ρ siła związku korelacyjnego brak słaba średnia silna bardzo silna

Transkrypt

1 Ćwiczenie 4 ANALIZA KORELACJI, BADANIE NIEZALEŻNOŚCI Analiza korelacji jest działem statystyki zajmującym się badaniem zależności pomiędzy rozkładami dwu lub więcej badanych cech w populacji generalnej. Korelacja pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi X i Y oznacza zawiązek zależności pomiędzy tymi zmiennymi. Jeśli zmienne są mierzalne to jedną z miar siły tego związku jest współczynnik korelacji Pearsona ρ(x, Y), dany wzorem:, gdzie E( Z ) jest wartością oczekiwaną Z E X σ σ Współczynnik ρ określający stopień zależności pomiędzy dwiema badanymi zmiennymi ma następujące własności: przyjmuje wartości od 1 do +1 jeżeli zmienne są niezależne, to ρ = 0 jeżeli istnieje zależność liniowa między zmiennymi, to ρ = 1 lub ρ = -1 znak współczynnika mówi o kierunku związku: + oznacza związek dodatni, tj. wzrost (spadek) jednej cechy powoduje wzrost (spadek) wartości drugiej (związek wprost proporcjonalny). - oznacza kierunek dodatni, tj. wzrost (spadek) wartości jednej cechy powoduje spadek (wzrost) wartości drugiej (związek odwrotnie proporcjonalny). Przyjmuje się następujące oceny siły związku na podstawie wartości ρ: ρ siła związku korelacyjnego brak słaba średnia silna bardzo silna Czasem w badaniach mamy do czynienia z cechami niemierzalnymi, które jednak można ustawić w szereg uporządkowany. W takim przypadku do badania zależności można wykorzystywać współczynnik korelacji rangowej Spearmana r s. Rangowanie jest

2 ponumerowaniem od 1 do n ciągu n-elementowego ustawionego w kolejności rosnącej. Współczynnik ten ma następujące własności: wartość współczynnika korelacji rangowej należy do przedziału [-1, 1], jeżeli r s = 1 występuje idealna zgodność rang obu zmiennych, jeżeli r s = -1 występuje idealna niezgodność rang, jeżeli r s jest bliskie zeru brak jest zależności między zmiennymi. Dla zbioru danych liczących więcej niż dwie zmienne można obliczyć współczynniki korelacji cząstkowej. Współczynniki te mierzą stopień zależności między dwiema zmiennymi uwzględniając i eliminując efekty liniowego związku między zmiennymi w zbiorze danych. Testowanie niezależności na podstawie współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji Pearsona Rozpatrujemy hipotezę o braku skorelowania między dwiema cechami X i Y, czyli hipotezę: H 0 : ρ = 0 Hipotezę tę można testować wobec jednej z hipotez alternatywnych: H 1 : ρ 0 H : ρ < 0 H 3 : ρ > 0 Do weryfikacji hipotezy H 0 wykorzystuje się statystykę testującą R t = n R gdzie R jest współczynnikiem korelacji Persona obliczonym na podstawie wartości próbkowych. Zbiory krytyczne tej statystyki są odpowiednio postaci: W 1 =, t W W 3 = = [ n ] (, t ] [ n ] [ t, + ) t [ n ] [ n ], + UWAGA: Jeżeli rozkład (X, Y) jest dwuwymiarowym rozkładem normalnym, to hipoteza H 0 jest równoważna hipotezie o niezależności cech X i Y. Wówczas hipotezą alternatywną jest hipoteza o zależności cech (hipoteza H 1 )

3 . Współczynnik korelacji Spearmana Jeżeli badana próbka nie pochodzi z populacji o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym, wówczas do zbadania niezależności cech X i Y wykorzystuje się współczynnik korelacji rangowej Spearmana. Weryfikujemy hipotezę H : cechy X i Y są niezależne wobec hipotezy alternatywnej K : cechy X i Y są zależne a) Jeżeli liczność próbki n 30 to statystyką testującą testu jest r s czyli obliczony na podstawie elementów próby współczynnik korelacji rangowej, natomiast zbiorem krytycznym jest zbiór W =, u u, + n 1 n 1 b) Dla próbek o liczności 8 < n < 30 statystykę testową oblicza się za pomocą rs n wzoru t = r Dla tej statystyki zbiorem krytycznym jest zbiór W =, t s t [ n ] [ n ], + 3. Tablice wielodzielcze W przypadku dużych prób można pogrupować dane i przedstawić je w postaci tablicy wielodzielczej (inaczej zwanej tablicą korelacyjną). Rozpatrujemy dwuwymiarową n-elementową próbkę (X, Y). Załóżmy, że cecha X przyjmuje k wartości x 1, x.x k natomiast cecha Y przyjmuje l wartości y 1, y y l. Tablica korelacyjna zawiera liczności n ij odpowiadające liczbie par (x i, y j ) dla i = 1,.k oraz j = 1, l. Hipotezę o niezależności cech X i Y weryfikuje się za pomocą wartości poziomu krytycznego p-value testu niezależności χ, który jest dostępny w programie Statgraphic następująco: Describe / Categorial Data / Contingency Tables W przypadku odrzucenia hipotezy o niezależności można oceniać stopień zależności cech za pomocą współczynnika zbieżności Cramera V. Współczynnik ten przyjmuje wartości z przedziału [0, 1], przy czym dla cech niezależnych V = 0, dla cech funkcyjnie zależnych V = 1.

4 Dwuwymiarowy rozkład normalny Jednym z ważniejszych rozkładów dwuwymiarowych ciągłych jest dwuwymiarowy rozkład normalny NN(µ 1, µ, σ 1, σ, ρ). Rozkłady brzegowe tego rozkładu są rozkładami jednowymiarowymi: X ma rozkład N(µ 1, σ 1 ), Y ma rozkład N(µ, σ ), ρ jest współczynnikiem korelacji zmiennych X i Y. Do generowania próbek z dwuwymiarowego rozkładu normalnego korzystamy ze wzorów: 1 gdzie U i V są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N(0, 1). Testowanie normalności rozkładu za pomocą współczynnika korelacji liniowej Pearsona. Współczynnik korelacji Pearsona ma także zastosowanie do weryfikacji hipotezy o normalności rozkładu badanej cechy. Test oparty na współczynniku Pearsona daje bardzo dobre wyniki na tle innych testów normalności. Dana jest próba X = (x 1, x, x n ). Weryfikujemy hipotezę H: próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym N(µ, σ) wobec hipotezy alternatywnej mówiącej, że próba nie ma rozkładu normalnego. Statystyką testową tego testu jest współczynnik korelacji Pearsona między próbami X i Y, gdzie X jest uporządkowaną niemalejąco próbą wyjściową, natomiast Y = (y 1, y, y n ) jest próbą pomocniczą wyznaczoną według wzoru:, gdzie u p(i) jest kwantylem rzędu p(i) rozkładu normalnego o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1 dla i = 1,, 3,... n. Jeżeli hipoteza o normalności rozkładu jest prawdziwa, to współczynnik korelacji R(X, Y) jest bliski wartości 1. Zbiór krytyczny tego testu jest postaci: W = (0; R,n ] gdzie R,n jest wartością krytyczną statystyki R. Wybrane wartości krytyczne podaje tabelka obok: n 0,1 0,05 0,01 5 0,903 0,88 0, ,935 0,918 0, ,951 0,938 0, ,961 0,951 0,99 5 0,966 0,958 0, ,971 0,964 0, ,981 0,977 0, ,989 0,987 0,98

5 Procedury programu Statgraphics W celu obliczenia współczynników korelacji dla dwóch zmiennych korzystamy z narzędzia Describe / Numeric Data / Multiple-Variable Analysis a następnie spośród opcji tekstowych wyświetlonego okna wybieramy Correlations dla wyznaczenia współczynnika korelacji liniowej Pearsona lub Rank Correlations dla wyznaczenia współczynnika korelacji rangowej Spearmana. W oknie wyświetlają się następujące wielkości: wartość współczynnika korelacji, liczność badanej próbki i poziom krytyczny p-value. Jeżeli badane cechy mają dwuwymiarowy rozkład normalny, to wówczas do zweryfikowania hipotezy o niezależności tych cech możemy skorzystać z poziomu krytycznego. Aby zbadać zależność danych przedstawionych w postaci tablicy wielodzielczej korzystamy z polecenia Describe / Categorial Data / Contingency Tables W oknie Chi-Square Tests znajdują się wyniki testu niezależności chi-kwadrat. Weryfikujemy hipotezę o niezależności cech na podstawie wartości poziomu krytycznego p-value. Weryfikacja hipotezy o normalności rozkładu badanej cechy za pomocą współczynnika Pearsona polega na zbadaniu korelacji tej cechy ze zmienną o rozkładzie normalnym. Dokonuje się tego w następujących krokach: 1. posortowanie badanej próby (z menu podręcznego kolumny wybieramy opcję Sort File, następnie wskazujemy opcję Selected Range Only),. wygenerowanie w nowej kolumnie próby pomocniczej o rozkładzie normalnym złożonej z uporządkowanych rosnąco n kwantyli rozkładu normalnego o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1, według wzoru: INVNORMAL((COUNT(1;n;1)-3/8)/(n+1/4);0;1) gdzie n jest licznością próby, a funkcja COUNT(1;n;1) generuje ciąg n kolejnych liczb od 1 z krokiem 1, 3. obliczenie współczynnika korelacji Pearsona dla uzyskanych w ten sposób dwóch zmiennych, 4. skonstruowanie obszaru krytycznego na podstawie podanej tablicy wartości krytycznych testu, 5. stwierdzenie, czy współczynnik korelacji zawiera się, czy nie w obszarze krytycznym.

6 ZADANIA Zadanie 1 Wygenerować 00 elementową próbę z rozkładu dwuwymiarowego normalnego z parametrami NN(0; 1; ; 1; 0.6). Następnie dla uzyskanych zmiennych oszacować współczynnik korelacji Pearsona oraz zweryfikować hipotezę o niezależności rozważanych zmiennych. Zadanie Grupę złożona z 11 studentów poddano ocenie dwóch profesorów pod względem ich zdolności. W tabeli podano oceny względne (od oceny najwyższej 1 do oceny najniższej 11) Student A B C D E F G H I J K Ocena prof. X Ocena prof. Y Czy można twierdzić, że oceny obu profesorów są zbieżne? Zweryfikować odpowiednią hipotezę statystyczną. Przyjąć = 0,05. Zadanie 3 Na wylosowanej grupie 10 uczniów przeprowadzono testy oceniające stopień zręczności oraz agresywności, uzyskując wyniki (liczby punktów): Uczeń Zręczność Agresja Ocenić stopień zależności badanych cech. Zweryfikować hipotezę o ich niezależności na poziomie istotności 0,05. Zadanie 4 Używając testu normalności opartego na współczynniku korelacji Pearsona zweryfikować hipotezę o normalności dla zmiennej accel ze zbioru CARDATA. Zadanie 5 W pewnym przedsiębiorstwie analizowano wpływ pracy zmianowej na jakość produkcji, dokonując w pewnym okresie czasu pomiarów liczby braków (cecha X) występujących na różnych zmianach (cecha Y - numer zmiany). Uzyskano wyniki:

7 X / Y Zweryfikować hipotezę o niezależności liczby braków od zmiany ( = 0,03). Określić miarę zależności dla cech X i Y. Zasanie 6 W celu zbadania prawdziwości przypuszczenia, że częste infekcje górnych dróg oddechowych zależą od liczby wypalanych dziennie papierosów, przeprowadzono w pewnym mieście badania wybranych losowo 57 osób, uzyskując wyniki: Liczba wypalanych papierosów i więcej Zachorowalność Nie choruje Choruje rzadko Choruje często Na podstawie tych danych sprawdzić prawdziwość powyższego przypuszczenia, stosując test Niezależności χ na poziomie istotności 0,05.