Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
|
|
- Karol Baran
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017
2 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych
3 Rozkłady zmiennych skokowych
4 Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może być zdarzenie A lub zdarzenie do niego przeciwne Ā. Niech: P(A) = p, P(A) = 1 p. Na zbiorze zdarzeń elementarnych tego doświadczenia definiujemy zmienną losową X w następujący sposób: X(ω ) = 1, gdy ω A, 0, gdy ω A. Rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej dany jest funkcją prawdopodobieństwa: P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p.
5 Rozkład zero-jedynkowy Wartość oczekiwana tej zmiennej jest równa E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p. Wariancja i odchylenie standardowe są równe: Var(X) = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p(1 p), SD(X) = p(1 p).
6 Przykład. Agent ubezpieczeniowy wie (z doświadczenia), że prawdopodobieństwo sfinalizowania umowy w czasie umówionego spotkania wynosi 0,2. Agent umawia się na jedno spotkanie dziennie. Liczba zawieranych dziennie umów jest zmienną losową X o rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p = 0,2. Jej rozkład dany jest funkcją prawdopodobieństwa określoną za pomocą tabeli: Liczba umów zawartych w ciągu dnia 0 1 Prawdopodobieństwo 0,8 0,2 E(X) = p = 0,2, SD(X) = 0,2 (1 0,2) = 0,4. Agent zawiera dziennie średnio 0,2 ± 0,4 umowy.
7 Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Rozpatrujemy doświadczenie zwane schematem Bernoulliego. Polega ono, jak wiemy, na n-krotnym powtarzaniu tego samego doświadczenia, kończącego się wyłącznie dwoma wynikami: albo sukcesem, z prawdopodobieństwem p, albo porażką, z prawdopodobieństwem q = 1 - p. Na zbiorze zdarzeń elementarnych tego doświadczenia określamy zmienną losową X jako liczbę uzyskanych sukcesów w n próbach. Zgodnie z tym co powiedzieliśmy o prawdopodobieństwie takiego zdarzenia, rozkład zmiennej losowej X opisuje funkcja prawdopodobieństwa dana wzorem: P(X = k) = n k pk q n k, k = 0,1,2,,n.
8 Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Można łatwo pokazać, że wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym są dane wzorami: E(X) = np, SD(X) = npq. Zauważmy również, że z formalnego punktu widzenia, zmienną losową X można traktować jako sumę n niezależnych zerojedynkowych: X 1, X 2,, X n o rozkładzie zero-jedynkowym z tym samym parametrem p: X = X 1 + X X n.
9 Przykład. Nasz Agent postanowił umawiać się na 6 spotkań dziennie. Liczba zawieranych dziennie umów jest zmienną losową X o rozkładzie dwumianowym z parametrami p = 0,2 i n = 6. Jej rozkład dany jest funkcją prawdopodobieństwa: P(X = k) = 6 k 0,2k 0,8 6 k, k = 0,1,,6. Obliczone na podstawie tego wzoru prawdopodobieństwa podajemy w poniższej tabeli: Liczba umów zawartych w ciągu dnia, k Prawdopodobieństwo P(X = k) , , , , , , ,00006
10 Zgodnie ze wzorem na wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym mamy E(X) = np = 6 0,2 = 1,2, SD(X) = 6 0,2 0,8 = 0,98. Agent zawiera dziennie średnio 1,2 ± 0,98 umowy. 0,4 Wykres funkcji prawdopodobieństwa 0,3 0,2 0,
11 Rozkłady Bernoulliego w n = 20 próbach z różnymi parametrami p 0,3 p = 0,2 p = 0,4 p = 0.5 p = 0,9 0,225 0,15 0,
12 Rozkłady Bernoulliego z parametrem p = 0,5 i w różnych parametrach n n = 5 n = 15 n = 50 n = 75 0,4 0,3 0,2 0,
13 Rozkład Poissona Jeśli zmienna losowa jest liczbą zajść pewnego zdarzenia losowego w określonym przedziale czasu, np. liczbą awarii urządzenia w ciągu tygodnia, liczbą wypadków samochodowych w ciągu miesiąca, to jej rozkład opisuje funkcja prawdopodobieństwa postaci: P(X = k) = µ k e µ, k = 0,1,2,3, k! gdzie μ jest wartością oczekiwaną rozkładu i jednocześnie jego wariancją: E(X) = µ, Var(X) = µ.
14 Przykład. W pewnym przedsiębiorstwie zaobserwowano, że w ciągu miesiąca zdarzają się średnio 2 wypadki. Oznaczmy przez X zmienną losową, która jest liczbą wypadków w losowo wybranym miesiącu. Zmienna ta (teoretycznie) może przyjmować każdą wartość k = 0, 1, 2,. Prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom k obliczamy, korzystając z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu Poissona, przyjmując parametr μ = 2. Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu nie będzie wypadków wynosi: P(X = 0) = 20 e 2 0! = 1 e 2 = 0,135. Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu będą 4 wypadki jest równe: P(X = 4) = 24 e 2 4! = 2 3e 2 = 0,09.
15 Rozkład Poissona Rozkład Poissona jest też dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, gdy liczba doświadczeń n jest duża (n > 20), a prawdopodobieństwo sukcesu p jest niewielkie (p < 0,05) oraz przy rosnącej liczbie prób iloczyn np jest stały (lub zmierza do stałej). Wówczas przyjmuje się μ = np. Poniżej oba rozkłady dla parametrów: n = 100, p = 0,01 0,4 R. dwumianowy R. Poissona 0,3 0,2 0,
16 Rozkład hipergeometryczny Rozważmy eksperyment polegający na losowaniu ze zwracaniem n elementów z populacji liczącej N elementów. Wiemy, że w populacji frakcja interesujących nas elementów wynosi p = R/N. Jeśli zmienna losowa X zlicza interesujące nas elementy w pobranej próbie, to podlega ona rozkładowi dwumianowemu z parametrami n i p. Odmienną sytuację mamy wtedy, gdy losujemy próbę bez zwracania (p zmienia się, bo nie zwracamy). Opisana zmienna losowa X podlega wówczas rozkładowi hipergeometrycznemu. R k N R n k P(X = k) =, k = 0,1,2,...,min{R,n}. N n
17 Przykład. W tym roku na rynek kapitałowy w Polsce weszło 10 nowych spółek, ale tylko 3 z nich (jak wiemy z doświadczenia) będą miały zadowalające wyniki. Takie spółki będziemy traktować jako wyróżnione przez inwestorów, a zakup ich akcji jako sukces. Pewna osoba zakupiła cztery akcje różnych spółek. Niech zmienną losową X będzie liczba akcji spółek dobrze prosperujących wśród wszystkich zakupionych akcji. Zmienna X może przyjmować wartości k = 0, 1, 2, 3 (tylko 3 spółki mają dodatni wynik finansowy) z prawdopodobieństwami opisanymi rozkładem hipergeometrycznym (osoba nie kupowała dwa razy akcji tej samej spółki) P(X = 0) = P(X = 2) = = 0,17, P(X = 1) = = 0,3, P(X = 3) = = 0,5, = 0,
18 Poniżej podana jest tabela rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: x i p i 0,17 0,5 0,3 0,03 Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych akcji czterech spółek znajdą się przynajmniej dwie akcje społek dobrze prosperujących? Prawdopodobieństwo to policzymy następująco P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,3+ 0,03 = 0,33. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,
19 Rozkład hipergeometryczny Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej o rozkładzie hipergeometrycznym dane są wzorami: E(X) = np = nr N, Var(X) = np(1 p) 1 n N 1 1 N. Jeżeli liczebność populacji N rośnie, to rozkład hipergeometryczny jest zbieżny do rozkładu dwumianowego: P(X = k) = lim N R k N R n k N n = n k pk (1 p) n k.
20 Rozkład geometryczny Jeśli w doświadczeniu losowym schematu Bernoulliego zamiast liczbą sukcesów będziemy się interesowali zmienną losową X, będącą liczbą doświadczeń aż do pojawienia się pierwszego sukcesu, to określimy rozkład geometryczny. Funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu to: P(X = k) = pq k 1, k = 0,1,2, gdzie p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, q = 1 - p - prawdopodobieństwo porażki.
21 Rozkład geometryczny Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej o rozkładzie geometrycznym wyrażają się wzorami: E(X) = 1 p, Var(X) = q p 2. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,
22 Przykład. Najnowsze badania wskazują na 14% procentowy udział Pepsi-Coli w rynku napojów bezalkoholowych i 36% udział Coca-Coli. Firma badająca rynek chce przeprowadzić test smakowy na konsumentach Pepsi. Potencjalnych uczestników badania wybiera się przez losowe odsiewanie konsumentów napojów bezalkoholowych dotąd, aż trafi się na konsumenta Pepsi-Coli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy losowo wybrany konsument będzie konsumentem Pepsi? Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeba będzie zbadać dwóch, trzech, czterech konsumentów, by trafić na pierwszego konsumenta Pepsi? To, że pierwsza zbadana osoba okaże się konsumentem Pepsi jest sukcesem w naszym doświadczeniu. Jego prawdopodobieństwo wynosi p = 0,14. Korzystając z funkcji prawdopodobieństwa mamy: P(X = 1) = pq 1 1 = p = 0,14, P(X = 2) = pq 2 1 = 0,14 0,86 = 0,12, P(X = 3) = pq 3 1 = 0,14 0,86 2 = 0,1 P(X = 4) = pq 4 1 = 0,14 0,86 3 = 0,09.
23 Rozkłady zmiennych ciągłych
24 Rozkład jednostajny w przedziale Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem: f (x) = 0 dla x < a 1 b a dla a x b 0 dla x > b 1/(b-a) a b
25 Rozkład jednostajny w przedziale Wartość oczekiwana i wariancja tej zmiennej losowej wynoszą: E(X) = Var(X) = xf (x)dx = a + b 2, (x E(X)) 2 f (x)dx = (b a)2 12 Dystrybuanta rozkładu tej zmiennej losowej jest dana wzorem:. F(x) = P(X x) = 0 dla x < a x a b a dla a x b 1 dla x > b 0 1 a b
26 Przykład. Czas oczekiwania na to, aby prowadzący ćwiczenia podał ocenę z kolokwium jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale [3 dni, 8 dni]. Jaki jest przeciętny czas oczekiwania na ocenę? Zgodnie ze wcześniej podanym wzorem: E(X) = a + b 2 = = 5,5, Var(X) = (b a)2 12 = = 2,08. Zatem SD(X) = Var(X) = 1,44, więc przeciętny czas oczekiwania na ocenę szacujemy na 5 dni 12 godzin z odchyleniem plus minus 1 dzień 10,5 godziny.
27 Rozkład wykładniczy Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem: f (x) = y λ 0 dla x < 0 λe λx dla x 0 0 x
28 Rozkład wykładniczy Rozkład wykładniczy ma zmienna losowa X będąca odstępem czasu między zajściem dwóch zdarzeń, które charakteryzuje rozkład Poissona. Na przykład, jeśli liczba samochodów, które przybywają do stacji obsługi w ciągu minuty ma rozkład Poissona, to odcinek czasu między przybyciem dwóch kolejnych samochodów (mierzony na skali ciągłej) ma rozkład wykładniczy. Dystrybuanta rozkładu wykładniczego jest postaci: F(x) = 0 dla x < 0 1 e λx dla x 0 Wartość oczekiwana i wariancja wynoszą: E(X) = 1/λ, Var(X) = 1/λ.
29 Przykład.Czas jaki maszyna działa zanim ulegnie awarii (czyli odstęp między kolejnymi awariami) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 2 godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy maszyny przez co najmniej jedną godzinę? jaki jest średni odstęp między awariami? Interesuje nas pole pod wykresem funkcji gęstości na prawo od punktu x = 1. Korzystając z dystrybuanty mamy P(X > 1) = 1 P(X 1) = 1 F(1) = 1 (1 e 2 ) = 0,1353. Średnim odstępem między awariami jest E(X) = 1/2 godziny. y 2 P(X>1) 0 1 x
30 Rozkład normalny (Gaussa) Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami μ i σ, jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem: f (x) = 1 (x µ)2 exp σ 2π 2σ 2, < x < +. f(x) μ
31 f(x) σ 1 2π μ-σ μ μ+σ
32 Rozkład normalny (Gaussa) f (x) = 1 (x µ)2 exp σ 2π 2σ 2, < x < +. Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej X mającej rozkład normalny wynoszą: E(X) = µ, SD(X) = σ. Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną μ i odchyleniem standardowym σ zapisujemy jako: X ~ N(µ,σ ).
33 Rozkład normalny (Gaussa) Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(μ, σ) jest określona wzorem F(x) = σ 1 2π x (t µ)2 exp 2σ 2 dt, < x < +. f(x) F(x) = P(X x) μ x
34 N(5,1) N(5,2) N(10,2) 0,4 0,3 0,2 0,
35 Standaryzowany rozkład normalny Zmienna losowa Z ma rozkład normalny standaryzowany, gdy ma parametry μ = 0 i σ = 1, tzn. Z ~ N(0, 1). Wtedy funkcja gęstości jest postaci f (x) = 1 x2 exp 2π 2, < x < +. f(x) 0
36 0,4 f(x) ,3% 95,4% 99,7%
37 0,4 f(x) 0-2,58-1,96-1,64 0 1,64 1,96 2,58 90% 95% 99%
38 Krzywa y = f(x) jest symetryczna względem osi y, Pole pod całą krzywą jest równe 1, Pola zaciemnione na rysunku są równe, Pole pod lewym ogonem jest równe F(-z), a pod prawym ogonem jest równe 1 - F(z). 0,4 f(x) P(Z < -z) P(Z > z) = 1 - P(Z z) 0 -z 0 z
39 Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej Z o standardowym rozkładzie normalnym. Wtedy zachodzą wzory: F(-z) = 1 - F(z), P( -z < Z < z ) = F(z) - F(-z) = 2F(z) ,4 f(x) P(Z < -z) P(Z > z) = 1 - P(Z z) 0 -z 0 z
40 Standaryzowany rozkład normalny Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego zostały ułożone w tablice postaci: x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,0 0, , , , , , , ,1 0, , , , , , , ,2 0, , , , , , , ,3 0, , , , , , , ,4 0, , , , , , , ,5 0, , , , , , , ,6 0, , , , , , ,74537
41 Standaryzowany rozkład normalny Przykład. F(-0,32) = 1 - F(0,32)=1-0,62552 = 0,37448; P(-0,5 < Z < 0,5) = 2F(0,5) - 1 =2 0, =0, x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,0 0, , , , , , , ,1 0, , , , , , , ,2 0, , , , , , , ,3 0, , , , , , , ,4 0, , , , , , , ,5 0, , , , , , , ,6 0, , , , , , ,74537
42 Znajdowanie prawdopodobieństw w tablicach standaryzowanego rozkładu normalnego 1. Znajdziemy prawdopodobieństwo, że wartość standaryzowanej normalnej zmiennej losowej znajdzie się między 0 a 1,56. P(0 < Z < 1,56) = F(1,56) F(0) = 0, ,5 = 0,44062 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,97670
43 1,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , ,88298 Znajdowanie prawdopodobieństw w tablicach 1,2 0, , , , , , , , , ,90147 standaryzowanego rozkładu normalnego 1,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , Znajdziemy prawdopodobieństwo, że wartość standaryzowanej normalnej zmiennej losowej będzie mniejsza od -2,47. 1,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , ,97062 P(Z < 2,47) = P(Z > 2,47) = 1 P(Z 2,47) = 1 F(2,47) = 1,9 0, , , , , , , , , , ,99324 = 0, ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , ,98899 x 2,3 0,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , ,99807
44 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie 1. Znajdziemy taką wartość standaryzowanej zmiennej losowej normalnej Z, by prawdopodobieństwo, że zmienna Z przyjmie wartość mniejszą od z było równe 0,40. P(Z < z) = 0,40 Z własności dystrybuanty zmiennej losowej Z wynika, że poszukiwane z < 0. P(Z < z) = P(Z > z) = 1 P(Z z) = 1 F( z). Stąd należy rozwiązać równanie lub równoważnie 1 F( z) = 0,4 F( z) = 0,6
45 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie F( z) = 0,6 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,2 0, , , , , , , , , ,61409 Stąd -z = 0,26, a więc poszukiwana wartość z, to z = -0,26.
46 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie 2. Znajdziemy przedział położony symetrycznie wokół 0, któremu odpowiada prawdopodobieństwo 0,80 znalezienia wartości standaryzowanej normalnej zmiennej losowej w tym przedziale. Szukamy zatem z takiego, że P( z < Z < z) = 0,8 Z własności dystrybuanty zmiennej losowej Z wynika, że poszukiwane z < 0. Szukamy więc takiego z, że P( z < Z < z) = 2F(z) 1 2F(z) 1 = 0,8
47 Znajdowanie wartości z przy danym prawdopodobieństwie Równanie jest równoważne równaniu 2F(z) 1 = 0,8 F(z) = 0,9 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,2 0, , , , , , , , , , , , , ,91774 Stąd poszukiwana wartość z, to z = 1,29 czyli 1,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , ,94408 P( 1,29 < Z < 1,29) = 0,8 1,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , ,97062
48 Przekształcenia normalnej zmiennej losowej Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z parametrami μ i σ, czyli X ~ N(μ, σ). Wówczas zmienna losowa Z określona wzorem Z = X µ σ ma standaryzowany rozkład normalny, czyli Z ~ N(0, 1). Przekształceniem odwrotnym jest X = µ + Zσ. Przy powyższych przekształceniach prawdopodobieństwa się nie zmieniają. To tłumaczy fakt, że tablice skonstruowano tylko dla standaryzowanego rozkładu normalnego.
49 P(X < b) = P X µ < b µ σ σ = P Z < b µ σ P(X > a) = P X µ > a µ σ σ = P Z < a µ σ P(a < X < b) = P a µ < X µ < b µ σ σ σ = P a µ < Z < b µ σ σ
50 Korzystanie z przekształcenia rozkładu normalnego 1. Niech X ~ N(50, 10). Znajdziemy prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej X są większe od 60, czyli P(X > 60). P(X > 60) = P X > = P(Z > 1) = 10 = 1 P(Z 1) = 1 F(1) = 1 0,84 = 0,16. x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,0 0, , , , , , , , , ,86214
51 Korzystanie z przekształcenia rozkładu normalnego 2. Przypuśćmy, że wiemy iż pewna zmienna X ~ N(120, σ), czyni nie znamy σ. Wiemy natomiast, że P(X > 125) = 0,05. Ile wynosi σ? P(X > 125) = P Z > σ = P Z > 5 σ = 1 P Z 5 σ Otrzymujemy więc równanie równoważne z równaniem 0,05 = 1 F 5 σ F 5 σ = 0,95.
52 Korzystanie z przekształcenia rozkładu normalnego F 5 σ = 0,95. 0, ,4 0, , , , , , , , , ,93189 x 1,5 0,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , ,96327 Stąd odszukujemy, że skąd 1,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,97670 σ = 1,64, 2,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , ,98899 σ = 5 1,64 = 3,05. 2,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , ,99361
53 Rozkład chi-kwadrat (χ 2 ) Rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody ma zmienna losowa χ 2 postaci χ 2 = X X X k 2, gdzie X i są niezależnymi standaryzowanymi zmiennymi losowymi normalnymi. f(x) E(χ 2 ) = k, 0,3 SD(χ 2 ) = 2k
54 Wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat dla różnych stopni swobody 0, stopnie swobody 5 stopni swobody 10 stopni swobody
55 Rozkład t Studenta postaci Rozkład t Studenta z k stopniami swobody ma zmienna losowa t t = Z χ 2 k, gdzie Z i χ 2 są niezależnymi zmiennymi losowymi: Z ma standaryzowany rozkład normalny, χ 2 ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody. 0
56 Rozkład t Studenta Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej t: E(t) = 0, SD(t) = k/(k - 2). Dla dużych k rozkład t Studenta jest zbliżony do standaryzowanego rozkładu normalnego. 0
57 Krytyczne wartości t α/2 w rozkładzie t Studenta Stopnie swobody t 0,1 t 0,05 t 0,025 t 0,01 t 0, ,078 6,314 12,706 31,821 63, ,886 2,920 4,303 6,965 9, ,638 2,353 3,182 4,541 5, ,533 2,132 2,776 3,747 4, ,476 2,015 2,571 3,365 4, ,440 1,943 2,447 3,143 3, ,415 1,895 2,365 2,998 3, ,397 1,860 2,306 2,896 3, ,383 1,833 2,262 2,821 3, ,372 1,812 2,228 2,764 3,169 P(t > t α /2 ) = α / 2 0 t α/2
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoZwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X
Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowog) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa. Przedział ufności
Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoKorzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej
Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne losowe oznaczamy symbolem: X :! R Zmienna losowa X,
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoZawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Bardziej szczegółowoZmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny
Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny 1. Wyprodukowanie określonej liczby wyrobów przez jednego pracownika w ciągu godziny jest zmienną losową o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowo= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2
64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowo