CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

Transkrypt

1 CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy F () = f(). Skoro fukcje mające tę samą pochodą różią się o stałą, to każda ia fukcja pierwota dla f() musi mieć postać C + F (): ieozaczoośc całki zaczy, że jest oa wyzaczoa z dokładością do stałej. Zalezieie fukcji pierwotej czyli całki ieozaczoej to zagadieie odwrote do różiczkowaia, a więc pomocymi będą wzory ustaloe przy okazji algorytmów różiczkowaia. Większość wzorów a całkę ieozaczoą sprawdzamy przez różiczkowaie. Wypiszemy tożsamości wzory całkowe które są prawdziwe, o ile wszystkie całki w ich występujące mają ses. () Af() + Bg() = A f() + B g(). () k + = l ( + + k) + C: k + = + + k ( + + k ), k + = + + k + k + + k. (3) = arcsi + C = C arccos. (4) cos + si = si cos + C. (5) + + C, gdy ; = + l + C, gdy =. (6) e + a = e + a l a + C.

2 (7) tg + C = + tg = cos. (8) ctg + C = + ctg = si. (9) tg = - l cos + C; dla π < < π. (0) ctg = l si + C; dla 0 < < π. () = arctg + C. + () l = l + C : l = l +. (3) l = ( l l + ) + C : l = l l + + ( l ). (4) a + b = a l a + b + C. (5) ( + ) = 3 + ( + ) ( + ) : ( + ) = ( ( + ) ( )( + ) + 3 ) : ( + ) ( + ) Gdy położymy I = = + ( ) + ( + )( 3). (5 ) I =, to dostaiemy wzór ( + ) 3 + ( )( + ) I.

3 (6) a = a arcsi a + a + C : a = a a + a a + a, a = a a + a a. (7) a = a arcsi a a + C : a = a a a a a, a = a a a + a, = a (a ) +. (8) (9) arcsi = arcsi + + C: arcsi = arcsi + si = si cos +. si : si = [( ) si cos si ] + si, si = cos + si +, si = ( si ) + si +. Gdy położymy si = J, to dostaiemy wzór (9 ) J = cos si + J. 3

4 (0) cos = cos si + cos : cos = [( ) cos ( ) si + cos ] + cos, cos = ( ) si + cos +, cos = ( cos ) + cos +. Gdy położymy cos = K, to dostaiemy wzór (0 ) K = si cos + K. () tg = tg tg : Gdy położymy tg = ( ) tg ( + tg ) tg. tg = L, to dostaiemy wzór ( ) L = tg L. () ctg = ctg ctg : Gdy położymy ctg = ( ) ctg ( ctg ) ctg. ctg = M, to dostaiemy wzór ( ) M = ctg M. Całkowaie przez podstawiaie Gdy = g(t), to zachodzi f() = f(g(t))g (t) dt. 4

5 Przykład. Niech (u, v) P (u, v) ozacza fukcję dwu zmieych. Wtedy P (si, cos ) = P ( t + t, ) t + t dt + t. Uzasadieie. Kładziemy t = tg. Mamy = arctg t. Skoro to Także = ( + tg ) cos, cos = + cos = + tg = + t = t + t. si = si cos = ( cos ) ctg = ( + t ) t = t + t. Różiczkując stroami rówość = arctg t, otrzymujemy = dt. Trzy + t kolejo wyprowadzoe powyżej rówości wstawioe do wzoru a całkowaie przez części kończą to uzasadieie. Całkowaie prze części f()g () = f()g() f ()g(). Wzór te moża sprawdzić przez rożiczkowaie. Czasami korzystiej go zapisać tak: u dv = uv v du; lub tak u()v () = u()v() v()u (). Gdy położymy v() =, v () =, u() = log p oraz u () = to liczymy u() v () = v() u() - v() u () : l p log p = log p - l p = = log p l p + C. 5

6 Gdy położymy si = u, cos = du, e = v, e = dv oraz t = cos, si = dt, to możemy użyć wzór a całkowaie przez części dwukrotie, a więc liczymy tak e si = e si e cos = e si e cos e si. Stąd mamy e si cos si = e + C. Całkowaie fukcji wymierych: gdy potrzebujemy zgadąć całkę ieozaczoą P () Q(), gdzie Q() oraz P () to wielomiay. Przypomijmy, że gdy Q() oraz P () są wielomiaami, to fukcję P () Q() azywamy wymierą. Dowolą fucję wymierą możemy przedstawić w postaci sumy wielomiau oraz fukcji wymierej, dla której stopień liczika jest miejszy iż stopień miaowika: dzieląc wielomia z liczika przez wielomia z miaowika. Skoro umiemy zgadywać całki iezaczoe z wielomiaów, to pozostaje auczyć się zdagywaia całek ieozaczoych z fukcji wymierych, ale z liczikiem w stopiu miejszym iż stopień miaowika. Wyrażeia A ( P ) k lub B + C [( Q) + R ] k gdzie A, B, C, Q, P oraz R to liczby rzeczywiste, zaś k to liczba aturala azywamy ułamkami prostymi. Twierdzeie. Fukcja wymiera jest sumą wielomiau oraz ułamków prostych, których miaowiki są dzielikami wielomiau z miaowika tej fukcji. Uwaga. Aby rozłożyć fukcję wymierą a sumę wielomiau oraz ułamków prostych korzystamy z tego, że dowoly wielomia o współczyikach rzeczywistych jest iloczyę wielomiaów stopia co ajwyżej drugiego. Wiadomo, że gdy w miamowiku fukcji wymierej występuje wielomia stopia większego iż 4, to ie ma algorytmu, który pozwalałby taki rozkład zgadąć! Całka ieozaczoa z fukcji wymierej jest zawsze postaci W () + A l U() + B arctg V (), gdzie W () to wielomia, U() to fukcja wymiera, zaś V () to fukcja liiowa. 6

7 = + ( ) ( 3) : taką rówość sprawdzay dzieląc wielomia z liczka prze wielomia z miaowika. Skoro miaowik ma dzieliki ( ), ( ) oraz ( 3), to ( ) ( 3) = A ( ) + B + C 3 = (B + C) + (A 5B 4C) 3A + 6B + 4C. ( ) ( 3) Licziki w powyższym wzorze są rówe, a więc dostajemy układ rówań A - 5B - 4C =, B + C = 0, -3A + 6B + 4C = -. Gdy go rozwiążemy, to A =, B = oraz C =. Zauważmy, że rozwiązywaie tego układu moża skrócić gdy w rówość = A( 3) + B( )( 3) + C( ) podstawimy = 3, to wyliczymi C =, zaś dla = dostaiemy A =. W rezultacie dostajemy = + ( ) ( 3) = = + ( ) + + C 3 = = + l + l 3 + C. ( ) Podstawieie Eulera: Gdy (u, v) R(u, v) jest fukcją wymierą oraz A > 0, to zgadując całkę ieozaczoą R( A + B + C, ) kładziemy A + B + C, ) = A + t. Stąd wyliczamy = t C B t A oraz = tb t A AC (B t A) dt. 7

8 W rezultacie zgadywaie sprowadzamy do całki z fukcji wymierej: R( ( A + B + C, ) = R t ) C tb t A + t, B t A AC A (B t dt. A) Gdyby C > 0, to możemy położyć A + B + C, ) = t + C. Skąd wyliczamy = t C B oraz = t C Bt + A C dt. A t (A t ) W rezultacie: R( A + B + C, ) = R ( t + C, t C B A t ) t C Bt + A C (A t ) dt. Gdybyśmy w pierwiastku trójmiau A + B + C zastąpili wielomiaem wyższego stopia, to bez specjalych dodatkowych założeń zgadywaie takich całek ieozaczoych jest iewykoale w obrębie fukcji elemetarych! Przykładowo ( )( k ). si To samo dotyczy całek, szeregów potęgowych mamy wzór =0 a = C + cos lub =0 a + +, e. Jedakże dla który pozwala zajdywać całki fukcji aalityczych (tj. przedstawialych w postaci szeregu potęgowego) z dowolą dokładiością. 8