Wyższe momenty zmiennej losowej

Transkrypt

1

2 Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla zmieej dysretej i ciągłej azywamy odpowiedio wielości (µ ª m : µ ( µ ( µ P ( M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5- µ µ ( µ ( d Deiicja: Mometem cetralym mieszaym µ rs rzędu r+s azywamy wielości: µ rs E [(m µ ( µ ] ( m µ ( µ P r s r s m m m, r s r s y y µ E[( µ (y µ ] ( µ ( y µ (, y ddy rs m

3 Wariacja zmieej losowej Deiicja: Wariacją azywamy momet cetralym µ rzędu -go. Przyjmuje oa odpowiedio dla zmieej dysretej i ciągłej postać: ( ( µ D P ( ( ( µ D M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-3 d Pierwiaste wadratowy z wariacji azywamy dyspersją. Własości wariacji (,y,z zmiee losowe; a,b,c stałe, z a + by + c: [ z] ( z z ( a + by + c a b y c (, y ddy a ( (, y ddy + b ( y y (, y ddy + ab ( ( y y (, y ddy a ( ( d + b ( y y ( y dy ab ( + ( y y (, y ddy a [ ] + b [ y] + ab ( ( y y (, y ddy Gdy zmiee i y są statystyczie iezależe: z a + b [ y] + +

4 Zmiea losowa dysreta - przyład ( [ ] ( + + E E Przyład: Wartość oczeiwaa rozładu dwumiaowego: gdzie,,, oraz <p<: (, p p ( p (, p!! p ( p p ( p!(! (!(! (! ( ( ( p p p (!(( (! (! ( ( ( m m p m + p p p ( m + m (, p m!(( m! m m p m + p ( p + Wariacja: ( ( E (( ( ( p( p E p p + p p p Korzystając z powyższego wyiu zajdujemy: M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-4

5 Zmiea losowa ciągła - przyład Przyład: Rozład trójąty: gdzie t τ: τ τ τ τ τ 3 t t ( t dt t ( τ t dt t dt t dt τ τ τ τ τ τ 3 6 Wariację zajdziemy ze wzoru: ( t t t E E τ τ τ τ τ Przyład: Wariacja rozładu wyładiczego: ( ( t u t ep t / τ t t E( t; t ep τ dt τ τ u t τ ep t / τ t t t t t ep t ep dt t ep ep τ + τ τ τ τ τ τ τ τ τ Wariacja: ( ( t; τ ( τ t E E τ τ τ t ( ; τ e / τ t M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-5

6 Kowariacja Deiicja: Kowariacją azywamy pierwszy cetraly momet mieszay m : [ m,] co[ m,] ( m ( ( m ( P [ m] E µ µ µ µ E µ µ m m m m m, [, y] co[, y] ( ( y ( ( y (, y ddy [ y] y y y Istotą cechą owariacji jest jej za: dodati gdy wzrostowi jedej zmieej towarzyszy wzrost drugiej i ujemy w przeciwym wypadu. Twierdzeie: Jeżeli zmiee i y są statystyczie iezależe to co[,y]: E µ µ µ µ E µ µ ( ( ( M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-6 co, y y y y, y ddy y y y ddy y ( ( d ( y ( y dy y y y Uwaga: Odwrote twierdzeie ie jest prawdziwe owariacja może być rówa zero, a zmiee mogą być statystyczie zależe. Np. (,y3( +y /8 oreśloa a wadracie - ; - y : ( + y ddy y y ( + y ddy y y ( + y ddy O taich zmieych mówimy, że są iesorelowae (a ie iezależe.

7 Współczyi orelacji Deiicja: Współczyiiem orelacji (Pearsoa azywamy wielość: Własości: D D co[, y] ρ D [] D [y] bra zależości od wyboru jedoste i początu sali zmieych losowych: a u + b Niech oraz ac > y c + d [ a b c d ] [ a b] [ c d ] co, y E y E E y E ( u + ( + E u + E + ρ D D y y D[ a u + b] D[ c + d ] [ u] [ u] [ ] [ u] [ ] [ u] [ ] ace + ade + bce + bd ace E ade bce bd ac D u D [ u] [ u] [ ] E E E co u, D ud D u D M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-7

8 Współczyi orelacji zares wartości - ρ - µ y- µ y u, E[u] E[], [u] [], co[u, ] ρ y [ u ] ( u+ + u + u + + ρ ρ [ u ] ( u u u + ρ ρ + ρ ± [u ] u y µ y µ y µ y y ± ( µ + µ y M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-8

9 Macierz owariacji Wariacja sumy zmieych losowych. Niech z a + by + c: ( ( z a + b y + ab y y (, y ddy [ y] co[, y] + + a b ab Uogólieie a wiele zmieych losowych z a +a + +a +b: [ z] co[, ] [ ] T a a a a gdzie i, j i j i j [ ] co[, ] co[, ] co, co, a ( a, a,..., a, ( co[, ] co[, ] [ ] Uwaga: gdy macierz owariacji jest diagoala wówczas: [ z] a [ ] Uwaga: dla dwóch zm. iesorelowaych: M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-9 i [ + y] [ - y] [ ] + [ y] i i

10 Momety ucji zmieych losowych Problem: Ja oszacować iepewość stadardową wyiu otrzymaego za pomocą daej ormuły matematyczej z pomiarów wielości wchodzących do tej ormuły, tórych iepewości stadardowe są zae? Załóżmy, że w obszarze iepewości argumetów zadaa zależość ucyja może być przybliżoa zależością liiową (model małych iepewości pomiarowych. d y ( ( µ + ( µ d µ d d d ( µ + ( µ gdzie d d d E [ y] µ ( µ + µ ( µ d d y M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5- µ Obliczymy wartość oczeiwaą i wariację y: d d d ( ( µ µ µ d d d ( ( ( (

11 Momety ucji zmieych losowych ( Uogólieie a zmieych losowych,,..., o wartościach oczeiwaych µ µ µ µ i wzajemych relacjach opisaych macierzą owariacji (,,..., ( oraz m ucji (,,..., tóre aprosymujemy liiowo: i (,,..., ( µ, µ,..., µ + ( µ ( µ µ µ (,,..., ( µ, µ,..., µ + ( µ ( µ µ µ [ ] co[, ] co[, ] co, co, co[, ] co[, ] [ ] m (,,..., ( µ, µ,..., µ + ( µ ( µ m m m µ M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5- µ

12 Momety ucji zmieych losowych Powyższy uład zapisujemy wygodie w postaci macierzowej jao: ( ( µ + ( µ gdzie wprowadziliśmy astępujące ozaczeia: ( µ µ ( µ µ (, µ, µ m( µ µ m m m Wartość oczeiwaa i wariacja w przypadu gdy mamy tylo jedą ucję zmieych losowych mają postać: E ( µ + i µ i ( µ ( i i µ [ ] ( ( M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5- µ ( ( co[ i, ] µ [] i, i T

13 Momety ucji zmieych losowych Gdy zmiee losowe ie są sorelowae (macierz [] jest diagoala to: d i d i [ ] [ ] Dla dwóch ucji zmieych losowych wyrażeia a wartość oczeiwaą i wariację przyjmują postać: [ ( ] ( µ + i µ i ( µ [ ( ] ( µ i i µ ( ( ( ( i i i i ( ( M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-3 co, µ µ ( µ ( µ ( i µ i ( µ [ i, ] [] i, i i, i Macierz owariacji dla ucji i : ( [ ] co [, ] [ ] [ ] co, i T

14 Momety ucji zmieych losowych Zupełie ogólie, dla m ucji i zmieych losowych wyrażeia a wartość oczeiwaą i wariację przyjmują postać: E[ (] ( µ + µ ( µ i i i i µ T ( ( ( T ( ( ( µ ( µ ( µ ( µ T T ( ( ( ( [ ] µ µ µ µ T T T czyli ( [ ] co [, ] co [, ] [ ] [ ] [ ] co, co, co, co, [ ] [ ] [ ] M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-4

15 Korelacja w pomiarach złożoych M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-5

16 Propagacja małych błędów Przyład: Wyzaczamy eergię ietyczą uli mierząc jej masę z doładością % oraz dooując pomiaru jej prędości poprzez iezależy pomiar przebytej odległości i czasu, przy czym te pomiary wyoujmy z doładością %. Jaa jest doładość pomiaru eergii? s s E m m E E ( µ m t t E E s m s m s E E m s t m s 3 t m s t t t t E s t E + + m s t m + + Uwaga: Względy błąd pomiaru złożoego wyraża się szczególie prosto w przypadu ormuł w tórych wielości mierzoe pośredio występują jedyie w postaci iloczyów i ilorazów: z j a b z a b c d + j + m + m c d z M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-6 a b c d

17 Propagacja małych błędów Przyład: Wyoujemy pomiar spadu apięcia U i atężeia prądu I płyącego przez iezay opór, odpowiedio z błędami U i I. Wyliczamy wartość oporu R oraz moc M wydzielaą a tym oporze: U R, M UI I Jeśli pomiary apięcia i atężeia są iezależe, wówczas macierz owariacji jest diagoala: Zajdujemy macierz pochodych: U [ U,I] I R R U R R U I I U I - - I M M M M I U U I U I Macierz owariacji zmieych R oraz M ma postać: U I U I T R + MR U I U I [ R,M] [ U,I] U I U I MR M + U I U I M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-7

18 Małe czy duże błędy Przyład: Chcemy zmierzyć eergię ietyczą uli o zaej masie. Załóżmy, że mierzymy jej prędość z doładością do %. Korzystając z przybliżeia liiowego dostajemy: E m E E( µ m µ E E E ( m E µ µ µ Załóżmy, że rozład prędości jest rozładem ormalym: ( µ ( N ( ; µ, ep π Wartość oczeiwaa eergii jest wówczas rówa: ( µ d ( u du µ E m m ep d π u + µ π m ( u + µ ep ( u du m + µ π m µ + m π π M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-8

19 Duże błędy pomiarów pośredich Zajdziemy rozład jaiemu podlega eergia E: E d ± m de me ( ( ( ( ( ( d g E E + - E de ( E/m- µ (- E/m- µ e p - + ep - π me ( E- µ m/ ( E + µ m/ ep - + ep - π m me m Korzystając z powyższego rozładu moża poazać, że: E E g(e m µ + m E m + m µ + m µ E [E] E E m µ + m Idetyczy wyi dostajemy zachowując wyrazy wadratowe w rozwiięciu w szereg Taylora: d d ( ( µ + ( µ + ( µ d d µ µ M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-9

20 Duże błędy pomiarów pośredich Prowadzi to do astępujących wyrażeń a wartość oczeiwaą i wariację: d ( ( µ + [] d d [ ] d d + µ d µ µ Przyład: Rozpatrzmy proto poruszający się z prędością β.997. Załóżmy, że potraimy zmierzyć prędość z doładością do.%. Jaa jest doładość pomiaru całowitej eergii? β E β 343. % E β β mc E - E ( β β Ge - Wyi podajemy w postaci: ( + ( E E + E - E +97. E ( β β mc E + E ( β + β. 4 Ge - ( β + β E mc - d β β ( -β de βmc E β 3 β M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-