Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania

Transkrypt

1 Przekzałcenie Laplace a i jego zaoowania

2 Funkcje pecjalne i dyrybucje Funkcja koku jednokowego (nazywana również funkcją Heaviide a) ( ) gdy > gdy < ( ) gdy gdy > < ( ) ( )

3 f a e > < e a ( ) f f ( ) A f ( ) f A ( ) ( 3) f + 3

4 f ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 f ( ) inπ + inπ( ) ( ) f in π ( ) ( ) ( ) in π

6 E K i() C u() E con Kondenaor nie był naładowany, czyli u() dla <. dla < u E E dla > du gdy i( ) C d gdy? Ładunek zgromadzony na kondenaorze: dla < CE dla > Cu( ) q Skąd ię wziął???

7 W obwodzie rzeczywiym K r i() u( ) E C u() E u E e rc E r i( ) d E i C u d r rc e rc q ( ) i ( τ ) dτ CE e ( ) CE

8 u E e rc d E i C u d r rc e Uwórzmy ciąg { r }, aki, że lim rn n n Orzymamy wówcza ciąg napięć un E e n n E i ciąg prądów du n E rnc in C e ( ) n d r? r C Przyjmijmy E oraz uwórzmy ciąg, C Wówcza n n r n n n ( e n ) ( ) u du in n d n n e

9 n u( ) i( ) n u( ) i( ) i3( ) n 3 u3( ) i4( ) u4( ) n 4 n ( ) δ( )

10 Obliczmy całkę prądu i ( ) ne n ( ) n n n i d ne d nie zależy od n (!!!) n ne d Powinno więc być lim i d δ d n n n i du d n W granicy, gdy n δ? d d ( ) ( )

11 ( ) δ dla ( ) δ d Elemenarna definicja dyrybucji Diraca lim δ d δ d ε ε > ε lim δ d δ d ε ε > + ε + + ( ) δ d gdy δ d < gdy > ( τ ) τ δ( τ ) dτ ( ) d d δ

12 Właność próbkująca i filrująca dyrybucji Diraca Jeżeli f() je ciągła w punkcie, o δ ( ) δ f f δ d ( ) δ d ( ) f f f właność próbkująca właność filrująca δ() ( co) δ() δ() Ogólniej, jeżeli f() je ciągła w punkcie, o δ( ) δ( ) f f δ( ) d δ( ) d f f f

13 Różniczkowanie funkcji nieciągłych f ( ) co f d f ( ) d co d ( ) + co ( ) d d d in + co δ δ in + f ( ) δ( )

14 f ( ) 3 f ( ) 3 4 f ( ) δ( ) 3 4 ( ) 3δ 3 f ( ) 4δ( ) ( ) δ ( ) δ 4

15 Z właności filrującej: Obliczanie całek dyrybucyjnych δ( ) d f f w zczególności, dla δ d ( ) f f Pod warunkiem, że funkcja f () je ciągła w punkcie b a δ f d f gdy a < < b gdy < a lub > b Całka nie je określona gdy a lub b

16 coδ d ln δ d ln co δ ( ) d + e + co δ ( ) d + e ( ) e δ d

17 E K i() C u() E con Kondenaor nie był naładowany, czyli u() dla <. u E CEδ ( ) i C du CE d δ ( τ ) dτ δ( τ ) dτ q i CE CE

18 Splo funkcji, y( ) x dowolne funkcje Sploem funkcji x i y nazywa ię funkcję z( ), określoną jako d d z x y x τ y τ τ x τ y τ τ y x Właności plou: przemienność: łączność: rozdzielność względem dodawania: mnożenie plou przez ałą : x( ) y( ) y( ) x( ) x y w x y w + + x x y x y x y a x y ax y x ay

19 x i y dla < Jeżeli x( ) y( ) < y ( τ ) x ( τ ) x ( τ ) y ( τ ) τ τ y( ) x x τ y τ d τ, <,

20 Przykład e in ( ) x y τ ( ) z x y e inτ τ τ dτ ( τ ) < ( τ ) ( τ ) > ( τ ) τ τ τ z( ) e in τ d τ τ ( ) e ( co in ) ( ) τ + τ e ( co + in ) ( )

21 Splo funkcji i dyrybucji Diraca τ ( ) x ( ) ( τ ) x ( τ ) τ x ( τ ) x ( ) δ δ d ( ) x ( ) ( τ ) x ( τ ) τ x ( τ ) x ( ) τ δ δ d x x δ x τ δ τ dτ

22 Przekzałcenie Laplace a Rozważmy dowolną funkcję (dyrybucję). Tranformaą Laplace a nazywa ię naępujące przekzałcenie całkowe L { } f f e d F ( ) f ( ) f ( ) Gdzie σ + j ω je zepolonym paramerem przekzałcenia, nazywanym zepoloną pulacją. Obzar Γ na płazczyźnie zepolonej nazywa ię obzarem zbieżności ranformay Laplace a, jeżeli dla każdego Γ całka Laplace a je zbieżna. Tranformaa Laplace a inieje jeżeli obzar zbieżności je niepuy. Wymaga o, aby f była funkcją ypu wykładniczego, zn. M ρ > f < M ρ e

23 M ρ > f < M ρ e Warunek en oznacza, że warość bezwzględna funkcji f () nie może ronąć zybciej niż jakakolwiek funkcja wykładnicza Nie ą funkcjami ypu wykładniczego: g f e ( ) f Funkcje akie nie opiują żadnych przebiegów fizycznych f Wzykie funkcje, opiujące przebiegi fizyczne, ą funkcjami ypu wykładniczego, czyli inieją ich ranformay Laplace a

24 Przykłady możliwych obzarów zbieżności ranformay Laplace a funkcji ypu wykładniczego na płazczyźnie. odcięa zbieżności σ Im Im Re Re Γ Γ σ > σ Im Im Re Re Γ Γ σ < σ

25 Odwrone przekzałcenie Laplace a Wzór Riemanna-Mellina L c+j d πj { } F F e f ( ) c j Ze wzoru Riemanna-Mellina orzymuje ię funkcję przyczynową dla <. f Twierdzenie o jednoznaczności przekzałcenia Laplace a Jeżeli f i f dla < o L { } L { } f f f f

26 L f () oryginał F () ranformaa { } L f F F f Souje ię również oznaczenie F ( ) f { } Przykład. δ( ) f F δ e d ( ) δ Uwaga! + { } ( ) L ( ) δ e d δ

27 Przykład. a f e, a R a ( ) a F e e d e d ( a) ' δ u u v' e v e a a ( a) a e + δ e d a a Całka będzie zbieżna, gdy Re{ a} >. Wówcza a a czyli e a ( ) F

28 a f e, a R a { } + + ( a) + pod warunkiem, że ( ) a F e e d e d e, a a Re > a. Wnioek: Jeżeli f () je funkcją (nie zawiera kładników dyrybucyjnych), o jako dolną granicę całkowania można przyjąć zarówno jak i +.

29 Właności przekzałcenia Laplace a Soować będziemy oznaczenia, f F g G. Liniowość + + a f a g a F a G. Przeunięcie w dziedzinie ξ e f F ξ, ξ dowolna liczba (rzeczywia, zepolona, urojona) 3. Różniczkowanie (dyrybucyjne) oryginału d d f f F f ( )

30 4. Całkowanie (dyrybucyjne) oryginału f ( τ ) dτ F ( ) 5. Przeunięcie w dziedzinie ( ) ( ) f F e 6. Różniczkowanie ranformay f d d F ( )

31 7. Skalowanie f a F, a > a a 8. Splo w dziedzinie + ( τ ) ( τ ) d τ f g f g F G 9. Mnożenie funkcji w dziedzinie c+ j f ( ) g ( ) F ( ) G ( ) F G ( ) d πj πj λ λ λ c j

32 Tranformay elemenarnych funkcji e a n ( n ) δ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! + a n inω ω + ω ( ) coω + ω

33 Przykład. e e 3 ( ) e f 3 3 e e f 3 3 ( ) + 3 d d + 3 ( + 3 ) + L f ( ) F ( ) ( ) 3 e { } ( + 3) + 3 ( + 3) Inaczej ( ) ( ) 3 ( + ) + ( + 3) ( + 3)

34 Przykład. f ( ) 3( ) ( ) + 4( ) ( ) ( 4) ( 4) ( 4) f { } e + e e e L f ( ) F ( ) 3e + 4e + e 4

35 Przykład 3. in ( ω + θ ) f F coθ inω + inθ coω f F F ω F ( ) L{ f ( ) } F coθ + F inθ F + ω + ω ( ω θ + θ ) co in + ω

36 Tranformaa funkcji okreowej f f kt, k,,..., f dla < f ( ) F ( ) ft ( ) T FT ( ) f f T F F T ( ) ( ) F ( ) F e T T F f f f T T T F FT e ( ) T

37 Przykład f() 3 T T inπ + inπ( ) ( ) f T { T } L F f L f ( ) F ( + e ) π + π ( ) π( + e ) ( )( ) FT { } e + π e

38 R E K R C u() E con. Warunek począkowy u R R + R ( ) E C du + u ( ) E, > d R R { } { } u U, du U ( ) u ( ), { E} L L L d E C U ( ) u( ) + U ( ) R R E U E CR + Cu ( ) + R R R + R E C + C + R R

39 L U ( ) u { }? CR + R R + R R ( ) C + + R RC U E E R + R u E R R R + RC e

40 Obliczanie ranforma odwronych Niech L F ( ) M, L( ), M ( ) wielomiany, L( ) < M ( ) n Ponado n M k Wówcza F() można rozłożyć na ułamki proe gdzie F n k ck L k c F k k k Tranformaa odwrona f F c k { } e k n k Czyli pierwiaki mianownika (bieguny funkcji F()) ą jednokrone k

41 Przykład. F ( + )( + 3) c c c c F ( + )( + 3) c + F ( + ) c3 + 3 F 3 F 3 L { } ( e e ) 3 f F +

42 Przykład. F ( ) ( + + j3)( + j3) Można pozukiwać rozkładu na ułamki proe o poaci F c c c3 + + j3 + j3 + + j3 + j Obliczenia ą żmudne i meoda je mało efekywna. W przypadku, gdy bieguny ranformay ą zepolone będziemy pozukiwać rozkładu o poaci: F c k + k

43 F c k + k c + 4c + 3c + k + k ( ) ( ) Z porównania wpółczynników wielomianów liczników przy jednakowych poęgach orzymujemy naępujący układ równań: c k c k : + 3, : 4 + 9, : 3c 65, c k k 5 F 5 + ω a ω inω ( ) e inω ( ) ω ( a) 5 + a + coω ( ) e coω ( ) ω ( a) ω a ω F ( ) ( ) ( ) 5 e ( co3 in 3 ) f

44 L F ( ), L( ), M ( ) wielomiany, L( ) < M ( ) n M m m k k k αk, M M n α k α k kroność pierwiaka k Rozkład na ułamki proe ma eraz poać F m k kl α l kl ( α l) k l c ( ) k αk l d c k F αk l! d k αk k L c k kl kl l k e c l ( ) ( l )! ( ) m αk m αk ckl l k k ckl l f ( ) L { F ( ) } e ( ) e!! ( l ) k l k l ( l )

45 Przykład 3. F 3 ( + ) + ( + ) ( + ) c c c c c F αk l d ckl k F αk l! d ( α l) ( + ) 3 αk k k k, α 3, l,,3 k 3 l 3 c3 ( + ) F ( ) l c + F d 3 d +! d d l c + F d 3 d + 3! d d

46 F n n ( n )! ( ) ( ) e ( + ) 3 3 e + ( + ) f + + e

47 L F ( ), L( ), M ( ) wielomiany, L( ) M ( ) n M Ograniczymy ię do przypadku Wówcza L( ) L ( ) F ( ) k +, L M M < M k kδ ( ) L M n { } δ L f L F k ( ) + L M Przykład 4. F L + + f F + { } δ e

48 Przykład 5. F F L ( + ) ( + ) + ( + ) { } δ δ ( ) e f F + + Przykład 6. F F ( ) ( ) L f F + { } ( δ e in )

49 Niech k Φ i i e, i Φ F Wówcza L L { Φ i ( ) } ϕi ( ) ( ) Φ e i ϕ { i } i ( i ) ( i ) k, i L i M f ( ) L F ( ) Przykład 7. F i ( ) ( ) { } ϕ e + e i i i i e + e ( + 4) e L 4 ( ) ( ) ( ) { } ( e ) e ( ) + e f F

50 Prawa Kirchhoffa w poaci operaorowej I prawo Kirchhoffa W każdym węźle k K a i k k ( ) K zbiór gałęzi incydennych z wybranym węzłem a k L akik ( ) k K al i i I k K { }, L { } k k k k k K a I k k ( ) W każdym węźle obwodu algebraiczna uma ranforma prądów je równa

51 Schema obwodu Operaorowy chema zaępczy i ( ) i ( ) I ( ) I ( ) i3 ( ) I ( ) i ( ) + i ( ) i ( ) I ( ) I ( ) I ( )

52 II prawo Kirchhoffa W każdym oczku k L b u k k ( ) L zbiór gałęzi worzących wybrane oczko b k L bkuk ( ) k L bl u u U k L { }, L { } k k k k k L b U k k ( ) W każdym oczku w obwodzie algebraiczna uma ranforma napięć na gałęziach worzących o oczko je równa

53 Schema obwodu Operaorowy chema zaępczy u ( ) U ( ) u ( ) u 3 ( ) U ( ) U 3 ( ) u4 ( ) U 4 ( ) u ( ) + u ( ) u ( ) + u ( ) U ( ) U ( ) U ( ) U ( )

54 Prawo Ohma Rezyor Schema obwodu Operaorowy chema zaępczy i ( ) I ( ) u i u ( ) Ri Gu U I U ( ) RI GU L { u( ) } L Ri( ) { }

55 Indukor Schema obwodu Operaorowy chema zaępczy I ( ) L LiL ( ) i ( ) u u ( ) il L di d ( ) U ( ) U LI Li L I ( ) i L ( ) L { } { } u L L di d LL{ i( ) } Li ( ) L U ( ) + i L L U ( ) I ( )

56 Kondenaor Schema obwodu Operaorowy chema zaępczy uc ( ) i ( ) I ( ) CuC ( ) u ( ) du i ( ) C d U ( ) ( ) I CU Cu C I ( ) u C ( ) L { i ( )} { } L C du d CL{ u( ) } Cu ( ) C U ( ) u + C C I ( ) U ( )

57 Źródła auonomiczne Schema obwodu Operaorowy chema zaępczy e( ) E ( ) L e ( ) E { } iz ( ) I z ( ) z L { } I i z

58 Przykład. Sany nieualone w obwodach RLC Warunki począkowe: E 6 V con, R Ω, R Ω, L H, C F. u?? L i( ) E R i u E A, C V. R + R R + R

59 Konruujemy operaorowy chema zaępczy LiL ( ) u c C I ( ) E ( ) uc E ( ) + RI ( ) + LI ( ) LiL ( ) + I ( ) + C E u C LiL ( ) E + uc I, U ( ) I ( ) + L + R + C C

60 Po podawieniu danych liczbowych I U Tranformay odwrone ą odpowiednio równe ( + ) i e co in A, ( ) ( ) u 6 4e co V.

61 Przykład. R C I () R C I 3 () e() L R u() E() U () I () L R U() e(), V, R Ω, R Ω, C L H, F. u? + ( ) ( ) e E e + ( ) U E U U ( ) E I ( ) + + U R I I C R C I ( ) U ( ) L I 3 ( ) U ( ) R I + I + I 3

62 U ( ) E + U ( ) + U ( ) R + L R C E ( ) R + U e ( ) C L R R + C U e ( ) ( ) ( ) 3 ( ) u e co in ( ) + e in

63 Funkcje immiancji Dwójnik I U U I Y Z funkcja admiancji dwójnika funkcja impedancji dwójnika Z Y Y Z Funkcje impedancji i admiancji nozą wpólną nazwę funkcji immiancji dwójnika

64 Prawo Ohma w poaci operaorowej U Z I I Y U Rezyor RI ( ), U I GU G R Z Y R G

65 Indukor LI ( ) U L U ( ) I Z Y L L Kondenaor CU ( ) I C I ( ) U Y Z C C

66 Łączenie dwójników Połączenie zeregowe Z Z( ) Z ( ) Z n( ) n Z Z k k Połączenie równoległe Y( ) Y ( ) Y( ) Yn( ) n Y ( ) Y k k

67 Przykład. R 5Ω, L H. Z ( ) L + R + 5, Y ( ). Z L + R + 5 Przykład. R R Ω, C F. C Y ( ) C +, Z ( ). R + Y ( ) C + + R

68 Przykład 3. R R L C Ω, 4 4Ω, H, F. LCR + L + RR C + R + R + + C + CR + + R Z L + R Y + Z

69 Z Z Y Wymierne rzeczywie funkcje zmiennej zepolonej lub F F { } { } F ( ) Im Im Jeżeli dwójnik je zbudowany z elemenów RLC ą o funkcje rzeczywie dodanie { } F ( ) { } Re Re

70 Przykład E 3V con, R Ω, R Ω, 4 L H, C F. u ( )? Warunki począkowe i L u C

71 E U C + Z ( ) E R E Z ( ) + Z ( ) L + R + C + R ( + )( + 3) ( 3 + ) ( ) u 3e e V.

72 Równoważność źródeł Z() E() I z () Y() E Z I z ( ) Y Y I z ( ) Y E Z Z

73 Meoda napięć węzłowych ( ) ( ) ( ) Y U I n n n Y kk (), Y mm () uma admiancji gałęzi połączonych z węzłem k, (m) Y mk (), Y km () uma admiancji gałęzi łączących węzły k i m wzięa ze znakiem minu

74 I n () k I nk () Algebraiczna uma ranforma prądów źródłowych (wydajności prądowych źródeł prądowych) dopływających do węzła k, przy czym prądy dopływające bierzemy ze znakiem plu, a wypływające ze znakiem minu Jeżeli układ zbudowany je ylko z elemenów RLC, e, i z o Y Y, czyli Y Y km mk n n

75 Przykład α i( ) iz in A, R Ω, R Ω, L H, C F, α 5. u? Warunki począkowe: L { } I i z z + i L u C

76 Operaorowy chema zaępczy: I() I z () R L U n ( ) U n ( ) C α I ( ) R U() I ( ) z U n ( ) U n ( ) I z ( ) R L L U n + C U n I L + + R L α α U R n ( ) I U n R

77 + R L L U n( ) Iz( ) α U n( ) C + + R L R L + U n + U n( ( ) ( + ) U ( ) Un ( ) ( )( + 3)( + ) 3 ( + + ) u 5e 7e co 6in V. Obwód nie je BIBO abilny!!!