0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK"

Transkrypt

1 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ) Niech X N(0, 1) oraz Y = X 2. Pokazać, że Y χ 2 (1). Wskazówka: Gęstość jest pochodą dystrybuaty, a więc f(y) = F (y) y = P (Y y) y Niech X 1,..., X 5 oraz Y 1,..., Y 6 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(6, 5 2 ) oraz N(7, 6 2 ). Obliczyć P ( Ȳ X < 0 ) Z rozkładu ormalego N(µ, 12 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P (9, 84 < S 2 6 < 19, 92) Zmiee losowe X, Y, Z są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (4). Obliczyć prawdopodobieństwo P (X 2 + (Y 1) 2 + Z < 14, 45) Z populacji o rozkładzie ormalym N(0, σ 2 ) wylosowao 26-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że stosuek średiej z próby do odchyleia stadardowego z próby ie przekroczy 0, 26? Zmiee X, Y, Z, W są iezależe, przy czym X N(0, 1), Y N(1, 1), Z χ 2 (6), W χ 2 (10). Obliczyć prawdopodobieństwa: a) P (X 2 + (Y 1) 2 + W < 21), b) P ( X + Y < 1 + 0, W + Z ), c) P ( Y < 1 + 1, 133 X 2 + Z ) Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu ormalego N( 2, 3 2 ). Obliczyć P ({ X 0, 36} {S 2 15, 507}) Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 20 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(2, 1 2 ) oraz N(1, 2 2 ). Niech Z i = X i Y i dla i = 1,...,. Obliczyć P ( { Z > 1, 825} {S 2 > 0, 432} ), gdzie S 2 = i=1 (Z i Z) 2.

2 Z populacji o rozkładzie ormalym N(µ, σ 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć wartość σ 2, jeżeli wiadomo, że P ( S 11 > 54, 12 ) = 0, 05, gdzie S 11 2 = i=1(x i X) Z populacji o rozkładzie ormalym N(40, 2 2 ) wylosowao próbę prostą o liczości = 11. Obliczyć P (S 2 20 < 5) P (Ŝ2 20 < 5) Ruletka to gra hazardowa o prostych regułach, które powodują, że wygrywa się żeto z prawdopodobieństwem 18 a przegrywa z prawdopodobieństwem 20. Gracz zay jako Pechowiec gra 361 razy. Niech X 38 k będzie wyikiem k-tej gry, atomiast S = 361 k=1 X k. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Pechowiec ie straci po rozegraiu 361 gier (obliczyć P (S > 0)) Niech X 1,..., X 400 będzie prostą próbą losową z rozkładu o mediaie m, czyli P (X i < m) = 1 2. Oblicz P (X 220:400 m) % kierowców ie przekracza dozwoloej prędkości. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzeia, że w wylosowaej próbie prostej 900 zatrzymaych przez policję kierowców otrzymamy frakcję ie przekraczających dozwoloej prędkości spełiającą ierówość 0, 10 < ˆp < 0, 12? % kadydatów do sejmu czyta prasę codzieą. Spośród wszystkich kadydatów losujemy 20-elemetową próbę prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w próbie zajdzie się co ajwyżej 5% kadydatów czytających codzieą prasę Niech X 1,..., X 20 oraz Y 1,..., Y 32 będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(8, σ 2 ) oraz N(10, σ 2 ). Obliczyć prawdopodobieństwo P (S 1 < 3, 91S 2 ) Z rozkładu ormalego N(2, σ 2 ) wylosowao 6-elemetową próbę prostą. Zaleźć prawdopodobieństwo P ( X 2 < 0, 6 ) S Niech X N(µ, σ 2 ). Korzystając ze zaych własości rozkładu χ 2 podać wartość czwartego mometu cetralego m 4 = E(X µ) 4 oraz wariacji D 2 (S 2 ) i D 2 ( S 2 ) Niech X, Y, Z będą iezależymi zmieymi losowymi o stadardowym rozkładzie ormalym N(0, 1). Zaleźć taką wartość parametru a, dla której P ( X X a ) = 0, Y 2 +Z Niech X Γ(a, b). Pokazać, że EX = a b, oraz D2 X = a b 2. 38

3 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Niech X Γ(a, b 1 ), Y Γ(a, b 2 ), oraz X, Y iezależe. Niech Z := X+Y. Pokazać, że Z Γ(a, b 1 + b 2 ) Niech X 1,..., X,... będą iid z rozkładu wykładiczego z parametrem λ. Iterpretujemy je jako czasy oczekiwaia a koleje sukcesy. Zaleźć rozkład zmieej losowej Y, ozaczającej ilość sukcesów do chwili t Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, + 1). Wyzacz EX k: oraz D 2 X k: Niech X 1,..., X 9 będzie prostą próbą losową z rozkładu U(0, 2). Wyzacz E(X 8:9 X 3:9 ) Wyzacz EX k:, jeśli X 1,..., X są zmieymi losowymi iid z rozkładu a) U( θ, θ), b) U(θ, 2θ), c) U(θ, θ + 1), c) U(1, 1 + θ) Rozwiązać problem postawioy w przykładzie?? według podaego tam plau Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x. Podać fukcję gęstości oraz wartość oczekiwaą zmieej losowej T = X : Odpowiedzi gdzie ES 2 = 1 σ2 oraz D 2 ( 1 Xi 2 ) = 1 i=1 (a 4 a 2 2), σ 2 = D 2 X, a 2 = EX 2, a 4 = EX F (y) = P (Y y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = 2Φ( y) 1,

4 4 gdzie Φ( ) jest dystrybuatą rozkładu N(0, 1). Wobec tego , , , , 9. f(y) = F (y) = 2Φ( 1 y) 2 y = 1 e y 2. 2πy a) 0, 95 b) 0, 995 c) 0, , , , m 4 = 3σ 4, D 2 (S 2 ) = 2( 1) σ 4, 2 D 2 ( S 2 ) = 2σ , Korzystając z tego, że X X Γ(λ, ), zauważmy, że Oraz P (Y ) = P (X X t) = F Γ(λ,) (t). P (Y = 1) = P (Y 1) P (Y ) = F Γ(λ, 1) (t) F Γ(λ,) (t). Całkując przez części otrzymujemy F Γ(λ,) (t) = t 0 1 Γ() λ x 1 e λx dx = λ 1 ( 1)! t 1 e λt + t = (λt) 1 ( 1)! e λt + F Γ(λ, 1) (t). 0 1 Γ( 1) λ 1 x 2 e λx dx

5 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 5 Podstawiając do poprzediego rówaia otrzymujemy P (Y = 1) = (λt) 1 ( 1)! e λt, a więc Y jest z rozkładu Poissoa z parametrem λt EX k: = k, D 2 X k: = k( k+1) a) 2k 1 θ, b) θ + k k θ, c) θ +, d) 1 + k θ f : (x) = px p 1 dla x (0, 1), EX : = p p+1

6 6 0.2 WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW Zadaia Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstosci f(x) = x x2 e 2p p dla x > 0. jest ieobciążoym estymato- a) Sprawdzić, czy statystyka T = 1 i=1 X 2 2 i rem parametru p. b) Sprawdzić, czy statystyka T jest zgodym estymatorem parametru p. c) Sprawdzić, czy statystyka T jest efektywym estymatorem parametru p. Wskazówka: EX 2 = 2p, EX 4 = 8p Populacja ma rozkład zero-jedykowy z iezaym parametrem p (frakcja elemetów wyróżioych w populacji). Pokazać, że wskaźik struktury ˆp = k z próby prostej, gdzie k jest liczbą elemetów wyróżioych w próbie, jest ieobciążoym, zgodym i efektywym estymatorem parametru p Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Poissoa o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = λx x! e λ dla x = 0, 1, 2,..., gdzie λ > 0. Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = c i=1 ix i jest ieobciążoym estymatorem parametru λ? Czy jest to estymator zgody? Podać efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? Wskazówka: EX = λ, D 2 X = λ, i=1 i 2 = 1 ( + 1)(2 + 1) Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu a) geometryczego o fukcji prawdopodobieństwa p θ (x) = θ(1 θ) x, x = 0, 1,... b) Weibulla o fukcji gęstości f θ (x) = 3θx 2 e θx3 1 (0, ) (x), c) ormalego N(µ, σ 2 ), θ = (µ, σ) d) Pareto o fukcji gęstości f θ (x) = θx θ 1 1 (1, ) (x),

7 0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 7 e) jedostajego a przedziale (θ 1 2, θ ) o fukcji gęstości 1 (θ 1 2,θ+ 1 2 ) (x). Zaleźć statystykę dostateczą dla parametru θ Do klubu studeckiego wchodzą studeci dwóch różych uczeli wyższych. Udział studetów wchodzących do klubu pochodzących z pierwszej uczeli jest p, gdzie 0 < p < 1), z drugiej 1 p. Rozkład wytrzymałości ich głów jest dla pierwszej uczeli N(µ 1, σ 2 1), a dla drugiej N(µ 2, σ 2 2), gdzie (µ 1, µ 2, σ 2 1, σ 2 2) są zae, przy czym µ 1 µ 2. Na podstawie -elemetowej próby prostej pobraej z klubu skostruowao estymator udziału p studetów pochodzących z pierwszej uczeli postaci ˆp = X µ 2 µ 1 µ 2. Czy jest to estymator ieobciążoy. Czy jest zgody? Sprawdzić, czy średia z próby jest ajefektywiejszym estymatorem parametru θ, gdzie θ > 0 w rozkładzie o fukcji prawdopodobieństwa p(x) = x = 0, 1,... Wskazówka: EX = θ, EX 2 = θ(1 + 2θ). θx, (1+θ) x Zapropoować estymator ieobciążoy parametru µ a podstawie -elemetowej próby prostej z populacji o rozkładzie N(µ, σ 2 ) o zaym σ. Wykorzystując ierówość Rao-Cramera sprawdzić, czy jest to estymator efektywy. Czy jest to estymator zgody? Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu ormalego N(µ, σ 2 ). Pokazać, że estymator S 2 jest ieobciążoym i zgodym estymatorem parametru σ 2. Obliczyć efektywość tego estymatora. Czy jest to estymator asymptotyczie efektywy? Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o skończoej wariacji σ 2. Wykazać, że o ile tylko X ie jest skocetrowae z prawdopodobieństwem 1 w EX, to estymator S = S 2 jest estymatorem obciążoym parametru σ Niech X 1,..., X oraz Y 1,... Y będą iezależymi próbami prostymi z rozkładów odpowiedio N(µ, 1 2 ), N(µ, 2 2 ). Dobrać tak parametry a i b, aby estymator ˆµ = ax 1 + by 2 był ieobciążoym estymatorem parametru µ o miimalej wariacji Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tych samych średich EX i = µ, ale iekoieczie tych samych wariacjach. Niech D 2 X i = σ 2 i i załóżmy, że σ 2 i są zae. Rozważmy estymator parametru µ postaci ˆµ = i=1 w i X i.

8 8 a) Dobrać w i tak, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym. b) Dobrać tak w i, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ 1, θ 2 ). a) Obliczyć EX 1:2 oraz EX 2:2. b) Podać realizację zmieych X 1:6 oraz X 4:6, jeżeli 6-elemetowa próba prosta dała wyik (4, 7, 9, 5, 4, 8) Niech X 1, X 2, X 3 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (0, θ). a) Podać obciążeie estymatora ˆθ 1 = X 2:3 parametru θ 2 oraz estymatora ˆθ 2 = X 3:3 parametru θ. b) Udowodić, że estymatory ˆθ 1 = 2X 2:3 oraz ˆθ 2 = 4 3 X 3:3 są ieobciążoymi estymatorami parametru θ. c) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest efektywiejszy? d) Który z dwóch estymatorów ˆθ 1, czy ˆθ 2 jest oparty a statystyce dostateczej dla θ? e) Wybierając estymator efektywiejszy, oszacować parametr θ a podstawie astępującej realizacji próby x = (0, 3; 0, 8; 0, 1) Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (θ, θ + 1). a) Podać fukcję gęstości zmieej losowej X 1:. b) Pokazać, że X 1: jest asymptotyczie ieobciążoym estymatorem parametru θ. c) Dla jakiej wartości parametru c estymator T = X 1: +c jest ieobciążoym estymatorem parametru θ Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o fukcji gęstości px p 1 dla 0 < x < 1, f p (x) = 0 dla pozostaych x.

9 0.2. WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW 9 a) Dla jakiej wartości parametru c statystyka T = cx 1: jest ieobciążoym estymatorem parametru p? b) Czy jest to estymator zgody? c) Policzyć efektywość tego estymatora. Odpowiedzi a) ET = p, czyli jest to estymator ieobciążoy b) lim D 2 T = p 2 lim = 0, czyli a podstawie twierdzeia?? jest to estymator zgody c) Prawa stroa ierówości Rao-Cramera wyosi D 2ˆθ = p2 i jest rówa wariacji tego estymatora, czyli T jest estymatorem efektywym E ˆp = E 1 i=1 X i = p, lim D 2ˆp p(1 p) = lim = 0 oraz E ( ) lp(x;p) 2 p = E(X p) 2 p 2 (1 p) 2 = 1 p(1 p), skąd prawa stroa w ierówości Rao-Cramera wyosi 1 p D2ˆθ = i jest rówa wariacji ˆp c = 2, lim 2(2 + 1) (+1) D2 T = lim = 0, czyli jest to estymator 3( + 1) zgody przy wyzaczoej wartości c, e(t ) = asymptotyczie efektywy. 3(+1) 2(2+1), ie jest to estymator a) T = ( i=1 X i, i=1 X 3 i ) b) T = i=1 X 3 i c) T = ( X, i=1 X 2 i ) d) i=1 X i e) T = (X 1:, X : ) E ˆp = p oraz lim D 2ˆp p 2 σ1 2 + (1 p) 2 σ2 2 = lim, czyli jest to estymator (µ 1 µ 2 ) 2 zgody Estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji jest X. lim D 2 X = σ 2 lim = 0, czyli jest to estymator zgody. ( ) ( 1) S Korzystając ze zaych własości rozkładu chi-kwadrat mamy E = σ 2 1, skąd E S 2 = σ 2. Aalogiczie lim D 2 S 2 = lim, czyli jest to estymator 1 zgody; e( S 2 ) = 1, jest asymptotyczie efektywy Gdyby E S = σ, to mielibyśmy D 2 S = E S 2 (E S) 2 = σ 2 σ 2 = 0, czyli doszliśmy do sprzecości. 2σ a = , b = a) w i takie, że i=1 w i = 1 b) w i = 1 σ 2 1(1/σ 2 i + +1/σ2 )

10 METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW Zadaia Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Poissoa z parametrem λ o fukcji prawdopodobieństwa p(x; λ) = e ENW dla tego parametru. Podać statystykę dostateczą. λ λx x!. Zaleźć EMM oraz Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu dwumiaowego o parametrach m oraz θ. Czyli fukcja prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać p(x; m, θ) = Wyzaczyć ENW dla parametru θ. ( ) m θ x (1 θ) m x, x dla x = 0, 1,..., m Z populacji, w której cecha X ma rozkład prawdopodobieństwa o fukcji gęstości (a + 1)x a dla x (0, 1), f(x; a) = 0 dla x / (0, 1), gdzie a ( 1, ), wylosowao -elemetową próbę prostą. Zaleźć estymator EMM oraz ENW dla parametru a Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu o fukcji prawdopodobieństwa p(x; θ) = θ(1 θ) x 1, dla x = 1, 2,... oraz 0 < θ < 1. Zaleźć ENW i EMM dla θ Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu logarytmiczoormalego o fukcji gęstości f(x; m, σ 2 ) = W rozkładzie logarytmiczo-ormalym 1 (l x m)2 e 2σ 2 dla x > 0. 2πσx EX = e m+ 1 2 σ2, D 2 X = e 2m+σ2 ( e σ2 1 ). Zaleźć estymatory MM i MNW dla parametrów m i σ 2. Zaleźć ENW dla σ 2. Podać statystykę dostateczą dla σ Populacja geerala ma rozkład Pareto o fukcji gęstości postaci f(x; α) = αe α x (α+1), dla x e, oraz α > 0. Zaleźć ENW parametru α. Podać wartość oszacowaia, jeśli = 5, a próba dała wyik G = x 1 x = 20,

11 0.3. METODY KONSTRUKCJI ESTYMATORÓW Niech X 1,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu jedostajego U(0, θ). Wyzaczyć ENW dla parametru θ Podać estymator ajwiększej wiarogodości rozstępu b a w rozkładzie jedostajym U(a, b) o fukcji gęstości 1 gdy a x b, b a f(x; a, b) = 0 wpp Niech X 1,..., X 10 będzie prostą próbą losową z rozkładu wykładiczego z parametrem λ o fukcji gęstości f(x; λ) = λe λx, dla x > 0, oraz iezależą od iej, prostą próbę losową Y 1,..., Y 10 z rozkładu wykładiczego z parametrem 2λ. Na podstawie X 1,..., X 10, Y 1,..., Y 10 wyzaczyć ENW parametru λ Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Laplace a Lapl(µ, λ), o fukcji gęstości f µ,λ (x) = λ 2 e λ x µ. Wyzacz ENW dla parametrów µ i λ Niech X 1, X 2,..., X będzie prostą próbą losową z przesuiętego rozkładu wykładiczego, czyli rozkładu o fukcji gęstości f(x; λ, θ) = λe λ(x+θ), Wyzacz ENW dla parametrów λ i θ. x θ Niezwykle ważą rzeczą jest, aby wiedzieć, ile jest ryb w jeziorze. Aby je w przybliżeiu policzyć, stosuje się astępującą procedurę: wyławia się m ryb, ozacza je, a astępie wpuszcza z powrotem do wody i czeka odpowiedio długo, aby wymieszały się z pozostałymi. Następie łowi się ryb. Niech Z będzie zmieą losową będącą ilością ozakowaych ryb wśród złapaych. Zbuduj odpowiedi model statystyczy i wyzacz estymator ajwiększej wiarogodości parametru R, czyli liczby wszystkich ryb w jeziorze. Odpowiedzi ˆλNW = X, ˆλNW = X, statystyka dostatecza to T = i=1 X i lub T = X ˆθNW 1 mi=1 X m i â MM = 2 X 1 1 X ; â NW = 1. i=1 l X i ˆθNW = 1 X ; EX = 1 więc ˆθMM = 1 X. ( θ) X ˆm MM = l ; ˆσ MM 2 = l ( S ) ; X 2 S 2 + X 2 ˆm NW = 1 i=1 l X i = l G; ˆσ NW 2 = 1 ( i=1 l Xi 1 ) j=1 2 l X j = 1 i=1 (l X i l G) 2, gdzie G = X 1 X 2 X, jest średią geometryczą.

12 12 Więc ENW ( σ 2 1 ( ) = i=1 l Xi 1 ) j=1 2; l x j Statystyka dostatecza dla σ, to T = i=1 l X i ˆα NW = = 1. i=1 l x i l G 1 Więc dla = 5 i G = 20, 08554, mamy ˆα NW = ˆθNW = X : ENW (b a) = X : X 1: ˆλNW = 10 X+20Ȳ ˆµ NW = med, czyli mediaa próbkowa; ˆλ NW =. i=1 x i med ˆθNW = X 1: ; ˆλNW = X 1: + i=1 x i ˆRNW = [ m k ] + 1.

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 1 Agata Boratyńska WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 Agata Boratyńska Wykłady ze statystyki matematycznej 2 Literatura W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków.

Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków. Notatki do wykªadu Rachuek prawdopodobie«stwa dla iformatyków. Marci Milewski Wrocªaw, 4 lutego 2009 Spis tre±ci 1 Prawdopodobie«stwo 2 1.1 Ozaczeia i poj cia...........................................

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka LITERATURA Bowers N. i in. (1986 lub 1997) Actuarial mathematics, Hossak J.B., Pollard J.H. (1983 lub 1990), Introductory

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowaie daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Prawo wielkich liczb. Cetrale twierdzeie graicze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Jeśli S

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja ryzyka strukturalnego, podejście Vapnika

Minimalizacja ryzyka strukturalnego, podejście Vapnika Miimalizacja ryzyka strukturalego, podejście Vapika Wykład IV Wisła, grudzień 2009 Miimalizacja ryzyka strukturalego Problem klasyfikacji dla dwóch klas, g = 2. L(f (x), y) = I {f (x) y}. Załóżmy, że daa

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A ĆWICZENIE Symulacja doświadczeń losowych Statystya opisowa Estymacja parametrycza i ieparametrycza T E O R I A Opracowała: Katarzya Stąpor Opis programu MS EXCEL. Iformacje ogóle Program Microsoft Excel

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka Biomatematyka W 200-elementowej próbie losowej z diploidalnej populacji wystąpiło 89 osobników genotypu AA, 57 osobników genotypu Aa oraz 54 osobników genotypu aa. Na podstawie tych danych (a) dokonaj

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Metody oceny ryzyka operacyjnego

Metody oceny ryzyka operacyjnego Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa

Bardziej szczegółowo

Statystyka stosowana MAP 1079

Statystyka stosowana MAP 1079 MAP 1079 Lista 1a 1 Statystyka stosowana MAP 1079 Lista 1a (powtórka z rachunku prawdopodobieństwa) 1. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 2, 3, 5, 8 z prawdopodobieństwami odpowiednio równymi 2/10, 4/10,

Bardziej szczegółowo

Metody analizy długozasięgowej

Metody analizy długozasięgowej Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka Biomatematyka Załóżmy, że częstości genotypów AA, Aa i aa w całej populacji wynoszą p 2, 2pq i q 2. Wiadomo, że czynnik selekcyjny sprawia, że osobniki o genotypie aa nie rozmnażają się. 1. Wyznacz częstości

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Wpływ stałej (odejmujemy 20) Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd.

Wykład 2. Wpływ stałej (odejmujemy 20) Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd. Wykład 2 Wpływ przekształceń Co się stanie ze średnią i odchyleniem standardowym gdy zmienimy jednostki? stopnie Celsiusza stopnie Fahrenheita dolary 1,000 dolarów wartość faktyczna odległość od minimum

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Teoria Kolejek. dr inż. Piotr Gajowniczek. Instutut Telekomunikacji Politechnika Warszawska

Teoria Kolejek. dr inż. Piotr Gajowniczek. Instutut Telekomunikacji Politechnika Warszawska Teoria Kolejek dr iż. Piotr Gajowiczek Istutut Telekomuikacji Politechika Warszawska WPROWADZENIE Wprowadzeie Systemy masowej obsługi obsługa dużej ilości klietów przez system o ograiczoych zasobach Modele

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079

STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo