Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze.

Transkrypt

1 (Scenariusz lekcji o wprowadzeniu pojęcia ciągłości funkcji w punkcie, w zbiorze CFX9859GB PLUS) Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze. Cele: poznawczy - poznanie pojęć: ciągłość funkcji w punkcie, w zbiorze (w dziedzinie), poznanie wykresów różnych funkcji. kształcący - obliczanie granic funkcji, określanie dziedziny, wykorzystanie monotoniczności funkcji, proste przekształcenia algebraiczne, znajdowanie punktów nieciągłości funkcji, weryfikacja własnych poglądów z wykorzystaniem kalkulatora graficznego. wychowawczy - umiejętność dyskusji, rywalizacji, kontrolowanie elementów, które znajdą miejsce w czasie lekcji. Metody - pogadanka, ćwiczenia, praca z kalkulatorem graficznym. Pomoce -. zadania na kartkach. kalkulator graficzny jako pomoc w rozwiązywaniu problemów. PLAN LEKCJI L.p. Zadania Komentarz Czas w min.. Czynności wstępne: 3 a) Przywitanie klasy i gości; b) sprawdzenie listy obecności; c) sprawdzenie pracy domowej.. Wprowadzenie do lekcji. 3. Podanie tematu lekcji "Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze. Przypomnienie wiadomości o funkcjach w sensie ich własności to jest: są np. funkcje rosnące, malejące, różnowartościowe. Poprzez pytanie o kształt wykresu sprowokowanie do tematu: że można narysować wykres funkcji nie odrywając długopisu od kartki oraz, że są funkcje, których w ten sposób nie da się narysować, czyli, że są funkcje ciągłe (ciągnąć długopis) i nieciągłe (czyli takie których wykres nie jest linią ciągłą czyli "przerwaną"). 3

2 4. Podanie definicji funkcji ciągłej w punkcie i w zbiorze. 5. Czy funkcja + f( )= jest ciągła? Próba wspólnego określenia funkcji ciągłej w punkcie w oparciu o wykresy na załączonej kartce. Funkcję y = f() nazywamy funkcją ciągłą w punkcie 0, jeśli istnieje lim f ( ) i lim f ( ) = f( 0 ). Określenie słowne definicji: funkcja jest ciągła w punkcie wtedy, gdy granica funkcji w tym punkcie istnieje i jest równa wartości funkcji w tym punkcie. Co to znaczy, że funkcja jest ciągła w zbiorze, w dziedzinie? Jak nazwiemy punkt w którym funkcja nie jest ciągła (jest to punkt nieciągłości funkcji)? Czy ktoś może podać przykład funkcji ciągłej? (np. funkcja liniowa, wielomiany, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, itd ). Dziedzina funkcji:.wykorzystując kalkulator rysujemy jej wykres. Odpowiadamy na polecenie: funkcja ta nie jest ciągła w zbiorze R. Jest natomiast ciągła w swojej dziedzinie, czyli jest ciągła przedziałami. Jest też przedziałami malejąca. Na marginesie - co przypomina wykres tej funkcji? Sprawdź ciągłość funkcji Zanim sprawdzimy algebraicznie spróbujmy zobaczyć wykres tej funkcji korzystając z kalkulatora. Odp. Funkcja ta nie jest ciągła w punkcie 0. Jak to sprawdzić gdybyśmy nie widzieli wykresu tej 0 f ( ) = dla funkcji? W tym celu należy dla = 0 Policzyć granicę w punkcie 0 = 0. lim 0 =+. Zauważmy też, że f(0) =. 7. Podaj przykład funkcji wymiernej ciągłej. Uczniowie w grupach pracując z kalkulatorem szukają funkcji ciągłych. Jeden z uczniów zapisze jej wzór na tablicy i wszyscy jeszcze raz to sprawdzą. Wywołanie dyskusji, czy bez kalkulatora też potrafimy znaleźć takie przykłady i jak to uzasadnić. Zwrócenie uwagi na to, że punkt nieokreśloności jest jednocześnie punktem nieciągłości. Sprawdzanie algebraiczne np. f() = ; R. + Dla dowolnych, 0 R lim lim f ( ) + = 0 = lim + lim o + = Zbadaj ciągłość funkcji: f() = Uczniowie pracują w grupach i dyskutują przez chwilę, a następnie wyciągają wnioski i je przedstawiają. W zależności od czasu obliczenie granicy lewo i prawostronnej. Odpowiedź: Funkcja ta nie jest ciągła w zbiorze R. 5

3 w zbiorze R. 9. Zbadaj ciągłość funkcji: f()= dla 0 dla = 0 0. Praca domowa:. Sprawdzić ciągłość funkcji: a) dla 0 f() = 0 dla = 0 b) f() = ( ) Dla chętnych:.co powiesz na temat ciągłości funkcji f() = ; D = C. Zagadnienie Wyznaczenie dziedziny D = R. Jest to funkcja ciągła. Próba uzyskania odpowiedzi z wykorzystaniem kalkulatora lub bez. Gdyby był czas obliczenie: lim = lim = = f ( 0) =. Nawiązanie do dyskusji. 0 Próba zwrócenia uwagi jak można to zadanie rozwiązać. Można sprawdzić ciągłość korzystając z wykresu tej funkcji lub dać odpowiedź algebraicznie. Najciekawsza praca opisująca rozwiązanie zadania drugiego może być opublikowana w czasopiśmie Nauczyciele i Matematyka w nagrodę. Znając temat jako profil humanistyczny powinni ładnie to opisać. należy opisać.. Podsumowanie. Co to znaczy że funkcja jest ciągła w punkcie, w zbiorze? Jak sprawdzić ciągłość funkcji algebraicznie i na co zwrócić uwagę gdy mamy jej wykres? 5

4 Zadania do rozwiązania: (uczniowie otrzymują kartki z zadaniami, które będą rozwiązywane w czasie lekcji i zadania do samodzielnego rozwiązania) y y = f() y y = f() f ( 0 ) f( 0 ) rys. rys. y y = f() y y = f() f( 0 ) f( 0 ) 0 0 rys.3 Zadania:. Czy funkcja f() = + jest ciągła? 0. Sprawdź ciągłość funkcji f() = dla. dla = 0 3.Podaj przykład funkcji wymiernej ciągłej. 4 Zbadaj ciągłość funkcji f() = w zbiorze R. 5 Zbadać ciągłość funkcji f() = Praca domowa: dla 0. dla = 0 rys.4

5 . Sprawdzić ciągłość funkcji : dla 0 a) f() = 0 dla = 0 b) f() = ( ) Dla chętnych: Co powiesz na temat ciągłości funkcji f() = ; D f = C. Zagadnienie należy opisać. Najlepsza praca może być opublikowana w czasopiśmie matematycznym NiM. Opracowanie: Ireneusz Szubarczyk