0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
|
|
- Izabela Żukowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ) Niech X N(0, 1) oraz Y = X 2. Pokazać, że Y χ 2 (1). Wskazówka: Gęstość jest pochodą dystrybuaty, a więc f(y) = F (y) y = P (Y y) y Niech X 1,..., X 5 oraz Y 1,..., Y 6 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(6, 5 2 ) oraz N(7, 6 2 ). Obliczyć P ( Ȳ X < 0 ) Z rozkładu ormalego N(µ, 12 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P (9, 84 < S 2 6 < 19, 92) Zmiee losowe X, Y, Z są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (4). Obliczyć prawdopodobieństwo P (X 2 + (Y 1) 2 + Z < 14, 45) Z populacji o rozkładzie ormalym N(0, σ 2 ) wylosowao 26-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że stosuek średiej z próby do odchyleia stadardowego z próby ie przekroczy 0, 26? Zmiee X, Y, Z, W są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (6), W χ 2 (10). Obliczyć prawdopodobieństwa: a) P (X 2 + (Y 1) 2 + W < 21), b) P ( X + Y < 1 + 0, W + Z ), c) P ( Y < 1 + 1, 133 X 2 + Z ) Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu ormalego N( 2, 3 2 ). Obliczyć P ({ X 0, 36} {S 2 15, 507}) Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 20 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(2, 1 2 ) oraz N(1, 2 2 ). Niech Z i = X i Y i dla i = 1,...,. Obliczyć P ( { Z > 1, 825} {S 2 > 0, 432} ), gdzie S 2 = i=1 (Z i Z) 2.
2 Z populacji o rozkładzie ormalym N(µ, σ 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć wartość σ 2, jeżeli wiadomo, że P ( S 11 > 54, 12 ) = 0, 05, gdzie S 11 2 = i=1(x i X) Z populacji o rozkładzie ormalym N(40, 2 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć P (S 2 20 < 5) P (Ŝ2 20 < 5) Ruletka to gra hazardowa o prostych regułach, które powodują, że wygrywa się żeto z prawdopodobieństwem 18 a przegrywa z prawdopodobieństwem 20. Gracz zay jako Pechowiec gra 361 razy. Niech X 38 k będzie wyikiem k-tej gry, atomiast S = 361 k=1 X k. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Pechowiec ie straci po rozegraiu 361 gier (obliczyć P (S > 0)) Niech X 1,..., X 400 będzie prostą próbą losową z rozkładu o mediaie m, czyli P (X i < m) = 1 2. Oblicz P (X 220:400 m) % kierowców ie przekracza dozwoloej prędkości. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzeia, że w wylosowaej próbie prostej 900 zatrzymaych przez policję kierowców otrzymamy frakcję ie przekraczających dozwoloej prędkości spełiającą ierówość 0, 10 < ˆp < 0, 12? % kadydatów do sejmu czyta prasę codzieą. Spośród wszystkich kadydatów losujemy 20-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w próbie zajdzie się co ajwyżej 5% kadydatów czytających codzieą prasę Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 32 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(8, σ 2 ) oraz N(10, σ 2 ). Obliczyć prawdopodobieństwo P (S 1 < 3, 91S 2 ) Z rozkładu ormalego N(2, σ 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P ( X 2 < 0, 6 ) S Niech X N(µ, σ 2 ). Korzystając ze zaych własości rozkładu χ 2 podać wartość czwartego mometu cetralego m 4 = E(X µ) 4 oraz wariacji D 2 (S 2 ) i D 2 ( S 2 ) Niech X, Y, Z będą iezależymi zmieymi losowymi o stadardowym rozkładzie ormalym N(0, 1). Zaleźć taką wartość parametru a, dla której P ( X X a ) = 0, Y 2 +Z Niech X Γ(a, b). Pokazać, że EX = a b, oraz D2 X = a b 2. 38
3 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Niech X Γ(a, b 1 ), Y Γ(a, b 2 ), oraz X, Y iezależe. Niech Z := X+Y. Pokazać, że Z Γ(a, b 1 + b 2 ) Niech X 1,..., X,... będą iid z rozkładu wykładiczego z parametrem λ. Iterpretujemy je jako czasy oczekiwaia a koleje sukcesy. Zaleźć rozkład zmieej losowej Y, ozaczającej ilość sukcesów do chwili t Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, + 1). Wyzacz EX k: oraz D 2 X k: Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, 2). Wyzacz E(X 8:9 X 3:9 ) Wyzacz EX k:, jeśli X 1,..., X są zmieymi losowymi iid z rozkładu a) U( θ, θ), b) U(θ, 2θ), c) U(θ, θ + 1), c) U(1, 1 + θ) Rozwiązać problem postawioy w przykładzie?? według podaego tam plau Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x. Podać fukcję gęstości oraz wartość oczekiwaą zmieej losowej T = X : Odpowiedzi gdzie ES 2 = 1 σ2 oraz D 2 ( 1 Xi 2 ) = 1 i=1 (a 4 a 2 2), σ 2 = D 2 X, a 2 = EX 2, a 4 = EX F (y) = P (Y y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = 2Φ( y) 1,
4 4 gdzie Φ( ) jest dystrybuatą rozkładu N(0, 1). Wobec tego , , , , 9. f(y) = F (y) = 2Φ( 1 y) 2 y = 1 e y 2. 2πy a) 0, 95 b) 0, 995 c) 0, , , , m 4 = 3σ 4, D 2 (S 2 ) = 2( 1) σ 4, 2 D 2 ( S 2 ) = 2σ , Korzystając z tego, że X X Γ(λ, ), zauważmy, że Oraz P (Y ) = P (X X t) = F Γ(λ,) (t). P (Y = 1) = P (Y 1) P (Y ) = F Γ(λ, 1) (t) F Γ(λ,) (t). Całkując przez części otrzymujemy F Γ(λ,) (t) = t 0 1 Γ() λ x 1 e λx dx = λ 1 ( 1)! t 1 e λt + t = (λt) 1 ( 1)! e λt + F Γ(λ, 1) (t). 0 1 Γ( 1) λ 1 x 2 e λx dx
5 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 5 Podstawiając do poprzediego rówaia otrzymujemy P (Y = 1) = (λt) 1 ( 1)! e λt, a więc Y jest z rozkładu Poissoa z parametrem λt EX k: = k, D 2 X k: = k( k+1) a) 2k 1 θ, b) θ + k k θ, c) θ +, d) 1 + k θ f : (x) = px p 1 dla x (0, 1), EX : = p p+1
6 6 0.2 WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW Zadaia Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstosci f(x) = x x2 e 2p p dla x > 0. jest ieobciążoym estymato- a) Sprawdzić, czy statystyka T = 1 i=1 X 2 2 i rem parametru p. b) Sprawdzić, czy statystyka T jest zgodym estymatorem parametru p. c) Sprawdzić, czy statystyka T jest efektywym estymatorem parametru p. Wskazówka: EX 2 = 2p, EX 4 = 8p Populacja ma rozkład zero-jedykowy z iezaym parametrem p (frakcja elemetów wyróżioych w populacji). Pokazać, że wskaźik struktury ˆp = k z próby prostej, gdzie k jest liczbą elemetów wyróżioych w próbie, jest ieobciążoym, zgodym i efektywym estymatorem parametru p Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Poissoa o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = λx x! e λ dla x = 0, 1, 2,..., gdzie λ > 0. Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = c i=1 ix i jest ieobciążoym estymatorem parametru λ? Czy jest to estymator zgody? Podać efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? Wskazówka: EX = λ, D 2 X = λ, i=1 i 2 = 1 ( + 1)(2 + 1) Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu a) geometryczego o fukcji prawdopodobieństwa p θ (x) = θ(1 θ) x, x = 0, 1,... b) Weibulla o fukcji gęstości f θ (x) = 3θx 2 e θx3 1 (0, ) (x), c) ormalego N(µ, σ 2 ), θ = (µ, σ) d) Pareto o fukcji gęstości f θ (x) = θx θ 1 1 (1, ) (x),
7 0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 7 e) jedostajego a przedziale (θ 1 2, θ ) o fukcji gęstości 1 (θ 1 2,θ+ 1 2 ) (x). Zaleźć statystykę dostateczą dla parametru θ Do klubu studeckiego wchodzą studeci dwóch różych uczeli wyższych. Udział studetów wchodzących do klubu pochodzących z pierwszej uczeli jest p, gdzie 0 < p < 1), z drugiej 1 p. Rozkład wytrzymałości ich głów jest dla pierwszej uczeli N(µ 1, σ 2 1), a dla drugiej N(µ 2, σ 2 2), gdzie (µ 1, µ 2, σ 2 1, σ 2 2) są zae, przy czym µ 1 µ 2. Na podstawie -elemetowej próby prostej pobraej z klubu skostruowao estymator udziału p studetów pochodzących z pierwszej uczeli postaci ˆp = X µ 2 µ 1 µ 2. Czy jest to estymator ieobciążoy. Czy jest zgody? Sprawdzić, czy średia z próby jest ajefektywiejszym estymatorem parametru θ, gdzie θ > 0 w rozkładzie o fukcji prawdopodobieństwa p(x) = x = 0, 1,... Wskazówka: EX = θ, EX 2 = θ(1 + 2θ). θx, (1+θ) x Zapropoować estymator ieobciążoy parametru µ a podstawie -elemetowej próby prostej z populacji o rozkładzie N(µ, σ 2 ) o zaym σ. Wykorzystując ierówość Rao-Cramera sprawdzić, czy jest to estymator efektywy. Czy jest to estymator zgody? Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu ormalego N(µ, σ 2 ). Pokazać, że estymator S 2 jest ieobciążoym i zgodym estymatorem parametru σ 2. Obliczyć efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o skończoej wariacji σ 2. Wykazać, że o ile tylko X ie jest skocetrowae z prawdopodobieństwem 1 w EX, to estymator S = S 2 jest estymatorem obciążoym parametru σ Niech X 1,..., X oraz Y 1,... Y będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(µ, 1 2 ), N(µ, 2 2 ). Dobrać tak parametry a i b, aby estymator ˆµ = ax 1 + by 2 był ieobciążoym estymatorem parametru µ o miimalej wariacji Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tych samych średich EX i = µ, ale iekoieczie tych samych wariacjach. Niech D 2 X i = σ 2 i i załóżmy, że σ 2 i są zae. Rozważmy estymator parametru µ postaci ˆµ = i=1 w i X i.
8 8 a) Dobrać w i tak, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym. b) Dobrać tak w i, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ 1, θ 2 ). a) Obliczyć EX 1:2 oraz EX 2:2. b) Podać realizację zmieych X 1:6 oraz X 4:6, jeżeli 6-elemetowa próba prosta dała wyik (4, 7, 9, 5, 4, 8) Niech X 1, X 2, X 3 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (0, θ). a) Podać obciążeie estymatora ˆθ 1 = X 2:3 parametru θ 2 oraz estymatora ˆθ 2 = X 3:3 parametru θ. b) Udowodić, że estymatory ˆθ 1 = 2X 2:3 oraz ˆθ 2 = 4 3 X 3:3 są ieobciążoymi estymatorami parametru θ. c) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest efektywiejszy? d) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest oparty a statystyce dostateczej dla θ? e) Wybierając estymator efektywiejszy, oszacować parametr θ a podstawie astępującej realizacji próby x = (0, 3; 0, 8; 0, 1) Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ, θ + 1). a) Podać fukcję gęstości zmieej losowej X 1:. b) Pokazać, że X 1: jest asymptotyczie ieobciążoym estymatorem parametru θ. c) Dla jakiej wartości parametru c estymator T = X 1: +c jest ieobciążoym estymatorem parametru θ Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x.
9 0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 9 a) Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = cx 1: jest ieobciążoym estymatorem parametru p? b) Czy jest to estymator zgody? c) Policzyć efektywość tego estymatora. Odpowiedzi a) ET = p, czyli jest to estymator ieobciążoy b) lim D 2 T = p 2 lim = 0, czyli a podstawie twierdzeia?? jest to estymator zgody c) Prawa stroa ierówości Rao-Cramera wyosi D 2ˆθ = p2 i jest rówa wariacji tego estymatora, czyli T jest estymatorem efektywym E ˆp = E 1 i=1 X i = p, lim D 2ˆp p(1 p) = lim = 0 oraz E ( ) lp(x;p) 2 p = E(X p) 2 p 2 (1 p) 2 = 1 p(1 p), skąd prawa stroa w ierówości Rao-Cramera wyosi 1 p D2ˆθ = i jest rówa wariacji ˆp c = 2, lim 2(2 + 1) (+1) D2 T = lim = 0, czyli jest to estymator 3( + 1) zgody przy wyzaczoej wartości c, e(t ) = asymptotyczie efektywy. 3(+1) 2(2+1), ie jest to estymator a) T = ( i=1 X i, i=1 X 3 i ) b) T = i=1 X 3 i c) T = ( X, i=1 X 2 i ) d) i=1 X i e) T = (X 1:, X : ) E ˆp = p oraz lim D 2ˆp p 2 σ1 2 + (1 p) 2 σ2 2 = lim, czyli jest to estymator (µ 1 µ 2 ) 2 zgody Estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji jest X. lim D 2 X = σ 2 lim = 0, czyli jest to estymator zgody. ( ) ( 1) S Korzystając ze zaych własości rozkładu chi-kwadrat mamy E = σ 2 1, skąd E S 2 = σ 2. Aalogiczie lim D 2 S 2 = lim, czyli jest to estymator 1 zgody; e( S 2 ) = 1, jest asymptotyczie efektywy Gdyby E S = σ, to mielibyśmy D 2 S = E S 2 (E S) 2 = σ 2 σ 2 = 0, czyli doszliśmy do sprzecości. 2σ a = , b = a) w i takie, że i=1 w i = 1 b) w i = 1 σ 2 1(1/σ 2 i + +1/σ2 )
10 METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW Zadaia Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Poissoa z parametrem λ o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = e ENW dla tego parametru. Podać statystykę dostateczą. λ λx x!. Zaleźć EMM oraz Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu dwumiaowego o parametrach m oraz θ. Czyli fukcja prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać p(x; m, θ) = Wyzaczyć ENW dla parametru θ. ( ) m θ x (1 θ) m x, x dla x = 0, 1,..., m Z populacji, w której cecha X ma rozkład prawdopodobieństwa o fukcji gęstości (a + 1)x a dla x (0, 1), f(x; a) = 0 dla x / (0, 1), gdzie a ( 1, ), wylosowao -elemetową próbę prostą. Zaleźć estymator EMM oraz ENW dla parametru a Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu o fukcji prawdopodobieństwa p(x; θ) = θ(1 θ) x 1, dla x = 1, 2,... oraz 0 < θ < 1. Zaleźć ENW i EMM dla θ Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu logarytmiczoormalego o fukcji gęstości f(x; m, σ 2 ) = W rozkładzie logarytmiczo-ormalym 1 (l x m)2 e 2σ 2 dla x > 0. 2πσx EX = e m+ 1 2 σ2, D 2 X = e 2m+σ2 ( e σ2 1 ). Zaleźć estymatory MM i MNW dla parametrów m i σ 2. Zaleźć ENW dla σ 2. Podać statystykę dostateczą dla σ Populacja geerala ma rozkład Pareto o fukcji gęstości postaci f(x; α) = αe α x (α+1), dla x e, oraz α > 0. Zaleźć ENW parametru α. Podać wartość oszacowaia, jeśli = 5, a próba dała wyik G = x 1 x = 20,
11 0.3. METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu jedostajego U(0, θ). Wyzaczyć ENW dla parametru θ Podać estymator ajwiększej wiarogodości rozstępu b a w rozkładzie jedostajym U(a, b) o fukcji gęstości 1 gdy a x b, b a f(x; a, b) = 0 wpp Niech X 1,..., X 10 będzie prostą próbą losową z rozkładu wykładiczego z parametrem λ o fukcji gęstości f(x; λ) = λe λx, dla x > 0, oraz iezależą od iej, prostą próbę losową Y 1,..., Y 10 z rozkładu wykładiczego z parametrem 2λ. Na podstawie X 1,..., X 10, Y 1,..., Y 10 wyzaczyć ENW parametru λ Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Laplace a Lapl(µ, λ), o fukcji gęstości f µ,λ (x) = λ 2 e λ x µ. Wyzacz ENW dla parametrów µ i λ Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z przesuiętego rozkładu wykładiczego, czyli rozkładu o fukcji gęstości f(x; λ, θ) = λe λ(x+θ), Wyzacz ENW dla parametrów λ i θ. x θ Niezwykle ważą rzeczą jest, aby wiedzieć, ile jest ryb w jeziorze. Aby je w przybliżeiu policzyć, stosuje się astępującą procedurę: wyławia się m ryb, ozacza je, a astępie wpuszcza z powrotem do wody i czeka odpowiedio długo, aby wymieszały się z pozostałymi. Następie łowi się ryb. Niech Z będzie zmieą losową będącą ilością ozakowaych ryb wśród złapaych. Zbuduj odpowiedi model statystyczy i wyzacz estymator ajwiększej wiarogodości parametru R, czyli liczby wszystkich ryb w jeziorze. Odpowiedzi ˆλNW = X, ˆλNW = X, statystyka dostatecza to T = i=1 X i lub T = X ˆθNW 1 mi=1 X m i â MM = 2 X 1 1 X ; â NW = 1. i=1 l X i ˆθNW = 1 X ; EX = 1 więc ˆθMM = 1 X. ( θ) X ˆm MM = l ; ˆσ MM 2 = l ( S ) ; X 2 S 2 + X 2 ˆm NW = 1 i=1 l X i = l G; ˆσ NW 2 = 1 ( i=1 l Xi 1 ) j=1 2 l X j = 1 i=1 (l X i l G) 2, gdzie G = X 1 X 2 X, jest średią geometryczą.
12 12 Więc ENW ( σ 2 1 ( ) = i=1 l Xi 1 ) j=1 2; l x j Statystyka dostatecza dla σ, to T = i=1 l X i ˆα NW = = 1. i=1 l x i l G 1 Więc dla = 5 i G = 20, 08554, mamy ˆα NW = ˆθNW = X : ENW (b a) = X : X 1: ˆλNW = 10 X+20Ȳ ˆµ NW = med, czyli mediaa próbkowa; ˆλ NW =. i=1 x i med ˆθNW = X 1: ; ˆλNW = X 1: + i=1 x i ˆRNW = [ m k ] + 1.
Lista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone
Estymatory nieobciążone Zadanie 1. Pobieramy próbkę X 1,..., X n niezależnych obserwacji z rozkładu Poissona o nieznanym parametrze λ. Szacujemy p 0 = e λ za pomocą estymatora ˆp 0 = e X, gdzie X jest
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowo