ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

Transkrypt

1 ANALIZA CZĘSOLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW Spi reści. Dykree widmo ygałów okreowych. Związek między zeregiem i raormacją Fouriera 3. Waruki iieia i odwracalości raormacji Fouriera 4. Widma ygałów 5. Właości raormacji Fouriera 6. Przykład raorma Fouriera 7. Uogólioa raormacja Fouriera

2 rochę hiorii Baro Jea Bapie Joeph FOURIER Z wyróżieiem ukończył zkołę wojkową w Auxerre. Zoał auczycielem Ecole Normal a poem Poliechiki w Paryżu. Napoleo miaował go zarządcą Dolego Egipu w wyiku ekpedycji z 798 roku. Po powrocie do Fracji zoał preekem w Greoble. Baroem zoał w 89 roku. Oaeczie w 86 roku zoał ekrearzem Akademii Nauk a aępie jej człokiem w 87. W okreie od 88 roku do 85 roku apiał omowy Opi Egipu. Rówaiem ciepła zaiereował ię w 87 roku. W opublikowaej w 8 roku pracy pokazał jak zereg zbudoway z iuów i koiuów moża wykorzyać do aalizy przewodicwa ciepła w ciałach ałych. Nad zeregami rygoomeryczymi pracował do końca życia, rozzerzając ę problemaykę a raormację całkową.

3 Dykree widmo ygałów okreowych Dla ygałów pełiających dwa waruki: C, moża uworzyć zereg gdzie / oraz c c co c d c a b b a arc g widmo azowe widmo ampliudowe a co d b i d 3

4 Od zepoloego zeregu do raormacji Fouriera Niech + / + czyli, e j/ j/ e d gdzie e j j e d j Po zmiaie graic całkowaia e d Dodakowo iech 4

5 Od zeregu do raormacji Fouriera Podawiając oraz j e d orzymujemy j e d dla j Ze wzoru e ozaczając d bo j orzymujemy e d 5

6 Bramka prookąa i jej widmo Fouriera Sygał ^ Widmo je ukcją rzeczywią - Obliczyć widmo ygału dla dla i Cza -/ -/ -/ / j e d j e j Częoliwość Poługując ię deiicją raormacji Fouriera i 6

7 Deiicja raormacji Fouriera ˆ Ogólie j e d j e d Dla a i Częo i lub / i 7

8 Waruki odwracalości raormacji Fouriera wierdzeie. Niech day będzie ygał L aki, że jego raormaa Fouriera L, wedy e j j e dd L w każdym pukcie dla kórego ygał je ciągły. d d wierdzeie. L d d Jeżeli ygał L L o wedy jego raormaa ˆ L. 8

9 Widma ygałów j e d r ji e A e j j - widmo zepoloe,, A - widma ampliudowe, - widma azowe,, r - widmo rzeczywie, i - widmo urojoe. r i iˆ arcg rˆ 9

10 Widma ygałów zaem arc g : /, / / / iˆ arcg rˆ A r i i dla i r dla arg ˆ dla dla A A < Wzajema jedozaczość między widmem a widmami ampliudowymi i azowymi: razem z A ˆ lub A razem z

11 Parzyość widma rzeczywiego i ampliudowego oraz ieparzyość widma urojoego i azowego e j d co j i d r ji gdzie r co d i i d r r i i r i ˆ ˆ iˆ arcg rˆ

12 Właości widm r i arc g i r j e d co j i d r ji Dla ygału orzymujemy ˆ rˆ co d Dla ygału orzymujemy ˆ jiˆ j i d

13 raormacja Fouriera je przekzałceiem liiowym Addyywość j e d j Jedorodość a e d a Zaem j a b e d a b 3

14 Zachowaie iloczyu kalarego wierdzeie Rayleigha d d Wyika ąd, ˆ, ˆ 4

15 Zachowaie eergii wierdzeie Parevala L L zaem d d 5

16 Zachowaie odległości Skoro d o przyjmując orzymujemy ˆ d d ˆ ˆ bo dla pary ˆ dzięki liiowości raormacji Fouriera ˆ ˆ d ˆ 6

17 Dualość raormacji Fouriera j e d e j e j d d Orzymujemy zależość zwaą dualością raormacji Fouriera Np. j j e d e d ^ 7 - -/ -/ -/ /

18 Począkowa warość raormay Fouriera Podawiając do przekzałceia orzymujemy j e d ˆ d Podobie, podawiając do przekzałceia odwroego orzymujemy ˆ e j d ˆ d 8

19 9 3 π π 3 i 3 ˆ π π i ˆ Zmiaa kali czau ygału a a a / ˆ

20 Przeuięcie w dziedziie czau i częoliwości Przeuięcie w dziedziie czau j bo e d e j po podawieiu rówa ię j j e e d Przeuięcie w dziedziie częoliwości j e j e Sumując oburoie orzymujemy co

21 3 jπ π iπ π iπ ˆ jπ exp jπ π iπ π iπ jπ exp ˆ ˆ Przeuięcie w dziedziie czau

22 Przeuięcie w dziedziie częoliwości π i ˆ exp jπ π π i ˆ ˆ coπ π coπ

23 Różiczkowaie w dziedziie czau Jeżeli : - ygał i jego koleje pochode aż do rzędu - ą ciągłe, - pochoda rzędu iieje prawie wzędzie, - ygał i wzykie jego pochode aż do rzędu poiadają raormay Fouriera, czyli doaeczie zybko dążą do zera dla o d d j 3

24 Różiczkowaie w dziedziie czau d d iπ ˆ π ji π ˆ π ygał parzyy ygał ieparzyy 4

25 Ograiczoe ośiki Aaliycza ukcja - ukcja różiczkowala, kórej pochode ą rówież różiczkowale. Ozacza o, że ukcja aaliycza zmieej zepoloej może być lokalie z. w pewym ooczeiu dowolego puku przedawioa w poaci zeregu poęgowego j d e ˆ j d e j d d ˆ j d e j d d ˆ ˆ L d d d Ozacza o, że widmo ˆ je ukcją aaliyczą.! ˆ ˆ d d Niech ygał ma ograiczoy ośik.

26 Zaada ieozaczoości Heieberga Ozacza o, że widmo może być lokalie, z. w pewym ooczeiu dowolego puku, przedawioe w poaci zeregu poęgowego ˆ ˆ d! ^ czyli ośik widma ie może być ograiczoy! d a - -/ -/ -/ / Impul prookąy i jego widmo ampliudowe. Poępując podobie moża udowodić, że jeżeli ośik widma je ograiczoy, o ośik ygału ie może być ograiczoy.

27 Nieozaczoość Heieberga Środek rozłożeia eergii ygału * Środek rozłożeia eergii widma ygału d * ˆ Uormowae kwadray odchyleń adardowych dla rozkładów eergii, czyli wariacje d * d * ˆ d Zaada Heieberga 5, 7

28 Różiczkowaie w dziedziie częoliwości r ji r r i i Oburoie różiczkując orzymujemy d r d r d d j Waruek wyarczający d di d d ˆ d di d Czyli parzye pochode zachowują parzyość części rzeczywiej i ieparzyość części urojoej. Czyli ygał będzie miał warości rzeczywie. W przeciwym wypadku będzie czyo urojoy. Moża udowodić, że 8

29 Splo w dziedziie czau gdy L d Splo ozaczamy Przemieość plou,, d d Gdy i Mui być aby dla o d ie było rówe zeru ˆ ˆ d ˆ 9

30 Przykład plou w dziedziie czau 3

31 3 jπ coπ π iπ ˆ π iπ ˆ jπ π iπ π iπ ˆ ˆ * Wzory do ryuków Splaae ygały Splo w dziedziie czau i jego widmo j d d ˆ bo

32 Splo w dziedziie częoliwości i całkowaie w dziedziie czau Splo w dziedziie częoliwości g g dg Całkowaie w dziedziie czau Waruek d j d 3

33 Impul paraboliczy Dla ygału 6 6 dla dla i zaleźć kładową parzyą i ieparzyą oraz wyzaczyć ich widma. 33

34 Rozłożeie a część parzyą i ieparzyą Każdy ygał moża jedozaczie rozłożyć a umę p gdzie ygał parzyy p ygał ieparzyy z. p p Z eoreyczych rozważań wiemy, że ygał parzyy ma widmo czyo rzeczywie a ieparzyy widmo czyo urojoe. Dla rozważaego przykładu orzymujemy 6 p 6 34

35 Widmo części parzyej Poługując ię ożamością j p 6 e d a e d a e a a 3 a gdzie a j orzymujemy widmo czyo rzeczywie 6co 3 p 7 i 35

36 Prezeacja części parzyej p Sygał ^ p Widmo ampliudowe Cza Częoliwość 36

37 Widmo części ieparzyej j e d 6 Poługując ię ożamością e a a a e d a gdzie a j orzymujemy widmo czyo urojoe ˆ j i co 37

38 Prezeacja części ieparzyej Sygał Widmo ampliudowe ^ Cza Częoliwość 38

39 Wykrey do powyżzego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^ 6 - Cza Częoliwość 39

40 Przykład raormay Fouriera Wyzaczyć widmo ygału dla dla dla pozoałych Ze wzoru deiiującego raormację Fouriera j j e d e d Poługując ię ożamością e d a a orzymujemy a e a a 3 co i i4 j ˆ i co co4 4

41 Wykrey do kolejego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^ Cza Częoliwość 4

42 Wykrey do kolejego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^.5 Cza Częoliwość 4

43 Przykład raormay Fouriera Wyzaczyć widmo ygału dla 5, i dla pozoałych Poługując ię deiicją raormacji Fouriera 5, j j e d e d i4 i i j co4 co co 43

44 Wykrey do kolejego przykładu Sygał ^ Widmo ampliudowe rówe modułowi części urojoej widma - - Cza -5/ -4/ -3/ -/ -/ / / 3/ 4/ 5/ Częoliwość Sygał je ukcja ieparzyą, więc widmo je czyo urojoe. Dla ygałów o warościach rzeczywiych widmo urojoe je ukcją ieparzyą. 44

45 Kolejy przykład raormay Fouriera Obliczyć widmo ygału dla dla dla Poługując ię deiicją raormacji Fouriera Po całkowaiu j j e d e d j e j j e j Po podawieiu graic orzymujemy widmo czyo urojoe j i 45

46 Wykrey do kolejego przykładu Sygał Widmo ampliudowe rówe części rzeczywiej widma ^ - Cza -3/ -/ -/ / / 3/ Częoliwość Sygał je ukcja parzyą, więc widmo je ukcją rzeczywią. Dla ygałów o warościach rzeczywiych widmo rzeczywie je ukcją parzyą. 46

47 Kolejy przykład raormay Fouriera Obliczyć widmo ygału Korzyając z zależości d dla dla dla i poługując ię wierdzeiem o raormacie z całki j orzymujemy widmo czyo rzeczywie i 47

48 Jezcze jede przykład dziiaj Jakie je widmo ygału e dla dla Poługując ię deiicją raormacji Fouriera j e d j e j j 48

49 Wykrey do jezcze jedego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^ 3 Cza -3/ -/ -/ / / 3/ Częoliwość 49

50 Kolejy pouczający przykład raormay Fouriera Dla ygału w poaci ukcji Gaua widmo ma poać exp exp j 5

51 Wykrey do kolejego pouczającego przykładu Sygał Widmo ampliudowe rówe części rzeczywiej widma = = ^ = = Cza - - Częoliwość Sygał je ukcja parzyą, więc widmo je ukcją rzeczywią. Dla ygałów o warościach rzeczywiych widmo rzeczywie je ukcją parzyą. Fukcja Gaua je iezmieikiem raormacji Fouriera. 5

52 Uogólieie raormacji Fouriera lim gdzie lim uogólioa raormaa Fouriera, czyli raormaa w eie graiczym 5

53 Widma impulu Diraca i ygału ałego Widmo impulu Diraca dla dla dla i lim lim raormaa Fouriera ygału ałego 53

54 lub raormay Fouriera ygałów okreowych a a co bi j ce Widmo co c co 5, 5, co 5, 5, i 5, j 5, j j e j j co i e ˆ a a jb a jb,5 ˆ c 54

55 Różiczkowaie w dziedziie częoliwości iπ π jπ jiπ ˆ ˆ bo j d ˆ d 55

56 Iloczy w dziedziie czau ˆ i ˆ coπ coπ ˆ * ˆ π iπ i π π 56

57 Iloczy w dziedziie czau i π ˆ co π *ˆ π iπ π 57

58 raormacja Fouriera ygału z iezerową warością średią gdzie pełia waruki dla klayczej raormacji Fouriera ygał o ałej warości, czy lim d 58

59 raormacja Fouriera ygału -D Widmo ygału dwu-wymiarowego ˆ x, y x, y e j x x y y dxdy x y xy,, e d d x y j x y x y 59

60 Wielowymiarowe przekzałceia Fouriera Jeśli x, o j x x e dx dx x x j x x e d d 6