{ } = ( ) Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania. Rozdział Obliczanie transformat Laplace a i transformat odwrotnych

Transkrypt

1 Rozdział 8 Przekzałcenie aplace a i jego zaoowania Opracował: eław Dereń Inyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akuyki Prawa auorkie zarzeżone 8 Obliczanie ranforma aplace a i ranforma odwronych NajwaŜniejze właności przekzałcenia aplace a zoały zeawione w Tablicy 8 Właności e wynikają bezpośrednio z definicji przekzałcenia W ablicy przyjęo naępujące oznaczenia: {f()} F() {g()} G() Tablica 8 Właności przekzałcenia aplace a p Oryginał Tranformaa omenarz a f ) + a g( ) a F ) + a G( ) ( ( ξ e f ( ) F( ξ ) d f ( ) d 4 f F ( ) f () ( τ ) dτ F( ) iniowość przekzałcenia a a liczby rzeczywie lub zepolone Przeunięcie w dziedzinie ξ liczba rzeczywia lub zepolona RóŜniczkowanie (dyrybucyjne) w dziedzinie ałkowanie (dyrybucyjne) w dziedzinie 5 f ( ) ( ) F( ) e Przeunięcie w dziedzinie 6 f () d F( ) d RóŜniczkowanie w dziedzinie 7 f ( a) a > F a a Skalowanie 8 f ( ) g( ) f ( τ ) g( τ ) dτ F ( ) G( ) Splo w dziedzinie 9 + j c f ( ) g( ) F( λ ) G( λ ) d λ πj c j MnoŜenie funkcji w dziedzinie W dalzej części ego rozdziału będziemy uŝywać równieŝ uprozczonych oznaczeń równowaŝnych odpowiednio z ˆ F ( ) i F ( ) ˆ f ( ) f { f ( ) } F ( ) i { } F f

2 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Zad 8 Obliczyć ranformay aplace a naępujących funkcji (dyrybucji): f δ f e a ( ) f ( ) ( ) f e a f ( ) f n ( n )! inω f ( ) coω ( ) a a e inω f ( ) e coω ( ) inω f ( ) coω ( ) f f f Tranformay zoały zeawione w ablicy 8 Tablica 8 Tranformay elemenarnych funkcji (dyrybucji) f ( ) F ( ) δ( ) ( ) e a ( ) ( ) e a n ( n ) ( )! ( ) inω coω e e a a inω coω inω coω ( ) ( ) + a ( + a) n ω +ω + ω ω ( a) + +ω + a ( + a) + ω ω ( +ω ) ( + ω ) ω

3 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Znajomość ranforma zeawionych w ablicy 8 będzie porzebna przy rozwiązywaniu wielu zadań z ego rozdziału i byłoby rzeczą ze wzech miar poŝądaną ich zapamięanie Zad 8 Obliczyć ranformaę aplace a funkcji f ( ) ( 5e co 5 in ) ( ) Rozwiązanie: f 5 f f PoniewaŜ gdzie f ( ) e co 5 ( ) f ( ) in ( ) o na podawie właności () F ( ) 5 { f ( ) } { f ( ) } Tranformay f () i f () oblicza ię korzyając z odpowiednich właności przekzałcenia I ak kolejno: kładnik : co5 ( ) ˆ + 5 d 5 co5 ( ) ˆ d 5 (właność (6)) ( ) + 5 e co 5 ( ) ˆ (właność ()) ( + ) + 5 kładnik : in ( ) ( ) co ( ) ˆ (właność ()) + 4 Oaecznie: F ( ) ( + ) ( ) ( + 4) Zad 8 Obliczyć ranformay aplace a naępujących funkcji: a) f ( ) e ( ) b) f ( ) e ( co in ) ( ) c) 5 f in ( ) d) f ( ) e ch ( ) e) f ( ) ( e co ) ( ) + f) f e π ( ) g) f ( ) in ( ω + ϕ ) ( ) h) f ( ) co ( ω + ϕ ) ( ) a) F ( ) F b) ( + )

4 c) F ( ) e) F ( ) f) F ( ) F Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4 4 ( + + ) + 5 d) F ( ) ( ) 5 4 ( + )( + 9) π π π + 4π 6π + 6π inϕ + ω coϕ g) + ω ( + π) 4 F coϕ ω inϕ h) + ω Zad 84 Wyznaczyć ranformay aplace a funkcji impulowych kórych wykrey przedawiono na ry 84a i 84b f() f() A Fragmen inuoidy 4 5 Ry 84a Ry 84b T Rozwiązanie: Funkcję z ry 84a moŝna analiycznie zapiać jako: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( 5) ( 5) f Tranformaa aplace a ej funkcji je równa ( ) 5 e + e + e F ( ) Z kolei funkcję z ry 84b moŝna zapiać jako π π f ( ) A in ( ) + in ( T ) ( T ) T T a jej ranformaa je równa π ( e T A + ) F ( ) T π + T W obu przypadkach wykorzyujemy właności () i (5) z ablicy 8

5 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 Zad 85 Obliczyć ranformay aplace a funkcji impulowych kórych wykrey przedawiono na ry 85 f() (a) f() (b) f() A (c) f() 5 (d) 4 7 A 5 f() (e) ćwiarki inuoidy f() (f) ćwiarka inuoidy 4 f() (g) fragmeny inuoidy f() (h) połówka inuoidy 4 π π π π Ry 85

6 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 a) F ( ) b) F ( ) c) F ( ) d) F ( ) e) F ( ) f) F ( ) g) F ( ) h) F ( ) Zad 86 4 e + e e + e e 5e + 5e e + e e + e e A e e + e e + e 4 π + e e π + 4 ( + 5π ) π + 5π 5π e + + 5π e 5 ( ) ( ) π + π π π π 4 e e e π π π ( ) ( ) π ( + ) + + e + π + + e + e Obliczyć ranformay aplace a funkcji okreowych kórych wykrey przedawiono na ry 86 a) F ( ) A λt ( e ) T ( e ) b) F ( ) λ A λt λ e + λe ( λ ) T T ( e ) T c) F ( ) d) F ( ) ( ) + e ( + e ) ( e ) e 5e e e 5e + e + e

7 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 7 f() (a) f() (b) A A λt T T+λT T λt T T+λT T < λ < < λ < f() (c) f() (d) f() (e) f() (f) połówki inuoidy ćwiarki inuoidy 5 7 π π π 4π f() (g) fragmeny inuoidy f() (h) ćwiarki inuoidy θ π π +θ π < θ < π Ry 86

8 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 8 e) F ( ) πe + πe e 4 ( 4 + π )( e ) f) F ( ) g) F ( ) π e 4 π ( + )( e ) ( θ θ ) co + in ( + )( e π ) h) F ( ) Zad 87 π e 4 π e ( + )( + ) Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F Rozwiązanie: ( + )( + )( + 7) Funkcja F() je funkcją wymierną Ponado opień licznika je mniejzy od opnia mianownika a pierwiaki mianownika (bieguny funkcji) ą jednokrone Funkcję aką moŝna rozłoŝyć na ułamki proe czyli przedawić ją w poaci naępującej umy: F c c c c Wpółczynniki c k wyępujące w ym rozwinięciu obliczamy z naępujących zaleŝności: c F ( + )( + )( + 7) c ( + ) F ( ) ( + )( + 7) ( + )( + ) c ( + ) F ( ) 7 ( + )( + ) c4 ( + 7) F ( ) 7 Funkcję F() moŝemy więc zapiać w poaci: F

9 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 9 Tranformay odwrone pozczególnych kładników ej funkcji zoały juŝ obliczone w zad 8 (moŝna je znaleźć w ablicy 8) Oaecznie więc orzymujemy: Zad 88 ( 5 7 e e e ) ( ) f + Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F Rozwiązanie: Meoda (nie zalecana) ( ) Funkcja F() pełnia akie ame załoŝenia jak funkcja w zad 87 Ma jednak parę zepolonych przęŝonych biegunów Rozkład na ułamki proe będzie więc miał poać: F c c + + c + + j + j + + j + j Wpółczynniki rozwinięcia obliczamy z naępujących zaleŝności: c F ( ) ( + + j) + j j ( + j) j c F ( + j) j + j ( + + j) + j c F c Funkcja F() ma więc poać F a jej ranformaa odwrona 5 + j j j + j ( + j ( j) 5 j ) e ( j ) e f ( ) ( ) j j j j 5 + e e + j e e j e ( ) ( ) 5 e co in

10 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Meoda Funkcję F() rozkładamy na naępujące ułamki: F c k k c c c k k ( ) ( ) ( ) Z porównania wpółczynników wielomianów liczników przy jednakowych poęgach orzymujemy naępujący układ równań: : c + k : 4c + k 9 : c 65 z kórego po rozwiązaniu uzykujemy c 5 k k Oaecznie F a ranformaa odwrona (w razie wąpliwości waro zajrzeć do abeli 8) 5 e ( co in ) f Wpółczynniki rozkładu na ułamki moŝna równieŝ policzyć inaczej PoniewaŜ równość ( ) je oŝamościowa (obowiązuje dla wzykich kóre nie ą pierwiakami mianownika) o podawiając za róŝne warości liczbowe moŝna orzymać odpowiednią liczbę równań z kórych wyznaczymy pozukiwane wpółczynniki I ak c k + k + c + k + k : c k + k + c + k k : c k + k + c + k k : Z równań ych po rozwiązaniu orzymujemy c k k Meoda Meoda a je modyfikacją podejścia zaoowanego poprzednio Pouluje ię naępujący rozkład funkcji F(): F Wówcza c + + α + α e ( α co + α in ) f c

11 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Wpółczynniki c α α moŝna obliczyć jednym z omawianych poprzednio poobów Orzymuje ię oczywiście c 5 α α Waro u zauwaŝyć Ŝe moŝliwe ą meody miezane W omawianym przykładzie wygodnym wydaje ię wyliczenie wpółczynnika c ze wzoru ak jak w meodzie naomia k i k ( α i α ) jednym ze poobów opianych w meodzie Zmniejza ię wówcza liczba równań kóre naleŝy rozwiązać Zad 89 Obliczyć odwrone ranformay aplace a naępujących funkcji: a) F ( ) b) F ( ) c) F ( ) d) F ( ) e) F ( ) f) F ( ) g) F ( ) h) F ( ) i) F ( ) j) F ( ) k) F ( ) ( + )( + )( + 5) ( + )( ) ( + )( + + ) ( + ) ( + )( ) ( + 4)( + 9) ( )( + 4) ( + )( )( ) ( + 4)( + + 5)( ) + π π ( π )

12 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 a) f ( ) ( e e e ) ( ) + + b) f ( ) ( e e 4e ) ( ) + + c) ( e e 4 f e ) d) ( f e e ) ( ) + e) f ( ) ( e e co) ( ) f) f ( ) e ( co + in ) ( ) g) f ( ) ( co in ) ( ) + h) f ( ) ( e e e co in ) ( ) i) f ( ) + e e ( co in 4) ( ) j) f ( ) ( + e ) in e co ( ) k) f ( ) e ( coπ inπ ) ( ) Zad 8 Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F Rozwiązanie: ( + )( + ) Rozkład funkcji F() ma naępującą poać: F c c c c c c na podawie kórej moŝna naychmia wypiać ranformaę odwroną c e c 4 f c c + c + c + + e ( )!! ( ) (Skąd ię o wzięło? A no rzeba wyzukać odpowiednią funkcję w ablicy 8 i korzyać z właności () z ablicy 8) Jak widać jedynym problemem rachunkowym je wyznaczenie wpółczynników rozkładu c kl MoŜna ego dokonać kilkoma róŝnymi meodami

13 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Meoda orzyamy z ogólnej poaci rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proe F m α c k kl l ( ) k l k gdzie m je liczbą róŝnych pierwiaków mianownika funkcji F() naomia α k je kronością pierwiaka k Wówcza wpółczynniki rozkładu moŝna wyliczyć z zaleŝności: ( α l) k α l k d αk ckl ( k ) F ( ) α k l! d olejno więc wyliczamy: c 4 4 ( + )( + ) k F (k α k l ) c ( + ) F ( ) (k α 4 k l ) ( + ) 4 ( + ) c4 ( + ) F ( ) (k α k 4 l 4) 4 d 4 d c ( + ) F ( )! d d ( + ) ( + ) (k α k 4 l ) 5 4 d 4 d c ( + ) F ( )! d d ( + ) ( + ) (k α k 4 l )

14 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA d 4 d c ( + ) F ( )! d d ( + ) 4 ( ) ( + ) Rozkład funkcji F() na ułamki proe wygląda więc naępująco: (k α k 4 l ) F a jej ranformaą odwroną je: 4 Meoda ( + e ) e f Po prowadzeniu wyraŝenia ( ) do wpólnego mianownika i porównaniu liczników lewej i prawej rony orzymujemy naępującą oŝamość: c + c + c + ( ) 4 ( 9c 8c 7c c ) ( c 4c 8c 5c c ) ( ) ( 48c 6c 8c 4c c c ) c + c + c + c + c + c c 4 Po przyrównaniu wpółczynników przy jednakowych poęgach orzymujemy naępujący układ równań liniowych c c c 56 8 c c 9 6 c 4 6 z kórego wyznaczamy pozukiwane wpółczynniki rozkładu na ułamki proe

15 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 Meoda Poulujemy naępującą poać rozkładu na ułamki proe c c c c c c ( + )( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) a naępnie poawiamy za róŝne warości liczbowe (ale akie kóre nie ą biegunami funkcji F()!) Orzymamy wówcza układ równań liniowych w kórych niewiadomymi będą pozukiwane wpółczynniki W omawianym przykładzie porzebne będzie ześć równań a więc naleŝy podawić za ześć róŝnych warości I ak przykładowo: 5: 4: : : : : 59 c c c c c c c c c c c c c c c + c c + c4 64 c 4c 8c 6c c + c c c c c c c c c c c c c Z orzymanych równań wyliczamy pozukiwane wpółczynniki rozkładu na ułamki proe Podawową rudnością przy oowaniu meod i je jak widać konieczność rozwiązania układu równań liniowych JeŜeli mamy aką moŝliwość o waro korzyać z kóregoś z doępnych programów numerycznych Obliczenia moŝna doyć znacznie uprościć jeŝeli zaoować kombinację przedawianych meod zn wyliczyć wpółczynniki c c c meodą (nie liczy ię wedy pochodnych) a pozoałe wpółczynniki meodą lub W przypadku gdy funkcja F() ma jeden lub więcej biegunów o duŝych kronościach wówcza najbardziej efekywną meodą rozkładu jej na ułamki proe je meoda Goldone a

16 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 Meoda 4 (Goldone a) Dokonujemy naępującej zamiany zmiennych: p + czyli p Wówcza 4 ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) 4 ( p )( p ) p F p 4 p 6 p + 8p p p p p ( )( ) czyli po oburonnym przemnoŝeniu przez p 4 4 p F p 4 p 6 p + 8p p + 6 p p + Teraz naleŝy zacząć dzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika zaczynając dzielenie od najniŝzych poęg p 6 p + 8p 6p + p 4 p + p p + p p 6 9p +p p + 5p 6p + p 4 p + p p p 5p + p 4 p p + p 4 p p + p 4 p 5 p 4 + p 5 Dzielenie kończymy w momencie gdy w wyniku pojawi ię p kroność bieguna) Oaecznie moŝemy zapiać (poęga o niŝza niŝ p p p F p p + p p + ( p )( p ) Po oburonnym podzieleniu przez p 4 i podawieniu p + orzymujemy F ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) Oani kładnik ma juŝ ylko jednokrone bieguny i po jego rozłoŝeniu na ułamki proe orzymujemy pozukiwaną poać funkcji F() Zad 8 Obliczyć odwrone ranformay aplace a naępujących funkcji: a) F ( ) ( + )( + )

17 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 7 b) F ( ) c) F ( ) d) F ( ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + 4) e) F ( ) f) F ( ) ( + ) ( + ) ( + 4) 64 ( + )( + 5) 4 g) F ( ) h) F ( ) ( + ) ( + + ) 5 + ( + ) 5 ( + + 5) i) F ( ) + ( + ) 6 j) F ( ) k) F ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + 4) a) ( e ) e f + + ( ) b) f ( ) + e + ( ) e ( ) c) f + e + e ( ) 4 d) f ( ) ( + ) e ( + ) e ( ) 4 e) f ( ) ( e e e ) ( ) f) f ( ) e ( ) e ( ) g) f ( ) ( e in e ) ( )

18 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 8 h) ( ) ( f + + e + in + co ) e ( ) i) ( 5 4 f ) ( ) 8 e j) f ( ) ( + ) e + co ( ) k) ( 4 f + ) e co + in ( ) Zad 8 Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F Rozwiązanie: ( + + 5) Funkcja F() ma jeden biegun pojedynczy i dwie pary podwójnych biegunów zepolonych przęŝonych MoŜna ją więc rozłoŝyć na ułamki proe korzyając z jednej z meod przedawionych w zad 8 Prowadzi o jednak do doyć złoŝonych obliczeń na liczbach zepolonych Poać mianownika funkcji F() ugeruje Ŝe jej ranformaa odwrona będzie zawierać kładniki o poaci e co e in e co e in MoŜemy więc załoŝyć naępujący rozkład na ułamki: F ( ) ( ) α + α + α + α ( + ) + 4 ( + ) + 4 (W razie wąpliwości dlaczego akura ak waro zajrzeć do ablic 8 i 8) Po prowadzeniu prawej rony do wpólnego mianownika i przyrównaniu liczników orzymamy naępującą oŝamość: ( α ) ( α α α 4) ( α 7α 4α 4α 4) ( α α α α ) z kórej po przyrównaniu wpółczynników przy jednakowych poęgach doajemy układ równań α α α 5 4 α 7

19 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 9 Z równań ych po rozwiązaniu orzymujemy: α α α α Oaecznie więc funkcję F() moŝna zapiać jako F ( ) ( ) ( + ) + 4 ( + ) + 4 a jej ranformaą odwroną je { e co in } + ( ) + ( ) f Zad 8 Obliczyć odwrone ranformay aplace a naępujących funkcji: a) F ( ) b) F ( ) c) F ( ) d) F ( ) ( + ω ) ( + + ) ( + ) 8 ( + )( ) ( + + 5) e) F ( ) ( + + ) ( + + ) f) F ( ) ( + + ) g) F ( ) h) F ( ) ( + )( + + ) ( + 5)( )

20 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA i) F ( ) j) F ( ) ( + + ) ( + ) ( + ) 4 ( + + ) ω a) f ( ) ( inω ω coω ) ( ) b) f ( ) e ( in co ) ( ) c) ( + ) + ( ) { e e co 4 in } f d) f ( ) e ( co in ) ( ) + e) f ( ) e ( co in ) ( ) { e in co } f) + ( ) f g) f ( ) e ( ) in + ( ) 5 h) f ( ) e e ( co + in ) ( ) i) f ( ) in e ( ) co ( ) { e 9 5 co 45 6 in } j) + ( + ) ( ) f Zad 84 Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F ( + )( + )( + ) Rozwiązanie: PoniewaŜ opień licznika funkcji F() je równy opniowi jej mianownika o w pierwzym eapie naleŝy podzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika:

21 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Funkcję F() zapiujemy jako F ( ) + + F 4 a jej ranformaą odwroną je Zad 85 ( + )( + )( + ) { } f + F + δ δ co e e Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F Rozwiązanie: e e ( + ) Funkcja F() nie je funkcją wymierną i w związku z ym nie moŝemy jej rozłoŝyć na ułamki proe MoŜemy ją jednak przedawić w poaci + 4 F ( ) ( + ) ( + ) ( + ) Funkcje ( ) ( ) ( ) ą odpowiednio równe: e e Φ Φ e Φ e Φ Φ Φ ą funkcjami wymiernymi i ich ranformay odwrone { Φ ( ) } ϕ ( ) 4 ( ) e ( ) { Φ ( ) } ϕ ( ) e ( ) { Φ ( ) } ϕ ( ) ( ) e ( ) Tranformaa odwrona funkcji F() zgodnie z włanością (5) z ablicy 8 je więc równa: ϕ ϕ ϕ ( ) f + + ( ) ( ) e + e ( ) + ( ) ( ) e ( ) Zad 86 Obliczyć odwrone ranformay aplace a naępujących funkcji: a) F ( ) ( + )( + 5) b) F ( )

22 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA c) F ( ) d) F ( ) e) F ( ) f) F ( ) e + e ( + ) ( + + 5) e + e + + e e ( + 9)( + ) ( + 9) 5 4 e + + e e + 8e ( e + e ) + 5 a) δ ( e f e ) ( ) + b) f ( ) δ( ) e ( co in ) ( ) c) + e ( in ) f + 8 ( ) e 8 ( ) in ( ) ( ) + ( ) + e 4 ( ) in ( ) ( ) ( ) f in + δ e d) e) f ( ) ( ) + in ( ) ( ) + δ( ) ( ) ( 4) f δ e δ + 4e + δ 4 e 4 f) Zad 87 Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F Rozwiązanie: e ( + e + e ) Po przemnoŝeniu licznika i mianownika funkcji F() przez czynnik ( e ) orzymujemy F ( e ) e + e ( + e + e )( e ) ( e ) Φ e ( )

23 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA gdzie Φ ( ) e + e Poać funkcji F() ugeruje Ŝe moŝe być ona ranformaą funkcji okreowej o okreie T PoniewaŜ Φ { } ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ + pełnia warunek ϕ ( ) dla więc f ( ) { F ( ) } T kóra w pierwzym okreie je równa ϕ ( ) czyli f ( ) ϕ ( k ) k Wykre ej funkcji przedawiono na ry 87 f() je funkcją okreową o okreie Zad 88 Ry 87 Obliczyć odwroną ranformaę aplace a funkcji F ( + )( e ) Rozwiązanie: Funkcja F() podobnie jak funkcja z zad 88 ma poać F ( ) Φ e gdzie Φ ( ) + PoniewaŜ jednak Φ { } ϕ e dla

24 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4 o ( k ) { } ϕ e k k f F k k nie je funkcją okreową Wykre ej funkcji przedawiono na ry 88 f() 4 Zad 89 Ry 88 Obliczyć odwrone ranformay aplace a naępujących funkcji: a) F ( ) ( e ) b) F ( ) c) F ( ) d) F ( ) e) F ( ) π + e 4 π ( + )( e ) 4 e e + e e 4 ( e ) 5( + e )( e ) ( + e + e ) Wkazówka: pomnoŝyć licznik i mianownik przez ( e ) π ( + e ) ( + 4π )( + e ) Wkazówka: pomnoŝyć licznik i mianownik przez ( e ) f) F ( ) 4 ( + 4)( e ) ) óre z ych funkcji ą ranformaami funkcji okreowych?

25 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 Wykrey funkcji kóre ą pozukiwanymi ranformaami odwronymi przedawiono na ry 89 f() 6 5 (a) f() (b) π π π 4π 5π 6π f() (c) f() (d) f() 5 (e) f() 4 (f) Ry 89 Funkcjami okreowymi ą funkcje (b) (c) (e)

26 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 8 Sany nieualone w obwodach RM Zad 8 W obwodzie przedawionym na ry 8a klucz w czaie < był rozwary i w obwodzie panował an ualony W chwili klucz zoał zwary Obliczyć prąd i() dla R R e() i() R R Ω H F e E V con Ry 8a Rozwiązanie: Przy rozwiązywaniu ego ypu zadań naleŝy w pierwzej kolejności wyznaczyć warunki począkowe zn napięcia na kondenaorach i prądy płynące przez indukory w chwili (momen uŝ przed przełączeniem klucza) orzyamy z załoŝenia Ŝe w układzie panował an ualony PoniewaŜ jedyne pobudzenie w układzie je pobudzeniem ałym więc w anie ualonym w obwodzie nie płynął prąd a kondenaor był naładowany do napięcia równego ile elekromoorycznej źródła czyli R R u E V Z kolei z oczywiego powodu i MoŜemy eraz konruować operaorowy chema zaępczy obwodu dla > Schema en zoał przedawiony na ry 8b Przy wyborze zbioru oczek liniowo niezaleŝnych akim jak zaznaczono na ryunku moŝemy ułoŝyć naępujący układ równań na prądy oczkowe: E + R R Im ( ) R R + R + Im ( ) E u ( ) lub po podawieniu danych liczbowych E Ry 8b I m () I () I m () u ( )

27 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 7 + Im + I m Pozukiwany prąd I ( ) I ( ) i po jego wyliczeniu orzymujemy m + I ( ) ( + + ) i oaecznie po obliczeniu ranformay odwronej Zad 8 e ( co in ) i A W obwodzie przedawionym na ry 8 panował an ualony do chwili Wedy klucz zoał owary Wyznaczyć napięcie u() dla i z () R R u() R Ω R Ω 6 F i ( ) I 4A con z z Ry 8 ( 9e ) ( ) u V Zad 8 Wyznaczyć napięcie u() dla w układzie przedawionym na ry 8 Zakładamy Ŝe do chwili klucz był zwary a w obwodzie panował an ualony e() R R u() R R Ω H F e( ) E V con Ry 8

28 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 8 [ ] u e ( co + in ) V Zad 8 W obwodzie przedawionym na ry 8 w czaie gdy klucz był rozwary panował an ualony W chwili klucz en zoał zwary Wyznaczyć napięcie u() dla e() R R u() R 4Ω R Ω H F Rozparzyć przypadki: a) e( ) V con b) e( ) in 5 V a) u e ( co + in ) V [ ] [ ] b) u e ( co + 7in ) co5 in 5 V Zad 84 Ry 8 4 W obwodzie przedawionym na ry 84 panował an ualony gdy klucz był zwary W chwili klucz en zoał rozwary Wyznaczyć prądy i () i i () dla e() i () R R i () R R R Ω R Ω H F e( ) E V con Ry 84 ( 5 e ) A [ + ] i i 5 e A

29 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 9 Zad 85 W obwodzie przedawionym na ry 85 w czaie gdy klucz był zwary panował an ualony W chwili klucz en zoał rozwary Wyznaczyć prąd i() dla i z () Ry 85 Zad 86 i() R R e i + A W układzie przedawionym na ry 86 wyznaczyć napięcie u() kóre pojawi ię na kluczu po jego rozwarciu lucz zoał rozwary w chwili a przed jego rozwarciem w obwodzie panował an ualony R R Ω H F i ( ) I A con z z e() R R u() R R Ω H F e( ) E V con Ry 86 e ( co + in ) u V Zad 87 W obwodzie przedawionym na ry 87 w czaie gdy klucz był rozwary panował an ualony W chwili klucz en zoał zwary Wyznaczyć napięcia u () i u () dla e() R u () Ry 87 u () R R R Ω F H e( ) E V con

30 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Zad 88 + u e e in V u e e in V W obwodzie przedawionym na ry 88a panował an ualony do momenu kiedy o klucz zoał zwary Wyznaczyć napięcie u() dla e() R R M R u() R Ω R Ω R 4Ω H 4 H M H F e( ) E V con Ry 88a Rozwiązanie: Warunki począkowe w obwodzie obliczamy korzyając z załoŝenia Ŝe w czaie gdy klucz był rozwary w obwodzie panował an ualony PoniewaŜ pobudzenie je ałe orzymujemy: u i i E V R + R A R + R R E Operaorowy chema zaępczy obwodu dla czaów > przedawiono na ry 88b I m () I m () u ( ) R MI m () MI m () R U() i ( ) M i ( ) Ry 88b Przy wyborze oczek liniowo niezaleŝnych (i ich orienacji) ak jak o zaznaczono na ryunku obwód en moŝna opiać naępującym układem równań na prądy oczkowe:

31 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA u + M ( + i ) + Im + R R I m M + R M i ( ) a po podawieniu danych liczbowych + I m Im ( ) + Z równań ych wyznaczamy I m U ( ) R I ( ) 4 m naępnie + + a po obliczeniu ranformay odwronej Zad 89 4e in u V W obwodzie przedawionym na ry 89 klucz był rozwary i w obwodzie panował an ualony W chwili klucz zoał zwary Obliczyć prąd i() dla i z () M R i() H 7 H M H F R Ω i ( ) I A con z z Ry 89 i 4 e e 4 co in A Zad 8 W obwodzie przedawionym na ry 8a do chwili panował an ualony Obliczyć napięcie u () na kluczu dla czaów jeŝeli w chwili klucz en zoał rozwary

32 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA R M e() u () R R R Ω R Ω R 4Ω H 4 H e( ) E V con Ry 8a Obliczenia wykonać dla naępujących warości M: a) M b) M 5 H c) M H d) M 5 H e) M H Uwaga: ujemna warość M oznacza Ŝe końcówki jednego z indukorów zoały zamienione (na chemacie odpowiada o przenieieniu kropki przy jednym z indukorów na drugą z jego końcówek) Rozwiązanie: Warunki począkowe wyliczamy korzyając z załoŝenia Ŝe przed rozwarciem klucza w obwodzie panował an ualony PoniewaŜ e() E con orzymujemy: i i A R i E + + R R R A R + R Operaorowy chema zaępczy obwodu dla czaów przedawiono na ry 8b I() R MI() i ( ) Mi ( ) ( ) MI() i Mi E U () R Ry 8b

33 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA Prąd I() wyznaczamy z zaleŝności: I ( ) E a pozukiwane napięcie ( ) ( ) ( ) ( ) + i + Mi + i + Mi ( ) + + M + R + R ( + ) + U M R I i Mi Po podawieniu danych liczbowych orzymujemy odpowiednio: a) U ( + 9) δ ( e ) u + + V b) U ( 4 + ) 4 5 5δ ( e ) 4 u + + V c) U 9( + ) 4 6 ( ) u + V 9 9 e d) U ( 8 + 9) δ ( e ) 8 u + + V e) U ( + 9) Zad u + V 9 9 e W obwodzie pokazanym na ry 8 panował an ualony W chwili klucz zoał zwary Obliczyć napięcie u() i prąd i() dla e() R R R i() u() R Ω R Ω R Ω F F 6 H e( ) E 5 V con Ry 8

34 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4 Zad 8 e u + V i δ + e A W obwodzie przedawionym na ry 8 do chwili panował an ualony Obliczyć napięcie u() dla jeŝeli w chwili klucz zoał rozwary R i z () R u() R Ω R Ω H H F i ( ) I 5 A con z z Ry 8 Zad 8 δ ( in ) u + + V W obwodzie przedawionym na ry 8a panował an ualony do momenu zwarcia klucza w chwili Obliczyć prąd i() i napięcie u() dla e() Ry 8a R i() R M R u() R Ω R Ω R Ω H H M H 4 F π e 6 in ω V 4 rad ω Rozwiązanie: PoniewaŜ zgodnie z załoŝeniem do chwili w obwodzie panował an ualony a pobudzenie je przebiegiem inuoidalnym o warunki począkowe najwygodniej będzie wyliczyć oując meodę ymboliczną Symboliczny chema zaępczy obwodu dla < przedawiono na ry 8b

35 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 R jω M I m I I ω M I m j U E ( j) E I m m R I R Symboliczne równania na prądy oczkowe opiujące en obwód mają poać: R + R + jω R jω M I m E I R m jωm R + R + jω + jω Ry 8b a po podawieniu danych liczbowych + j4 j I m + j j I m Z równań ych po rozwiązaniu orzymujemy: I I m j I m j I + U I m + j jω a odpowiednie przebiegi czaowe ą równe: i ( ) co A i in + π A u in + π V 4 Po podawieniu do powyŝzych zaleŝności orzymujemy: i A i A u V 4 Operaorowy chema zaępczy obwodu dla czaów > przedawiono na ry 8c

36 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 R i MI m ( ) i MI ( ) m u ( ) E() I m () ( ) Mi I() I m () ( ) Mi R U() Ry 8c Równania na prądy oczkowe opiujące en obwód mają poać: + R M E ( ) i ( ) ( ) + Mi Im u ( ) M Im i ( ) ( ) R + + Mi a po podawieniu warości liczbowych oraz E ( ) { e( ) } orzymujemy I m I m + + Z równań ych wyliczamy prądy oczkowe I I ( ) ( + 4)( ) m ( ) m a naępnie pozukiwane wielkości I ( ) I m Im ( )( ) U ( ) R I ( ) m Po obliczeniu ranforma odwronych orzymujemy oaecznie: 657 e ( 588 co in 7 ) e + 4in ( 498) ( ) A i + +

37 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 7 Zad u e ( co in 7 ) 8e ( ) in ( 49) ( ) V W obwodzie przedawionym na ry 84 panował an ualony W chwili klucz zoał przełączony z pozycji A do pozycji B Obliczyć prąd i() i napięcie u() dla e() A B R R i() u() R Ω R 4Ω H 4 F e( ) co V Ry 84 Zad 85 4 ( 4 ) 4 i e 7co + in A u e co 7in V W obwodzie przedawionym na ry 85 panował an ualony gdy klucz znajdował ię w pozycji A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B Obliczyć prąd i() dla e () e () A B R R i() R Ω R Ω F e 4co V e ( ) 5in 5 V H Ry e co in co 5 in 5 i ( ) ( ) ( ) e in in A Zad 86 W obwodzie przedawionym na ry 86 do chwili panował an ualony a klucz był zwary W chwili klucz en zoał rozwary Obliczyć prąd i() dla

38 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 8 e () R R i() e () R Ω R 6Ω H F e 6co V e ( ) in V Ry 86 ( ) + i e co A Zad 87 W obwodzie przedawionym na ry 87 panował an ualony gdy klucz znajdował ię w pozycji A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B Obliczyć prąd i() i napięcie u() dla R R R e () A B i() u() e () R Ω R 4Ω R Ω 5 e ( ) co V e ( ) 6in V F Ry 87 Zad 88 i 8e + 8co + 7in A 5 ( ) u 8e 7 co + 8in V W obwodzie przedawionym na ry 88 klucz zoał zwary w chwili Wyznaczyć napięcie u() dla Zakłada ię Ŝe do chwili zwarcia klucza w obwodzie panował an ualony

39 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 9 e() R R i z () R u() R Ω R Ω R Ω H H F i z 5co A e( ) E 5 V con Ry ( ) + ( + ) u 887e 475e in in 4 V Zad 89 W obwodzie przedawionym na ry 89 panował an ualony W chwili klucz zoał przełączony z pozycji A do pozycji B Wyznaczyć napięcia na kondenaorach u ( ) i u ( ) dla WyróŜnić kładowe przejściowe i ualone ych napięć i z () R R u B A u ( ) R e() R Ω R Ω R Ω F F i z 9co A e( ) E 4 V con Ry e e co in u ( ) ( ) e + 4 9e + 4in V Składowa przejściowa Składowa ualona e e co in u ( ) ( ) e 4e + 75in V Składowa przejściowa Składowa ualona

40 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4 Zad 84 W obwodzie przedawionym na ry 84 dla czaów < panował an ualony W chwili klucz zoał rozwary a klucz zwary Obliczyć napięcie u ( ) jakie wyąpi na R e() u ( ) R i ( ) i z () R Ω R Ω H H F e( ) 5co V i ( ) I 4 A con z z kluczu po jego rozwarciu i prąd i ( ) jaki popłynie przez klucz po jego zwarciu Ry 84 Zad u δ + e + 5co V 9 i δ + 4 A Wyznaczyć napięcie u() w obwodzie przedawionym na ry 84a jeŝeli pobudzenie e() je przebiegiem impulowym kórego wykre przedawiono na ry 8 4b e() R R u() e( ) [V] 4 [] R Ω R Ω H F Ry 84a Ry 84b Rozwiązanie: Pobudzenie e() dla < więc warunki począkowe w układzie ą zerowe Operaorowy chema zaępczy obwodu dla przedawiono na ry 84c Napięcie U() moŝemy wyliczyć z dzielnika napięcia czyli E() R R U() U ( ) E ( ) + ( R + ) + R Ry 84c

41 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4 Po podawieniu warości liczbowych oraz orzymujemy 4 e e + e e E ( ) { e( ) } 4 e e + e e U ( ) ( + ) a po obliczeniu ranformay odwronej Zad 84 [ ] u + + e + e [ ] + e e e 4 V 4 Wyznaczyć napięcie u() w obwodzie przedawionym na ry 84a Pobudzenie i z () je przebiegiem impulowym kórego wykre przedawiono na ry 8 4b i z () R R u() i z () [A] [] R Ω R Ω H Zad 84 Ry 84a Ry 84b [ ] 4 [ ] [ ] u + e + e + + e Wyznaczyć prąd i() w obwodzie pokazanym na ry 84a jeŝeli pobudzeniem je impul prądowy kórego wykre pokazano na ry 84b i z () R i() R i z () [A] 4 6 [] R Ω R Ω F Ry 84a Ry 84b

42 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4 Zad 844 ( ) ( ) i ( ) ( 4) ( 6) ( ) 5 e + 5 e 4 e e 4 5 e 6 A Wyznaczyć napięcie u() w obwodzie przedawionym na ry 844a jeŝeli pobudzenie e() je przebiegiem impulowym kórego wykre przedawiono na ry 8 44b e() R R u() e( ) [V] [] R R Ω F H Zad 845 Ry 844a Ry 844b [ ] u + e e e V Wyznaczyć napięcie u() w obwodzie przedawionym na ry 845a Pobudzeniem je impul e() kórego wykre przedawiono na ry 8 45b e() R R u() e( ) [V] Ry 845a Ry 845a Połówka inuoidy π π [] R R Ω H F 4 co in e co in u { 4 π + co π + in π e co π in ( π) } ( π) V

43 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 4 Zad 846 Wyznaczyć napięcie u() w obwodzie przedawionym na ry 846a Nazkicować wykre ego napięcia e() R R u() in dla π e dla < i > π R R Ω H F Ry 846a ( 4 8) e 8co 5in u π 4 4π + 8 e 8co 5in π V 89 Wykre napięcia u() przedawiono na ry 846b Proponujemy wykreślić równieŝ przebieg pobudzenia e() u( ) [V] [] Ry 846b Zad 847 Obliczyć napięcia u () i u () oraz prąd i() w obwodzie przedawionym na ry 847a e() R i() u () u () R i z () R R Ω F H e A e e in V i z Ry 847a Rozwiązanie: PoniewaŜ do chwili oba pobudzenia w układzie były równe zero więc warunki począkowe w układzie ą zerowe Operaorowy chema zaępczy dla czaów przedawiono na ry 847b gdzie

44 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 44 E ( ) { e( ) } I { z iz } ( + ) + ( + ) Przy oznaczeniach akich jak na ryunku równania na napięcia węzłowe opiujące en obwód mają poać: E() R U n () U n () I() R I z () Ry 847b E + + R n R U U n + + I R z Po podawieniu danych liczbowych z równań ych wyliczamy: U U ( 4 ) ( ) ( + + ) ( + ) n ( 4 ) ( ) ( + + ) ( + ) n Pozukiwane wielkości ą odpowiednio równe: U ( ) U ( ) U ( ) U ( ) n n U n Un 4 + I Po obliczeniu ranforma odwronych oaecznie orzymujemy: {[ ] } u co + in e e V { [ ] } u co + in e + e V {[ ] } i + co + in e + e A Waro zauwaŝyć Ŝe w rozwiązaniach ych nie moŝna wyróŝnić kładowej wobodnej i wymuzonej jako Ŝe bieguny ranforma pobudzeń pokrywają ię z zerami wyznacznika macierzy admiancji węzłowych (częoliwościami włanymi obwodu)

45 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 45 Zad 848 Wyznaczyć prąd i() jaki popłynie w obwodzie przedawionym na ry 848 zy moŝliwe je rozróŝnienie kładowej wobodnej i wymuzonej? e () M R R R i() e () R R R Ω H M H F e V ( ) e e 4 V Ry 848 ( ) [ ] 4 4 i e 4e 89e + e e 4 A RozróŜnienie kładowej wobodnej i wymuzonej nie je moŝliwe Zad 849 Wyznaczyć napięcie u() i prąd i() w układzie przedawionym na ry 849 JeŜeli o moŝliwe wyróŝnić w orzymanych rozwiązaniach kładowe wobodne i wymuzone i z () Ry 849 i() R u() R R i z () R R R Ω H z z F i i in u e co in V 9 Składowa wobodna Składowa wymuzona + + i 9co 7in e co in A 5 Składowa wobodna Składowa wymuzona

46 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 46 Zad 85 Wyznaczyć prąd i() w układzie przedawionym na ry 85 JeŜeli o moŝliwe wyróŝnić w orzymanym rozwiązaniu kładową wobodną i wymuzoną e () Ry i co + in e ( ) ( ) + co in e A RozróŜnienie kładowej wobodnej i wymuzonej nie je moŝliwe poniewaŝ zera wyznacznika macierzy admiancji węzłowych (częoliwości włane obwodu) i bieguny ranformay pobudzenia pokrywają ię Zad 85 i() R R R 4 R Wyznaczyć napięcie u() w układzie przedawionym na ry 85 JeŜeli o moŝliwe wyróŝnić w orzymanym rozwiązaniu kładową wobodną i wymuzoną e () R Ω R Ω R Ω R 4 Ω F H H 8 e V e e 9e co V e() R R R 5 u() R R 4 i z () R Ω R Ω R Ω R 4 5 z Ω R Ω F F e in V i in A Ry e + ( co + 8in ) + ( co + 4in ) u Składowa wobodna (przejściowa) Składowa wymuzona (ualona)

47 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 47 Zad 85 Wyznaczyć prąd i() w układzie przedawionym na ry 85 WyróŜnić w uzykanym rozwiązaniu kładową wobodną i wymuzoną Przy rozwiązywaniu zadania proponujemy korzyać z wierdzenia Thévenina R R e() i() R i z () R Ω R Ω R Ω F H ( ) e z V i 8e A Ry 85 i 9co in e e A Zad 85 Składowa wobodna Składowa wymuzona Wyznaczyć prąd i() w układzie przedawionym na ry 85 Przy rozwiązywaniu zadania proponujemy korzyać z wierdzenia Thévenina zy moŝliwe je rozróŝnienie kładowej wobodnej i wymuzonej? R e() R i() R R Ω R Ω R Ω 5 F H 5 e 6 e V Ry 85 5 i e A RozróŜnienie kładowej wobodnej i wymuzonej nie je moŝliwe poniewaŝ częoliwości włane obwodu i bieguny ranformay pobudzenia pokrywają ię

48 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 48 Zad 854 Wyznaczyć napięcie u() w układzie przedawionym na ry 854 JeŜeli o moŝliwe wyróŝnić w orzymanym rozwiązaniu kładową wobodną i wymuzoną Proponujemy wykorzyać wierdzenie o uperpozycji e() R i z () u() R Ω H H F F e 5co V i 5 in A z Ry 854 { [ ] 5 5 } ( ) u 7 co + in e co in e co + in V Zad 855 Składowa wobodna Składowa wymuzona W obwodzie przedawionym na ry 855a klucz zoał zwary w chwili Pobudzeniem e() je przebieg okreowy kórego wykre przedawiono na ry 855b Wyznaczyć przebieg napięcia u() na rezyorze R dla czaów WyróŜnić w rozwiązaniu kładową przejściową i ualoną Zakładamy Ŝe przed zwarciem klucza kondenaor nie był naładowany (warunek począkowy je zerowy) e() R u() e() [V] [] R Ω F Ry 855a Ry 855b Rozwiązanie: PoniewaŜ warunki począkowe w układzie ą zerowe ranformaę napięcia u() moŝemy wyliczyć z proego dzielnika czyli R U ( ) E ( ) E ( ) R + + Pobudzenie e() je funkcją okreową o okreie T zaem jego ranformaa ma poać: E T e e gdzie + E E T e

49 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 49 Oaecznie po podawieniu orzymujemy e + e U ( ) U p + Uu + e gdzie U p () i U u () ą odpowiednio ranformaami kładowej przejściowej i ualonej pozukiwanego napięcia W celu rozdzielenia ych kładowych dokonamy naępujących przekzałceń Wychodzimy z naępującej oczywiej oŝamości prawdziwej dla dowolnej warości A: A e + e A A A e + e + Ae U ( ) e e Podawmy + e e A lim U + ( ) e i wówcza e e U U + ( ) e e + ( ) ( ) e e e e e + e e + e e e gdzie U e + Obliczmy u () ranformaę odwroną funkcji U () e e e { } e e u U + e [ ] [ ] e e ( ) e ( ) + e + e Wykre funkcji u () przedawiono na ry 855c Jak widać je ona róŝna od zera jedynie w przedziale a więc drugi kładnik w wyraŝeniu ( ) je u () ranformaą funkcji okreowej e + e e PoniewaŜ ranformaa odwrona e pierwzego kładnika zanika do zera przy ronącym więc e + e pierwzy kładnik wyraŝenia ( ) e je kładową przejściową reakcji a drugi kładową ualoną Reaumując pokazaliśmy Ŝe dla A e e e określonego zaleŝnością ( ) mamy: A U p + e e e e U ut Uu Ry 855c e gdzie: U ut U Tak więc wykre na ry 855c je wykreem pierwzego okreu kładowej ualonej reakcji czyli u () u ut ()

50 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 Składowa ualona u u () je funkcją okreową o okreie T więc znajomość jej przebiegu w przedziale wyarcza do jej jednoznacznego wyznaczenia na całej półoi czau Rozparzmy przypadek kiedy układ je pobudzany pojedynczym impulem równym pobudzeniu e() w pierwzym okreie Tranformaa aplace a ego impulu je równa E T () a ranformaa reakcji układu R e + e e + e U ( ) E T R Je oczywie Ŝe u ( ) { U ( ) } u ( ) w przedziale czau (ale nie poza ym przedziałem!) co wynika bezpośrednio z warunku przyczynowości układu Tak więc u ( ) u ( ) + u ( ) p ut czyli A u ut u up U dla + gdzie A je określone wzorem ( ) Po podawieniu odpowiednich zaleŝności orzymujemy: A e + e + e e U ( ) + + e + e a po obliczeniu ranformay odwronej u ut e + e e e e e + e e [ ] [ ] e e e + ( ) dla ( ) e dla > Jak moŝna ię ławo przekonać orzymana funkcja je idenyczna z wyliczoną poprzednio funkcją u kórej wykre przedawiono na ry 855c Przedawiony warian meody wyznaczania kładowej ualonej je prozy rachunkowo jednak orzymana poać funkcji u ( ) nie zawze je wygodna gdyŝ wymaga ręcznego jej ograniczenia do ut przedziału Wykrey napięcia u() oraz jego kładowych u p () i u u () przedawiono na ry 855d u() [V] u() u u () u p () [] 5 Ry 855d

51 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 Zad 856 W obwodzie przedawionym na ry 856a klucz zoał zwary w chwili Pobudzeniem e() je przebieg okreowy kórego wykre przedawiono na ry 856b Wyznaczyć kładową przejściową i ualoną napięcia u() dla czaów Zakładamy Ŝe przed zwarciem klucza w obwodzie panował an ualony e() R R u() e() [V] R R Ω F Ry 856a Ry 856b [] e up e ( ) V e naomia u u () je przebiegiem okreowym kóry w pierwzym okreie je równy u ut e e e e V dla 4 e dla > 4 Wykre kładowej ualonej pozukiwanego napięcia u u () przedawiono na ry 856c u u () [V] [] Ry 856c Zad 857 W obwodzie przedawionym na ry 857a klucz zoał rozwary w chwili Pobudzeniem i z () je przebieg okreowy kórego wykre przedawiono na ry 857b Wyznaczyć kładową przejściową i ualoną napięcia u() dla czaów Zakładamy Ŝe przed zwarciem klucza w obwodzie panował an ualony

52 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 i z () R R u() i z () [A] Ry 857a Ry 857b 4 5 [] R 4Ω R Ω H 6 e e V 5 up 5 e naomia u u () je przebiegiem okreowym kóry w pierwzym okreie je równy u u 4 4 e e 5 4 [ 5 e 4e ] ( ) V dla e 5 dla > Wykre kładowej ualonej pozukiwanego napięcia u u () przedawiono na ry 857c u u () [V] [] Ry 857c Zad 858 W obwodzie przedawionym na ry 858a pobudzeniem je przebieg okreowy e() kórego wykre przedawiono na ry 858b Zakładamy Ŝe klucz zoał zwary w chwili a przed jego zwarciem w obwodzie panował an ualony Wyznaczyć kładową przejściową i ualoną prądu i() dla czaów e() R R i() e() [V] [] R Ω R Ω F Ry 858a Ry 858b

53 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 5 6 e + e i p ( 9 e e ) naomia kładowa ualona i u () je przebiegiem okreowym kóry w pierwzym okreie je równy i ut 9 6 e + e e [ ] [ e e e ] 9 + ( ) A dla ( ) e dla > Wykre kładowej ualonej pozukiwanego prądu i u () przedawiono na ry 858c i u () [A] [] 47 Ry 858c Zad 859 W obwodzie przedawionym na ry 859a klucz zoał zwary w chwili Pobudzeniem e() je wyproowany jednopołówkowo przebieg inuoidalny kórego wykre przedawiono na ry 859b Wyznaczyć kładową przejściową i ualoną napięcia u() dla czaów Zakładamy Ŝe przed zwarciem klucza w obwodzie panował an ualony e() R R u() e() [V] Ry 859a Ry 859b π π π 4π [] R Ω R Ω 4 F 6 u e V p 8 8π 7 e

54 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 54 naomia kładowa ualona u u () je przebiegiem okreowym kóry w pierwzym okreie je równy u ut 8π 8e 8 e 8co + in 8π + 7 e 8e 8 π 8co ( π ) in ( π ) + + ( π ) V dla π 7 dla > π u u () [V] Wykre kładowej ualonej pozukiwanego napięcia u u () przedawiono na ry 857c π 4π [] Ry 859c Zad 86 W obwodzie przedawionym na ry 86a klucz zoał zwary w chwili Pobudzeniem je przebieg okreowy i z () kórego wykre przedawiono na ry 86b Obliczyć jakie powinno być począkowe napięcie na kondenaorze u ( ) aby kładowa przejściowa napięcia u() była równa zero u ( ) i z () R R u() i z () [A] 4 5 [] R Ω R Ω F Ry 86a Ry 86b u e 46 V e +

55 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 55 8 Analiza obwodów SS Zad 86 W obwodzie przedawionym na ry 86 klucz znajdował ię przez niekończenie długi cza w pozycji A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B a naępnie w chwili z powroem do pozycji A Wyznaczyć napięcie u() dla czaów α i () E B A R R i () M u() R Ω R Ω 4 H H M H α E 5 V con Ry 86a Rozwiązanie: Z analizy działania klucza wynika Ŝe pobudzeniem układu je przebieg ( ) e E kórego ranformaą je e E E Wyznaczenie warunków począkowych w obwodzie SS je nieco bardziej komplikowane niŝ w układach nie zawierających źródeł erowanych Wprawdzie do chwili pobudzenie obwodu było zerowe ale nie gwaranuje o w odróŝnieniu od układów złoŝonych ylko z elemenów R Ŝe prądy i napięcia w układzie będą zerowe Ma o związek ze ściłą abilnością układu Zagadnieniem ym zajmiemy ię bardziej zczegółowo w rozdziale 84 Obecnie załoŝymy Ŝe warunki począkowe ą zerowe (czyli załoŝymy ściłą abilność układu) a prawdziwość ego załoŝenia rzeba będzie zweryfikować po rozwiązaniu obwodu E() Ry 86b R R Operaorowy chema zępczy obwodu dla czaów przedawiono na ry 86b Przy wyborze zbioru oczek liniowo niezaleŝnych (i ich orienacji) akim jak pokazano na ryunku obwód en moŝna opiać naępującym układem równań na prądy oczkowe: I m () I () MI () α R I () I m () I () MI () U()

56 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 56 + R M + R I m E M + R α R + R + R I m E a po podawieniu danych e Im 4 I m + e 5 Z równań ych wyliczamy prądy oczkowe I m () i I m () a naępnie U ( ) Im MIm e + + Po obliczeniu ranformay odwronej orzymujemy: ( ) ( ) [ ] 4 4 u 4e + e 4e + e V Na zakończenie naleŝy jezcze zweryfikować poczynione załoŝenie doyczące warunków począkowych zęoliwościami włanymi obwodu ą i czyli liczby 4 4 leŝące w lewej półpłazczyźnie co oznacza Ŝe rozparywany układ je abilny w enie BIBO a o oznacza Ŝe przy zerowym pobudzeniu po doaecznie długim czaie wzykie prądy i napięcia w obwodzie ą równe zero Tak więc załoŝenie Ŝe warunki począkowe dla były zerowe było załoŝeniem poprawnym Do podobnego wnioku moŝna równieŝ dojść na podawie orzymanego rozwiązania wzykie kładniki u() w miarę upływu czau zanikają do zera Zad 86 Wyznaczyć napięcie u() dla czaów wyępujące w obwodzie przedawionym na ry 86 i() i z () Ry 86 R R ρi() R u() R Ω R Ω R z Ω ρ Ω F F H i A u e e co 7 in V

57 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 57 Zad 86 Wyznaczyć napięcie u () wyępujące w obwodzie przedawionym na ry 86 ρ i() e() i() R u() γu() R u () R Ω R Ω F H γ S ρ 6Ω e 5e V Ry 86 Zad u 4e e 5 e V Wyznaczyć napięcie u () w obwodzie przedawionym na ry 864a jeŝeli pobudzeniem je przebieg impulowy e() kórego wykre przedawiono na ry 864b R e() u() R R β u() R 4 u () e() [V] [] R Ω R Ω R Ω R Ω 4 F β Ry 864a Ry 864a Zad e ( co 6 in ) u + + ( ) 6 6 ( ) ( ) e + co 6 in + ( ) 6 6 ( ) ( ) + e + co 6 in V W obwodzie przedawionym na ry 865 klucze i przez niekończenie długi cza znajdowały ię w połoŝeniu A W chwili klucz zoał przełączony do pozycji B Naępnie w chwili klucz zoał z powroem przełączony do pozycji A naomia klucz zoał przełączony do pozycji B Wyznaczyć prąd i() oraz napięcie u() dla czaów

58 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 58 i() e () B B A A ρi() R u() i z () R 5Ω ρ Ω 5 H e inπ V i ( ) co π A z F F Ry 865 e ( 54 co 98in ) 54 co π 96in π i + + { [ ] ( ) + e 48co ( ) 56in ( ) 54 co π + 96 in π + ( ) ( )}( ) 947 co π + 69in π A e ( 5986co 4in ) 5986coπ 58inπ u + + { [ ] ( ) + e co( ) 88in ( ) 5986 co π + 58 in π + ( ) ( )}( ) 47 co π 595in π V Zad 866 W obwodzie pokazanym na ry 866 klucz znajdował ię przez niekończenie długi cza w pozycji A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B a naępnie w chwili z powroem do pozycji A Wyznaczyć przebieg napięcia u() dla czaów E B A i() R R M α i() R u() H 6 H M 4 H R Ω R Ω R 4Ω α E V con Ry e ( 8co 4in ) u + ( ) { 8 e 8 co ( ) 4in ( ) } ( ) V

59 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 59 Zad 867 W obwodzie przedawionym na ry 867 klucz znajdował ię przez niekończenie długi cza w połoŝeniu A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B a naępnie w chwili π z powroem do pozycji A Obliczyć przebieg napięcia u() dla czaów e () B A Ry 867 π i () R i () R α i () ρ i () u() R Ω R Ω α ρ Ω e ( ) in V F Zad [ 5 π ] ( ) u e + co + 8in e + co + 8in π V W obwodzie przedawionym na ry 868 klucz znajdował ię przez niekończenie długi cza w połoŝeniu A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B a naępnie w chwili z powroem do pozycji A Obliczyć przebieg prądu i() dla czaów zy do rozwiązania ego zadania moŝna zaoować wierdzenie Thévenina lub Norona? i() R R γ u() u() B A i z () ρ i() R Ω R Ω F H γ S ρ Ω 4 i ( ) z A Ry 868 i e co + e in A ( ) ( ) Twierdzenia Thévenina (Norona) w ym przypadku nie moŝna zaoować poniewaŝ nie inieje układ równowaŝny Thévenina (Norona) obwodu z odłączoną gałęzią R (dlaczego?) Zad 869 W obwodzie przedawionym na ry 869 klucz znajdował ię przez niekończenie długi cza w połoŝeniu A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B Obliczyć

60 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 przebieg napięcia u() dla czaów Proponujemy zaoować wierdzenie Thévenina lub Norona ρ i() e () B A R i() R u() R Ω R Ω H F ρ Ω e ( ) 5co V Ry 869 Zad 87 [ ] u e ( 7 co 4 + 4in 4 ) + 47 co + in V W obwodzie przedawionym na ry 87 klucz znajdował ię przez niekończenie długi cza w połoŝeniu A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B Wyznaczyć napięcie u() dla czaów Proponujemy rozwaŝyć moŝliwość zaoowania wierdzenia Thévenina lub Norona i z () A i() R ρ i() R B u() R Ω R Ω H F ρ Ω i ( ) 4in A z Ry 87 Zad 87 ( + + ) u e e co 8in V W obwodzie przedawionym na ry 87 klucz znajdował ię przez niekończenie długi cza w połoŝeniu A W chwili klucz en zoał przełączony do pozycji B Wyznaczyć prądy i () i i () dla czaów

61 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 β u() i () I z A B R M u() i () R R Ω R Ω H H M H z F F β I A con Ry 87 Zad 87 + ( ) i 6 e e co in A ( ) i e A W obwodzie przedawionym na ry 87a klucz był zwary przez niekończenie długi cza W chwili klucz en zoał rozwary Wyznaczyć napięcie u() dla czaów i z () i() R α i() R u() R Ω R Ω H F α i ( ) in A z Ry 87a Rozwiązanie: Rozwiązanie rozpoczynamy od wyznaczenia warunków począkowych PoniewaŜ do chwili pobudzenie w układzie je zerowe o warunki e będą zerowe W układzie wprawdzie znajduje ię źródło erowane ale w czaie gdy klucz je zwary prąd erujący o źródło I() U n() je równy zero czyli je ono U I n() z () R α I() R U() wyłączone z układu Operaorowy chema zaępczy obwodu dla czaów przedawiono na ry 87b Ry 87b Układ równań na napięcia węzłowe opiujący en obwód (przy wyborze napięć węzłowych ak jak zaznaczono na ryunku oraz I { z iz ( ) } ) ma poać: +

62 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 + R U n Iz α U n + + R R a po podawieniu danych + U n + U n Z równań ych po rozwiązaniu orzymujemy U ( ) U ( ) ( 5 + ) n + + a po obliczeniu ranformay odwronej ( + + ) u 5e 7e co 6in V Zwracamy uwagę na pierwzy ze kładników orzymanego rozwiązania kóry nie zanika do zera w miarę upływu czau ale nieograniczenie rośnie W związku z ym w obwodzie nie wyąpi an ualony Do podobnego wnioku moŝna dojść na podawie poaci ranformay rozwiązania jedną z częoliwości włanych obwodu je + a więc warość z prawej półpłazczyzny zmiennej czyli układ nie je abilny w enie BIBO Proponujemy zaanowić ię jak będzie ię zachowywał aki układ jeŝeli będzie zbudowany z rzeczywiych elemenów UwaŜny zyelnik moŝe mieć w ym momencie wąpliwości czy wobec nieabilności układu poprawne było załoŝenie zerowych warunków począkowych w chwili Zwracamy jednak uwagę Ŝe przed rozwarciem klucza mieliśmy do czynienia z innym układem (węzeł i węzeł odnieienia były zware) kóry je abilny z powodów wyjaśnionych na wępie Zad 87 W obwodzie przedawionym na ry 87a klucz był zwary przez niekończenie długi cza W chwili klucz en zoał rozwary Wyznaczyć napięcie u() dla czaów ρ i() e () R i() R u() R Ω R 4Ω H F 4 ρ 6Ω e ( ) E V con Ry 87a

63 Rozdział 8 PRZESZTAŁENIE APAE A I JEGO ZASTOSOWANIA 6 Rozwiązanie: W celu wyznaczenia warunków począkowych w obwodzie naleŝy zbadać czy przy rozwarym kluczu wyąpi w obwodzie an ualony czyli czy kładowa przejściowa zaniknie do zera Inaczej mówiąc naleŝy zbadać czy aki ρ I() układ je abilny w enie BIBO Operaorowy chema zaępczy obwodu przed zwarciem klucza przedawiono na ry 87b (moŝemy załoŝyć zerowe I warunki począkowe gdyŝ nie mają one wpływu na m () abilność obwodu) Macierz impedancji oczkowych ego obwodu przy wyborze oczek i ich orienacji akim R I() jak pokazano na ryunku ma poać: R + + Z m ρ + R a jej wyznacznik Ry 87b R + R ρ + R R + + R ( ) de Z m I m () R zęoliwościami włanymi obwodu ą pierwiaki () czyli 4 5 i Układ nie je abilny w enie BIBO poniewaŝ > a więc w układzie ym kładowa wobodna (wywołana dowolnymi niezerowymi warunkami począkowymi) nie będzie e () Ry 87c zanikać do zera czyli nie będzie w nim anu ualonego Nie je więc moŝliwe przy ak formułowanym zadaniu wyznaczenie warunków począkowych czyli nie moŝna znaleźć jednoznacznego rozwiązania zadania Nie oznacza o jednak Ŝe mamy do czynienia z układem nierozwiązalnym RozwaŜmy układ przedawiony na ry 87c Dodano w nim klucz kóry ynchronicznie z kluczem w chwili zoał przełączony z pozycji A do pozycji B Dla czaów obwody z ry 87a i 87c ą idenyczne ale dodakowy klucz powodował wymuzenie zerowych warunków począkowych W układzie ym rozwiązaniem je ( 5+ ) ( 5 ) u R i() ρ i() B A R ( ) + 4 e 4 e + 7 V Waro u zauwaŝyć Ŝe kładowa wobodna orzymanego rozwiązania zanika do zera w miarę upływu czau czyli układ o rukurze po przełączeniu kluczy je układem abilnym w enie BIBO Proponujemy znaleźć inne modyfikacje układu z ry 87a kóre pozwolą wyznaczyć jednoznacznie warunki począkowe (niekoniecznie zerowe) Na począek waro przyjrzeć ię układowi z zad 869 u()