WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VIII Przekształcenie Laplace a

Transkrypt

1 8. Geneza przekzałcenia Laplace a. Wykład VIII Przekzałcenie Laplace a Warunek bezwzględnej całkowalności w przedziale niekończonym, nakładany na oryginały przekzałceń Fouriera, bardzo ogranicza ich klaę. Nie miezczą ię w ej klaie dwie funkcje zaadnicze dla zaoowań echnicznych: η, f f e α j = = (8.) Bowiem całki wyępujące w proym zepolonym przekzałceniu Fouriera dla ych funkcji jω jα jω e d e e d, η ą rozbieżne. Rozbieżne ą wedy akże całki wyępujące w praworonnym zepolonym przekzałceniu Fouriera, a mianowicie jω jα jω η e d, e e d Niech f ( ) będzie funkcją zgazoną pełniającą warunki Dirichlea, ale nie koniecznie całkowalną bezwzględnie na całej oi zmiennej niezależnej. Niech ponado f ( ) będzie aką funkcją, że x e f ( ) przy odpowiedniej warości rzeczywiego parameru x ma zepoloną praworonną ranformaę Fouriera. Zapizmy ę ranformaę kładąc w definicji y zamia ω. Orzymamy: jy F x y e f e d = (8.) x (, ) ranformaa F ( x, y ) je funkcją zmiennej y oraz parameru x. Ze względu jednak na o, że po uporządkowaniu wyrażenia podcałkowego ( x ) f e + Zmienna y i paramer x mogą być porakowane jako część urojona i część rzeczywia zmiennej zepolonej, mianowicie Będziemy zapiywać równość (8.) w poób naępujący jy = x + jy (8.3) F f e d = (8.4) x Odwrone przekzałcenie Fouriera dla zgazonej funkcji e f ( ) ma poać

2 Pomnóżmy je oburonnie przez x jy e f ( ) = F ( x + jy) e dy π x e, orzymamy ( x+ jy ) f = F x + jy e dy π (8.5) Jeżeli eraz w zmiennej zepolonej (8.3) będziemy dalej uważać y za zmienną a x za paramer, o d = jdy Pozwoli o zapiać zależność (8.5) w poób naępujący: x+ j = F e d π j (8.6) f x j Gdzie całkowanie względem odbywa ię wzdłuż proej re ama całka je brana w enie warości głównej. = x, równoległej do oi urojonej, a Wzór (8.4) nazywa ię proym przekzałceniem Laplace a funkcji f ( ), wzór zaś (8.6) odwronym przekzałceniem Laplace a (reranformaą). Całkę po prawej ronie równania (8.4) nazywamy całką Laplace a. Podane wzorami (8.4) I (8.6) związki między funkcją ranformowaną f ( ) a jej laplaowkim obrazem F ( ) oznaczamy 8. Zbieżność całki Laplace a. =, = F l f f l F (8.7) Oryginałem przekzałcenia Laplace a nazywamy funkcję f ( ) rzeczywiego argumenu, pełniająca naępujące rzy warunki: ) f ( ) dla < ) f ( ) pełnia warunki Dirichlea (pierwzy i drugi) w każdym przedziale kończonym 3) f ( ) je całkowalna w każdym przedziale kończonym i pełnia nie równość α (, α ) f Me M dla (8.8) gdzie α nazywamy wykładnikiem wzrou funkcji, zaś amą funkcję, pełniającą nierówność (8.8), funkcją rzędu wykładniczego. Przykładem oryginału je funkcja ała. Funkcja ograniczona ma wykładniki wzrou dodanie i zero. Funkcja x e nie je oryginałem przekzałcenia Laplace a.

3 rzeci z warunków nakładanych na oryginał w przekzałceniu Laplace a je odpowiednikiem bezwzględnej całkowalności oryginału w przekzałceniu Fouriera i ma na celu zapewnienia akiego obzaru na płazczyźnie zmiennej zepolonej, w kórym całka Laplace a je bezwzględnie zbieżna. Zauważymy bowiem, że ( x α ) ( x α ) f e A e d = e = (8.9) A A x α x α Przy czym oania równość je pełniona wedy, gdy x re α, zn. prawo od proej re = α. = > w półpłazczyźnie na Ry. 8. Zakrey zbieżności całki Laplace a Dla funkcji ze obą zależnościami f będącej oryginałem przekzałcenia Laplace a inieją dwie liczby xw i x a związane x x (8.) w zwane odpowiednio odcięą warunkowej zbieżności i odcięą bezwzględnej (abolunej zbieżności akie, że całka Laplace a w równości (8.4) je: ) Rozbieżna, gdy a < xw re ) Warunkowo zbieżna, gdy w x < re < x a

4 3) Bezwzględnie zbieżna, gdy xa < re Schemaycznie przedawienie obzarów, w kórych całka Laplace a je rozbieżna, warunkowo zbieżna, lub bezwzględnie zbieżna, podane zoało na ry. 8.. W wielu przypadkach wyępujących w zaoowaniach prakycznych poyka ię równość xw = x a, wedy ich wpólną warość nazywamy odcięą zbieżności. W dalzych rozważaniach będziemy milcząco zakładać, ze paramer wyępujący w całce Laplace a pełnia warunek: > xa re zn., że całka Laplace a je bezwzględnie zbieżna. Je wedy wierdzenie, e f gdy (8.) W obzarze zbieżności całki Laplace a (8.4) ranformaa F ( ) je funkcją holomorficzną zmiennej, zaś je pochodna F '( ) wyraża ię wzorem = ( ) F ' f e d (8.) Przez funkcję F ( ) na podawie wierdzenia o przedłużeniu analiycznym w dalzym ciągu będziemy rozumieć funkcję określoną i analiyczną nie ylko w obzarze, w kóry zbieżna je odpowiadająca jej całka Laplace a, ale w całym obzarze, na kóry może być a funkcja przedłużona. 8.3 Liniowość przekzałceń Laplace a. Przekzałcenia Laplace a proe i odwrone ą liniowe, mianowicie: [ f + f ] = [ f ] + [ f ] l l l (8.3) [ kf ] = k [ f ] l l (8.4) [ F + F ] = [ F ] + [ F ] l l l (8.5) [ kf ] = k [ F] l l (8.6) Przy czym dużą lierą z indekem oznaczony zoał obraz laplaowki funkcji oryginału oznaczonej małą lierą z ym amym indekem. Dowód liniowości przekzałceń opiera ię na liniowości całki oznaczonej. Należy pamięać, że wykładnikiem wzrou umy funkcji je więkzy z wykładników jej kładników, oraz że mnożenie

5 funkcji przez liczbę zachowuje wykładnik wzrou, np. dla funkcji. e i e wykładnikiem wzrou je Oo przykłady proego przekzałcenia Laplace a, częo wyępujące w zaoowaniach: l η ( ) = ( ) e d = e = ( re > ) (8.7) l λ λ ( λ ) e = e e d = e d = ( re > re( λ )) λ (8.8) Liniowość przekzałceń Laplace a oraz wzór (8.8) prowadzą do ławego obliczania niekórych ranforma: Analogicznie można obliczyć: e jω e jω ω l in( ω ) = l = j j + = jω jω (8.9) + + ω l ω co ( ω) =, inh ( ω) =, coh ( ω) = + ω l ω l ω (8.) Wyępujące w przekzałceniu Laplace a (8.8) λ je dowolnym paramerem zepolonym. Kładąc λ = α + jω orzymamy: A ąd ( co in ) e e j α + l jω λ = l ω + ω = = = λ α + jω α + ω ( α ) l α α e coω = ( re > α ) + ω (8.) l α ω e inω = ( re α ) + ω > (8.) ( α ) Kładąc α = w przekzałceniach (8.) i (8.) orzymamy: ω l[ co ω] =, l [ inω] = + ω + ω 8.4 Różniczkowanie i całkowanie przekzałceń Laplace a. Niech f ( ) i f '( ) będą oryginałami i f ( + ) = k. Wedy, przy [ f ] poługując ię warunkiem (8.) l = F orzymamy, l df f '( ) = e d = f ( ) e + f ( ) e d = F k d (8.3)

6 Zakładając eraz, że f ''( ) eż je oryginałem i f '( ) k + =, orzymamy = ' = [ ] = ( + ) l f '' l f k F k k F k k (8.4) Analogicznie zakładając, że orzymujemy: ( n) f je oryginałem, a ( ν ) ( ) ( ν,,..., ) f + = k = n, ν n n n n ν ν ν = = l f F k (8.5) Zauważymy, że jeśli wzykie warości począkowe ą zerami, o n-krone różniczkowanie oryginału n je równoważne mnożeniu obrazu przez. W ogólnym przypadku należy po ronnie obrazu odjąć pewien wielomian opnia n- o wpółczynnikach będących począkowymi warościami funkcji i jej pochodnych aż do rzędu n-. Przykładem zaoowania wzoru (8.3) je l[ coω] = l ( in ω) ' ( inω ) in ω ω = ω l = ω + ω = + ω W celu znalezienia obrazu całki oryginału f ( ) oznaczymy ( τ ) τ = ϕ f d Nie rzeba zakładać, że ϕ ( ) je oryginałem, gdyż całka oryginału je zawze oryginałem. Je wedy ϕ ( + ) =, ϕ '( ) = f ( ). Soując do powyżzej funkcji wzór (8.3): = ϕ = = l ϕ ' l l f F Orzymamy f dτ = F l ( τ ) (8.6) Wzór (8.6) odczyujemy: całkowanie w granicach od do oryginału je równoważne dzieleniu obrazu przez. Obliczmy eraz pochodną funkcji holomorficznej F ( ), będącej obrazem oryginału f ( ). Skorzyamy u z wierdzenia analogicznego do znanego nam z analizy maemaycznej wierdzenia Leibniza o różniczkowalności całki względem parameru. Mianowicie będzie wedy: i ogólnie d F ' = f ( ) e d = f ( ) e d = f ( ) d l

7 F l f (8.7) ( n ) ( ) n n = Co wyławiamy: różniczkowanie obrazu je równoważne pomnożeniu oryginału przez. Niech dla przykładu zaoowania wierdzenia o całkowaniu oryginału będzie dana funkcja ϕ ( ) przedawiona na ry. 8.a. Je ona wykreem całki funkcji f ( ) pokazanej na ry. 8.b. Ry. 8. Przykład wierdzenia o całkowaniu Funkcję f ( ) można analiycznie przedawić za pomocą funkcji Heaviide a: Wobec czego jej ranformaą je A f η η η = + ( )

8 Soując wpomniane wierdzenie orzymamy A A F = e + e = e [ ] l ϕ = Znajdźmy eraz obraz funkcji ϕ ( ) = ry. 8.. A e Ry. 8. Przykład wierdzenia o całkowaniu dla funkcji liniowej Dokonany ego dwoma poobami. Zauważymy najpierw, ze zachodzi związek Wobec czego dzięki (8.7) i (8.7) ϕ ( ) = η ( ) ' l [ ] = = (8.8)

9 Można en am wynik orzymać oując wzór (8.6). Mianowicie z ego, że Wynika, że Dalze przykłady: ϕ ( ) = f ( τ ) dτ oraz l η ( ) = l [ ] = = λ l n n! λ d =, e e n+ l = = = d l λ (8.9) ( λ ) l n λ n! e = (8.3) n ( λ ) + l ω ω [ inω] = ( l [ in ω] )' = ' = ω + (8.3) + [ coω] ( + ω ) ( ω ) ω l = (8.3) f ( ) Załóżmy eraz, że inieje ranformaa funkcji ϕ ( ) =. Oznaczmy ją przez ze wzoru (8.7) dla n= orzymamy dφ f = = = d Φ. Korzyając l f l F (8.33) gdzie F ( ) je ranformaą funkcji f ( ). Wobec ego Φ = F z dz Sałą C wyznaczymy korzyając z uwag o zachowaniu ię ranformay Laplace a przy. Orzymamy oaecznie: C f F ( z) dz = l (8.34) Gdzie całkowanie odbywa ię po dowolnej drodze w obzarze holomorficznoci funkcji F ( ) oraz akiej, dla kórej część rzeczywia granicy górnej je równa.

10 Wzór (8.34) odczyujemy: Całkowanie obrazu je równoważne dzieleniu oryginału przez. Przykład obliczeniowy reść zadania Obliczyć ranformaę inua całkowego, określonego wzorem: Si inτ = d τ (8.35) τ Rozwiązanie Korzyając ze zmienności ranformay funkcji in oraz ze wzoru (8.34) mamy in dz π l = = arcg z arcg = z + Sąd i z właności (8.4) przekzałcenia Laplace a orzymujemy l π arcg Si ( ) = (8.36) 8.5 Przeunięcia w dziedzinie oryginału i obrazu. Dokonajmy liniowego przekzałcenia argumenu rzeczywiego, piząc na jego miejcu w oryginale f ( ) nową zmienną f ( a ) nowej funkcji f ( a ) zmiennej pamięając, że Będzie wedy przy założeniu, że a > oraz i znajdźmy obraz Laplaowki ( ) = η ( ) ( ) f a a f a l f ( a ) = η ( a ) f ( a ) e d = f ( a ) e d a (8.37) Bowiem z właności funkcji Heaviide a wynika, że funkcja podcałkowa je równa zeru dla <. a Dokonajmy w oaniej całce ranformay (8.37) naępującej zamiany zmiennych Będzie wedy I τ = a d = a τ

11 a τ Sąd τ + a l f ( a ) = f ( τ ) e dτ a Lub inaczej a a > f ( a ) = e F a a l (8.38) wierdzenie o przeunięciu w dziedzinie oryginału zwane eż w mechanice wierdzeniem o łumieniu kładąc w ranformacie (8.38) a= czyli Obliczmy dla przykładu ( ) = l f e F (8.39) l in l η e = ( ) ( ) = e ω + ω wierdzenie o przeunięciu w dziedzinie obrazu ma poać naępującą: ( ) = l F e f (8.4) wierdzenie o podobieńwie orzymujemy kładąc w ranformacie (8.38) = czyli l f ( a) = F ( a > ) a a (8.4) Poniżej rozwiążemy kilka zadań, a wśród nich akie, w kórych funkcja ranformowana je okreowa. Przykład Na ry. 8.3 przedawiona je funkcja: Przykłady obliczeniowe = η η ( ) f A (8.4)

12 Ry. 8.3 Wykre funkcji Jej obrazem w przerzeni Laplace a je e F = l f ( ) = A (8.43) Przykład Funkcję chodkową (ry. 8.4) można zapiać za pomocą funkcji Heaviide a jak naępuje: η η η f = A (8.44) 8.4 Wykre funkcji (8.44) Wobec czego w wyniku zaoowania wzoru na umę zeregu geomerycznego obraz laplaowki ma poać A A F = ( + e + e +...) = e (8.45)

13 Przykład 3 Niech funkcja o równaniu f ( ) i o okreie będzie zadana na ry Opizmy pomocnicza funkcję równościami ϕ ( ) f dla < < = dla pozoalych Ry. 8.5 Wykre funkcji (8.46) Wzór (8.43) pozwoli obliczyć ranformaę f e d l ϕ Φ = = Samą funkcję f ( ) zapizemy eraz za pomocą pomocniczej funkcji ( ) Wobec wierdzenia (8.39) będzie ϕ η ϕ η ϕ ϕ w poaci zeregu f = n n +... (8.46) n F = Φ + Φ e Φ e +... = Φ e (8.47) Sąd oaecznie Przykład 4 F = f ( ) e d e (8.48) Niech funkcja f ( ) omawiana w poprzednim przykładzie ma poać jak na ry Zaem funkcja pomocnicza ϕ ( ) je zadana wzorem:

14 ϕ η η η ( ) = A ( ) + ( ) Jej ranformaą je Wobec czego wzór (8.48) pozwala napiać Ry. 8.6 Wykre funkcji f ( ) e e A Φ = A + = e F e A A e A = = = gh e + e (8.49) Przykład 5 Niech ry. 8.7 przedawia funkcję : π in f = (8.5)

15 Ry. 8.7 Wykre funkcji (8.5) Sąd ϕ π π ( ) = η ( ) in + ( ) in ( ) Jej ranformaa je π Φ = + + π ( ) ( e ) I wrezcie F 8.6 wierdzenie Borela I całka Duhamela. Niech f ( ) i f oznaczymy przez wierdzenia Borela. = π cgh + π będą oryginałami przekzałcenia Laplace a. Zgodnie z definicją plou ich plo * = ( ) Iloczynowi obrazów odpowiada plo oryginałów: f f f τ f τ dτ ( f ) ( f ) = ( f * f ) l l l (8.5)

16 wierdzenia ego nie będziemy dowodzić, bowiem jego dowód je analogiczny do dowodu wierdzenia Borela dla zepolonych przekzałceń Fouriera. Ze względu na o, że oba oryginały f ( ) i f ą ograniczone w ooczeniu zera, warość począkowa plou (praworonna granica dla je równa zeru. Zaoowanie wzoru (8.3) do plou (8.5) prowadzi do równości: ( f + f )' = ( f ) ( f ) l l l.. (8.5) Soując do pochodnej plou znane wierdzenie Leibniza o różniczkowaniu całki względem parameru możemy równość (8.5) zapiać w naępującej poaci: d d ( ) = ( + ) + '( ) f τ f τ dτ f f f τ f τ dτ (8.53) Wyrażenie wyępujące po lewej ronie równości (8.53) nazywa ię całką Duhamela. Można wykazać, że jeżeli przyjmiemy definicję plou w dziedzinie zepolonej x+ j F * F = F ( z) F ( z) dz (8.54) π j x j Gdzie x je więkze od umy wykładników wzrou obu oryginałów f i f, o prawdziwe będzie wierdzenie Borela dla obrazów: 8.7 Rozwinięcie obrazu w zereg Laurena. wierdzenie [ f ]* l[ f ] = [ f f ] l l (8.55) Jeżeli funkcja holomorficzna, rozwijalna w ooczeniu punku w niekończoności w zereg Laurena c F R (8.56) k k = k = ( > ) je w niekończoności regularna, o je ona obrazem laplaowkim funkcji f = c k k (8.57) k = ( k )! powałej w wyniku zaoowania do zeregu (8.56) odwronego przekzałcenia Laplace a wyraz po wyrazie.. Ażeby o wierdzenie udowodnić, wyarczy wykazać, że f ( ) je oryginałem, gdyż zaoowanie do oryginału (8.57) wzoru (8.9) daje z powroem równość (8.56). Weźmy dla przykładu funkcję

17 = F Regularną dla. Można ją rozwinąć w zereg Laurena, zbieżny na zewnąrz koła o środku w począku układu i promieniu a, zn. dla pełniających nierówność > a. Je wedy n ( ) ( n) n (!)! a = a n= n n+ + a n 3 5 n ( )... n a a = + = = + a n= n! Przekzałcenie zoało dokonane na podawie ożamości: ( n ) n ( n) **3*4*...! *3*5*...* ( n ) = = n *4*6*...*n n! Orzymany zereg pełnia założenia wierdzenia o rozwijaniu ranformay w zereg, wiec można go poddać odwronemu przekzałceniu Laplace a wyraz po wyrazie. Pamięając, że Orzymamy l l ( n) n n+ = =! n+ n ( n,,... ) n n n n! a n a = = n= n= + a a n! n! n! Sojąca po prawej ronie funkcja noi nazwę funkcji Beela zerowego rzędu (pierwzego rodzaju) J a. Wykazaliśmy wiec, że argumenu a. Oznacza ię ją l = J a > a + a (8.58) Rozparzmy inny przykład. Niech mianowicie oryginałem będzie Je o funkcja ciągła w przedziale (, ) f = e rzędu wykładniczego, k więc ma ranformaę. Zobaczmy, czy można u zaoować wierdzenie o rozwinięciu ranformay w zereg Laurena. Oóż je e ( ) n n = (8.59) k = n! Szereg je zbieżny do zepolonego, ale nie na całej płazczyźnie je funkcja rzędu wykładniczego, np. na oi urojonej je

18 e y = jy = e Wobec czego nie można oować omawianego wierdzenia. Zauważymy, że gdybyśmy jednak poddali zereg (8.59) ranformacji wyraz po wyrazie, o orzymalibyśmy zereg wzędzie rozbieżny. n= n ( ) ( n)! n! Rozwiążmy powyżze zadanie inną meodą. Swierdziliśmy już poprzednio inienie ranformay = n+ Zakładając, że =re obliczymy lewą ronę powyżzej równości. Będzie l e F (8.6) Wprowadźmy nową zmienną rzeczywią + 4 l e = e e d = e e d + = u d = du u A ąd Oczywiście dla = re 4 u π 4 l e = e e du = e Erf = F% dla = re = F % F Wobec czego ożamość a, dzięki przedłużeniu analiycznemu funkcji F% w półpłazczyźnie zbieżności całki (8.6). Je więc Gdzie 4 π l e = e Erf Erf x e d erf x π = = x erf x = e d π