Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

Transkrypt

1 Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie Oblicz całkę o ile wiemy, że Rozwiązaie Ze wzoru Eulera e x cos αx dx e x dx = π Zatem cos αz = eiαz + e iαz e z cos αz = e z eiαz + e iαz = e z +iαz iαz + e z Fukcje e z +iαz i e z iαz są holomorficze a całym, a zatem z twiereia auchy ego dla dowolych zamkiętych koturów, mamy oraz e z+iαz e z iαz = 0 = 0 Niech R > 0 Rozważmy teraz kotury,r,,r zawierające odciek [, R] i ozaczmy γ,r =,R \ [, R], γ,r =,R \ [, R] Wtedy R e z +iαz = γ,r e z+iαz = γ,r e z+iαz

2 oraz R e z iαz = γ,r e z iαz = gie γ ozacza krzywą γ o przeciwej orietacji Zatem e x cos αx dx = lim R = lim = lim [,R] e x cos αx dx e z cos αz [,R] e z +iαz = lim γ,r e z+iαz γ,r + lim + lim e z iαz, e z iαz [,R] e z iαz γ,r Dobierzemy kotury γ,r, γ,r tak, aby obliczeie powyższych dwóch całek ie sprawiało problemu Zajmijmy się γ,r Szukamy koturu z(t) takiego, aby z(t) + iαz(t) było rzeczywiste Ozaczmy z(t) = x(t) + iy(t) Mamy z(t) + iαz(t) = (x(t) + iy(t)) + iα(x(t) + iy(t)) = y (t) x (t) ix(t)y(t) + iαx(t) αy(t) Aby to wyrażeie było rzeczywiste, musi zachoić czyli x(t)y(t) = αx(t), y(t) = α Kadydatem a kotur γ,r jest kotur S,R S,R S 3,R, gie S,R = {(, t) : t [0, α]}, S,R = {(t, α) : t [, R]}, S 3,R = {(R, α t) : t [0, α ]} Wtedy = + + Dalej γ,r S,R e z+iαz e z+iαz = = S,R e z+iαz S,R e z+iαz R e y (t) x (t) ix(t)y(t)+iαx(t) αy(t) R e α t α dt = α e R S 3,R e z+iαz (x(t) + iy(t)) dt e t dt α

3 Z drugiej stroy S,R e z+iαz legth(s,r) max e z +iαz z S,R = α max z S,R e y x ixy+iαx αy = α max e y x αy = α z S,R e α 0 Tak samo dla całki po S 3,R Zatem γ,r e z+iαz α Dla γ,r przyjmujemy S,R = {(, t) : t [0, α]}, S,R = {(t, α) : t [, R]}, S 3,R = {(R, α + t) : t [0, α ]} Przeprowaając aalogicze rozumowaie otrzymujemy S,R e z iαz = R e y (t) x (t) ix(t)y(t) iαx(t)+αy(t) (x(t) + iy(t)) dt = R e α t α dt = α e R e t dt α i γ,r e z iαz α Ostateczie e x cos αx dx = lim γ,r e z+iαz + lim γ,r e z iαz = e α π Twiereie (Wzór auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla z 0 Ω, N 0 i dowolego okręgu o środku z 0 zawartego całkowicie w Ω zachoi W szczególości dla = 0 f(z) πif() (z z 0 ) = (z 0 ) +! f(z) z z 0 = πif(z 0 ) 3

4 Zadaie Oblicz całkę z + wzdłuż koturu spełiającego waruek: pukt i leży wewątrz, zaś i a zewątrz obszaru ograiczoego koturem Rozwiązaie Z twiereia auchy ego wartość całki bęie taka sama dla każdego koturu spełiającego podaą własość Możemy p wybrać okrąg = {z : z i = } Mamy z + = (z + i)(z i) Przyjmijmy f(z) = Fukcja f jest holomorficza a pewym otoczeiu okręgu z+i zawierającym jego wętrze, poieważ miaowik jest tam róży od zera Zatem z + = z+i z i = f(z) z i = πif(i) = πi i + i = π Defiicja Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Szeregiem Taylora fukcji f w pukcie z 0 Ω azywamy szereg f () (z 0 ) (z z 0 )! Twiereie Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Jeśli fukcja f daje się zapisać jako f(z) = c (z z 0 ) a pewym otoczeiu z 0, wtedy dla każdego N 0 zachoi c = f () (z 0 )! Zadaie 3 Zaleźć szereg Taylora fukcji si z o środku w zerze Rozwiązaie Mamy f(z) = si z, f (z) = si z cos z = si z, f (z) = cos z, f (z) = si z, f () (z) = 3 cos z, f (5) (z) = si z, f (6) (z) = 5 cos z,

5 czyli f(0) = 0, f (0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f () (0) = 3, f (5) (0) = 0, f (6) (0) = 5, f () (0) = ( ), > 0 Zatem szereg Taylora w pukcie z 0 = 0 fukcji si z ma postać = ( ) ()! z Poieważ fukcja si z jest holomorficza a całym, więc możemy poadto apisać dla każdego z si z = = ( ) ()! z Zadaie Zaleźć szereg Taylora fukcji f(z) = o środku w zerze Oblicz promień zbieżości 5z 7 z z 5 Rozwiązaie Dążymy do skorzystaia ze wzoru o ile q < a q = a Pierwiastki wielomiau z z 5 to z = 3 i z = 5 Zatem f(z) = q, 5z 7 z z 5 = 5z 7 (z + 3)(z 5) Powyższe wyrażeie zapiszemy w postaci sumy ułamków prostych 5z 7 (z + 3)(z 5) = A z B z 5,

6 czyli 5z 7 = A(z 5) + B(z + 3) = Az + Bz 5A + 3B Otrzymujemy układ rówań { A + B = 5 5A + 3B = 7 Rozwiązaie to A =, B = Zatem Dalej z + 3 = 3 ( z) = 3 f(z) = z z 5 ( z 3 ) = 3 ( z ) = 3 3 ( ) 3 z dla z 3 <, czyli z < 3 z 5 = 5 z = 5 ( z 5 ) = 5 ( z ) = z dla z 5 <, czyli z < 5 Zatem dla z < 3 mamy f(z) = 3 ( ) 3 z 5 5 z = ( ( ) ) z Promień zbieżości R = 3 Dla spraweia ze wzoru auchy ego-hadamarda lim sup ( ) lim sup lim sup 5 Z drugiej stroy Zatem lim sup ( ) 3 + lim sup = lim sup 5 + lim sup = lim sup ( ) 3 + Zatem poowie promień zbieżości R = = 3 = = 3 6