P 1, P 2 - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni F wokół punktu A

Transkrypt

1 TEORI STNU NPRĘŻENI. WEKTOR NPRĘŻENI r x P P P P, P - wektory sł wewnętrznych w unktach owerzchn wokół unktu P P r, P - suma sł wewnętrznych na owerzchn P P P P średna gęstość sł wewnętrznych na owerzchn P narężene w unkce : lm ( r, ) 0 funkcja wektorowa. STN NPRĘŻENI W PUNKCIE zbór wektorów narężena w ustalonym unkce rzy dowolnej łaszczyźne rzekroju r const ( ) wyberamy szczególne łaszczyzny rzekroju - rostoadłe do os układu wsółrzędnych x wektor narężena rzynależny łaszczyźne rostoadłej do os x wersory normalne łaszczyzn rostoadłych do os x macerz narężena T ( ),,,, j j xx x,, j,, funkcja skalarna skalarów. KONWENCJ ZNKOWNI NPRĘŻEŃ,, - narężena normalne, ozostałe to nar. styczne naręż. normalne jest dodatne, G F jeżel jest zgodne skerowane z normalną zewnętrzną łaszczyzny nar. styczne jest dodatne, jeżel: r C D ) normalna zewnętrzna łaszczyzny jest E zgodne skerowana z osą układu, do x której jest ona równoległa ) narężene styczne jest zgodne B skerowane z osą układu, do której jest ono równoległe, lub gdy oba warunk są jednocześne nesełnone.

2 TEORI STNU NPRĘŻENI 4. TENSOR NPRĘŻENI C B F F O F F x wektor nar. na ścance F o wersorze normalnym (,, ) wektory nar. na ścankach F (,, ) F ole ścank rostoadłej do os x (rzut ścank F na na łaszczyznę rostoadłą do os x ) (,, ) I cos kąta mędzy ścankam cos kąta mędzy normalnym do ścanek cos, x cos, x sły dzałające na ścankach P sła dzałająca na ścance P warunek równowag sł (zamknęty rzestrzenny welobok sł) P P P P symetra macerzy narężeń j j + + td... konwencja sumacyjna wsółrzędne wektora narężena na ścance o normalnej j j W wynku omnożena wektora rzez macerz otrzymujemy wektor, a zatem macerz narężena mus być tensorem. 5. TRNSFORMCJ TENSOR NPRĘŻENI x e e e e e e x x x T T T macerz rzejśca j cos ( e, e j ) I wersz cos ( e, e ) cos ( e, e ) cos ( e, e ) I kolumna cos ( e, e ) cos ( e, e ) cos ( e, e )

3 TEORI STNU NPRĘŻENI. wersze macerzy rzejśca to wsółrzędne wersorów nowego układu wyrażone w ukł. starym. kolumny macerzy rzejśca to wsółrzędne wersorów starego układu wyrażone w ukł. nowym. macerz ortonormalna wzg. werszy kolumn, tzn. k k jk kj j δ j 0 j 4. rawo transformacj j k jl kl 6. NPRĘŻENI GŁÓWNE Poszukujemy takej łaszczyzny rzechodzącej rzez dany unkt, aby odowadający jej wektor narężena mał tak sam kerunek jak wersor normalny łaszczyzny. x ( ; ; ) ( ; ; ) O - mara wektora Zauważmy, że utożsamając kerunek wersora normalnego łaszczyzny z kerunkem n. "" os nowego układu, wektor narężena tworzący erwszy wersz 'nowego" tensora narężena małby nezerową tylko erwszą składową - składową normalną. Byłaby ona najwększa sośród wszystkch możlwych. Take narężene normalne nos nazwę narężena głównego, a odowadająca mu łaszczyzna to łaszczyzna główna. warunek kolnearnośc wektor narężena T j j zagadnene własne T j j j δ j j 0 + j j (war. jednostkowej dług. wersora) Warunek koneczny stnena rozwązana ze wzg. na elementy macerzy rzejśca det δ 0 j j 0 I + I I (równ. charakterystyczne) 0 I + +, I + +, I równane charakterystyczne ma zawsze erwastk rzeczywste, które można uorządkować > > każdej z wartośc głównych odowada łaszczyzna główna, określona wersorem normalnym,,,,,,

4 TEORI STNU NPRĘŻENI 4 wersory określające łaszczyzny główne są ortonormalne, tzn. o j 0 dla dla dla dowolnego tensora narężena zawsze stneją wzajemne rostoadłe narężena kerunk (łaszczyzny) główne. rocedura określana kerunków głównych, czyl zarazem macerzy rzejśca do kerunków głównych + + n. dla (*) ) wząć którekolwek sośród równań, kładąc w nch n. t ) znaleźć (t), (t) ) wyznaczyć arametr t z warunku " (*) " 4) oblczyć wartośc,, 5) ostąć analogczne dla 6) wyznaczyć 7. PŁSKI STN NPRĘŻENI stan narężena, dla którego wszystke składowe leżą w jednej łaszczyźne, n. (, x ). j j x tensor narężena 0 T macerz rzejśca x, x, cos j sn sn cos narężena główne j k jl kl + rzekształcena, + ( ) ± + 4 tg,, seudołask stan narężena - jak wyżej, ale 0. Rezultaty jak dla PSN, a trzece narężene główne

5 TEORI STNU NPRĘŻENI 5 8. EKSTREMLNE NPRĘŻENI STYCZNE Problem : W unkce znany jest tensor narężena w osach głównych. Jaką łaszczyzną należy rzekroć cało w kt., aby mara rzutu wektora narężena odowadającego tej łaszczyźne na ną samą była maksymalna? τ ( ) ; ; wektor narężena ; ; wersor normalny - mara rzutu wektora narężena na normalną τ - mara rzutu wektora narężena na łaszczyznę + + o j j Procedura rozwązana + + () + τ τ ( ) τ () + warunek + + () Zadane srowadza sę do znalezena ekstremum funkcj () z warunkem obocznym () ) z war. () wyelmnować n. wstawć do funkcj () ) warunk koneczne stnena ekstremum τ τ 0 ; 0 + rzekształcena Rozwązane : Narężena styczne osągają swoje ekstrema na łaszczyznach nachylonych od kątam 45 do łaszczyzn głównych. 9. KOŁ MOHR ( 0; ; ) ; ( 0; ; ) τ 0 ± 0707 ± 0707 ± ( ;. ;. ) τ ± ± ± ( ; 0 ; ) τ ± ± ± ( ; ; 0) Problem : W unkce znany jest tensor narężena w osach głównych. Określć zbór rozwązań (, τ ) dla dowolnych łaszczyzn rzekroju cała, rzechodzących rzez kt.. τ ; ; wektor narężena ( ) ; ; wersor normalny - mara rzutu wektora na τ - mara rzutu wektora na łaszczyznę

6 TEORI STNU NPRĘŻENI 6 tensor narężena T Procedura rozwązana > > + + o ; ; j j + + () + τ τ ( ) τ () + warunek + + () Rozwązane układu równań (), (), () wzgl. ma ostać : + ( ) ( ) ( ) ( ) τ + ( )( ) ( )( ) τ + ( )( ) ( )( ) τ Z relacj wększoścowych mędzy narężenam głównym wynkają nerównośc: + ( )( ) 0 ; τ + ( )( ) 0 ; τ ( )( ) τ Przekształcena tych nerównośc rowadzą do zwązków: + K + τ zewnętrze okręgu o romenu ( - ) / środku [ ( + ) / ; 0 ] + K + τ wnętrze okręgu o romenu ( - ) / środku [ ( + ) / ; 0 ] + K + τ wnętrze okręgu o romenu ( - ) / środku [ ( + ) / ; 0 ] + 0 τ K WNIOSEK : Dla danego tensora narężena w kt., τ określonego w osach głównych, konec wektora narężena odowadają- S S K S cego dowolnej łaszczyźne rzechodzącej rzez kt. mus leżeć w obszarze K określonym rzez koła Mohra (obszar "zacemnony"). Jest to obszar, w którym leżą wszystke ary (, τ)

7 TEORI STNU NPRĘŻENI 7 Zastosowane kół Mohra dla łaskego stanu narężena ( 0 ) ZDNIE : Dane są narężena główne oraz kąt, od jakm nachylona jest łaszczyzna do kerunku narężena. Wyznaczyć narężena normalne styczne τ rzynależne tej łaszczyźne. τ S τ ZDNIE : Dany jest tensor narężena w kt. w dowolnym ukł. wsółrzędnych (, x ). Znaleźć narężena główne oraz ch kerunk. τ x g³ P O N S N P g³ Kolejność czynnośc: ) odłożyć na os "" wartośc ) z unktu odłożyć na os "τ" wartość - jeżel > 0 to o dodatnej strone os "τ" ( na rysunku rzyjęto < 0 ). Z unktu odłożyć wartość o strone rzecwnej os "τ". Otrzymujemy unkty P P ) ołączyć unkty P P - unkt S, rzecęca odc. P -P z osą "" jest środkem koła 4) narysować koło o środku w kt. S romenu S P (S P ). Otrzymujemy unkty N N, rzecęca sę okręgu z osą "". Odcnk ON O N wyznaczają wartośc narężeń głównych gł 5) ołączyć unkt P z N - otrzymujemy oś, określającą kerunek główny odowadający erwszemu narężenu głównemu gł 6) ołączyć unkt P z N - otrzymujemy oś x, określającą kerunek główny odowadający drugemu narężenu głównemu.