0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK"

Transkrypt

1 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ) Niech X N(0, 1) oraz Y = X 2. Pokazać, że Y χ 2 (1). Wskazówka: Gęstość jest pochodą dystrybuaty, a więc f(y) = F (y) y = P (Y y) y Niech X 1,..., X 5 oraz Y 1,..., Y 6 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(6, 5 2 ) oraz N(7, 6 2 ). Obliczyć P ( Ȳ X < 0 ) Z rozkładu ormalego N(µ, 12 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P (9, 84 < S 2 6 < 19, 92) Zmiee losowe X, Y, Z są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (4). Obliczyć prawdopodobieństwo P (X 2 + (Y 1) 2 + Z < 14, 45) Z populacji o rozkładzie ormalym N(0, σ 2 ) wylosowao 26-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że stosuek średiej z próby do odchyleia stadardowego z próby ie przekroczy 0, 26? Zmiee X, Y, Z, W są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (6), W χ 2 (10). Obliczyć prawdopodobieństwa: a) P (X 2 + (Y 1) 2 + W < 21), b) P ( X + Y < 1 + 0, W + Z ), c) P ( Y < 1 + 1, 133 X 2 + Z ) Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu ormalego N( 2, 3 2 ). Obliczyć P ({ X 0, 36} {S 2 15, 507}) Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 20 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(2, 1 2 ) oraz N(1, 2 2 ). Niech Z i = X i Y i dla i = 1,...,. Obliczyć P ( { Z > 1, 825} {S 2 > 0, 432} ), gdzie S 2 = i=1 (Z i Z) 2.

2 Z populacji o rozkładzie ormalym N(µ, σ 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć wartość σ 2, jeżeli wiadomo, że P ( S 11 > 54, 12 ) = 0, 05, gdzie S 11 2 = i=1(x i X) Z populacji o rozkładzie ormalym N(40, 2 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć P (S 2 20 < 5) P (Ŝ2 20 < 5) Ruletka to gra hazardowa o prostych regułach, które powodują, że wygrywa się żeto z prawdopodobieństwem 18 a przegrywa z prawdopodobieństwem 20. Gracz zay jako Pechowiec gra 361 razy. Niech X 38 k będzie wyikiem k-tej gry, atomiast S = 361 k=1 X k. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Pechowiec ie straci po rozegraiu 361 gier (obliczyć P (S > 0)) Niech X 1,..., X 400 będzie prostą próbą losową z rozkładu o mediaie m, czyli P (X i < m) = 1 2. Oblicz P (X 220:400 m) % kierowców ie przekracza dozwoloej prędkości. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzeia, że w wylosowaej próbie prostej 900 zatrzymaych przez policję kierowców otrzymamy frakcję ie przekraczających dozwoloej prędkości spełiającą ierówość 0, 10 < ˆp < 0, 12? % kadydatów do sejmu czyta prasę codzieą. Spośród wszystkich kadydatów losujemy 20-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w próbie zajdzie się co ajwyżej 5% kadydatów czytających codzieą prasę Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 32 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(8, σ 2 ) oraz N(10, σ 2 ). Obliczyć prawdopodobieństwo P (S 1 < 3, 91S 2 ) Z rozkładu ormalego N(2, σ 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P ( X 2 < 0, 6 ) S Niech X N(µ, σ 2 ). Korzystając ze zaych własości rozkładu χ 2 podać wartość czwartego mometu cetralego m 4 = E(X µ) 4 oraz wariacji D 2 (S 2 ) i D 2 ( S 2 ) Niech X, Y, Z będą iezależymi zmieymi losowymi o stadardowym rozkładzie ormalym N(0, 1). Zaleźć taką wartość parametru a, dla której P ( X X a ) = 0, Y 2 +Z Niech X Γ(a, b). Pokazać, że EX = a b, oraz D2 X = a b 2. 38

3 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Niech X Γ(a, b 1 ), Y Γ(a, b 2 ), oraz X, Y iezależe. Niech Z := X+Y. Pokazać, że Z Γ(a, b 1 + b 2 ) Niech X 1,..., X,... będą iid z rozkładu wykładiczego z parametrem λ. Iterpretujemy je jako czasy oczekiwaia a koleje sukcesy. Zaleźć rozkład zmieej losowej Y, ozaczającej ilość sukcesów do chwili t Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, + 1). Wyzacz EX k: oraz D 2 X k: Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, 2). Wyzacz E(X 8:9 X 3:9 ) Wyzacz EX k:, jeśli X 1,..., X są zmieymi losowymi iid z rozkładu a) U( θ, θ), b) U(θ, 2θ), c) U(θ, θ + 1), c) U(1, 1 + θ) Rozwiązać problem postawioy w przykładzie?? według podaego tam plau Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x. Podać fukcję gęstości oraz wartość oczekiwaą zmieej losowej T = X : Odpowiedzi gdzie ES 2 = 1 σ2 oraz D 2 ( 1 Xi 2 ) = 1 i=1 (a 4 a 2 2), σ 2 = D 2 X, a 2 = EX 2, a 4 = EX F (y) = P (Y y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = 2Φ( y) 1,

4 4 gdzie Φ( ) jest dystrybuatą rozkładu N(0, 1). Wobec tego , , , , 9. f(y) = F (y) = 2Φ( 1 y) 2 y = 1 e y 2. 2πy a) 0, 95 b) 0, 995 c) 0, , , , m 4 = 3σ 4, D 2 (S 2 ) = 2( 1) σ 4, 2 D 2 ( S 2 ) = 2σ , Korzystając z tego, że X X Γ(λ, ), zauważmy, że Oraz P (Y ) = P (X X t) = F Γ(λ,) (t). P (Y = 1) = P (Y 1) P (Y ) = F Γ(λ, 1) (t) F Γ(λ,) (t). Całkując przez części otrzymujemy F Γ(λ,) (t) = t 0 1 Γ() λ x 1 e λx dx = λ 1 ( 1)! t 1 e λt + t = (λt) 1 ( 1)! e λt + F Γ(λ, 1) (t). 0 1 Γ( 1) λ 1 x 2 e λx dx

5 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 5 Podstawiając do poprzediego rówaia otrzymujemy P (Y = 1) = (λt) 1 ( 1)! e λt, a więc Y jest z rozkładu Poissoa z parametrem λt EX k: = k, D 2 X k: = k( k+1) a) 2k 1 θ, b) θ + k k θ, c) θ +, d) 1 + k θ f : (x) = px p 1 dla x (0, 1), EX : = p p+1

6 6 0.2 WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW Zadaia Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstosci f(x) = x x2 e 2p p dla x > 0. jest ieobciążoym estymato- a) Sprawdzić, czy statystyka T = 1 i=1 X 2 2 i rem parametru p. b) Sprawdzić, czy statystyka T jest zgodym estymatorem parametru p. c) Sprawdzić, czy statystyka T jest efektywym estymatorem parametru p. Wskazówka: EX 2 = 2p, EX 4 = 8p Populacja ma rozkład zero-jedykowy z iezaym parametrem p (frakcja elemetów wyróżioych w populacji). Pokazać, że wskaźik struktury ˆp = k z próby prostej, gdzie k jest liczbą elemetów wyróżioych w próbie, jest ieobciążoym, zgodym i efektywym estymatorem parametru p Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Poissoa o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = λx x! e λ dla x = 0, 1, 2,..., gdzie λ > 0. Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = c i=1 ix i jest ieobciążoym estymatorem parametru λ? Czy jest to estymator zgody? Podać efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? Wskazówka: EX = λ, D 2 X = λ, i=1 i 2 = 1 ( + 1)(2 + 1) Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu a) geometryczego o fukcji prawdopodobieństwa p θ (x) = θ(1 θ) x, x = 0, 1,... b) Weibulla o fukcji gęstości f θ (x) = 3θx 2 e θx3 1 (0, ) (x), c) ormalego N(µ, σ 2 ), θ = (µ, σ) d) Pareto o fukcji gęstości f θ (x) = θx θ 1 1 (1, ) (x),

7 0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 7 e) jedostajego a przedziale (θ 1 2, θ ) o fukcji gęstości 1 (θ 1 2,θ+ 1 2 ) (x). Zaleźć statystykę dostateczą dla parametru θ Do klubu studeckiego wchodzą studeci dwóch różych uczeli wyższych. Udział studetów wchodzących do klubu pochodzących z pierwszej uczeli jest p, gdzie 0 < p < 1), z drugiej 1 p. Rozkład wytrzymałości ich głów jest dla pierwszej uczeli N(µ 1, σ 2 1), a dla drugiej N(µ 2, σ 2 2), gdzie (µ 1, µ 2, σ 2 1, σ 2 2) są zae, przy czym µ 1 µ 2. Na podstawie -elemetowej próby prostej pobraej z klubu skostruowao estymator udziału p studetów pochodzących z pierwszej uczeli postaci ˆp = X µ 2 µ 1 µ 2. Czy jest to estymator ieobciążoy. Czy jest zgody? Sprawdzić, czy średia z próby jest ajefektywiejszym estymatorem parametru θ, gdzie θ > 0 w rozkładzie o fukcji prawdopodobieństwa p(x) = x = 0, 1,... Wskazówka: EX = θ, EX 2 = θ(1 + 2θ). θx, (1+θ) x Zapropoować estymator ieobciążoy parametru µ a podstawie -elemetowej próby prostej z populacji o rozkładzie N(µ, σ 2 ) o zaym σ. Wykorzystując ierówość Rao-Cramera sprawdzić, czy jest to estymator efektywy. Czy jest to estymator zgody? Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu ormalego N(µ, σ 2 ). Pokazać, że estymator S 2 jest ieobciążoym i zgodym estymatorem parametru σ 2. Obliczyć efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o skończoej wariacji σ 2. Wykazać, że o ile tylko X ie jest skocetrowae z prawdopodobieństwem 1 w EX, to estymator S = S 2 jest estymatorem obciążoym parametru σ Niech X 1,..., X oraz Y 1,... Y będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(µ, 1 2 ), N(µ, 2 2 ). Dobrać tak parametry a i b, aby estymator ˆµ = ax 1 + by 2 był ieobciążoym estymatorem parametru µ o miimalej wariacji Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tych samych średich EX i = µ, ale iekoieczie tych samych wariacjach. Niech D 2 X i = σ 2 i i załóżmy, że σ 2 i są zae. Rozważmy estymator parametru µ postaci ˆµ = i=1 w i X i.

8 8 a) Dobrać w i tak, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym. b) Dobrać tak w i, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ 1, θ 2 ). a) Obliczyć EX 1:2 oraz EX 2:2. b) Podać realizację zmieych X 1:6 oraz X 4:6, jeżeli 6-elemetowa próba prosta dała wyik (4, 7, 9, 5, 4, 8) Niech X 1, X 2, X 3 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (0, θ). a) Podać obciążeie estymatora ˆθ 1 = X 2:3 parametru θ 2 oraz estymatora ˆθ 2 = X 3:3 parametru θ. b) Udowodić, że estymatory ˆθ 1 = 2X 2:3 oraz ˆθ 2 = 4 3 X 3:3 są ieobciążoymi estymatorami parametru θ. c) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest efektywiejszy? d) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest oparty a statystyce dostateczej dla θ? e) Wybierając estymator efektywiejszy, oszacować parametr θ a podstawie astępującej realizacji próby x = (0, 3; 0, 8; 0, 1) Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ, θ + 1). a) Podać fukcję gęstości zmieej losowej X 1:. b) Pokazać, że X 1: jest asymptotyczie ieobciążoym estymatorem parametru θ. c) Dla jakiej wartości parametru c estymator T = X 1: +c jest ieobciążoym estymatorem parametru θ Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x.

9 0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 9 a) Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = cx 1: jest ieobciążoym estymatorem parametru p? b) Czy jest to estymator zgody? c) Policzyć efektywość tego estymatora. Odpowiedzi a) ET = p, czyli jest to estymator ieobciążoy b) lim D 2 T = p 2 lim = 0, czyli a podstawie twierdzeia?? jest to estymator zgody c) Prawa stroa ierówości Rao-Cramera wyosi D 2ˆθ = p2 i jest rówa wariacji tego estymatora, czyli T jest estymatorem efektywym E ˆp = E 1 i=1 X i = p, lim D 2ˆp p(1 p) = lim = 0 oraz E ( ) lp(x;p) 2 p = E(X p) 2 p 2 (1 p) 2 = 1 p(1 p), skąd prawa stroa w ierówości Rao-Cramera wyosi 1 p D2ˆθ = i jest rówa wariacji ˆp c = 2, lim 2(2 + 1) (+1) D2 T = lim = 0, czyli jest to estymator 3( + 1) zgody przy wyzaczoej wartości c, e(t ) = asymptotyczie efektywy. 3(+1) 2(2+1), ie jest to estymator a) T = ( i=1 X i, i=1 X 3 i ) b) T = i=1 X 3 i c) T = ( X, i=1 X 2 i ) d) i=1 X i e) T = (X 1:, X : ) E ˆp = p oraz lim D 2ˆp p 2 σ1 2 + (1 p) 2 σ2 2 = lim, czyli jest to estymator (µ 1 µ 2 ) 2 zgody Estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji jest X. lim D 2 X = σ 2 lim = 0, czyli jest to estymator zgody. ( ) ( 1) S Korzystając ze zaych własości rozkładu chi-kwadrat mamy E = σ 2 1, skąd E S 2 = σ 2. Aalogiczie lim D 2 S 2 = lim, czyli jest to estymator 1 zgody; e( S 2 ) = 1, jest asymptotyczie efektywy Gdyby E S = σ, to mielibyśmy D 2 S = E S 2 (E S) 2 = σ 2 σ 2 = 0, czyli doszliśmy do sprzecości. 2σ a = , b = a) w i takie, że i=1 w i = 1 b) w i = 1 σ 2 1(1/σ 2 i + +1/σ2 )

10 METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW Zadaia Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Poissoa z parametrem λ o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = e ENW dla tego parametru. Podać statystykę dostateczą. λ λx x!. Zaleźć EMM oraz Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu dwumiaowego o parametrach m oraz θ. Czyli fukcja prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać p(x; m, θ) = Wyzaczyć ENW dla parametru θ. ( ) m θ x (1 θ) m x, x dla x = 0, 1,..., m Z populacji, w której cecha X ma rozkład prawdopodobieństwa o fukcji gęstości (a + 1)x a dla x (0, 1), f(x; a) = 0 dla x / (0, 1), gdzie a ( 1, ), wylosowao -elemetową próbę prostą. Zaleźć estymator EMM oraz ENW dla parametru a Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu o fukcji prawdopodobieństwa p(x; θ) = θ(1 θ) x 1, dla x = 1, 2,... oraz 0 < θ < 1. Zaleźć ENW i EMM dla θ Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu logarytmiczoormalego o fukcji gęstości f(x; m, σ 2 ) = W rozkładzie logarytmiczo-ormalym 1 (l x m)2 e 2σ 2 dla x > 0. 2πσx EX = e m+ 1 2 σ2, D 2 X = e 2m+σ2 ( e σ2 1 ). Zaleźć estymatory MM i MNW dla parametrów m i σ 2. Zaleźć ENW dla σ 2. Podać statystykę dostateczą dla σ Populacja geerala ma rozkład Pareto o fukcji gęstości postaci f(x; α) = αe α x (α+1), dla x e, oraz α > 0. Zaleźć ENW parametru α. Podać wartość oszacowaia, jeśli = 5, a próba dała wyik G = x 1 x = 20,

11 0.3. METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu jedostajego U(0, θ). Wyzaczyć ENW dla parametru θ Podać estymator ajwiększej wiarogodości rozstępu b a w rozkładzie jedostajym U(a, b) o fukcji gęstości 1 gdy a x b, b a f(x; a, b) = 0 wpp Niech X 1,..., X 10 będzie prostą próbą losową z rozkładu wykładiczego z parametrem λ o fukcji gęstości f(x; λ) = λe λx, dla x > 0, oraz iezależą od iej, prostą próbę losową Y 1,..., Y 10 z rozkładu wykładiczego z parametrem 2λ. Na podstawie X 1,..., X 10, Y 1,..., Y 10 wyzaczyć ENW parametru λ Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Laplace a Lapl(µ, λ), o fukcji gęstości f µ,λ (x) = λ 2 e λ x µ. Wyzacz ENW dla parametrów µ i λ Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z przesuiętego rozkładu wykładiczego, czyli rozkładu o fukcji gęstości f(x; λ, θ) = λe λ(x+θ), Wyzacz ENW dla parametrów λ i θ. x θ Niezwykle ważą rzeczą jest, aby wiedzieć, ile jest ryb w jeziorze. Aby je w przybliżeiu policzyć, stosuje się astępującą procedurę: wyławia się m ryb, ozacza je, a astępie wpuszcza z powrotem do wody i czeka odpowiedio długo, aby wymieszały się z pozostałymi. Następie łowi się ryb. Niech Z będzie zmieą losową będącą ilością ozakowaych ryb wśród złapaych. Zbuduj odpowiedi model statystyczy i wyzacz estymator ajwiększej wiarogodości parametru R, czyli liczby wszystkich ryb w jeziorze. Odpowiedzi ˆλNW = X, ˆλNW = X, statystyka dostatecza to T = i=1 X i lub T = X ˆθNW 1 mi=1 X m i â MM = 2 X 1 1 X ; â NW = 1. i=1 l X i ˆθNW = 1 X ; EX = 1 więc ˆθMM = 1 X. ( θ) X ˆm MM = l ; ˆσ MM 2 = l ( S ) ; X 2 S 2 + X 2 ˆm NW = 1 i=1 l X i = l G; ˆσ NW 2 = 1 ( i=1 l Xi 1 ) j=1 2 l X j = 1 i=1 (l X i l G) 2, gdzie G = X 1 X 2 X, jest średią geometryczą.

12 12 Więc ENW ( σ 2 1 ( ) = i=1 l Xi 1 ) j=1 2; l x j Statystyka dostatecza dla σ, to T = i=1 l X i ˆα NW = = 1. i=1 l x i l G 1 Więc dla = 5 i G = 20, 08554, mamy ˆα NW = ˆθNW = X : ENW (b a) = X : X 1: ˆλNW = 10 X+20Ȳ ˆµ NW = med, czyli mediaa próbkowa; ˆλ NW =. i=1 x i med ˆθNW = X 1: ; ˆλNW = X 1: + i=1 x i ˆRNW = [ m k ] + 1.

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna. Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 1 Agata Boratyńska WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 Agata Boratyńska Wykłady ze statystyki matematycznej 2 Literatura W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Estymacja współczynnika dopasowania w klasycznym modelu ryzyka

Estymacja współczynnika dopasowania w klasycznym modelu ryzyka Ogólopolska Koferecja Naukowa Zagadieia Aktuariale Teoria i praktyka Warszawa, 9- czerwca 008 Estymacja współczyika dopasowaia w klasyczym modelu ryzyka Aa Nikodem Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu Klasyczy

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Słowniczek Hipoteza statystyczna Hipoteza parametryczna Hipoteza nieparametryczna Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna Błąd pierwszego rodzaju

Słowniczek Hipoteza statystyczna Hipoteza parametryczna Hipoteza nieparametryczna Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna Błąd pierwszego rodzaju Słowiczek Hipoteza statystycza jakiekolwiek przypuszczeie dotyczące rozkładu populacji geeralej Hipoteza parametrycza hipoteza statystycza precyzująca wartość parametru w rozkładzie populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Część II Estymacja 41

Część II Estymacja 41 Część II Estymacja 41 Rozdział 3 Metody estymacji W statystyce matematycznej zakładamy, że rozkład prawdopodobieństwa opisujący doświadczenie należy do rodziny {P θ : θ Θ}, ale nie znamy parametru θ.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - Seria 1

Statystyka matematyczna - Seria 1 Statystyka matematyczna - Seria. Niech Z oznacza zmienną losową o rozkładzie standardowym normalnym. Korzystając z tablic znaleźć (a) P (0 Z 2.7) (d) P (Z.37) (b) P ( Z 2.5) (e) P ( 2.5 Z 0) (c) P (Z.75)

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Zestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g.

Zestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g. Zadaia przykładowe z rozwiązaiami Zadaie Dokoao pomiaru masy ciała 8 szczurów laboratoryjych. Uzyskao astępujące wyiki w gramach: 70, 80, 60, 90, 0, 00, 85, 95. Wyzaczyć przeciętą masę ciała wśród zbadaych

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków.

Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków. Notatki do wykªadu Rachuek prawdopodobie«stwa dla iformatyków. Marci Milewski Wrocªaw, 4 lutego 2009 Spis tre±ci 1 Prawdopodobie«stwo 2 1.1 Ozaczeia i poj cia...........................................

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1. Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka LITERATURA Bowers N. i in. (1986 lub 1997) Actuarial mathematics, Hossak J.B., Pollard J.H. (1983 lub 1990), Introductory

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo