Analiza sterowalno±ci
|
|
- Kamila Kruk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza sterowalno±ci 1 Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdzie A R n n oraz B R n p. x(0) R n Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna je»eli x(0), 0 < t f < istnieje takie sterowanie u : [0, t f ] R p przy którym x(t f ) = 0 n. Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna. Macierz sterowalno±ci M c = [ B AB A n 1 B ], posiada peªny wierszowy rz d rank M c = n ( Im M c = R n ) M c R n n p
2 2 Przykªad 1 Analizuj c rz d macierzy sterowalno±ci, zbadaj caªkowit sterowalno± obiektu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), w którym: a) [ ] [ ] A =, B = b = b) A = 0 2 1, B = a) Dla obiektów z pojedynczym wej±ciem, a zatem tak»e dla obiektów SISO, macierz sterowalno±ci jest macierz kwadratow ; taka macierz ma peªny rz d wtedy i tylko wtedy, je»eli jej wyznacznik jest ró»ny od zera. Poniewa» [ ] 1 4 det M c = det[ b Ab ] = det = zatem obiekt nie jest caªkowicie sterowalny.
3 3 b) Macierz sterowalno±ci M c = [ B AB A 2 B ], M c R 3 6 jest macierz prostok tn. Obiekt jest zatem caªkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ta posiada peªny wierszowy rz d. Mamy M c = Jak ªatwo sprawdzi, badaj c przykªadowo trzy pierwsze kolumny tej macierzy: rank M c = 3. Rozwa»any obiekt jest zatem caªkowicie sterowalny.
4 4 Uwaga Niech A R n n oraz B R n p. Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy rank M c = n, gdzie M c = [ B AB A n r BB ] za± r B = rank B. O sterowalno±ci pary (A, B) orzeka si zatem na podstawie oceny rz du zredukowanej macierzy sterowalno±ci M c R n (n r B+1) p o odpowiednio zmniejszonej liczbie kolumn ('peªna' macierz sterowalno±ci M c posiada bowiem n p kolumn). W przykªadzie 1b mamy: rank M c = 3. Pytanie: które mody s niesterowalne?
5 Kryterium modalne (diagonalizacja) Dana jest para macierzy (A, B), gdzie A R n n oraz B R n p, przy czym A posiada jednokrotne warto±ci wªasne spectr A = {λ i } n i=1 Przeksztaªacaj c (A, B) w par podobn (M 1 AM, M 1 B) gdzie M C n n jest dowoln macierz diagonalizuj c macierz A, mo»na sprawdzi, czy (A, B) jest par caªkowicie sterowaln. Macierz A o jednokrotnych warto±ciach wªasnych jest macierz diagonalizowaln. Rol macierzy diagonalizuj cej peª- macierz modalna M o ni dowolna (!) kolumnach utworzonych z wektorów wªasnych macierzy A przyporz dkowanych jej warto±ciom wªasnym (M nie jest wyznaczona jednoznacznie). 5
6 6 Zachodzi M 1 AM = diag {λ i } n i=1. Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna, gdy w macierzy M 1 B nie wyst puj zerowe wiersze. Dla p = 1 odpowiednia para (A, b), w której b R n, jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wektor M 1 b R n nie posiada zerowych wspóªrz dnych). Obecno± takiego zerowego i-tego wiersza ±wiadczy,»e odpowiedni mod e λ it jest modem niesterowalnym.
7 Przykªad 2 Zbadaj sterowalno± pary (A, B): a) [ ] [ ] A =, B = b = b) A = 0 0 1, B = a) W tym przypadku spectr A = { 3, 2}. Przykªadowej macierzy modalnej [ ] 1 0 M = 1 1 odpowiada wektor M 1 b = [ 1 0 ] T. Na tej podstawie wnioskujemy,»e para (A, b) nie jest caªkowicie sterowalna, za± niesterowalnym modem jest mod e 2t.
8 8 b) W tym przypadku spectr A = { 1, 0, 1}. Macierzy modalnej M = przyporz dkowujemy macierz 1/2 1/2 M 1 B = /2 1/2 Z powy»szego wynika, i» para (A, B) jest par caªkowicie sterowaln. Uzyskane wnioski ªatwo jest potwierdzi, analizuj c rz d odpowiednich macierzy sterowalno±ci: [ ] 1 3 a) M c =, rank M 1 3 c = b) M c = , rank M c =
9 Podprzestrze«sterowaln±ci Dana jest para macierzy (A, B), przy czym A R n n oraz B R n p. Podprzestrze«sterowalno±ci Im M c = n 1 i=0 Im Ai B R n gdzie M c R n n p oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, B), jest podprzestrzeni A-niezmiennicz, a zatem v Im M c zachodzi Av Im M c. Niech v Im M c, v R n. Istnieje przeto w R n p,»e v = M c w. Mamy zatem Av = AM c w = n gdzie w = [ w1 T wn T ] T oraz w i R p, i {1,..., n}. i=1 Ai Bw i 9
10 10 Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika,»e gdzie n A n = n 1 i=0 a ia i i=0 a iλ i = ϕ A (λ) = det(λi n A), a n = 1. Na tej podstawie otrzymujemy Av = a 0 Bw n + = M c n 1 i=1 a 0 w n w 1 a 1 w n. w n 1 a n 1 w n co oznacza,»e Av Im M c. A i B(w i a i w n )
11 Dekompozycja przestrzeni stanu 11 Dany jest system ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), A R n n, B R n p. Niech rank M c = n c < n gdzie M c R n n p oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, B). Poka»emy,»e istnieje takie nieosobliwe przeksztaªcenie o macierzy T c R n n, dla którego: [ ] ˆx1 T c x = ˆx =, ˆx ˆx 1 R n c, ˆx 2 R n c 2 oraz [ ˆx1 ˆx 2 ] = ˆx + ˆBu [ ] [ ] [ Â11  = 12 ˆx1 ˆB1 + 0 n c n c  22 ˆx 2 0 n c p ] u
12 12 gdzie n c + n c = n przy czym (Â11, ˆB 1 ) gdzie Â11 R n c n c oraz ˆB 1 R n c p, jest par caªkowicie sterowaln. O parze macierzy (Â, ˆB) mówimy,»e posiada posta sterowaln zdekomponowan. Para (A, B) nie jest caªkowicie sterowalna. Oznaczmy przez q i R n, i {1,..., n c }, liniowo niezale»ne kolumny macierzy sterowalno±ci M c tej pary. Zbiór {q i } n c i=1 stanowi zatem baz podprzestrzeni sterowalno±ci Im M c R n : span {q i } n c i=1 = Im M c.
13 Zdeniujmy nast puj c baz w R n : 13 {q i } n c i=1 { q i} n c i=1 gdzie { q i } n c i=1 jest dowolnym zbiorem liniowo niezale»nych wektorów q i R n, i {1,..., n c }, takich,»e zbiory {q i } n c i=1 oraz { q i } n c i=1 s wzajemnie liniowo niezale»ne. Jako przykªadowy zbiór { q i } n c i=1 mo»e sªu»y dowolna baza podprzestrzeni Ker M T c. Niech Q c R n n b dzie nieosobliw macierz utworzon z rozwa»anych bazowych wektorów: gdzie Q c = [ Q c1 Q c2 ] Q c1 = [ q 1 q nc ] R n n c Q c2 = [ q 1 q n c ] R n n c.
14 14 Zachodzi zatem R n = Im Q c1 Im Q c2. Z denicji macierzy M c wynika,»e Im M c = n i=1 Im Ai 1 B. Pami taj c,»e Im M c jest podprzestrzeni A-niezmiennicz, ªatwo mo»na wykaza, i» Aq i Im M c, i {1,..., n c }. Ka»dy wektor Aq i, i {1,..., n c }, jest liniow kombinacj wektorów {q i } n c i=1. Na tej podstawie wnioskujemy,»e AQ c = [ Aq 1 Aq nc A q 1 A q n c ] = Qc Â, (1) gdzie  Rn n jest macierz o odpowiedniej blokowo trójk tnej strukturze:
15 15 przy czym  = [ Â11  12 0 n c n c  22 ]  11 R n c n c,  12 R n c n c,  22 R n c n c. Kolumny macierzy B tak»e nale» do Im M c, mog by zatem wyra»one w bazie {q i } n c i=1, co zapisujemy jako B = Q c ˆB gdzie ˆB R n p jest macierz o nast puj cej blokowej strukturze [ ] ˆB1 ˆB =, ˆB1 R nc p. 0 n c p Ze wzoru (1) wynika, i» A = Q c ÂQ 1 c.
16 16 Poniewa» i 0 zachodzi zatem gdzie A i = Q c  i Q 1 c M c = Q c ˆMc ˆM c = [ ˆB  ˆB  n 1 ˆB ], ˆMc R n n p jest macierz sterowalno±ci pary (Â, ˆB): ˆM c = [ ˆB1  11 ˆB1  n c 1 11 ˆB 1  n 1 11 ˆB 1 0 n c p 0 n c p 0 n c p 0 n c p ].
17 Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika,»e macierz Âi 11, i n c, jest liniow kombinacj macierzy {Âj 11 }n c 1 j=0. Na tej podstawie wnioskujemy o rz dzie macierzy sterowalno±ci ˆMc1 R n c n c p pary (Â11, ˆB 1 ): rank ˆM c1 = rank ˆM c = rank M c = n c. Oznacza to,»e para (Â11, ˆB 1 ) jest caªkowicie sterowalna. Z przedstawionego rozumowania wynika, i» poszukiwan macierz podobie«stwa jest macierz 17 T c = Q 1 c.
18 18 Przykªad 3 Rozwa»my dwa przypadki: a) A = 1 0 1, B = b) A = , B = ; a) W tym przypadku M c = , rank M c = a zatem: n c = 2 oraz n c = 1. Przyjmijmy: q 1 = [ ] T q 2 = [ ] T
19 Jako q 1 wybieramy dowolny niezerowy wektor nale» cy do Ker M T c. Mamy zatem: q 1 q 1 oraz q 1 q 2. Macierz podobie«stwa prowadzi do  = Q 1 c AQ c = ˆB = Q 1 c B = Q c = [ q 1 q 2 q 1 ] [ Â11   22 [ ] ˆB1 = ] = Jak widzimy, para (Â11, ˆB 1 ) jest caªkowicie sterowalna: rank ˆM c1 = rank [ ˆB1  11 ˆB1 ] = rank [ ] = 2.
20 20 Sprawd¹my jeszcze,»e span { q i } n c i=1 = Ker M T c jest warunkiem wystarczaj cym, lecz nie koniecznym dla Niech R n = span {q i } n c i=1 span { q i} n c i= q 1 / span {q i } n c i=1 q 1 / Ker Mc T. Przykªadowo, dla q 1 = [ ] T mamy: [ ] Â = Q 1 Â11 Â c AQ c = 12 = Â [ ] 1 0 ˆB1 ˆB = Q 1 c B = = oraz rank ˆM c1 = 2.
21 b) W rozwa»anym przypadku zachodzi M c = rank M c = 2 co oznacza,»e: n c = 2 oraz n c = 2. Dla przykªadowych wektorów gdzie q 1 = [ ] T q 2 = [ ] q 1 = [ ] T q 2 = [ ] T 21 q 1, q 2 Im M c, q 1, q 2 Ker M T c otrzymujemy macierz podobie«stwa Q c = [ q 1 q 2 q 1 q 2 ].
22 22 Macierzy Q c odpowiada model: [ ] Â = Q 1 Â11 Â c AQ c = Â /4 3/2 = 4 5 1/ /2 2 ˆB = Q 1 c B = [ ˆB ] = Para (Â11, ˆB 1 ) jest caªkowicie sterowalna, gdy» rank ˆM c1 = rank [ ] ˆB1 Â 11 ˆB1 [ ] = rank =
23 Synteza regulatora od stanu Zadanie stabilizacji Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x(0) x(t) R n, A R n n, b R n. Posªuguj c si formuª Ackermanna, wyznaczymy wspóªrz dne wektora k liniowego sprz»enia zwrotnego od stanu 23 u(t) = k T x(t), k R n dla których macierz stanu zamkni tego u- kªadu sterowania tym obiektem posiada zadane (dowolne!) warto±ci wªasne. Zamkni ty ukªad sterowania, uzyskany po zastosowaniu omawianego sprz»enia od stanu, opisany jest równaniem ẋ(t) = (A bk T )x(t), x(0).
24 24 Formuªa Ackermanna, odniesiona do o- biektu o caªkowicie sterowalnej parze (A, b), pozwala na dowolne uksztaªtowanie wszystkich warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego. Zgodnie z t formuª wektor wzmocnie«regulatora k R n oblicza si w nast puj cy sposób gdzie: k = ϕ(a) T (M 1 c ) T e n (2) M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), ϕ(a) R n n jest warto±ci, jak wielomian charakterystycznego macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania przyjmuje dla macierzowego argumentu A, e n = [ ] T R n jest wektorem jednostkowym.
25 Wielomian charakterystyczny ϕ(λ) wyznacza si w oparciu o zbiór 25 {λ i } n i=1 zadanych warto±ci wªasnych: ϕ(λ) = det (λi n (A bk T )) = n i=1 (λ λ i). Warunkiem stosowalno±ci wzoru (2) jest odwracalno± macierzy M c. Dla sterowalnego obiektu o jednym wej- ±ciu zadanie rozmieszczania (pozycjonowania, pole placement) warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego posiada jednoznaczne rozwi zanie.
26 26 Przykªad 4 Rozwa»my dwa przypadki: a) A = b) A = [ ], b = {λ i } 2 i=1 = { 2 ± j2}; [ 0 1 ] {λ i } 4 i=1 = { 6, 6, 4, 4}., B = W obu rozpatrywanych przypadkach sterowany obiekt jest obiektem niestabilnym: spectr A = { 4, 4} spectr A = { 2, 0, 1, 2}
27 a) Para (A, b) ma kanoniczn posta sterowaln. Jest to zatem para caªkowicie sterowalna, dla której M c = Jak ªatwo sprawdzi : [ ϕ(λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = 8 + 4λ + λ 2. Zatem, zgodnie ze wzorem (2), otrzymujemy ]. 27 k = ( [ ] [ ] ] + [ ] 2 ) T = ( [ [ ] 1 ) T [ 0 ] [ 1 0 ] 1 [ ] 24 = 4.
28 28 b) W rozwa»anym przypadku zachodzi: ϕ(λ) = 4 (λ λ i) i=1 = λ + 148λ λ 3 + λ 4 M c = Poniewa» rank M c = 4, zatem para (A, b) jest caªkowicie sterowalna. Ponadto mamy ϕ(a) =
29 Zauwa»my, i» ze wzoru (2) wynika,»e znajomo± macierzy odwrotnej Mc 1 nie jest niezb dna przy wyznaczaniu wektora wspóªczynników sprz»enia zwrotnego k: rozwi - zuj c ukªad równa«liniowych 29 M T c a = e n otrzymuje si pomocniczy wektor a R n, a nast pnie w ªatwy sposób oblicza si k = ϕ(a) T a. Tak post puj c, uzyskano: a = [ ] T k = [ ] T.
30 30 Obiekt opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), A R n n, b R n. Posªuguj c si metod transformacji pary (A, b) do podobnej postaci kanonicznej sterowalnej, wyznacz wspóªrz dne wektora k sprz»enia zwrotnego u(t) = k T x(t) zapewniaj cego macierzy stanu ukªadu zamkni tego zadane warto±ci wªasne. Niech (Â, ˆb) oznacza par macierzy o kanonicznej sterowalnej postaci, w której  R n n jest macierz Frobeniusa, za± ˆb R n jest wektorem jednostkowym  = a 0 a 1 a 2 a n 1, ˆb =
31 Wielomian charakterystyczny macierzy  ma posta det (λi n Â) = n Macierz  ˆbˆk T, gdzie i=0 a iλ i, a n = ˆk = [ ˆk0 ˆk1 ˆk n 1 ] T R n oznacza dowolny wektor, jest tak»e macierz Frobeniusa, w której kolejne elementy ostatniego wiersza przyjmuj warto±ci ( a i ˆk i ), i {0,..., n 1}. Wynika st d,»e w przypadku obiektu dynamicznego opisanego równaniem sterowanie ˆx(t) = ˆx(t) + ˆbu(t) u(t) = ˆk T ˆx(t)
32 32 oparte o liniowe sprz»enie od stanu ˆx(t) R n, umo»liwia dowolne ksztaªtowanie wielomianu charakterystycznego macierzy stanu odpowiedniego ukªadu zamkni tego: det (λi n (Â ˆbˆk T )) = n i=0 (a i + ˆk i )λ i. O parze (A, b) zakªada si,»e jest caªkowicie sterowalna. Parze tej przyporz dkowa mo»na par podobn (Â, ˆb) = (Tc 1 AT c, Tc 1 b) o kanonicznej sterowalnej postaci, gdzie T c R n n oznacza stosown macierz podobie«stwa. Zachodzi przy tym ˆM c = Tc 1 M c gdzie M c, ˆMc R n n s macierzami sterowalno±ci odpowiednich par: (A, b) oraz (Â, ˆb).
33 ˆM 1 c Oznaczaj c przez W = R n n odwrotno± macierzy sterowalno±ci pary (Â, ˆb), otrzymujemy wzór T c = M c W w którym W jest symetryczn macierz górn antytrójk tn, utworzon ze wspóªczynników wielomianu charakterystycznego det (λi n A) = n macierzy A i=0 a iλ i, a n = 1 33 W = a 1 a n 2 a n 1 1 a 2 a n a n (3)
34 34 Zakªadaj c,»e dost pne s wszystkie wspóªrz dne wektora stanu x(t) R n, ªatwo jest wyznaczy taki wektor k R n wspóªczynników sprz»enia zwrotnego u(t) = k T x(t) któremu odpowiada zadany wielomian charakterystyczny det (λi n (A bk T )) = n i=0 α iλ i, α n = 1 macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania. Bior c pod uwag,»e x(t) = T cˆx(t) otrzymujemy poszukiwany wzór k = (T 1 c ) T ˆk = ( ˆMc M 1 ) T ˆk w którym wspóªrz dne wektora ˆk wyznacza si, porównuj c odpowiednie wspóªczynniki c
35 rozwa»anych wielomianów charakterystycznych: 35 ˆk = [ α 0 a 0 α 1 a 1 α n 1 a n 1 ] T. Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem stosowalno±ci opisanej metody jest odwracalno± macierzy T c, co sprowadza si do postulatu odwracalno±ci macierzy sterowalno±ci M c.
36 36 Niech: A = oraz Przykªad , b = {λ i } 4 i=1 = { 5, 5, 10, 10}. Kolejno obliczamy: M c = det (λi 4 A) = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + a 3 λ 3 + λ = λ + 3.0λ 2 4.0λ 3 + λ 4 (λ λ 1 )(λ λ 2 )(λ λ 3 )(λ λ 4 ) = α 0 + α 1 λ + α 2 λ 2 + α 3 λ 3 + λ 4 = λ + 325λ λ 3 + λ 4.
37 37 W = T c = oraz ˆk = [ ] T. Mamy rank M c = 4, co oznacza,»e macierz T c jest macierz nieosobliw. Zatem, rozwi zuj c ukªad równa«t T c k = ˆk wyznaczamy wektor poszukiwanych wspóªczynników sprz»enia zwrotnego: k = [ ] T.
38 38 Synteza regulatora od stanu Zadanie ±ledzenia Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) w których A R n n, b R n oraz c R n. Obiekt ten sterowany jest w ukªadzie: Rysunek 1: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Zakªadaj c,»e wszystkie zmienne stanu x(t) s dost pne, zastosowano wewn trzn p tl sprz»enia od stanu x(t) oraz zewn trzn p tl sprz»enia od wyj- ±cia obiektu y(t) (sprz»enie poªo»eniowe)
39 z caªkowaniem uchybu 39 e(t) = r(t) y(t) gdzie r(t) jest wielko±ci zadaj c. Nale»y wyznaczy warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = [ k 1 k n ] T R n oraz warto± wspóªczynnika k n+1 R w gªównym torze sterowania, które zapewni macierzy stanu rozwa»anego ukªadu zamkni tego zadane warto±ci wªasne {λ i } n+1 i=1. Postawiony problem jest zatem zadaniem ±ledzenia z pozycjonowaniem biegunów odpowiedniej transmitancji ukªadu zamkni tego.
40 40 Niech x(t) = [ x(t) T x n+1 (t) ] T R n+1 b dzie odpowiednio rozszerzonym wektorem stanu rozwa»anego ukªadu zamkni tego, gdzie x n+1 (t) jest wyj±ciem czªonu caªkuj cego uchyb sterowania. Na tej podstawie mo»emy zapisa,»e ẋ n+1 (t) = e(t) = r(t) cx(t) u(t) = k T x(t) + k n+1 x n+1 (t). Ukªad zamkni ty jest zatem opisany równaniem [ ] [ ẋ(t) Ax(t) + b( k = T x(t) + k n+1 x n+1 (t)) ẋ n+1 (t) r(t) c T x(t) [ ] [ ] [ ] A bk = T k n+1 b x(t) 0n c T + r(t). 0 x n+1 (t) 1 ] Odpowiednio rozszerzony wektor wzmocnie«regulatora (stanowy regulator PI) k = [ k T k n+1 ] T R n+1
41 41 Mamy zatem [ A bk T k n+1 b c T 0 ] = [ A 0n c T 0 ] [ b 0 ] k T. Problem sprowadza si do zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy Ā b k T gdzie: [ ] A 0n Ā = c T R (n+1) (n+1) 0 [ ] b b = R n+1. 0 Zadanie mo»na rozwi za znanymi metodami pod warunkiem,»e para (Ā, b) jest caªkowicie sterowalna. Zauwa»my przy tym,»e spectr Ā = spectr A {0}.
42 42 Macierz sterowalno±ci Mc R (n+1) (n+1) pary (Ā, b) przyjmuje posta [ ] b Ab A M c = n b 0 c T b c T A n 1 b [ ] [ ] b A 1 01 n = 0 c T 0 n M c gdzie M c R n n jest macierz sterowalno±ci pary (A, b), modelu obiektu. Ukªad zamkni ty, opisany równaniami [ ] x(t) = (Ā b k T 0n ) x(t) + r(t) 1 y(t) = [ c T 0 ] x jest zatem caªkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy caªkowicie sterowalny jest obiekt (para (A, b)) oraz speªniony dodatkowy jest warunek [ ] A b rank c T = n
43 Przykªad 6 Rozwa»my przypadek: [ ] A =, b = oraz [ ], c = [ ] {λ i } 3 i=1 = { 5.0, 5.0, 5.0}. Zachodzi [ M c = ], rank M c = 2 rank [ A b c T 0 ] = rank = 3. Postawione zadanie jest zatem wykonalne.
44 44 Wniosek ten potwierdza analiza rz du macierzy sterowalno±ci pary (Ā, b): M c = Wielomian charakterystyczny macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania wynika z zadanych warto±ci wªasnych tej macierzy: ϕ(λ) = (λ + 5) 3 = λ + 15λ 2 + λ 3. Wektor k dany jest formuª Ackermanna k = ϕ(ā)t 1 ( M c ) T 0 =
45 Transmitancja zamkni tego ukªadu sterowania dana jest wzorem Y (s) R(s) = [ c T 0 ] [ si n+1 (Ā b k T ) ] [ 1 0n 1 45 ] który w naszym przypadku daje Y (s) R(s) = s s 2 + s. 3 Rozwa»any ukªad zamkni ty pokazano na poni»szym rysunku. Rysunek 2: Symulacyjny schemat ukªadu sterowania.
46 46 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) w których A R n n, b R n oraz c R n. Obiekt ten sterowany jest w ukªadzie: Rysunek 3: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Zakªadaj c,»e wszystkie zmienne stanu x(t) s dost pne, zastosowano: p tl sprz»enia zwrotnego od stanu x(t) oraz gaª ¹ równolegª wiod c do wyj±cia obiektu y(t).
47 Wyznaczymy takie warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = [ k 1 k n ] T R n oraz wspóªrz dnych wektora gaª zi równolegªej m = [ m 1 m n ] T R n które zapewni zadan posta operatorowej transmitancji ukªadu zamkni tego Niech G rc (s) = C(s) R(s). 47 N 0 (s) = c T adj (si n A)b = n 1 i=0 n is i D 0 (s) = det (si n A) = n i=0 a is i, a n = 1. Zachodzi zatem c T (si n A) 1 b = N 0(s) D 0 (s).
48 48 Z rys. 3 wynikaj zale»no±ci: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) u(t) = r(t) k T x(t) y(t) = (c + m) T x(t) X(s) = (si n A) 1 bu(s) U(s) = R(s) k T X(s) Y (s) = (c + m) T X(s) na podstawie których ªatwo jest wyznaczy transmitancj ukªadu zamkni tego C(s) R(s) = (c + m)t (si n A) 1 b 1 + k T (si n A) 1 b = N 0(s) + m T adj (si n A)b D 0 (s) + k T adj (si n A)b = N(s) D(s). Wektor k wpªywa tylko na mianownik D(s) tak zapisanej transmitancji, za± wektor m tylko na jej licznik N(s).
49 daj c dowolnego uksztaªtowania wielomianu D(s), musimy zaªo»y caªkowit sterowalno± pary (A, b). Istnieje zatem taka nieosobliwa macierz T c R n n, dla której para podobna (Â, ˆb) = (Tc 1 AT c, Tc 1 b) przyjmuje posta kanoniczn sterowaln. Macierz t obliczamy ze wzoru T c = M c W w którym M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), za± W R n n jest odwrotno±ci macierzy sterowalno±ci ˆMc R n n pary (Â, ˆb) (por. 3). Wielomiany N(s) oraz D(s) mo»na uzale»ni od elementów pary (Â, ˆb): 49 N(s) = N 0 (s) + ˆm T adj (si n Â)ˆb D(s) = D 0 (s) + k T adj (si n Â)ˆb
50 50 przy czym ˆk = T T c k ˆm = T T c M. Niech N(s) = n 1 i=0 η is i D(s) = n i=0 α is i, α n = 1 oznaczaj zadane wielomiany licznika i mianownika transmitancji ukªadu zamkni tego, wynikaj ce z wymaga«dotycz cych rozmieszczenia zer i biegunów tej transmitancji oraz jej statycznego wzmocnienia. Na tej podstawie wyznaczamy: k = (Tc 1 ) T ˆk ˆk = [ α 0 a 0 α 1 a 1 α n 1 a n 1 ] T oraz m = (T 1 c ) T ˆm ˆm = [ η 0 n 0 η 1 n 1 η n 1 n n 1 ] T.
51 Przykªad 7 51 Model obiektu oraz ukªadu zamkni tego: A = , b = 0.0, c = C(s) R(s) = s (4 + s)(5 + s) 2. Po niezb dnych obliczeniach otrzymujemy: N 0 (s) = n 0 + n 1 s + n 2 s 2 = s 2 D 0 (s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + s 3 = s + s 2 + s 3 N(s) = η 0 + η 1 s + η 2 s 2 = s + 0s 2 D(s) = α 0 + α 1 s + α 2 s 2 + s 3 = s s 2 + s 3 oraz M c =
52 T c = Para (A, b) jest caªkowicie sterowalna: rank M c = 3. Na tej podstawie wyznaczamy k = [ ] T m = [ ] T co prowadzi do wymaganej transmitancji zamkni tego ukªadu sterowania (c + m) T [si n (A bk T )] 1 b = s s s 2 + s 3. Zauwa»my,»e pary (A, c T ) oraz (A bk T, c + m) w ogólno±ci nie musz by caªkowicie obserwowalne. PJSuchomski
Analiza obserwowalno±ci
Analiza obserwowalno±ci Niech ẋ(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t), x(0) R n gdzie A R n n oraz C R q n. Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna je»eli x(0) znajomo± funkcji y : [0, t f ] R q (wyj±cia obiektu)
Bardziej szczegółowoSterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs)
Rozdziaª Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs) Synteza regulatorów dla obiektów SISO Przykªad 2 Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x() () w którym a) A = 6
Bardziej szczegółowoSterowalno± i obserwowalno± obiektów dynamicznych (piotrjs)
Rozdziaª Sterowalno± i obserwowalno± obiektów dynamicznych (piotrjs) Analiza sterowalno±ci i obserwowalno±ci Przykªad Analizuj c rz d macierzy sterowalno±ci, zbadaj caªkowit sterowalno± obiektu dynamicznego
Bardziej szczegółowoTeoria Sterowania. Warunki zaliczenia
Teoria Sterowania Warunki zaliczenia. Pytania. Tematy µ-projektów. 3.5 poprawne zaliczenie testu; Warunki zaliczenia 4 poprawne zaliczenie testu + poprawne rozwi zanie kilku zada«(pliki Alin, TS-skrypt1,
Bardziej szczegółowoModelowanie ukªadów dynamicznych
1 Modelowanie ukªadów dynamicznych PRZYKŠAD 1 - Zbiornik Na rys. 1 pokazany jest schemat zbiornika przepªywowego. Rysunek 1: Schemat zbiornika przepªywowego. Zakªada si, i»: do zbiornika wpªywa i wypªywa
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoNumeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoZastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a. Przykªad 1 Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe. ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi
Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a Przykªad Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi y(0 + ) = a, ẏ(0 + ) = b. Rozwi zanie Dokonuj c transformacji
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoPewne algorytmy algebry liniowej Andrzej Strojnowski
Pewne algorytmy algebry liniowej ndrzej Strojnowski 6 stycznia 2011 Przedstawimy tu kilka algorytmów rozwi zuj ce typowe zadania algebry liniowej Wszystkie zaprezentowane tu algorytmy polegaj na zbudowaniu
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowoMamy schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Zakªada si,»e wzmocnienie czªonu statycznego
LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA ANALIZY UKŠADÓW STEROWANIA 1 Mamy schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Rysunek 1: Podstawowy schemat strukturalny ukªadu sterowania. Zakªada
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoPodstawowe czªony dynamiczne. Odpowied¹ impulsowa. odpowied¹ na pobudzenie delt Diraca δ(t) przy zerowych warunkach pocz tkowych, { dla t = 0
CHARAKTERYSTYKI W DZIEDZINIE CZASU I CZ STOTLIWO CI Podstawowe czªony dynamiczne Opis w dziedzinie czasu: Odpowied¹ impulsowa g(t) = L 1 [G(s)] odpowied¹ na pobudzenie delt Diraca δ(t) przy zerowych warunkach
Bardziej szczegółowoStabilno± ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Stabilno± ukªadów liniowych Autorzy: Bartªomiej Fajdek 1.1 Poj cia podstawowe Jednym z podstawowych wymogów stawianych ukªadom automatyki jest stabilno±. Istnieje wiele denicji stabilno±ci ukªadów
Bardziej szczegółowo. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoliniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoPRZYKŠAD 1 KRYTERIUM ROUTHA-HURWITZA. Na podstawie kryterium Routha-Hurwitza, okre±l liczb pierwiastków równania
PRZYKŠAD 1 KRYTERIUM ROUTHA-HURWITZA 1 Na podstawie kryterium Routha-Hurwitza, okre±l liczb pierwiastków równania W (s) = 3 + 8s + s 2 + 2s 3 = 0 le» cych w prawej póªpªaszczy¹nie zespolonej. Tablica Routha
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e ,
Zadanie 1 Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e Eµ A 0, 02, Eµ 2 A 0, 0175, V arµ A 171 10 4, Eµ B 0, 135, Eµ 2 B 0, 02275, V arµ B 181 4 10 4, Eµ A µ B 0,
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL'
Rozdziaª 9 Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL' W tym rozdziale zapoznamy si z metodami sªu» cych do rozwi zywania ukªadów równa«liniowych przy pomocy uzyskiwaniu odpowiednich rozkªadów macierzy
Bardziej szczegółowoUczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Aproksymacja cz. II, wielomiany ortogonalne zastosowania PWSZ Gªogów, 2009 Iloczyn skalarny Funkcja okre±lona na przestrzeni liniowej (, ) R iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoWst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Sterowania Procesami Ciągłych Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów. Obliczanie
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowo