je ( ) ( ) G( ) ( ) G ( ) G ( ) ( k) ( k) k G 4, G 4k 4k Gz Równanie charakeryyczne 4k a ( k), 4k k k > k <, ( k) > k > i, a 4k k < a 4k > k >, < k <. Dla układu owarego G o ( ) ( ) G ( ) G ( ) G Tranmiancja widmowa ( ) jω G o G o ( jω) ( k) 4k jω 4k ω j4kω k 4k( k) ( k ) k 4k( k) jω{ [( k) 4k ω ] j4kω} {[ ( k) 4k ω ] j4kω} {[ ( k) 4k ω ] j4kω} 6k ω ( k) j4kω( k) {[ ( k) 4k ω ]}, [( k) 4k ω ] 6k ω { } Część rzeczywia P ( ω) i urojona ( ω) P Q ( ω) ( ω) Q. 6k ω ( k) [( k) 4k ω ] 6k ω, 4kω( k) [( k) 4k ω ] [( k) 4k ω ] 6k ω., Srona 45

146 ROZDZIAŁ 6 Q ( ω) 4 4kω( k) [( k) 4k ω ] [( k) 4k ω ] 6k ω kω( k) [( k) 4k ω ], ąd ω k, k 4 P ω k, k k 4 M P ω k > k > 5. k k Aby iniał zapa modułu o wpółczynnik wzmocnienia k mui być więkzy od 5. Przykład 6. W przedawionym na ryunku 6.4 układzie auomayki, wyznaczyć funkcję zmiany zapau modułu układu owarego w funkcji wzmocnienia k. Obliczyć, jaka będzie makymalna ampliuda ygnału wejściowego o odpowiedzi w układzie zamknięym, jeśli przeunięcie fazowe ϕ, k.5, zaś ampliuda wymuzenia x cm. Rozwiązanie Ryunek 6.4. Schema układu auomayki Tranmiancja widmowa, zaępcza owarego układu auomayki je Srona 46

147 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Srona ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ], ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j k j k j j j k j j j k j G o Część rzeczywia ( ) ω P i urojona ( ) ω Q. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 4 4 ω ω ω ω ω k P, ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 4 ω ω ω ω ω ω Q. Zapa modułu ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] Q.5 4 ω ω ω ω ω ω ω, ( ).5 k P ω, ( ).5 k P M ω. Ryunek 6.5. Wykre zmiany modułu w funkcji wpółczynnika wzmocnienia k

148 ROZDZIAŁ 6 Tranmiancja operaorowa badanego układu auomayki je ( ) G( ) k ( ) G ( ) G ( ) 4 G G ( ) z G, k Tranmiancja widmowa G z ( jω) k ( jω) 4( jω) jω k k{ [( k ) 4ω ] jω( ω )} {[ ( k ) 4ω ] jω( ω )}( [ k ) 4ω ] jω( ω ) k[ ( k ) 4ω ] kω( ω ) j [( k ) 4ω ] ω ( ω ) [( k ) 4ω ] ω ( ω ) Część rzeczywia P ( ω) i urojona ( ω) G Q. k ( ) [( k ) 4ω ] ω [( k ) 4ω ] ω ( ω ) Q, P anϕ kω ( ) ( ω ) ω [( k ) 4ω ] ω ( ω ) Q( ω) o kω( ω ) an P( ω) k[ ( k ) 4ω ] ω,, ω ( ω ),.5 [ ] Q Q( ω.5) k P( ω ). 4, ( ω.5) k,, k P, k 4ω y, x ( jω ) M [ P( ω) ] [ Q( ω) ] P( ω) y P( ω) x dla y P( ) x.4. [ cm] ω,. Srona 48

149 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI (.5) x [ cm] y P ω. Srona 49

150 ROZDZIAŁ 6 Srona 5

151 ` 7 Wprowadzenie do układów auomaycznego erowania

152 ROZDZIAŁ Pojęcia podawowe Srona 5 Auomayka dziedzina wiedzy, kóra ma na celu częściowe lub całkowie wyłączenie człowieka (operaora) z proceu erowania proceem produkcji, obługi mazyn i urządzeń. Auomayzacja je o działalność zmierzająca do wprowadzenia meod i środków auomayki. Regulacja erowanie w układzie zamknięym ze przęŝeniem zwronym. Regulaor urządzenie erujące w układzie zamknięym. Serowanie auomayczne wpływanie na przebieg proceu echnologicznego w aki poób, aby oiągnąć zamierzony cel poprzez uŝycie urządzeń erujących (erowniki, regulaory) zaępujących człowieka. Regulacja auomayczna polega na urzymaniu, bez ingerencji człowieka, fizycznego parameru na określonym poziomie warości. Obiek regulacji (erowania) jako zeaw aparaury echnologicznej proceu fizycznego o określonej dynamice, w kórej zachodzi proce regulowany, np. zbiornik ciśnieniowy (regulacja ciśnienia), zbiornik cieczy (regulacja poziomu), piec harowniczy (regulacja emperaury) ip. Obiekem erowania moŝe być mazyna, urządzenie, pojazd mechaniczny, amolo, aek ip. Wielkościami, kórymi działamy na obiek erowania ą ygnały wejściowe, wpływające na wielkości erowane, zwane ygnałami wyjściowymi. Elemen auomayki układ w kórym wyróŝniamy ygnał wejściowy i wyjściowy. Elemeny auomayki dzielimy na liniowe i nieliniowe, opiywane liniowymi bądź nieliniowymi równaniami róŝniczkowymi, róŝnicowymi lub algebraicznymi. Układ auomayki połączenie elemenów auomayki (obiek, regulaor), kóre wpółdziałają wykonując poawione zadanie. Zakłócenie moŝe być generowane wewnąrz układu (wewnęrzne) lub poza układem (zewnęrzne) anowiąc ygnał wejściowy. Zakłócenie niekorzynie działa na warość ygnału wyjściowego.

153 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA 7.. Rodzaje regulacji ałowarościowa polega na urzymaniu ałej warości wielkości regulowanej warości zadanej w con. programowa warość wielkości regulowanej ma zmieniać ię w czaie z góry ualony poób. Warość zadana je zdeerminowana. NadąŜna (śledząca) - warość zadana zmienia ię w poób niezdeerminowany, je funkcją czau. Zmiany ej funkcji nie zaleŝą od proceu zachodzącego wewnąrz układu. Związane ą naomia ze zjawikami wyępującymi na zewnąrz. Zakładamy, Ŝe obiek erowania i działające na niego zakłócenia nie zmieniają woich właściwości w czaie (ą acjonarne). Czaami ak nie je i porzebne je dorajanie paramerów regulaora w czaie erowania (adapacja). WyróŜniamy akŝe układy analogowe i cyfrowe oraz układy regulacji ciągłej i dykrenej. Wielkości (ygnały) wejściowe oddziaływujące na obieky o ranmiancjach G( ),G( ) i G( ) dzielimy na erujące u ( ) i zakłóceniowe z ( ), ( z( ) lub z( ) ) z( ), wówcza oujemy układy erowania: j. układ abilizacji z kompenacją zakłóceń Ryunek 7.. Schema układu abilizacji z kompenacją zakłóceń k. układ abilizacji ze przęŝeniem zwronym Srona 5

154 ROZDZIAŁ 7 Ryunek 7.. Schema układu abilizacji ze przęŝeniem zwronym 7.. Elemeny proego i złoŝonego układu auomaycznej regulacji Schema blokowy proego układu auomaycznej regulacji przedawia ryunek 7.. Ryunek 7.. Schema blokowy proego układu auomaycznej regulacji Układy auomaycznej regulacji ą układami zamknięymi, wykorzyującymi ujemne przęŝenia zwrone. Zadaniem układu regulacji je mi- e w nimalizacja ygnału uchybu regulacji ( ), ak aby ygnał zadany ( ) jak najmniej róŝnił ię od ygnału wyjściowego, zaem lime ( ) lim( w( ) y( ) ) czyli e ( ) gdy w ( ) y( )., (7.) Srona 54

155 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA z działa- Na warość uchybu e ( ) wpływają zakłócenia zewnęrzne ( ) jące na obiek, jak i zmiany warości zadanej ( ) zmiany paramerów układu ip. w na wejściu regulaora, Ogólny chema blokowy złoŝonego układu auomaycznej regulacji przedawia ryunek 7.4 Ryunek 7.4. Schema blokowy złoŝonego układu auomaycznej regulacji Zadaniem regulaora je, aby ygnał erujący ( ) uchybu e ( ), ak ukzałować, by ygnał regulowany ( ) róŝnił ię od ygnału zadanego w ( ) u zaleŝny od ygnału y jak najmniej. Regulaorem z wbudowanym algorymem regulacji moŝe być P, PI, PD, PID. Najczęściej oowanym regulaorem je regulaor PID, uworzony z członów (elemenów) podawowych P, I, D (ry.7.5 a). W kład regulaora wchodzi układ formujący ygnał (algorym działania regulaora), węzeł umacyjny. Kryeria podziału regulaorów ą róŝne np. podział ze względu na rodzaj przewarzanych ygnałów mogą być analogowe lub cyfrowe. Ze względu na poób budowy mamy regulaory o działaniu bezpośrednim, kóre nie korzyają z energii pomocniczej oraz korzyające (o działaniu pośrednim), wymagające elemenu wykonawczego. NajwaŜniejzymi paramerami regulaora PID ą proporcjonalności x p k p, T i, T d oraz zakre x p %. (7.) k p Więkzość regulaorów przemyłowych jako źródła energii wykorzyuje prąd elekryczny, pręŝone powierze lub olej pod ciśnieniem. W kali przemyłowej najczęściej korzya ię z regulaorów o działaniu Srona 55

156 ROZDZIAŁ 7 pośrednim. Urządzenie wykonawcze i elemen pomiarowy ą wedy oddzielone od iebie. Srona 56 Ryunek 7.5. Schema blokowy: a) regulaora złoŝonego z P, I, D, b) regulaora dwupołoŝeniowego p k wpółczynnik wzmocnienia regulaora, T cza zdwojenia (wyraŝa inenywność działania całkującego), T cza wyprzedzenia (określa działanie róŝniczkujące regulaora) i W dwupołoŝeniowym układzie regulacji elemen wykonawczy ma ylko dwa ualone połoŝenia (ry.7.5b). Sygnał erujący u ( ) je na poziomie warości minimalnej, lub makymalnej, w zaleŝności od ego, czy e je ujemny, czy dodani, orzymujemy ygnał uchybu ( ) U, U ą ałymi ( ) U dla e( ) u > ( ) U dla e( ) u < d, (7.). (7.4) Regulaory pneumayczne, proporcjonalne z duŝymi wzmocnieniami, działają jak erowniki dwupołoŝeniowe. Serowanie dwupołoŝeniowe je ounkowo proe i głównie z ego powodu ouje ię w przęcie domowym jak i w przemyłowych układach erowania. u, uformowanego w regulaorze, na obiek regulacji. Najczęściej poykanym elemenem wykonawczym je iłownik hydrauliczny, pneumayczny, układ piezoelekryczny lub mechaniczny. Elemen wykonawczy łuŝy do przenozenia ygnału erującego ( ) Elemen pomiarowy w poaci układu pomiarowego kłada ię z: a) czujnika (enomerycznego, indukcyjnego, magneycznego, piezoelekrycznego), mogącego mierzyć przemiezczenie, iłę, momen, ci-

157 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA śnienie, emperaurę, b) wzmacniacza ygnału, zailacza, c) miernika cyfrowego. Czujnik dokonuje pomiaru wielkości wyjściowej y ( ). Sygnał wyjściowy z czujnika częo rzeba jezcze odpowiednio przekzałcić oując przewornik pomiarowy. Obieky regulacji jak inne elemeny auomayki, podlegają klayfikacji ze względu na ich właności dynamiczne. Ze względu na końcową warość odpowiedzi kokowej wyróŝnia ię dwie grupy obieków regulacji: a. ayczne z amo-wyrównaniem, kórych ygnał odpowiedzi kokowej dąŝy do kończonej warości. Obieky e nie poiadają działania całkującego zn. ygnał wyjściowy przyjmuje ałą warość po zadaniu na wejściu ygnału kokowego. Układ je opiany równaniem charakeryycznym an n n n an an... a a. (7.5) kórego pierwiaki zepolone części rzeczywiej lub pierwiaki rzeczywie ą ujemne. b. aayczne bez amo-wyrównania, kórych warość odpowiedzi kokowej dąŝy do niekończoności. Obieky akie poiadają działanie całkujące. Najczęściej wyępujące o erwomechanizmy, regulaory dwu i rójpołoŝeniowe. JeŜeli ałej warości wielkości wejściowej odpowiada w anie ualonym ała warość pierwzej pochodnej wielkości wyjściowej, o człon je aayczny pierwzego rzędu (człon całkujący). Gdyby w ych amych warunkach na wejściu warość ałą miała w anie ualonym n-a pochodna wielkości wyjściowej, o je o aayczność n-ego rzędu. Układem aaycznym regulacji nazywa ię układ, w kórym przy ałej warości zmiany wielkości zadającej uchyb ayczny e równy je zeru. Srona 57

158 ROZDZIAŁ Charakeryyki kokowe obieków aycznych Częo analiyczne wyznaczanie ranmiancji nie je moŝliwe, poniewaŝ równania opiujące właności obieków regulacji nie ą doaecznie znane. W akich przypadkach naleŝy korzyać z doświadczalnie wyznaczonych charakeryyk kokowych. Wyznaczoną doświadczalnie charakeryykę aprokymuje ię graficznie za pomocą elemenu inercyjnego pierwzego rzędu i czau opóźnienia T (ryunek 7.6). Ryunek 7.6. Aprokymacja charakeryyki kokowej obieku aycznego obiekem z opóźnieniem i inercją pierwzego rzędu k wpółczynnik wzmocnienia, T zaępcza ała czaowa, T cza opóźnienia Równanie róŝniczkowe obieku ( ) dy T d Tranmiancja obieku zaępczego ( ) ku( ) y. (7.6) T Srona 58 Ryunek 7.7. Schema blokowy aycznego układu auomaycznej regulacji

159 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA G k. (7.7) T T S ( ) G ( ) G ( ) e Ryunek 7.8. Charakeryyki kokowe obieków aycznych k wpółczynnik wzmocnienia, T ałe czaowe (i,,), T cza opóźnienia, G i ( ) ranmiancje operaorowe elemen inercyjny pierwzego rzędu G( ) - elemen inercyjny wyŝzego rzędu i k, (7.8) T Ryunek 7.9. Schema blokowy aycznego układu auomaycznej regulacji złoŝonego z dwóch inercyjnych pierwzego rzędu G k. (7.9) ( ) G ( ) G ( ) ( T )( T ) - elemen inercyjny wyŝzego rzędu z opóźnieniem Ryunek 7.. Schema blokowy aaycznego układu auomaycznej regulacji złoŝonego z rzech inercyjnych pierwzego rzędu i opóźniającego Srona 59

160 ROZDZIAŁ 7 G ( ) G ( ) G ( ) G ( ) G ( ) T S 4 e.(7.) ( T )( T )( T ) 7.5. Charakeryyki kokowe obieków aaycznych k Ryunek 7.. Charakeryyki kokowe obieków aaycznych k wpółczynnik wzmocnienia, T ałe czaowe, T cza opóźnienia, G i ( ) ranmiancje operaorowe elemen całkujący, ( ) elemen całkujący z inercją pierwzego rzędu, k G, (7.) Srona 6 Ryunek 7.. Schema blokowy aaycznego układu auomaycznej regulacji złoŝony z elemenu całkującego i inercyjnego pierwzego rzędu k (7.) ( ) G ( ) G ( ) G ( T )

161 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA elemen całkujący z inercją wyŝzego rzędu i opóźnieniem. Ryunek 7.. Schema blokowy aaycznego układu auomaycznej regulacji złoŝonego z elemenu całkującego, dwóch inercyjnych pierwzego rzędu i opóźniającego Ryunek 7.4. Aprokymacja charakeryyki kokowej obieku aaycznego k wpółczynnik wzmocnienia, T cza opóźnienia Ryunek 7.5. Schema blokowy aaycznego układu auomaycznej regulacji złoŝonego z elemenu całkującego i opóźniającego Równanie róŝniczkowe obieku ( ) dy d Tranmiancja obieku zaępczego G ( ) ku, (7.) T k. (7.4) T ( ) e Srona 6

162 ROZDZIAŁ Kryeria oceny jakości liniowych układów auomayki San ualony układu Srona 6 Na ocenę jakości regulacji układu auomayki ma wpływ kzał przebiegu proceu przejściowego, cza oiągania anu ualonego po zaniku działania zakłóceń, odchylenia przebiegu ampliud. Tak, więc ocena jakości regulacji prowadza ię do analizy anu przejściowego (dokładność dynamiczna ) i ualonego (dokładność ayczna). Podawowym wymogiem awianym układowi auomaycznej regulacji je, aby uchyb regulacji e ( ) (zdefiniowany wzorem (7.), ryunek 7.4) był jak najmniejzy. Dokładność ayczna określa zdolność układu do urzymywania warości regulowanej jak najbliŝej warości zadanej po zakończeniu anu przejściowego, a więc w anie ualonym. Dokładność dynamiczna oznacza zdolność układu do dokładnego i zybkiego śledzenia zmiany w. warości zadanej ( ) Dokładność ayczną określa ię na podawie odchyłki aycznej e ( ) będącej umą odchyłki oddziaływania zakłóceń z ( ) (uchyb zakłóceniowy) e z ( ) i odchyłki wywołanej zmianą warości zadanej w ( ) na wejściu układu (uchyb nadąŝania) e w ( ). Zaem e ( ) e ( ) e ( ), (7.5) z z w e e e. (7.6) Na podawie wierdzenia o warości końcowej moŝna napiać w. (7.7) Regulaor PID ma duŝy wpływ na dokładność ayczną, gdy wpółczynnik wzmocnienia regulaora rośnie o uchyb ayczny maleje (ale je problem ze abilnością - maleje). Gdy je całkowanie, o dla kaŝdej

163 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA kończonej i ualonej warości wymuzenia, odchyłka ayczna je likwidowana. Przykłady odpowiedzi układu auomayki na wymuzenie kokowe pokazuje ryunek 7.6. Ryunek 7.6. Przykłady odpowiedzi układów auomayki na wymuzenie kokowe oraz liniowo naraające: a) aycznego z regulaorem P, b) aaycznego z regulaorem PI Przykład 7. Określić odchyłkę ayczną ygnału wyjściowego y układu URA przedawionego na ryunku 7.7. Obiekem je człon ocylacyjny, zaś w orze pomocniczym przęŝenia zwronego je regulaor P. Ryunek 7.7. Schema układu z elemenem ocylacyjnym i regulaorem proporcjonalnym Srona 6

164 ROZDZIAŁ 7 Tranmiancja układu zamknięego je G ( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) ( ) k p G y, G u Zakładamy, Ŝe ygnałem wejściowym (erującym) je ygnał jednokowy zn. zaem odpowiedź u, ( ) ( ) u( ) y ( ) k, Z wierdzenia o warości końcowej wynika ąd y y lime p ( ) lim y( ) k p k ( ) lim. Z orzymanego wyniku nauwa ię wnioek, Ŝe wzmocnienie regulaora P powoduje zmniejzenie uchybu aycznego. Czaami ak nie je poniewaŝ przy dość duŝym wzmocnieniu dla określonych paramerach układu moŝna pogorzyć jego abilność. Poprawę moŝna uzykać poprzez zaoowanie regulaora PID. Przykład 7. Wyznaczyć odchyłkę ayczną (uchyb ( ) e, p ) układu kórego chema blokowy (rukuralny) przedawia ryunek 7.8 przy załoŝeniu zerowych warunków począkowych dla danych: w 5, 5 ( ) (.5 ) G.. ( ) Srona 64

165 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA G z ( ) Ryunek 7.8. Schema rukuralny badanego układu auomayki Rozwiązanie Tranmiancja zaępcza badanego układu auomayki je ( ) ( ) e w., e ( ) G ( ) w( ) z ( ) G( ) w Dokonujemy rozkładu ranmiancji G z ( ) w zereg poęgowy, a więc G z ąd ( ) C C C C.... e ( ) C C C C... w( ) 6 6, Po poddaniu powyŝzego równania odwronemu przekzałceniu Laplace a orzymamy wzór na odpowiedź w anie ualonym, a więc gdzie ( ) C w( ) dw C d ( ) d w( ) d w( ) e ( ) C G, ( ) dg C d C d C 6, (.6 )( ) (.6 7.5)(. ) ( ) d..., Srona 65

166 ROZDZIAŁ 7 ( ) d G dc C.4, d d d G d ( ) dc d C, ( ) dw d 4 5 d w( ) d w( ) d 4, d,. Po podawieniu pozczególnych kładników do powyŝzego równania orzymamy ( ). 8 e. Zadanie moŝna równieŝ rozwiązać inną meodą przy wykorzyaniu przekzałcenia Laplace a, a więc e ( ) G ( ) w( ), e( ) L [ e( ) ] L [ G ( ) w( ) ]. z z Srona 66 Ryunek 7.9. Wykre zmiany odchyłki aycznej San nieualony (dynamiczny) układu JeŜeli układ auomayki je abilny, o wiadomo, Ŝe przebiegi przejściowe zanikają dąŝąc do ualonego poziomu warości. Nie znamy naomia wielu informacji, ionych do zaoowań prakycznych, jak czau wygazania proceów przejściowych (cza regulacji r ), pama

167 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA częoliwości, w kórym przebiega odwarzanie ygnałów wymuzających z zadaną dokładnością, warości makymalnych odchyleń ampliud, rodzaju przebiegów (ryunek 7.) ip. Ryunek 7.. Charakeryyki czaowe układu dla kokowego ygnału erującego charakeryyka ocylacyjna o duŝym przeregulowaniu κ i długim czaie regulacji r dla małej warości wpółczynnika łumienia < ξ (elemen ocylacyjny), ξ ( <.4) charakeryyka ocylacyjna o małym przeregulowaniu κ i krókim czaie regulacji r dla więkzej niŝ poprzednio warości wpółczynnika.4 < ξ <.8 (elemen ocylacyjny), łumienia ξ ( ) charakeryyka inercyjna o krókim czaie regulacji r, 4 charakeryyka inercyjna o długim czaie regulacji r. Układ o charakeryyce lub poiada właściwy zapa abilności i prakycznie do celów auomaycznej regulacji nadaje ię najlepiej. Układem najgorzym, mającym mały zapa abilności (małe łumienie) je układ. Układ o charakeryyce 4 równieŝ ię nie nadaje, gdyŝ ma za duŝy zapa abilności. NaleŜy dodać, Ŝe zapa abilności je niezbędny równieŝ na moŝliwość zmian paramerów układu. Kryeria oceny jakości liniowych układów regulacji. ocena paramerów odpowiedzi kokowej,. wkaźniki częoliwościowe, Srona 67

168 ROZDZIAŁ 7. całkowe kryeria jakości regulacji. Ad) Ocena paramerów odpowiedzi kokowej Jakość regulacji układu w anie nieualonym określa ię na podawie naępujących paramerów (Ryunek 7.): a. czau naraania (czau wzrou) n, b. czau zczyowego z, c. makymalnego przeregulowania y, d. czau regulacji r, e. przeregulowanie κ. Ad a) Cza wzrou n dla układów o małym łumieniu (o odpowiedzi ocylacyjnej) wykorzyywany je od do % wojej warości końcowej. Dla układów o duŝym łumieniu (o odpowiedzi aperiodycznej) od % do 9 %. Ad b) Cza makymalnego przeregulowania z je czaem oiągnięcia pierwzego zczyu przeregulowania. Ad c) Makymalne przeregulowanie y mierzony je w procenach i je makymalną warością odpowiedzi y max, mierzoną od warości u- alonej y. Definicja je naępująca ( ) ymax z y y o, (7.8) y o Warość makymalnego przeregulowania je miarą zapau abilności układu. JeŜeli układ ma y % o je na granicy abilności. Ad d) Cza regulacji r je o cza porzebny, aby krzywa odpowiedzi oiągnęła warość ualoną. Warość ego czau przyjmuje ię najczęściej 5%. Srona 68

169 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA Ryunek 7.. Przebieg wielkości regulowanej jako odpowiedzi na kokową zmianę wielkości zadanej Ad e) Przeregulowanie κ je o ounek makymalnego uchybu warości począkowej e p do e p (ryunek 7.), wyraŝony w procenach. A więc e p κ o. (7.9) e o p Wkaźnik przeregulowania świadczy akŝe jak wkaźnik makymalnego przeregulowania o abilności układu. Im warość przeregulowania je więkza ym mniejzy je zapa modułu, a więc pogarzana je abilność układu auomayki. Ryunek 7.. Określenie przeregulowania układu auomayki Srona 69

170 ROZDZIAŁ 7 Ad ) wkaźniki częoliwościowe Podawowymi paramerami określanymi na podawie charakeryyk częoliwościowych badanego układu regulacji auomaycznej ą zapa modułu i fazy (zapa abilności). DuŜe znaczenie ma kzał przebiegu P ω. charakeryyki części rzeczywiej ( ) Podawowymi wkaźnikami częoliwościowymi ą: a. pamo przenozenia, b. wkaźnik regulacji (wkaźnik kueczności regulacji). ( gr Ad a) Pamem przenozenia nazywamy aki zakre częości roboczych < ω < ω ), w kórym ounek ampliud wyjścia do wejścia oraz przeunięcie fazowe między wyjściem a wejściem ą urzymane w Ŝądanych granicach z dokładnością ± db (ryunek 7.). gr Znając charakeryykę częoliwościową układu zamknięego lub charakeryyki logarymiczne moŝemy wyznaczyć pamo przenozenia. Na ryunku 7. je przedawione wyznaczanie pama przenozenia. W prakyce częość graniczna ω nie powinna być więkza od częości włanej układu. Im więkza je warość częości włanej układu, ym zerze je pamo przenozenia, więkza je zybkość odpowiedzi układu. Ryunek 7.. Określenie pama przenozenia dla Φ < i A min < A < Amax. Φ max Srona 7

171 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA Ad b) Wkaźnik regulacji definiujemy w naępujący poób q ( j ) gdzie e je uchybem regulacji ( jω) z reg ( jω) bez reg e ω. (7.) e JeŜeli mamy znane warości wkaźnika regulacji dla kilku częości, wówcza moŝemy wyznaczyć obzar, w kórym powinna leŝeć charakeryyka ampliudowa układu owarego, aby układ pełniał poawione wymagania. Ad ) całkowe kryeria jakości regulacji Miarą jakości regulacji je akŝe wielkość pola (pole regulacji) pod krzywą uchybu regulacji a aympoą, do kórej dąŝy a krzywa (ryunek 7.4). DąŜy ię do minimalizacji pola. Im pole o je mniejze, ym lepzy je wkaźnik jakości. Pole regulacji znajdujące ię powyŝej oi czau (Ryunek 7.4 a), b)) oblicza ię z całek I a e( )d, I [ e e( ) ]d, (7.) b W celu uniknięcia umowania pól dodanich i ujemnych przy przebiegach przejściowych, wymuzonych poprzez kok jednokowy korzyamy z całek pól regulacji podnieionych do kwadrau. I c e ( )d, I [ e e( ) ] d d. (7.) Kryeria całkowe ą ławiejze do obliczania niŝ róŝne wkaźniki podane powyŝej. Gdy rzeba uwzględnić długość rwania odchylenia, cza jego wyępowania, oprócz warości odchylenia, wprowadzono kryerium w poaci całki I e( )d. (7.) Srona 7

172 ROZDZIAŁ 7 Ryunek 7.4. Graficzna inerpreacja całkowych kryeriów jakości regulacji: a) układ aayczny (przebieg aperiodyczny), b) układ aayczny (przebieg ocylacyjny), c) układ ayczny (przebieg aperiodyczny), d) układ ayczny (przebieg ocylacyjny) Przykład 7. Wyznaczyć odpowiedź na zakłócenie liniowo naraające x ( ) oraz an ualony ygnału wyjściowego dla elemenu auomayki o ranmiancji G ( ) Rozwiązwiązanie Z ranmiancji wyznaczamy odpowiedź układu j. y ( ) ( ), y( ) G( ) x( ), x ( ), x( ) x( ) G. Korzyając z odwronego przekzałcenia Laplace a orzymamy ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( )( ) y L y L G x L. PoniewaŜ z ablic Laplace a nie moŝna odczyać funkcji przedawiającej rozwiązanie, dlaego eŝ naleŝy dokonać rozkładu wyraŝenia na ułamki proe, czyli Srona 7

173 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA Srona ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), D D C D C B A C B A D C B A Z powyŝzego równania orzymamy naępujący układ równań algebraicznych z kórych wyznaczamy wpółczynniki A, B, C, D, zaem., 4,, 4.,,, D C B A D D C D C B A C B A ( )( ) ( ) ( ), e e y L L W anie ualonym po zaniku proceów przejściowych ygnał wyjściowy zmienia ię według wzoru ( ) y y 4. Ryunek 7.5. Wykre zmiany ygnału wyjściowego w anie ualonym PowyŜzy przykład moŝna zybciej rozwiązać poprzez rozkład ranmiancji ( ) G w zereg poęgowy, zaem

174 ROZDZIAŁ 7 G C! C! C! ( ) C... A więc y. ( ) C C C C... x( ) Poddając powyŝze równanie odwronemu przekzałceniu Laplace a orzymamy odpowiedź w anie ualonym, a więc y u ( ) C x( ) C G( ), C d G d dx d 6 ( ) d x( ) d x( ) C ( ) C dc d C dg d ( ) d C 6 d ale Oaecznie orzymamy ( ) 4 yu...., ( ) 4 d x d dx,. d Uzykany wynik je idenyczny jak orzymany z powyŝej zaoowanej meody rozwiązania Korekcja układów auomayki Wprowadzenie Korekcją układu auomayki nazywamy zmianę charakeryyki układu owarego ak, aby miała korzyniejzy przebieg. Korekcja polega więc na zmianie kzału charakeryyki ak, aby zapa abilności był w Ŝądanych granicach (ryunek 7.6). Wyępuje wówcza zmiana fazy, ąd meoda zmiany korekcji poprzez przypiezenie fazy. Srona 74

175 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA Ryunek 7.6. Skorygowana charakeryyka ampliudowo-fazowa układu regulacji M < M, ϕ < ϕ M, ϕ przed korekcją, M, ϕ po korekcji układu Elemen korekcyjny najczęściej je opiany ranmiancją ( ). T, (7.4) a b Gk Wpółczynniki a i b powinny być ak dobrane, aby wyrazy a b <<, przy częoliwości rezonanowej układu. Korzyną deformację charakeryyki moŝemy orzymać oując meody pośrednie między dwoma krajnymi przypadkami:. wykre ( jω) G abilizować w obzarze duŝych częości przez odpowiednią deformację poprzez zwiękzenie fazy (korekcja przez przypiezenie fazy, lub róŝniczkowanie). Korekcja przez przypiezenie fazy je ograniczona ym, Ŝe operacja róŝniczkowania powoduje wzmocnienie zkodliwych drgań przypadkowych. G abilizować przez zwiękzanie wzmocnienia bez zmiany fazy w obzarze małych częości (wprowadzenie całkowania).. wykre ( jω) Srona 75

176 ROZDZIAŁ 7 Ze względu na poób realizacji moŝna wyróŝnić naępujące ypy korekcji: przez działanie róŝniczkujące (przypiezenie fazy), przez działanie całkujące, przez zaoowanie regulaorów P, PD, PI, PID, przez zaoowanie echniki analogowo-cyfrowej. Korekcja układu powinna zapewniać: poprawę właności aycznych, poprawę właności dynamicznych, poprawę zapau abilności poprzez wzro warości zapau modułu i fazy. Cele e mogą być oiągnięe róŝnymi drogami:. przez zmianę warości paramerów bloków wchodzących w kład układu regulacji (paramery elemenów korekcyjnych nie ą naawiane),. przez wprowadzenie do układu nowych bloków, zwanych elemenami (członami) korekcyjnymi lub regulaorami (paramery mogą być naawiane) i umiezczenie ich w odpowiednim miejcu układu regulacji. Przez poprawę właności aycznych rozumiemy zmniejzenie warości uchybu ualonego przy wymuzeniu odpowiedniego ypu. Zmniejzenie uchybu oiąga ię przez wprowadzenie członu korekcyjnego. Częo wyarcza człon proporcjonalny P (wzmacniacz o k>), włączony zeregowo w or główny układu. Poprawa właności dynamicznych polega na zapewnieniu Ŝądanego kzału przebiegu przejściowego reprezenowanego przez akie paramery jak: (a) przeregulowanie κ, (b) cza regulacji r, i inne, wcześniej omówione. Przy doborze korekcji najdokładniejza je droga analiyczna, ale eŝ najbardziej uciąŝliwa. Dlaego w prakyce najczęściej korzya ię ze związków przebiegu przejściowego z charakeryykami częoliwo- Srona 76

177 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA ściowymi. Soowane ą równieŝ meody modelowania analogowego i cyfrowego. Ze względu na poób włączenia elemenu korekcyjnego w układ regulacji auomaycznej, korekcję moŝna określić jako a) zeregową (ryunek 7.7) Ryunek 7.7. Schema blokowy układu z elemenem korekcyjnym włączonym zeregowo G b) równoległą (ryunek 7.8) ( ) G ( ) G ( ), (7.5) o k Ryunek 7.8. Schema blokowy układu z elemenem korekcyjnym włączonym równolegle G ( ) G ( ) G ( ), (7.6) o c) ze przęŝeniem zwronym (włączenie any-równoległe) (ryunek 7.9) k Ryunek 7.9. Schema blokowy układu z elemenem korekcyjnym w przęŝeniu zwronym (włączenie any-równoległe) Srona 77

178 ROZDZIAŁ 7 G ( ) o( ) ( ) G ( ) G. (7.7) G Układy korekcji w przęŝeniu zwronym nazywa ię akŝe układami z pomocniczą wielkością regulowaną o ygnale y. Podawowym warunkiem do pełnienia korekcji je zwykle odpowiedni zapa abilności (zapa M i ϕ ). WyróŜnia ię rzy rodzaje korekcji zeregowej: o a. wprowadzenie jednakowego łumienia dla wzykich warości częoliwości poprzez zmianę wzmocnienia, b. wprowadzenie przy duŝych częoliwościach łumienia za pomocą elemenu korekcyjnego opóźniającego fazę (elemen całkujący), c. zmniejzenie opóźnienia fazowego za pomocą elemenu korekcyjnego przypiezającego fazę (elemen róŝniczkujący ma zawze dodanią fazę). Korekcja przez całkowanie Jeśli mamy układ regulacji, kórego wzmocnienie ayczne je za małe, moŝemy zwiękzyć o wzmocnienie wprowadzając całkowanie do ranmiancji układu owarego w poaci elemenu o wzmocnieniu dąŝącym do przy ω. Tranmiancja akiego elemenu je k G k ( ), P ( ω ), Q( ω), T Tω ϕ arcan. faza ujemna Tω (7.8) Aby zmniejzyć uchyb ayczny wprowadza ię elemen korekcyjny k G k ( ). (7.9) T o module dąŝącym do przy duŝych częościach i module dąŝącym do k przy małych częościach. Srona 78

179 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA Ryunek 7.. Charakeryyka ampliudowo-fazowa elemenu całkującego Dla ϕ con, A nie koryg. < A koryg. Ryunek 7.. Charakeryyka ampliudowo-fazowa regulacji przed i po korekcji (wprowadzenie elemenu całkującego) JeŜeli zaleŝy nam na zmianie ampliudy w obzarze małych częości, redukcji odchyłki aycznej, urzymanie w odpowiednich granicach zapau abilności paśmie przenozenia, o oujemy regulaor PI. Oczekiwania e mogą być pełnione poprzez duŝe wzmocnienie ampliudy przy małych częościach, ale kozem zmniejzenia fazy poniŝej zw. częości przęgającej ω (częość niŝza od T rezonanowej). Poza ym w obzarze nikich częości, nie ma nadmiernego ujemnego przeunięcia fazowego. Dla ak korygowanych układów zapa fazy je za mały. Wedy prowadzi ię aprokymację regulaorów PI. JeŜeli chcemy urzymać duŝą warość zapau abilności w zakreie częości rezonanowych o oujemy do korekcji regulaory PD lub PI. Fizyczne działanie korekcyjnego elemenu róŝniczkującego moŝna wyjaśnić jako przeciwdziałanie wzbudzaniu ię układu regulacji przez Srona 79

180 ROZDZIAŁ 7 łumienie uchybu korygowanego ym elemenem. Zaem w obzarze nikich częości powinna przewaŝać korekcja przez PI, zaś w obzarze wyokich częości, korekcja przez PD. Poprzez odpowiednie połączenie ych kombinacji regulaorów, moŝna orzymać korekcję ypu PID. JeŜeli chcemy zwiękzyć ką przeunięcia fazowego (max. 9 ) między odpowiedzią a wymuzeniem o do korekcji oujemy regulaor rzeczywiy PD. Przeunięcie fazowe dla ego ypu regulaora wyępuje w ograniczonym zakreie i dla wąkiego zakreu częości powyŝej.ω. Korekcja analogowo-cyfrowa Na ryunku 7. je przedawiony ypowy chema układu auomaycznej regulacji, w kórym jako urządzenie erujące zaoowano kompuer. Specyfika analizy erowania kompuerowego polega na ym, Ŝe proce erowania je rozparywany jako dykreny w czaie. Srona 8 Ryunek 7.. Schema cyfrowego układu korekcji Aby przejść na poać cyfrową ygnału, z kórą mamy do czynienia w regulaorze cyfrowym lub erowniku, naleŝy przekzałcić ygnał z poaci analogowej na cyfrową i odwronie. Regulaory analogowe generują ciągły w czaie ygnał wyjściowy w odpowiedzi na ciągły ygnał wejściowy. Regulaory cyfrowe zaś ylko przewarzają ygnał w chwilach próbkowania, wywarzając ciąg czaowy ygnałów wyjściowych. JeŜeli pierwony ygnał je analogowy, o konieczne aje ię przekzałcenie analogowo-cyfrowe (wejście regulaora cyfrowego mui być kwanowane). Tak więc w analogowych układach erowania, ygnały wejściowe muzą być próbkowane i kwanowane przez przewornik A/C dla ich wprowadzenia do regulaora cyfrowego. Dobór naaw dla ypowego regulaora analogowego, a naępnie określenie paramerów odpowiadającego mu algorymu cyfrowej regulacji moŝna dokonać przez zaoowanie zmodyfikowanej reguły Zieglera-Nichola. Przykład 7.4 Dla układu auomayki (ryunek 7. i 7.4) przy danych l N / m, k N / m, m kg, k 5 wyznaczyć zapa modułu oraz

181 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA polepzyć abilność układu poprzez wmonowanie w or pomocniczy członu korekcyjnego o ranmiancji G k ( ), ( k, T ek) Ryunek 7.. Układ auomayki ze przęŝeniem zwronym Ryunek 7.4. Układ mechaniczny złoŝony z łumika, may i pręŝyny Równanie równowagi ił dla badanego układu mechanicznego je naępujące ( ) ly& ( ) k y( ) F( ) m& y, Korzyając z rachunku operaorowego (przekzałceń Laplace a) przy zerowych warunkach począkowych powyŝze równanie przyjmuje poać Sąd ranmiancja operaorowa je ( ) ly( ) k y( ) F( ) m y, ( ) k ( ) m l k T T y G ( ), F Srona 8

182 ROZDZIAŁ 7 m l T, T, k. k k k Zaępcza ranmiancja operaorowa ( ) G z badanego układu auomayki z owarym przęŝeniem zwronym je G z ( ) G( ) k, Część rzeczywia P ( ω) i urojona ( ω) Q ranmiancji widmowej przyjmuje poać G z ( ) [( ω ) jω] jω ω jω [( ω ) jω]( [ ω ) jω] ( ω ) jω. ( ω ) ω zaem ( ) ( ω ) ω ( ω ) ω P, ( ω) ω Q. ( ω ) ω Zapa modułu wyznaczamy ze wzoru ( ω ) M P. Wyznaczamy częość przyrównując Q ( ω) do zera. Sąd dla ak wyznaczonej warości częości wyliczamy P ( ω π ), czyli ( ω ) π ω Q ( ω) ω, ω P( ω ), zaem P( ω ) M. PoniewaŜ M, więc badany układ moŝe być nieabilny. NaleŜy więc zbadać, czy wprowadzenie członu korekcyjnego przyczyni ię do poprawy abilności, zaem po wprowadzeniu członu korekcyjnego do π Srona 8

183 WPROWADZENIE DO UKŁADÓW AUTOMATYCZNEGO STEROWANIA oru pomocniczego (obok członu proporcjonalnego) ranmiancja owarego układu auomayki je naępująca G ok ( ) Tranmiancja widmowa je G ok ( jω) jω ω jω [( ω ) jω( ω )] [( ω ) jω( ω )]( [ ω ) jω( ω )] [( ω ) jω( ω )] ( ω ) ω ( ω ) [ ], Zaem część rzeczywia P ( ω) i urojona ( ω) przyjmuje poać ( ) ( ω ) ω ( ω ) ω ( ω ) [ ] P, ω ąd ( ) ( ω ) ω ( ω ) ω ( ω ) [ ] Q, Q ranmiancji widmowej ( ) ω( ω ) ω Q ω, ( ω ) P, M P( ωπ ). Po wprowadzeniu członu korekcyjnego uzykaliśmy duŝy zapa modułu, a więc układ auomayki je abilny Srona 8

184 ROZDZIAŁ 7 Ryunek 7.6. Charakeryyka ampliudowo-fazowa Srona 84

185 ` 8 Opi liniowych układów regulacji w przerzeni anów

186 ROZDZIAŁ Wprowadzenie Srona 86 W rozdziale ym zoanie przedawiony maeriał do analizy auomaycznych układów erowania przez wykorzyanie przerzeni anów. Nowoczene układy erowania ą bardziej komplikowane, mogą mieć więkzą liczbę ygnałów wejściowych i wyjściowych, akŝe mogą ię zmieniać w czaie (podejście w dziedzinie czau). Maemayczny opi akich układów meodami klaycznymi (podejście w złoŝonej dziedzinie częoliwości) je niewyarczający, a nawe w wielu przypadkach niemoŝliwy. Zaem nowe podejście do analizy i projekowania złoŝonych układów erowania opiera ię na pojęciu równań anu i wyjścia. Zaleą meod przerzeni anu je o, Ŝe równania opiujące układy regulacji nie muzą być równaniami liniowymi lub acjonarnymi. Wielowymiarowe ygnały wejścia i wyjścia mogą być liniowe i nieliniowe, niezmienne lub zmienne w czaie. Klayczna eoria nadaje ię ylko do układów liniowych, ałych w czaie, z jednym wejście i wyjściem. Jak widać na począku naleŝy zdefiniować an, zmienne anu, wekor anu oraz przerzeń anów np. dla układu dynamicznego. ZauwaŜmy więc Ŝe pojęcie anu nie odnoi ię ylko do układów fizycznych. MoŜe być akŝe oowane do układów ekonomicznych, połecznych, biologicznych i innych. San układu je najmniejzym zbiorem zmiennych, nazywanych zmiennymi anu, akich, Ŝe znajomość w chwili, wraz ze znajomością ygnału wejściowego dla, w pełni określa zachowanie układu w kaŝdej chwili. San układu je określany jako zbiór niezaleŝnych wpółrzędnych anu opiujących układ i ich pochodne. Zmiennymi anu układu dynamicznego ą zmienne worzące najmniejzy zbiór zmiennych, kóre określają an ego układu. Zmienne e nie muzą być wielkościami fizycznie mierzalnymi ani oberwowalnymi. W prakyce o ile o je moŝliwe wygodnie je wybrać na zmienne anu wielkości ławo mierzalne. Do pełnego opiu zachowania ię układu porzebnych je n kładowych zmiennych anu x,x,x,... xn, kóre mogą być przyjęe jako n kładowych wekora anu x. To e n zmiennych worzy zbiór zmiennych anu.

187 OPIS LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI W PRZESTRZENI STANÓW Wekorem anu nazywamy więc n kładowych zmiennych anu wekora x. Tak, więc wekor anu jednoznacznie określa an x ( ) układu w kaŝdej chwili czau, gdy ylko je znany an w chwili i określony je ygnał wejściowy (erujący) u ( ) dla. Przerzenią anów nazywa ię n wymiarową przerzeń, kórej układ wpółrzędnych kłada ię z oi x,x,x,... xn. KaŜdy dowolny an moŝe być przedawiony przez punk w przerzeni anów. 8.. Klayfikacja modeli maemaycznych opiujących układy dynamiczne acjonarne ciągłe (DLSC) Model maemayczny obieku erowania dla układu dynamicznego powinien wyraŝać woje cechy poprzez zaleŝności maemayczne. Modele kóre reprezenują właściwości dynamiczne: a. dynamiczne dykrene (ryunek 8.) (impulowe) warości zmiennych modelu zmieniają ię jedynie w danych dykrenych chwilach czau b. dynamiczne ciągłe (ryunek 8.) cza zmienia ię w poób ciągły, zaś warości zmiennych modelu określane ą w kaŝdej dowolnej chwili, Ryunek 8.. Model dynamiczny dykreny Srona 87

188 ROZDZIAŁ 8 Ryunek 8.. Model dynamiczny ciągły Modele dynamiczne akumulują energię. Modele dynamiczne ciągłe opiywane ą równaniami róŝniczkowymi zwyczajnymi, zaś dykrene równaniami róŝnicowymi. c. ayczne zaniedbuje ię akumulację energii, zakładając an ualony gdy oddziaływania zewnęrzne nie ulegają zmianom, Ryunek 8.. Model ayczny Dalza klayfikacja (podział) podany je w rozdziale. 8.. Przerzeń zmiennych anu, wybór zmiennych anu San układu je zwykle określany jako minimalna ilość informacji wymaganych do całkowiego określenia zachowania ię układu przy danym erowaniu. Składowe wekora ą rzuami wekora anu na oie wpółrzędnych. KaŜdy układ moŝna opiać na wiele poobów, a mianowicie jako zmienne zaleŝne moŝna wybrać dla układu: elekrycznego prąd, napięcie, ładunek; dla mechanicznego przemiezczenie, prędkość, przypiezenie, obró, iłę reakcji, momen: dla hydraulicznego lub pneumaycznego przepływy, ciśnienie. Srona 88

189 OPIS LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI W PRZESTRZENI STANÓW Szczególnym i waŝnym przypadkiem wyboru zmiennych anu je aki wybór, przy kórym zmienne ą pochodnymi poprzed- x& x ). nich ( ( ) ( ) n n Mówimy wówcza, Ŝe zmienne anu ą zmiennymi fazowymi, a przerzeń anu przerzenią fazową. Przerzeń fazową worzy zbiór wzykich moŝliwych warości wekora anu x() w chwilach. Aby wybrane zmienne moŝna było nazwać zmiennymi anu o równania ułoŝone przy ich uŝyciu muzą pełniać warunki: dawać pełny i jednoznaczny opi dynamiki układu, anowić układ równań róŝniczkowych. Najbardziej ogólną meodą maemaycznego opiu złoŝonych układów auomayki, mających wiele wejść i wyjść ą meody opiu w przerzeni. San układu określany jako zbiór niezaleŝnych wpółrzędnych połoŝenia i ich pochodnych, związany je z energią zmagazynowaną w jego elemenach w danej chwili. Podawą analizy układów DLSC ą równania anu i równanie wyjścia. Równania e mogą być zapiane w poaci ogólnej lub macierzowowekorowej Opi układów DLSC we wpółrzędnych anu (równania anu i wyjścia, zapiane poaci ogólnej i macierzowo-wekorowej) Układy o wielu wejściach i wyjściach (MIMO muli inpu, muli oupu) oraz całe yemy układów opiujemy jak juŝ wpomniano, uŝywając wpółrzędnych anu. Srona 89

190 ROZDZIAŁ 8 Ryunek 8.4. Schema układu MIMO, DLSC x i ( i od do n) - kładowe wekora anu, ( i od do k) kładowe wekora wejść (erowań), ( i od do l) u i - y i - kładowe wekora wyjść, k ilość ygnałów wejściowych, l - ilość ygnałów wyjściowych. Mogą być rzy wariany ygnałów: ) k, ) k <, ) k >. Grupę ygnałów wejściowych u() (ygnałów erowań) zdefiniujemy jako wekor ygnałów wejściowych, kórego wpółrzędne ą pozczególnymi ygnałami wejściowymi układu. u ( ) ( ) ( ) u u..., (8.) ( )... uk Grupę ygnałów wyjściowych y() zdefiniujemy jako wekor ygnałów wyjściowych, kórego wpółrzędne ą pozczególnymi ygnałami wyjściowymi układu. y ( ) ( ) ( ) y y..., (8.) ( )... yl Grupę kładowych wekora anu x() zdefiniujemy jako wekor anu. Srona 9

191 OPIS LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI W PRZESTRZENI STANÓW x ( ) ( ) ( ) x x..., (8.) ( )... xn Z wekora ygnałów wejściowych moŝna wyodrębnić wekor ygnałów erujących u() i wekor ygnałów zakłócających z(). Wyznaczenie przebiegu połoŝenia y() elemenu dla czau > wymaga: znajomości połoŝenia y ( ) i prędkości ( ) y& - wpółrzędne e określają an układu w chwili i moŝna je rozumieć jako zachowanie ię układu w czaie <, znajomości przebiegu wielkości wejściowych np. ił dla >. W celu oiągnięcia jednoznaczności rozwiązania naleŝy podać równieŝ wekor x ( ) uwzględniający warunki począkowe. KaŜdej parze funkcji wekorowych u(), y() przyporządkowany je wekor anu x(). Składowe ego wekora ą wpółrzędnymi (zmiennymi) anu. Liczba ych wpółrzędnych je zawze równa rzędowi układu, zn. rzędowi równania róŝniczkowego opiującego związek wyjścia z wejściem. Nie naleŝy jednak uoŝamiać liczby wpółrzędnych anu z liczbą wielkości wyjściowych, choć czaami moŝe u zachodzić równość. Układ moŝe eŝ mieć jedną wielkość wyjściową, a być opiany równaniem czwarego rzędu i wówcza wekor anu będzie zawierał czery wpółrzędne anu (układ MISO muli inpu, ingle oupu). Równanie anu moŝna zapiać w poaci ogólnej j. ( ) f [ x( ),u( ),] x & i z n warunkami począkowymi, (8.4) x ( ) x, (8.5) Srona 9

192 ROZDZIAŁ 8 gdzie: f jednoznaczna funkcja anu, jako k elemenowa funkcja wekorowa, x ( ) n wymiarowy wekor anu w chwili, u ( ) k wymiarowy wekor erowania, chwila bieŝąca,. PoniewaŜ Ŝadna ze wpółrzędnych anu moŝe nie być wielkością wyjściową układu, o do określenia ej wielkości niezbędny je dodakowy związek ( ) g[ x( ),u( ),] y, (8.6) gdzie: g je l elemenową jednoznaczną wekorową funkcją wyjścia. Równanie (8.6) zwane je równaniem wyjścia. Równanie wyjścia nie je równaniem róŝniczkowym, gdyŝ całość dynamiki układu opiana je równaniem anu. MoŜe ono naomia zaleŝeć od czau. Równania anu i wyjścia nie zawierają pochodnych wielkości wejściowej. Równanie anu (8.4) i wyjścia (8.6) moŝna przedawić na chemacie blokowym (rukuralnym) (ryunek 8.5). Ryunek 8.5. Schema blokowy równania anu i wyjścia Równanie anu (8.4) moŝna zapiać zczegółowo w poaci ( ) dx d dxn d ( x,x,x,...,x n,u,u,u,...u k,x( )), f x ( ) n ( x,x,x,...,x n,u,u,u,...u k,x( )) xn f. Równanie anu (8.4) moŝna zapiać zczegółowo w poaci ( ) g( x,x,x,...,x n,u,u,u,...u k,) ( ) g ( x,x,x,...,x,u,u,u,...u,) y, yl l n k. (8.7) (8.8) Srona 9

193 OPIS LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI W PRZESTRZENI STANÓW Srona JeŜeli równania (8.7) i (8.8) ą nieliniowe, o mogą być zlinearyzowane w ooczeniu wybranego punku pracy. Wówcza przyjmują naępującą poać ( ), f u u f u u f u u f u u f x x f x x f x x f x x f x k k n n ( ) f u u f u u f u u f u u f x x f x x f x x f x x f x n k k n n n n n n n n n n n (8.9) ( ), g u u g u u g u u g u u g x x g x x g x x g x x g y k k n n ( ) g u u g u u g u u g u u g x x g x x g x x g x x g y l k k l l l l n n l l l l l (8.) Zlinearyzowane równania anów (8.9) i wyjść (8.) zapiuje ię zwykle króowo w poaci wekorowo-macierzowej j. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u B x A x &, (8.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u D x C y. (8.) gdzie: A() macierz układu opnia n n (macierz anu), B() macierz wejść opnia n k (macierz erowań), C() - macierz wyjść opnia l n, D() macierz ranmiyjna układu opnia l k. Pozczególne elemeny macierzy A, B, C, D ą pochodnymi cząkowymi wyępującymi w równaniach (8.) i (8.). Dla układu DLSC (niezmiennego w czaie, gdy funkcje f i g nie wprowadzają jawnie czau ) ą ałymi liczbami, zaleŝnymi od rukury i paramerów opiywanego układu. Odpowiada o układowi liniowych

194 ROZDZIAŁ 8 równań róŝniczkowych o ałych wpółczynnikach. Wówcza równania (8.) i (8.) moŝna zapiać w poaci ( ) Ax( ) Bu( ) x &, (8.) ( ) Cx( ) Du( ) y. (8.4) Równania anu (8.) i wyjścia (8.4) w zapiie macierzowo-wekorowym przedawia ryunek 8.6. Ryunek 8.6. Schema rukuralny równań anu i wyjścia w zapiie macierzowo-wekorowym W niniejzym krypcie będziemy zajmować ię ylko układami opianymi równaniami (8.) i (8.4). Przykład 8. Na układ mechaniczny przedawiony na ryunku 8.7 złoŝony ze pręŝyn, kaŝda o zywności k N/mm, łumika o wpółczynniku łumienia c N/mm działa iła zewnęrzna P( ) 5u( ) N, kóra je przyłoŝona do may m kg powodując jej przemiezczenie y. UłoŜyć równania anu i wyjścia w poaci ogólnej i macierzowo-wekorowej oraz naryować odpowiadające im chemay rukuralne Ryunek 8.7. Badany układ mechaniczny Srona 94