x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.

Transkrypt

1 Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3 2x 2 3x ) (b) x x x x 4 + 4x 2 (e) x x 9 + 2x 5 3 (h) x x/2 x Zadaie.3. Obliczyć graice jedostroe 9 + 2x 5 3 x x/2 3 x (c) x x si 5x (f) x 0si 3x x 2 5x + 6 x 3 (c) x 6 x ( x2 + x 2 ) (f) (i) x 0 ( + 3x) /x. x ( ) x+2 x (i) x + 3 x 3x 3 ( 3x) 3 ( ) si x + si x ( ) 2x 5 3x. 3x + x x (a) (b) (c) x + x x x x 0 + x /x ( ) x (x 3) ( ) x (x 3) (d) (e) x 0 x 2 2/x + 2 x 3 x 2 (f) 9 x 3 + x 2. 9 Zadaie.4. Czy fukcjom (a) f(x) = 2 /x2 (b) g(x) = arc tg si x (c) h(x) = x x moża adać wartość w pukcie x = 0 tak aby były fukcjami ciągłymi a R? Zadaie.5. Zbadać ciągłość fukcji { cos πx (a) f(x) = 2 gdy x (b) g(x) = x x (c) h(x) = x + x. x gdy x > Zadaie.6. Niech f (x) := x+ ( + )x + 2 (x ) 2 x R x < N i iech a := f (x) x N f(x) := (x) x <. Obliczyć a i x f(x). Zadaie.7. Zbadać ciągłość fukcji f (x) := + x2 N f :=. Zadaie.8. Niech fukcja f : R R spełia waruek (f(x + h) f(x h)) = 0 x R. h 0 Czy waruek te pociaga ciągłość f? Zadaie.9. Niech f C([0 ] [0 ]). Wykazać że istieje x [0 ] taki że f(x) = x.

2 2. Pochode. Reguła de l Hospitala. Asymptoty Zadaie 2.. Wyzaczyć pochode fukcji cyklometryczych hiperboliczych i area (odwrotych do hiperboliczych). Zadaie 2.2. Wyzaczyć pochodą fukcji (a) f(x) = 2 x si x (b) f(x) = x2 + 3x 4 x 3 (c) f(x) = x 2 + cos(2x) x + (d) f(x) = x 2 8x + 5 (e) f(x) = x a2 x 2 + a2 2 arc si x a arc si x (f) f(x) = + x 2 2 l x + x (g) f(x) = x + x x + x xx (h) f(x) = tg l si x. Zadaie 2.3. Wykazać że fukcja f(x) = jest różiczkowala ale ie ma pochodej ciągłej. { x 2 si x gdy x 0 0 gdy x = 0 Zadaie 2.4. Dowieść że dla asteroidy x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 a > 0 długość odcika styczej zawartego pomiędzy osiami układu współrzędych jest stała. Zadaie 2.5. Obliczyć graice korzystając z reguły de l Hospitala x 2 x cos x e x (a) (b) x x x 0 x 2 (c) x x 5 e x e x ( 2x + 2 cosh x x (d) (e) (f) x 0 x si(x ) x 0 cos x x x ) l x ( (g) x 0 si 2 x ) ( ) x x 2 (h) (cos 2x) 3 x + x 2 (i) x 0 x x (j) x x (k) x 3 4+l x x x 0 + Zadaie 2.6. Wyzaczyć asymptoty fukcji (l) x 0 ( + si x) x. (a) f(x) = x2 + 3x 4 x + (b) f(x) = x 3 x 2 8x + 5 (c) f(x) = x2 + (x + ) 2 (d) f(x) = x l 2x πx 2 (e) f(x) = xe x 2 (f) f(x) = x + cos x 2 + x 2. Guillaume Fraçois Atoie markiz de l Hospital lub l Hôpital (ur. w 66 w Paryżu zm. 2 lutego 704 tamże) matematyk fracuski.

3 3. Badaie przebiegu zmieości fukcji Zadaie 3.. Zaleźć a i b jeśli wiadomo że fukcja ax + b f(x) = (x )(x 4) osiąga w pukcie x = 2 ekstremum lokale rówe. Rozstrzygąć czy jest to maksimum czy miimum. Zadaie 3.2. Wyzaczyć przedziały mootoiczości fukcji (a) f(x) = l( + x 4 ) l( + x 2 ) (b) g(x) = x e /(x 2). Zadaie 3.3. Wyzaczyć pukty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości dla fukcji (a) f(x) = ex ex e x (b) f(x) = + + e 2x. Zadaie 3.4. Zbadać przebieg zmieości (uwzględiając asymptoty ekstrema przedziały mootoiczości pukty przegięcia i przedziały wypukłości) oraz aszkicować wykres fukcji x + (a) f(x) = x 2 8x + 5 (b) f(x) = x2 + 3x 4 (c) f(x) = 2x2 x 3 (2 + x) 2 (d) f(x) = x4 x 3 + (e) f(x) = l(x2 ) + x 2 (f) f(x) = (x 5)e2/( x). Zadaie 3.5. Wyzaczyć liczbę rozwiązań rówaia w zależości od parametru c R. (x 2 8x + 7) 2 = c Zadaie 3.6. Zaleźć ajwiększą i ajmiejszą wartość fukcji () f(x) = 2x 3 + 3x 2 2x + w przedziale [ 5] (2) f(x) = x 3 3x w przedziale [ 2 3] (3) f(x) = 00 x 2 w przedziale [6 8] (4) f(x) = x 2 e x w przedziale [ 3 ] (5) f(x) = si 2x x w przedziale [ π/2 π/2] (6) f(x) = l x x w przedziale [ e 8/3 ] (7) f(x) = e 2x x2 w przedziale [ 2/2 2]. Zadaie 3.7. () Zaprojektować amiot w kształcie stożka o powierzchi boczej rówej 0 m 2 tak aby miał ajwiększą objetość. (2) Jakie wymiary powia mieć puszka w kształcie walca o maksymalej objętości jeśli chcemy do jej produkcji zużyć 50 cm 2 blachy? (3) Należy sporządzić skrzykę prostopadłościeą z pokrywką. Objętość skrzyki ma wyosić 72 cm 3 długości krawędzi podstawy mają być w stosuku 2 :. Jakiej długości powiy być krawędzie aby powierzchia całkowita skrzyki była ajmiejsza? (4) Na kuli o promieiu R opisao stożek. Jaka będzie wysokość stożka o ajmiejszej objętości? (5) Który z puktów paraboli y 2 = 6x leży ajbliżej prostej x y + 5 = 0? Zadaie 3.8. Wykazać że dla dowolych p q R oraz dowolej liczby ieparzystej N wielomia ma co ajwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. w(x) = x + px + q Zadaie 3.9. Wykazać że jeśli stałe a j R j = 0... spełiają rówość a 0 + a 2 + a a + = 0 to rówaie a 0 + a x + + a x = 0 ma co ajmiej jede pierwiastek rzeczywisty x 0 (0 ).

4 Zadaie 4.. Obliczyć (a) (d) (g) Ciągi i szeregi liczbowe (b) 2 (e) + x + x2 (h) 4 Zadaie 4.2. Niech a > k > 0. Wykazać że 3 (c) 2 + ) (f) si2 cos α + β 0 α β ( (i) ). k a = 0. Zadaie 4.3. P jest puktem a jedym z ramio kąta ostrego α P jest rzutem puktu P a drugie ramię P 2 rzutem puktu P a pierwsze ramię itd. Ozaczając P P = s zaleźć i wykazać że s := P P + P P P P s = ( cos α). Zadaie 4.4. Wykazać zbieżość ciagu (a ) N oraz zaleźć jego graicę jeśli a := 2 a + = 2 + a N. Zadaie 4.5. Podać przykłady ciągów (a ) N (b ) N R + aby a = b = + oraz a b = 2. Zadaie 4.6. Naszkicować wykres fukcji 2 x + 3 x x + x 2 f(x) = 3 x. + Zadaie 4.7. Obliczyć -tą sumę i zbadać zbieżość szeregu a jeśli (a) a = ( 2 (b) a = l + ) (c) a = l ( ) 2 2. Zadaie 4.8. Zbadać zbieżość szeregu (a) + + (b) (c) (e) 2 2 (f) ( + ) (g) (i) (m) ((2)!)(3)! (j)!(4)! l + cos π 2 () Zadaie 4.9. Obliczyć sumę ((00)!) 2 (50)!(50)! (k) ( ) 2 +. =2 + 2 (d) (!) 2 (2)!!(3)! (h) (4)! ((2)!) 2 ( ) (+) ( ) (+)!! (l) +! + 2.

5 5. Szeregi potęgowe Zadaie 5.. Wyzaczyć dziedzię fukcji zadaej szeregiem (a) f(x) = 3 (x 2) + (b) f(x) = 2 3 (2x 9) (c) f(x) = ( 2 + )( 2) (x + 3) (d) f(x) = (e) f(x) = (f) f(x) = 2 ( 2) (x ) 2! (x π)!(x e).

6 6. Całki ieozaczoe Zadaie 6.. Stosując metody całkowaia przez części i przez podstawieie zweryfikować wzory (6.) tg x = l cos x + C ctg x = l si x + C (6.2) arc si x = x arc si x + x 2 + C (6.3) arc tg x = x arc tg x l + x 2 + C (6.4) a2 x = arc si x 2 a + C (6.5) a2 + x 2 = l x + a 2 + x 2 + C a2 (6.6) x 2 = x a2 x a2 2 arc si x a + C a 2 + x 2 = x (6.7) a2 + x a2 2 l x + a 2 + x 2 + C. Zadaie 6.2. Obliczyć całki (x 2 ) 3 () x (2) (x 2 + 4) 5 x x (3) (x 2 + 3) 6 x 3 x + 4 x (4) x 2 (5) ( x) x (6) 3 2 x a (7) + bx (8) x + x 2 x (9) 3 x + x 2 (0) 5 x3 + () xe x2 (2) x si(2x 2 + ) cos x (3) + si x (4) cos xe si x tg x (5) cos 2 x l 2 x (6) x e x (7) 2e x l x (8) x (9) x l 2 x (20) xe x2 (x 2 + ) (2) ( + x 2 ) arc tg x x (22) x 4 + (23) x 2 e x (24) x 4 e 2x (25) x 2 cos x (26) e x cos x (27) e x cos 2 3 x (28) l 3 x x (29) l 3 x l 2 x (30). x Zadaie 6.3. Obliczyć całki z fukcji wymierych (a) (3x 2) 4 7x (g) 4 + 5x 2 2x 3 (b) x 2 3x + 3 (h) + x x 2 2x + 6 (c) 2x 2 + 3x + 3x + 2 (i) x 2 x 2 4x 5 (d) 2x 2 5x + 3 x (j) 5 6 (e) x 6 4x 2 4x + 3x + x 2 + 3x 8 (k) (x + 2) 2 (f) 6x 2 3x + 6 (l) 3x 2 + 2x + (m) () (o) (p) (q) (r) 2x 2 + 7x + 20 x 2 + 6x + 25 x 3 4x 2 + (x 2) 2 2x + (x 2 + ) 2 2x 3 9x x 42 x 2 8x x 6 3x x 2 x 26 (x 2 )(x 2 4).

7 Zadaie 7.. Obliczyć pole ograiczoe krzywymi 7. Całka Riemaa (a) y = x 2 y 2 = x (b) y = x 3 y = 4x (c) y = x 3 y 2 = x (d) y = x 2 x 6 y = x 2 + 5x + 4 (e) xy = 4 x + y = 5 (f) (x 6) 2 + y 2 = 36 y 2 = 6x (g) y = xe 2x y = 0 x = 2 0 x 2 (h) y = si x y = 0 0 x π. Zadaie 7.2. Obliczyć długość łuku (a) paraboli 2y = x 2 w przedziale 0 x 2 (b) okręgu x = r cos t y = r si t 0 t 2π (c) liii łańcuchowej y = 2 a(ex/a + e x/a ) 0 x c (d) asteroidy x = a cos 3 t y = a si 3 t 0 t 2π gdzie a > 0 (e) paraboli Neila y 2 = 4x 3 gdzie y > 0 0 x 8 9 (f) cykloidy x = r(t si t) y = r( cos t) 0 t 2π (g) okręgu y 2 = 2x x 2 gdzie 0 x (h) y = l( x 2 ) gdzie 0 x 2 (i) x = t 2 y = t t 3 gdzie 0 t 3. Zadaie 7.3. Obliczyć objętość i pole powierzchi brył utworzoych przez obrót dookoła osi x krzywych (a > 0) (a) y = xe x 0 x 2 (b) y = si x 0 x π (c) x 2 y 2 = a 2 x = a 2 a x a 2 (d) 3y x 3 = 0 x = 0 x (e) y = a cosh x x = a a x a a (f) x 3 = y 2 (2a x) x 2 (g) 4x 2 + 9y 2 = 36 (h) x 2 + y 2 20y + 75 = 0 (i) y = 2 x 4 x (j) x = a cos 3 t y = a cos 3 t 0 t π.

8 8. Zadaia tekstowe Zadaie 8.. Szacukowe przyszłe dochody małej firmy wyrażają się wzorem D(t) = 2t 2 2t + 8 tysięcy złotych gdzie t ozacza czas w latach liczoy od chwili obecej. () Jaki jest tegoroczy dochód? (2) Kiedy dochód będzie (a) malał (b) wzrastał? (3) Jaki będzie ajmiejszy zysk i kiedy o astąpi? Zadaie 8.2. Piłka została rzucoa w pioowo w górę a jej wysokość ad ziemią wyosi s(t) = + 28t 5t 2 metrów gdzie t ozacza czas liczoy w sekudach. () Z jakiej wysokości ad ziemią piłka została wyrzucoa? (2) Zaleźć pochodą s (t) i wyjaśić jej zaczeie. (3) Kiedy s (t) = 0? Jakie jest zaczeie tej rówości? (4) Jaką maksymalą wysokość osiągie piłka? (5) Obliczyć prędkość piłki (a) w chwili wyrzutu (b) po dwóch sekudach od wyrzutu (c) po pięciu sekudach od wyrzutu. Wyjaśić zaczeie zaku pochodej. (6) Jak długo piłka będzie w powietrzu? (7) Jakie jest zaczeie drugiej pochodej d2 s dt 2? Zadaie 8.3. Hala fabrycza a plaie prostokąta ma powierzchię 600 m 2 ma być podzieloa a trzy idetycze prostokąte pomieszczeia ułożoe szeregowo. Budowa ścia zewętrzch i wewętrzych kosztuje 60 zł za metr bieżący Jakie wymiary powiie mieć pla hali aby zmiimalizować koszt budowy ścia? Zadaie 8.4. Trzy miasta w prostokątym układzie współrzędych wyskalowaym w kilomterach zajdują się w puktach (3 ) ( 2) i (7 3). Rurociąg biegie liią o rówaiu y = 8. Gdzie a rurociągu ależy umieścić stację pompy aby całkowita długość rurociągów łączących trzy miasta ze stacją pompy była ajkrótsza? Zadaie 8.5. Cząstka P porusza się z prędkością v(t) = t 2 t 2 cm/s. () Obliczyć całkowitą drogę jaką przebyła cząstka P w ciągu trzech pierwszych sekud ruchu. (2) Obliczyć odległość cząstki P od puktu początkowego po trzech sekudach. Zadaie 8.6. Koszt całkowity produkcji x ur tygodiowo wyosi x x 2 złotych za urę o ile 0 x 20. Koszt początkowy zaim ruszy produkcja wyosi 85 złotych. Obliczyć całkowity koszt produkcji 00 ur tygodiowo.