Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Transkrypt

1 Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w postaci: = f (x). Zmieą x we wzorze (l) azwam argumetem fukcji lub zmieą iezaleŝą, zmieą - zmieą zaleŝą. Zbiór X wartości argumetów fukcji f azwam dziedzią fukcji f. Fukcja. Ciągi ieskończoe. Ciągiem ieskończom jest fukcja, której dziedzią jest zbiór liczb aturalch. f(1), f(2), f(3),, f(), f() azwae jest -tm wrazem ciągu lub ogólm wrazem ciągu. {a } = a 1, a 2, a 3,,a, gdzie a = f(). Mówim, Ŝe ciąg {a } ma graicę L, co zapisujem w postaci lim = L, a jeśli dla kaŝdej liczb rzeczwistej ε > 0 istieje dodatia liczba aturala N taka, Ŝe dla kaŝdego > N zachodzi L < ε a 1

2 Jeśli lim = L oraz lim = M, to: a b - lim ( a ± b ) = L ± M, - lim a b = LM, - a L lim =, jeśli M 0. b M c Jeśli lim a = 0 to, dla dowolej stałej c, lim = ±. a c Jeśli lim a = ±, to lim = 0 a a 1 lim = e 1 a, prz czm lim a = 0 i a 0. Liczba e jest podstawą logartmu aturalego, e 2,71828 Szeregi ieskończoe Niech {a } będzie ciągiem ieskończom. WraŜeie = szeregiem ieskończom, lub po prostu szeregiem. 1 a = a1 a azwam a k-tą sumą częściową S k szeregu ieskończoego =1 S k = k = 1 a = a1 a2... a. k a azwam wraŝeie 2

3 Szereg ieskończo =1 a azwam zbieŝm, jeśli istieje graica ciągu jego sum częściowch lim S k = S. Wartość S tej graic azwam sumą szeregu i piszem k = Jeśli graica ciągu sum częściowch ie istieje, to szereg azwam rozbieŝm. 1 a = S. Niech {a } będzie ciągiem geometrczm, tz. ciągiem, którego wraz spełiają waruki: a 1 0 oraz a 1 = a r, gdzie r jest stałą i r 0. Szereg geometrcz a a jest zbieŝ i jego sumą jest S =, jeśli r < 1. Jeśli r 1, =1 1 r szereg te jest rozbieŝ. JeŜeli w szeregu a, o wrazach dodatich, począwsz od pewego miejsca stosuek =1 dowolego wrazu a 1 do wrazu go poprzedzającego, a, jest stale miejsz od 1, to szereg =1 a jest zbieŝ. JeŜeli w szeregu a, o wrazach dodatich, począwsz od pewego miejsca stosuek =1 dowolego wrazu a 1 do wrazu go poprzedzającego, a, jest stale większ lub rów 1, to szereg =1 a jest rozbieŝ. 3

4 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Graica fukcji Niech f będzie fukcją określoą a przedziale otwartm zawierającm a. W samm pukcie a fukcja ie musi bć określoa. Poadto iech g będzie dowolą liczbą rzeczwistą. Stwierdzeie lim f ( x) = g ozacza, Ŝe dla dowolego ε > 0 istieje δ > 0, taka Ŝe jeŝeli ( x). 0 < x a < δ, to f g < ε Twierdzeia dotczące graic Jeśli a i c są dowolmi liczbami rzeczwistmi, to lim c = c. Jeśli a, b i m są dowolmi liczbami rzeczwistmi, to ( mx b) = ma b Jeśli f ( x) = L i g( x) = M lim lim, to (i) [ f ( x) ± g( x) ] = L ± M lim (ii) [ f ( x) g( x) ] = L M lim lim. (iii) f lim g ( x) ( x) = L M M 0 (iv) [ cf ( x) ] = cl lim Jeśli jest dowolą liczbą aturalą, to (i) lim x = a (ii) [ ( )] ( ) lim f x lim f x, zakładając Ŝe istieje f ( x) x a = x a lim. Jeśli f jest wielomiaem dowolego stopia oraz a jest dowolą liczbą rzeczwistą, to lim f x = f a. ( ) ( ) 4

5 Jeśli f jest dowolą fukcją wmierą i a aleŝ do dziedzi f, to lim f x = f a. ( ) ( ) Jeśli a jest dowolą liczbą dodatią a dowolą liczbą aturalą, lub jeśli a jest liczbą ujemą a liczbą ieparzstą, to (i) lim x = a (ii) lim f ( x) = lim f ( x), zakładając Ŝe f ( x) lim istieje. Jeśli f ( x) h( x) g( x) dla kaŝdej wartości x i jeŝeli f ( x) = L = lim g( x) to h( x) = L lim. (twierdzeie kaapkowe) lim, Graica lewostroa Niech f będzie fukcją określoą w przedziale (c, a) i iech L będzie liczbą lim f x = ozacza, Ŝe dla kaŝdego ε > 0 istieje δ > 0 taka, rzeczwistą. Stwierdzeie ( ) L Ŝe jeŝeli a < x < a δ, to ( x) L < ε f. Graica prawostroa Niech f będzie fukcją określoą w przedziale (a, c) i iech L będzie liczbą lim f x = ozacza, Ŝe dla kaŝdego ε > 0 istieje δ > 0 taka, rzeczwistą. Stwierdzeie ( ) L Ŝe jeŝeli a < x < a δ, to f ( x) L < ε. Fukcja f posiada graicę L w pukcie a wted i tlko wted, gd prawo i lewostroa graica fukcji w tm pukcie jest rówa L. Ciągłość fukcji Fukcja f jest ciągła w pukcie a, jeśli spełioe są astępujące waruki: (i) f jest określoa w przedziale zawierającm a, lim f x, (ii) istieje ( ) (iii) f ( x) = f ( a) lim. Fukcja, która ie jest ciągła w pukcie a jest w tm pukcie ieciągła. 5

6 Przkład fukcji ieciągłch: =1/x =2/(1-x) Twierdzeia o fukcjach ciągłch Jeśli fukcje f i g są fukcjami ciągłmi w pukcie a, to ich suma, róŝica, ilocz i iloraz (pod warukiem, Ŝe istieje) są fukcjami ciągłmi w tm pukcie. Jeśli f i g są fukcjami takimi, Ŝe g( x) = b to f ( g( x) ) = f ( b) = f lim g( x ) lim. lim oraz f jest fukcją ciągłą w pukcie b, Jeśli g jest fukcją ciągłą w pukcie a i f jest fukcją ciągłą w pukcie b = g( a) lim f ( g( x) ) = f g( x) lim = f ( g( a) )., to Fukcja odwrota Fukcją odwrotą do fukcji f azwam taką fukcję g, której dziedzia jest zbiorem wartości fukcji f a zbiór wartości g pokrwa się z dziedzią fukcji f. Fukcja f posiada fukcję odwrotą jeśli jest fukcją jedo-jedozaczą, tz. kaŝdej wartości fukcji odpowiada dokładie jeda wartość argumetu. Fukcje odwrote do fukcji trgoometrczch dla si x : dla cos x : dla tg x : dla ctg x : arcsi x arccos x arctg x arcctg x π π x x π π π x x π 6

7 Liczba e. Fukcja wkładicza i logartmicza. Liczba e lim 1 x 0 1/ x ( x) = e e Logartm atural log l x e x Fukcja wkładicza ozaczaa smbolem exp x fukcji logartmiczej l x, tz. e x = l = x. lub e x jest fukcją odwrotą do Twierdzeia o potęgach i logartmach ( a) ( b) e e x x e : e r x ( c) ( e ) = e = e = e x r x x x, R x, R x R, r W ( d ) l( x ) = l x l x, R ( e) ( f ) l x l x r = l x l = r l x l x l10 x R ( g) log x = x R x, R, r W 7

8 Sir Isaac Newto ( ) Gottfried Wilhelm vo Leibiz ( ) RACHUNEK RÓśNICZKOWY POCHODNA FUNKCJI Niech f będzie fukcją określoą w przedziale otwartm zawierającm a. Pochodą fukcji w pukcie a azwam wielkość f ' ( a) = lim h 0 f ( a h) f ( a) h zakładając, Ŝe graica ta istieje. Jeśli fukcja f jest róŝiczkowala w pukcie a, to f ' ( a) kierukowm stczej do f w pukcie a. jest współczikiem Mówim. Ŝe fukcja jest róŝiczkowala w przedziale (a, b) jeśli jest róŝiczkowala w kaŝdm pukcie tego przedziału. Jeśli fukcja jest róŝiczkowala w pukcie a, to jest takŝe ciągła w tm pukcie. Twierdzeie odwrote ie jest prawdziwe. RóŜiczka fukcji Niech f ( x) zmia x 0 do x dx azwam wraŝeie d f ( x ) dx = posiada pochodą w pukcie x 0. RóŜiczką fukcji wikającą ze '. 0 = 0 RóŜiczka fukcji przbliŝa prawdziwą zmiaę wartości fukcji = f ( x0 dx) f ( x 0 ) Stosujem ją wted, gd ie moŝa lub bardzo trudo zaleźć f ( xo dx).. 8