Wykład 4: Transformata Laplace a

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym f() = dla <. Tranformaą Laplace a funkcji f() nazywamy funkcję ψ() = L[f()]() = f()e d, D C. ψ() obraz funkcji f(), D - zbiór ych liczb zepolonych, dla kórych całka je zbieżna. Uwaga. Dla = x + iy funkcja e = e x e iy. Twierdzenie. Jeżeli f(), je oryginałem, zn. (1) pełnia warunki Dirichlea na każdym ograniczonym owarym przedziale zawarym w [, ), (2) inieją ałe C R, M > akie, że dla każdego f() Me C, o ranformaa Laplace a funkcji f() je dobrze określona na półpłazczyźnie Re > C. Uwagi. (związek międzu ranformaami Laplace a i Fouriera) Jeżeli C <, o F(f())(ω) = L[f()](iω). Jeśli funkcja f() je bezwzględnie całkowalna na [, ) (zn. f() d < ), o ranformaa Laplace a ej funkcji je dobrze określona dla Re (funkcja a nie mui być oryginałem). Noacja: Zapi np. L[in ]() oznacza ranformaę Laplace a funkcji f() = Przykłady do zad. 3.1 { dla < in dla. 1

2 Podawowe właności ranformay Laplace a: Załóżmy, że f(), g() ą oryginałami, a dobrane z odpowiedniego zakreu. (1) liniowość Dla dowolnych α, β R, dla h() = αf() + βg() mamy L[h()]() = αl[f()]() + βl[g()](). (2) przeunięcie w dziedzinie oryginału Dla dowolnego { a >, dla h() = χ( a)f( a), dla gdzie χ() = o funkcja Heavyide a, mamy 1 dla > L[h()]() = e a L[f()]() (3) przeunięcie w dziedzinie obrazu Dla dowolnego a R, dla h() = f()e a mamy L[h()]() = L[f()]( + a) (4) kalowanie Dla dowolnego a >, dla h() = f(a) mamy ) L[h()]() = 1 a L[f()] ( a (5) pochodna obrazu Dla dowolnego m N inieje pochodna L[f()] (m) () = dm L[f()]() oraz dm (6) ranformaa pochodnej oryginału L[f()] (m) () = ( 1) m L[ m f()](). Jeżeli dla pewnego m N funkcje f (n) () = dn f() (dla > ), n = 1,..., m 1, dn ą oryginałami oraz f (m) () je ciągła na (, ), o inieje L[f (m) ()]() oraz L[f (m) ()]() = m L[f()]() m 1 f(+) m 2 f (+)... f (m 2) (+) f (m 1) (+). (7) całka obrazu [ ] f() L[f()](x)dx = L (). (8) ranformaa całki oryginału L f(x)dx () = L[f()](). 2

3 (9) ranformaa plou oryginałów (w. Borela o ploach) L[(f g)()]() = L[f()]() L[g()]() (W przypadku oryginałów plo (f g)() = f()g( )d.) Przykłady do zad. 3.2 Tabela: Właności ranformay Laplace a Oryginał h() Obraz L[h()]() Uwagi liniowość αf() + βg() αl[f()]() + βl[g()]() przeunięcie w dziedzinie oryginału χ( a)f( a) e a L[f()]() a > przeunięcie w dziedzinie obrazu f()e a L[f()]( + a) a R kalowanie f(a) ( ) 1 a L[f()] a a > pochodna obrazu ( 1) m m f() L[f()] (m) () m N pochodna oryginału f (m) () m L[f()]() m m k f (k 1) (+) m N całka obrazu ranformaa całki oryginału f() f(x)dx k=1 L[f()](x)dx L[f()]() plo (f g)() L[f()]() L[g()]() Przykłady dodakowe Wiemy, że L[in ]() = [ ] in Zaem L () = 1 dx = arcg(x) x Wiemy, że L[h]() = [ ] h Zaem L () = 1 x 2 1 dx = 1 2 = 1 x 1 ln = 1 1 ln 2 x = π 2 arcg(). ( 1 x 1 1 ) dx = x + 1 3

4 Jednoznaczność przekzałcenia Laplace a Twierdzenie. Jeżeli f(), g() ą oryginałami ciągłymi na [, ) oraz L[f()]() = L[g()]() dla każdego, o f() = g() dla każdego. Uwagi. Założenie ciągłości można ołabić. Wyarczy równość ranforma dla wzykich poaci = a + iy, y R, dla pewnego a. Twierdzenie odwrone je oczywiście prawdziwe, nawe bez założenia ciągłości oryginałów. Definiuje ię odwroną ranformaę Laplace a, ale je o bardziej komplikowane echnicznie od przypadku ranformay Fouriera. Przykłady do zad. 3.3 Tabela: Tranformay Laplace a podawowych funkcji (podana poać oryginału dla ; dla < f() = ) oryginał f() χ() obraz L[f()]() 1 n n! n+1 e 1 1 e in co δ() 1 4

5 Rachunek operaorowy: zaoowania ranformay Laplace a do rozwiązywania równań różniczkowych Mogą o być: równania różniczkowe zwyczajne o ałych wpółczynnikach (jakie pojawiają ię częo podcza opiu układów elekrycznych, mechanicznych czy eż układów auomayki) równania różniczkowe cząkowe, pewne klay równań całkowych czy eż różniczkowocałkowych (np. e opiujące linie długie - obwody elekryczne, kórych rozmiary geomeryczne powodują opóźnienia ionie wpływające na zachowanie układu). W wielu przypadkach zaoowanie ranformay Laplace a prowadza problem rozwiązania równania różniczkowego do problemu rozwiązania pewnego liniowego równania algebraicznego. Schema meody operaorowej: 1. Mamy równanie różniczkowe dla oryginału. 2. Wykorzyując właności ranformay Laplace a układamy równanie algebraiczne dla obrazu. 3. Z orzymanego równania wyznaczamy obraz. 4. Na podawie obrazu wyznaczamy oryginał. Przykłady do zad. 3.4 Tranmiancja Układy liniowe niezmienne ze względu na przeunięcia w dziedzinie czau - układy (mechaniczne, auomaycznego erowania, obwody elekryczne) opiane układami liniowymi z paramerami (jak warości pojemności, indukcyjności, oporności ip.) niezmiennymi w czaie. W przypadku akich układów (obwodów) elekrycznych ranformaa Laplace a dowolnego napięcia lub prądu w układzie je liniową kombinacją ranforma napięć (prądów) wymuzających oraz warunków począkowych wyępujących na pojemnościach (napięcia) i indukcyjności (prądów). 5

6 Odpowiedź impulowa układu liniowego i jej związek ze ploem funkcji: wejcie (inpu) δ() impul wyjcie (oupu) h() odpowiedz impulowa Wedy x() y()=x*h() Wynika o z ego, że x() możemy przybliżać kombinacją liniową del Diraca: x() dla odpowiednio małego ε >. n= εx(nε)δ( nε) Z liniowości i niezmienności w czaie rozważanego układu odpowiedź na ygnał εx(nε)δ( nε) o εx(nε)h( nε) x()h( )d = x h() = y(). n= Przykład. n= Wiemy, że dla danego układu liniowego związek między ygnałem wejściowym x() a odpowiedzią y() na wyjściu ma poać y () + 2y() = 2x(). Zaem odpowiedź impulowa h() na impul δ() pełnia równanie różniczkowe przy czym h() = dla <. Zaem h () + 2h() = 2δ(), L[h ] + 2L[h] = 2L[δ()] ( + 2)L[h] = 2 L[h] = h() = 2e 2 χ() Jeżeli chcemy znaleźć odpowiedź układu na ygnał x() = χ(), wyarczy eraz wyznaczyć plo: y() = x h() = χ()h( )d = 2e 2 e 2 d = (1 e 2 )χ(). 6